数学：两条直线的垂直(动漫)
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第三章 3.1 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
题型二
两直线平行与垂直的应用
例2 已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
(2)若 l1⊥l2， 1 ①当 k2＝0 时，a＝0，k1＝－ ，不符合题意； 2 2－a ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在，此时 k1＝ . a－4 ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
A．相交 C．重合
答案：B
自 测 自 评
3．直线 l1 的倾斜角为 60° ，直线 l1⊥l2，则直线 l2 的斜率为( A. 3 3 C. 3
答案：D
) B．－ 3 3 D．－ 3
栏 目 链 接
自 测 自 评
4．经过点(m,3)和(－2，m)的直线 l 与斜率为－4 的直线互相垂直，则 m 的值是________．
w两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？
解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条 不重合的直线”．
栏 目 链 接
思 考 应 用
2．当直线 l1⊥l2 时，它们的倾斜角 α1，α2 的关系是 什么(α1<α2)?
栏 目 链 接
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)
(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)
(4)l1 经过点 A(3,4) ， B(3,100) ， l2 经过点 M( － 10 ， 40) ，
N(10,40)
1－－2 －1－4 5 解析：(1)k1＝ ＝1，k2＝ ＝ . 2－－1 －1－3 4 ∵k1≠k2，k1k2≠－1 ∴l1 与 l2 不平行也不垂直． 2－1 (2)k1＝1，k2＝ ＝1， 2－1 ∴k1＝k2. ∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定
角为( )
A．0°
B．135°
C．90°
D．180°
[答案] C
5．直线l1的倾斜角为45°，l2∥l1，则l2的倾斜角为 45° ， 若l2过点A(2,3)，B(－1，y)，则y＝ 0 .
新课引入 过山车是一种具有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣， 有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了 许多数学、物理学原理，人在设计过山车时巧妙地运用了这 些原理．过山车有两条永远平行、起伏的铁轨，它们依靠一 根根巨大的且垂直于地面的钢筋支撑着，你能感受到过山车 中的平行与垂直吗？那么两条直线的平行与垂直用什么来刻 画呢？
已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2，3)，C(0，－ 4)，则D点坐标为________．
[答案] (3，－6)
[分析] 利用平行四边形的对边平行确定点D的坐标．
[解析] 设D(x，y)，∵AB∥CD，∴kAB＝kCD， ∴－3－ 2－11＝y＋x 4，即2x＋3y＋12＝0(1) 又∵AD∥BC ∴kBC＝kAD，∴－04＋－23＝xy－－11 即7x＋2y－9＝0(2) 由(1)(2)解得xy＝ ＝3－6 ，∴D点坐标为(3，－6).
6．直线 l1 的斜率为 2，直线 l2 上有三点 M(3,5)、N(x,7)、 P(－1，y)，若 l1⊥l2，则 x＝______，y＝______.
[答案] －1 7 [解析] ∵l1⊥l2，∴l2 的斜率为－12 ∴7x－－35＝－y－1－53＝－12，解得 x＝－1，y＝7.
