2019-2020学年甘肃省兰州市高考实战数学模拟试卷(理科)(有答案)

甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.B）=（）1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁uA．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C． D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．807．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．3πD．38．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．，，则的值为（）A．B．C．D．10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③ B．①④ C．①③④D．①②③④11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f （x ）=x ﹣alnx 在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a= ．14．已知变量x ，y ，满足：，则z=2x+y 的最大值为 ．15．若f （x ）+f （x ）dx=x ，则f （x ）dx= ．16．α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β=EF，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF ．其中能成为增加条件的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1+a 2+a 3=15，且a 1+2，a 2+5，a 3+13构成等比数列{b n }的前三项． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表． 分数（分数段） 频数（人数） 频率 [60，70） 9 x [70，80） y 0.38 [80，90） 16 0.32 [90，100） z s 合计p1（1）求出上表中的x ，y ，z ，s ，p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA=PB ，O 为AB 的中点，OD ⊥PC ．（1）求证：OC ⊥PD ；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为300，求二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F 1，F 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为，求以F 2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 21．已知函数f （x ）=+ax ，x ＞1．（Ⅰ）若f （x ）在（1，+∞）上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若a=2，求函数f （x ）的极小值；（Ⅲ）若方程（2x ﹣m ）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ； （Ⅱ）若AD=3DC ，BC=，求⊙O 的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在以原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 P 坐标为，圆C 与直线l 交于 A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R ，集合A={x|x ＜2}，B={x|lg （x ﹣1）＞0}，则A∩（∁u B ）=（ ） A ．{x|1＜x ＜2} B ．{x|1≤x ＜2} C ．{x|x ＜2} D ．{x|x ≤1} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg （x ﹣1）＞0，可得x ﹣1＞1，可得B ，∁R B ．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B ）． 【解答】解：∵lg （x ﹣1）＞0，∴x ﹣1＞1，解得x ＞2． ∴B={x|lg （x ﹣1）＞0}=（2，+∞）， ∴∁R B=（﹣∞，2]． 则A∩（∁u B ）=（﹣∞，2）． 故选：C ．2．在复平面内，复数z 满足z （1﹣i ）=（1+2i ）（i 是虚数单位），则z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【解答】解：由足z （1﹣i ）=（1+2i ），得，∴z 对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B ．3．已知，为两个非零向量，设命题p ：|•|=||||，命题q ：与共线，则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论． 【解答】解：设与的夹角为θ． 若与共线，则cosθ=±1．∴|•|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C． D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A．6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得 m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．3πD．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．∴该几何体外接球的体积==．故选：A．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．9．，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③ B．①④ C．①③④D．①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．②根据三角函数的图象关系进行判断．③根据幂函数的定义和性质进行判断．④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，③当n=0时，y=x 0=1，（x ≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x 的图象都是一条直线；故③错误， ④作出函数f （x ）的图象如图，∴f （x ）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减， 又∵a ，b ，c 互不相等，∴a ，b ，c 在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个， 不妨设a ∈（0，1]，b ∈（1，2），c ∈（2，+∞）， 则log 2a+log 2b=0， 即ab=1，则abc 的取值范围是c 的取值范围， ∵由﹣x+2=0，得x=4， 则2＜c ＜4， 则2＜abc ＜4，即abc 的取值范围是（2，4）．故④正确， 故选：B ．11．已知O 为坐标原点，双曲线上有一点P ，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形OAPB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P （m ，n ）是双曲线上任一点，设过P 平行于x+ay=0的直线为l ，求得l 的方程，联立另一条渐近线可得交点A ，|OA|，求得P 到OA 的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c ，进而得到所求双曲线的离心率． 【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x ±ay=0，设P （m ，n ）是双曲线上任一点，设过P 平行于x+ay=0的直线为l ， 则l 的方程为：x+ay ﹣m ﹣an=0，l 与渐近线x ﹣ay=0交点为A ，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|•d=1，∴||•.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=x﹣alnx的导数为f′（x）=1﹣，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0，解得a=1．故答案为：1．14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx= ．【考点】定积分．【分析】对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．1f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，【解答】解：对f（x）+∫由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．16．α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β=EF，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF ．其中能成为增加条件的序号是 ①或③ ． 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论． 【解答】解：①因为AC ⊥α，且EF ⊂α，所以AC ⊥EF ． 又AB ⊥α且EF ⊂α，所以EF ⊥AB ．因为AC∩AB=A，AC ⊂平面ACBD ，AB ⊂平面ACBD ，所以EF ⊥平面ACBD ， 因为BD ⊂平面ACBD ，所以BD ⊥EF ． 所以①可以成为增加的条件．②AC 与α，β所成的角相等，AC 与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF 与平面ACDB 不垂直，所以就推不出EF 与BD 垂直． 所以②不可以成为增加的条件．③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上 因为CD ⊥α且EF ⊂α所以EF ⊥CD ． 所以EF 与CD 在β内的射影垂直， AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上 所以EF ⊥AC ，因为AC∩CD=C，AC ⊂平面ACBD ，CD ⊂平面ACBD ，所以EF ⊥平面ACBD ， 因为BD ⊂平面ACBD 所以BD ⊥EF ． 所以③可以成为增加的条件．④若AC ∥EF ，则AC ∥平面α，所以BD ∥AC ，所以BD ∥EF ． 所以④不可以成为增加的条件． 故答案为：①③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1+a 2+a 3=15，且a 1+2，a 2+5，a 3+13构成等比数列{b n }的前三项． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n ．再利用等比数列的通项公式即可得出b n ． （2）利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d ，则由已知得：a 1+a 2+a 3=3a 2=15，即a 2=5， 又（5﹣d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=﹣13（舍）， a 1=a 2﹣d=3，∴an =a1+（n﹣1）×d=2n+1，又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2∴．（2）∵，，两式相减得，则．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）9 x[70，80）y 0.38[80，90）16 0.32[90，100）z s合计p 1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人，∴x==0.18，y=50×0.38=19，z=50﹣9﹣19﹣16=6．s=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…，，，…随机变量X的分布列为：X 0 1 2P因为，所以随机变量X的数学期望为l．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM ⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC，∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，…又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD．…解：（2）在矩形ABCD 中，由（1）得OD ⊥OC ，∴AB=2AD ，不妨设AD=1，则AB=2． ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形， ∴DA ⊥平面PAB ，CB ⊥平面PAB ，△DPA ≌△DPA ， ∴∠DPA 为直线PD 与平面PAB 所成的角 ∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，∴DP=CP=2，∴△PDC 为等边三角形，… 设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，则∠DMN 为二面角D ﹣PC ﹣B 的一个平面角． 由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt △PMN 中，，，∵，∴，∴ND 2=3+1=4，∴，即二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值﹣．…20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F 1，F 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为，求以F 2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a ，b ，c ，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r，则有，，∴=，而==，∴，解得t2=1，∵所求圆与直线l相切，∴半径=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点 P 坐标为，圆C 与直线l 交于 A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|（a ∈R ）（1）当a=4时，求不等式f （x ）≥5的解集；（2）若f （x ）≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x ﹣1|+|x ﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|≥|a ﹣1|，由题意可得|a ﹣1|≥4，与偶此解得 a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f （x ）≥5，即|x ﹣1|+|x ﹣4|≥5，等价于，，或，或． 解得：x ≤0或 x ≥5．故不等式f （x ）≥5的解集为{x|x ≤0，或 x ≥5}． …（Ⅱ）因为f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣a ）|=|a ﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f （x ）min =|a ﹣1|．…由题意得：|a ﹣1|≥4，解得 a ≤﹣3，或a ≥5． …。