[例2] 判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)， N(2,1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)， N(10,40)．
2020高中数学 检测(十七)两条直线的垂直 2
课时跟踪检测(十七）两条直线的垂直层级一学业水平达标1．若直线l1:mx＋2y＋1＝0与直线l2：x＋y－2＝0互相垂直,则实数m的值为（）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!解析：选B ∵直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：x＋y－2＝0互相垂直，∴m×1＋2×1＝0，解得m＝－2。
2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2）x＋1互相垂直，则a 等于（）A．2 B．1C．0 D．－1解析：选D 由y＝ax－2，y＝(a＋2)x＋1得ax－y－2＝0,（a＋2）x－y＋1＝0。
因为直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，所以a(a＋2）＋1＝0，解得a＝－1.故选D.3．若过点A（2，－2），B（4,0）的直线与过点P(2m，1)，Q（－1，m）的直线垂直，则m的值为（）A．－1 B．1C．－2 D．错误!解析：选C ∵直线AB经过点A(2，－2）和点B(4,0），∴直线AB的斜率为错误!＝1.∵直线P Q与直线AB垂直，∴直线P Q的斜率为－1。
∵直线P Q过点P（2m，1）和点Q（－1，m)，∴错误!＝－1，解得m＝－2.故选C.4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，垂足为（1,p)，则m＋n＋p的值为( ）A．24 B．20C．0 D．－4解析：选D 由两直线垂直，得2m－20＝0，m＝10，将(1，p）代入10x＋4y－2＝0中，得p＝－2，将（1，－2）代入到2x－5y＋n ＝0得n＝－12，所以m＋p＋n＝－4。
5．直线l：(a2＋4a＋3）x＋（a2＋a－6）y－8＝0与y轴垂直,则实数a的值是( )A．－3 B．－1或－3C．2 D．－1解析：选D 直线l与y轴垂直，则直线l的斜率为0，直线l 的方程可化为:y＝－错误!x＋错误!，所以a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3.又a2＋a－6≠0，解得a≠2且a≠－3，综上可得a＝－1.6．已知点A(2，2），B(5，－2),点P在x轴上且∠APB为直角，则点P的坐标为________．解析：设P（a，0），因为∠APB为直角,所以AP⊥BP。
【数学】3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定课件(人教A版必修2)2
•两条直线的位置关系
平行 (重合)
相交
•直线的斜率与倾斜角的关系
k tan
( 90 )
•三角形内角和定理及外角定理 •内角和定理:三角形的三个内角之和为180
•外角定理:三角形的一个外角等于不相邻的 两个内角之和
思考以下问题: •两条直线平行的充要条件及其证明 •两条直线平行,斜率一定相等吗?为什 么? •两条直线垂直的充要条件及其证明
•两条直线垂直,它们的斜率之积一定等 于-1吗?为什么?
两条直线平行 l1 // l2
l1 // l2 k1 k2
前提条件: •两条直线的斜率都存在,分别为 k1 , k2
• l1 , l2 不重合
下列说法正确的有( A )
①若两直线斜率相等,则两直线平行;
②若 l // l ,则 k1 k2 ; 1 2 √ ③若两直线中有一条的斜率不存在,另 一条直线的斜率存在,则两直线相交;
判断长方形ABCD的三个顶点的坐标 分别为A(0,1), B(1,0), C(3,2),求第四 个顶点D的坐标
(2, 3)
两条直线垂直 l1 l2
l1 l2 k1k2 1
或一条直线斜率不存在,
同时另一条斜率等于零.
1. 判断下列直线对是否垂直 垂直 经过两点C(3, 1), D(-2, 0) 的直线 经过点M(1, - 4)且斜率为- 5的直线 2. 经过点A(1, 2)和点B(3,- 2)的直线 与经过点C(4, 5)和点(a, 7)的直线垂 直,则a=________.. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》课件
图示
l1 与 l2 中的一条斜率不
对应 l1 与 l2 的斜率都存在， 存在(倾斜角为 90°)，另
关系 分别为 k1，k2，则 l1⊥ 一条斜率 为零 (倾斜 角
l2⇔ k1·k2＝－1
为 0°)，则 l1 与 l2 的位置
关系是 l1⊥l2
(二)基本知能小试
1．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
故选 A. 答案：A
2．已知定点 A(－1,3)，B(4,2)，以 A，B 为直径作圆，与 x 轴有 交点 C，则交点 C 的坐标是_______．
解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C， 则 AC⊥BC.设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24， 所以x－＋31·x－－24＝－1.解得 x＝1 或 2. 所以 C 的坐标为(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)
解得ab＝ ＝－ 6. 1，
所以 D(－1,6)． (2)因为 kAC＝43－ －21＝1，kBD＝－6－1－05＝－1，
所以 kAC·kBD＝－1. 所以 AC⊥BD.故平行四边形 ABCD 为菱形．
二、应用性——强调学以致用 2．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，
已知矩形花园长 AD 为 5 m，宽 AB 为 3 m， 其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问如何在 BC 上 找到一点 M，使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直？
解：由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－ －52＝－12.
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定
一、选择题1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.其中正确的为()A．①②③④B．①③C．②④D．以上全错[答案] B[解析]当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．2．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是()A．相交B．平行C．重合D．以上都不对[答案] B[解析]∵A、B两点纵坐标相等，∴直线AB与x轴平行．3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为()A．(2,0) B．(0,2)C．(0,1) D．(1,0) [答案] B[解析]设l2与y轴交点为B(0，b)，∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.∴k OA k AB＝－1.∴1－01－0×b－10－1＝－1，解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()A．2 B．－2C．4 D．1[答案] D[解析]∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，∴y＝1.故选D.5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)[答案] D[解析]设P(0，y)∵l1∥l2∴y－10＋1＝2∴y＝3故选D.6．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是()①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l 1经过点M (－1,0)，N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)，S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③[答案] B7．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194 C ．5 D ．4 [答案] B[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆， 所以AB ⊥BC ∴4－03－2·4－y 3－0＝－1 ∴y ＝194故选B.8．过点E (1,1)和点F (－1,0)的直线与过点M (－k2，0)和点N (0，k4)(k ≠0)的直线的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合 [答案] C[解析] k EF ＝0－1－1－1＝12，k MN＝k40＋k 2＝12， 又当k ＝2时，EF 与MN 重合． 二、填空题9．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝________.[答案] 4[解析] 由题意，得tan45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4.10．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2)，B (0,1)，C (4,3)，点D (m,1)在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________.[答案] 52[解析] 由题意得AD ⊥BC ，则有k AD k BC ＝－1， 所以有1－2m －2·3－14－0＝－1，解得m ＝52.11．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．[答案] 1 －33[解析] ∵k AB ＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°. (1)∵l 1与l 垂直，∴kl 1＝1.(2)∵∠ABC ＝15°，∠CDB ＝135°， ∴∠β＝135°＋15°＝150°，∴kl 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33.12．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.[答案] 2 －98[解析] 当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1， ∴－b2＝－1.∴b ＝2. 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b ＝0.∴b ＝－98.三、解答题13．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．[解析] 当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92. 14．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] 设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD . ∴▱ABCD 为菱形．15．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[分析] 分类讨论直角梯形ABCD 的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．[解析] (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB . ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1.(2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－(－1)4－5，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.16．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径的端点作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．[分析] 本题中有三个点A 、B 、C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，则必有k AC·k BC＝－1.列出方程求解即可．[解析]以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4.∴－3x＋1·－2x－4＝－1.去分母解得x＝1或2.∴C(1,0)或C(2,0)．规律总结：当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.这是很明显的(上图)．故不需对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．。
四年级上册数学平行和垂直(24张)人教版课件
在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
把没有相交的 两条直线再画 长一些会怎样？
你能举一些生活中有关垂直的例子吗？
（1）不相交 两根小棒都和第三根小棒互相平行，这两根小棒也互相平行。
把没有相交的两条直线再画长一些会怎样？ 同一个平面内的两条直线的位置关系 直线（ ）端点，可以向（ ）端无限延伸。 上图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 （1）沿着长边或宽边对折两次。 同一个平面内的两条直线的位置关系 两根小棒都和第三根小棒互相垂直，这两根小棒互相平行。 中图：两条竖直方向的线段互相平行，两条竖直方向的线段与水平方向的线段都垂直； “互相垂直”的表示方法 初步理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种位置关系。 （1）把两根小棒都摆成和第三根小棒互相平行。 同一个平面内的两条直线的位置关系 在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？ 平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 “同一平面内”是确定两条直线平行关系的前提，如不在同一个平面内，有些直线虽然不相交，但不能称为互相平行。
“同一平面内” 是确定两条直线平行 关系的前提，如不在 同一个平面内，有些 直线虽然不相交，但 不能称为互相平行。
1.下面每个图形中哪两条线互相平行?哪两条线段 互相垂直？（选自教材P63练习十第1题）
左图：两组对边互相平行，相邻两条边互相垂直。 中图：两条竖直方向的线段互相平行，两条竖直 方向的线段与水平方向的线段都垂直； 右图：相对的两条边互相平行，相邻的两条边互 相垂直。
（1）不相交
（2）相交
（3）相交
（4）相交
人教版(2019)数学选择性必修一 2_1_2两条直线平行与垂直的判定课件
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1, 3)，N(－2,－2 3)；
✓ 直线l1与直线l2平行或重合
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0,－2)，Q(0,5)．
✓ l1∥l2
题型二
[例2]
两直线垂直的判定
判断下列条件中的l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3,－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；
与直线CD ( A )
A．平行
B．垂直
C．重合
D．以上都不正确
3．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，
1
−
则k ＝________.
2
2
新知探究
一、两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时
斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
k2＝ ＝
3+4 4
3+4 7
k1＝ ＝
1+3 4
k1k2=1
l1与l2不垂直
[例2]
判断下列条件中的l1与l2是否垂直．
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
3−2
1
k2＝
＝
20−10 10
k1＝ －10
k1k2=－1
l1⊥l2
[例2]
判断下列条件中的l1与l2是否垂直．
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴
40−40
k2＝
＝0
10+10
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解：∵
l1
l 2
∴
A A B B
12
12
(a 1)a 3(a) 0
整理得 a 2 4a 0
即 a(a 4) 0 解得 a 0 或 a 4
你 能 行！！
两条直线垂直的充要条件的应用
〈例1〉已知两条直线l1：2x-4y+5=0 和 l2：2x+y-3=0
⊥ 求证： l1 l2
总结
两条直线垂直的充要条件
形式
斜截式
方程 关系
l1 : y k1x b1 l2 : y k2x b1
k1, k2 都存在时：源自垂1k1 k2 或 k1 k2 1
直
特殊: l1, l2 中有一条
直线的斜率不存在时,另
一条直线的斜率为0.
一般式
l1 : A1x B1 y C1 0 (A1, B1不同时为0) l2 : A2 x B2 y C2 0 (A2, B2不同时为0)
１ 斜截式
k1 k2 且 b1 b2
（斜率存在）
２ 一般式
A1B2 A2B1 0
且 B1C2 B2C1 0 或 A1C2 A2C1 0
相垂直交
两条直线垂直的充要条件的探讨
方法一:根据直线方程的斜截式
填空:
1 设 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2
如果 l1 l2 ,显然 1 ,设 12
解得 D 6
所以直线方程为 3x 2y 6 0 即 3x 2y 6 0
与直线 Ax By C 0 垂直的直线可设 Bx Ay D 0
两条直线垂直的充要条件的应用 <练习4>根据下列条件,求直线的方程：
1 .经过点A(-1,4),且 与直线2x-3y+5=0 垂直;
y l1 l2
o
x
y
（√） ⒉当l1, l2中有一条直线的斜率不存在时
l2
l1 l2 另一条直线的斜率为0.
o
x
l1
两条直线垂直的充要条件的探讨
方法一:根据直线方程的斜截式
归纳:
当 l1,l2 的斜率都存在时，
l1
l2
k1
1 k2
或
k1 k2 1
y
o
l1
x l2
由三角形外角定理知 所以 tan =tan(90
)
90
=
cot
=
1 tan
1
即
k1
k2
或 k1 k2 -1
y
l1
l2
o
x
2
反之,如果
k1
1 k2
则有 tan
=
1
tan
=
cot = tan(90 )
(
A1 ) ( B1
A2 ) B2
1
即：A1A2 B1B2 0
2、当 B1 0 时，l1 l2 A2 0
同理当 B2 0 时， A1 0
满足 A1A2 B1B2 0 综上所述： l1 l2 A1A2 B1B2 0
优点:适用于斜率存在和不存在两种情况，可以避免讨论，减小解题误差。
两条直线垂直的充要条件的应用
〈练习3〉判断下列各对直线是否互相垂直：
1
垂直
2 5x 2 y 4 0和2x 5 y 8 0
垂直
3 2x y 7 0和2x y 1 0
不垂直
4 y x和2x 2 y 5 0
垂直
两条直线垂直的充要条件的应用
<例2>求过点p(-4,3),且与直线 l : 2x 3y 6 0 垂直的直线方程.
特殊:
当 l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,
l1 l2 另一条直线的斜率为0.
y l2
o
x
l1
两条直线垂直的充要条件的应用 〈练习1〉判断正误：
1 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数；
×
2 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直；
√
3 斜率互为负倒数是两条直线垂直的充要条件。
×
两条直线垂直的充要条件的探讨
两条直线的夹角
完成思考题
解法1：直线
l 的斜率是
2 3
，
所求直线与直线 l 垂直,
所求直线的斜率是
3 2
。
由点斜式得到所求直线方程
为
y 3 3 (x 4) 2
即 3x 2y 6 0 。
解法2：由题意可设所求直线方程为
3x 2y D 0
所求直线过点p(-4,3)
3(4) 23 D 0
A1A2 B1B2 0
（不必考虑斜率是否存在）
两条直线垂直的充要条件的应用
〈练习2〉
解：∵
a 1
k
1
a
a
k
2
3
又∵ l1 l2
∴
k k
1
2
a 1 ( a ) 1
a
3
即 a1 1 得 a 4 3 没有考虑斜率不存在的
情况，丢解了．
填空
已知: l1:(a-1)x-ay+5=0 l2:ax+3y-2=0． 当a= 0或4 时， l1 与 l2 垂直。
方法二：根据直线方程的一般式
填空： 设 l1 : A1x B1y c1 0（ A1, B1 不同时为0）
l2 : A2x B2 y c2 0（ A2, B2 不同时为0）
1、当 B1 0, B2 0 时
k1
A1 B1
k2
A2 B2
l1
l2 k1 k2
2 .经过原点,且与直 线 4x+y-7=0 垂直.
3x+2y-5=0
x-4y=0
两条直线垂直的充要条件的应用
线段AB的中点C
直线AB的斜率
思考题：
求连结A(7,-4) , B(-5,6)两 点的线段的垂直平分线方程。
y
L
B
6
线段AB垂直平分线的斜率 线段AB的垂直平分线方程
C
-5
o
-4
7
x
A
小结
证法1： 直线l1与l2的斜率分别是
1
K1=__2_ , K2=___2_.
因为 k1 k2=____1___，
所以__l1___l_2 _.
证法２：
因为直线l1中A1=_2_ B1=__4 直线l2中 A2 =_2_ B2=_1_ 所以 A1A2+B1B2=_0____
即＿l＿1 ＿l2＿＿
复习提问 1 在平面内，两条直线有哪几种
位置关系？
2 请根据直线方程回答平面内两 条直线平行、重合的充要条件。
复习提问
充要条件
平行
重合
１ 斜截式
k1 k2 且 b1 b2
（斜率存在）
２ 一般式
A1B2 A2B1 0
且 B1C2 B2C1 0 或 A1C2 A2C1 0
充要条件
平行
重合
垂直
１ 斜截式
１ 斜截式
k1 k2 且 b1 b2
（斜率存在）
k1 k2 且 b1 b2
（斜率存在）
２ 一般式
２ 一般式
A1B2 A2B1 0且B1C2 B2C1 0 或 A1C2 A2C1 0
且 A1B2 A2B1 0
B1C2 B2C1 0
又 0 180 , 0 180
所以 = 90
即 l1 l2
1
综上: l1 l2 k1 k 2 或 k1 k2 1 (斜率存在)
两条直线垂直的充要条件的探讨
方法一:根据直线方程的斜截式 特殊: 当直线的斜率不存在时
（×）⒈当 l1, l2的斜率都不存在时
或 A1C2 A2C1 0
１ 斜截式
k1
1 k2
或
k1 k2 1
（斜率存在）
２ 一般式
A1A2 B1B2 0
特点:斜截式需考虑斜率是否存在,而一般式不必考虑斜率是否存在.
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预习 §9·