抛物线与面积专题复习学案
学案2：2.3.1抛物线及其标准方程
2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及其标准方程．2．了解抛物线的实际应用．3．能区分抛物线标准方程的四种形式．预习提示：1.我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？2. 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？3．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？4．抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？抛物线的开口方向由什么决定？5．抛物线与二次函数有何关系？课堂探究：例1、(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4 B．8C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)变式训练：(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为() A．2B．3 C．4 D．5(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x例2、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．(3)已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．变式训练：若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．试求抛物线的标准方程．例3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．变式训练：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M 到y轴的距离的最小值．例4、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?变式训练：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？当堂达标：1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 3．已知动点M (x ，y )的坐标满足x －22＋y 2＝|x ＋2|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． 答案：1.【提示】 抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．2. 【提示】 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．3．【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，以F 到l 的垂线段的中垂线为y 轴建系．4．【提示】 p 是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的标准方程有四种类型：①焦点在x 轴的正半轴上，其标准方程为y 2＝2px (p ＞0)； ②焦点在x 轴的负半轴上，其标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)； ③焦点在y 轴的正半轴上，其标准方程为x 2＝2py (p ＞0)； ④焦点在y 轴的负半轴上，其标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 抛物线的方程中一次项决定开口方向．5．【提示】 二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ，c 为0时，y ＝ax 2表示焦点在y 轴上的抛物线，标准方程为x 2＝1a y ，a ＞0时抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y 2＝2px ，这是一条曲线，不能称为函数．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)由题意6＋p2＝10，∴p ＝8.(2)因为点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，所以点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .【答案】 (1)B (2)C变式训练：【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A例2、 【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x ；若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .(3)法一：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题设可得⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5， 解得{ p ＝4，m ＝26或{ p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .变式训练：【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .例3、 【自主解答】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.①(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12.因为12＞2，所以点B 在抛物线内部，过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知：|P 1Q |＝|P 1F |.②所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练：【解】 如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，过A 、B 两点分别作准线的垂线AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知 |AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32.设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.例4、【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)， 代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．变式训练：【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165. 所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航． 设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54.所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.当堂达标：1．【解析】 由y 2＝－8x ，得2p ＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)． 【答案】 B2．【解析】 由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x . 【答案】 B3．【解析】 由条件知M 点轨迹满足抛物线定义．即M 到定点(2,0)与到定直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线． 【答案】 C4．【解】 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d . 则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).。
抛物线学案-2023届高三数学一轮复习
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围 开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。
抛物线与面积专题复习学案
抛物线与面积专题复习（学案）【我的任务】（1）熟练掌握抛物线中特殊点的坐标求法，体会数形结合、方程等数学思想。
（2）会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。
（3）培养发散思维能力，力求做到一题多解，多题归一。
【自主探究】——求抛物线中常见图形的面积1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？【反思归纳】（1）一般取在 上的线段为底边。
（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需将图形 ，即用割或补的方法把它转化为若干个易于求面积的图形。
（3）解决该问题用到了 等数学思想。
图五图四 图六图二图一CE AB S ABC⋅=∆21图三【尝试应用】——知识整合2、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.变式二：在双曲线3y x=上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.【反思归纳】——万变不离其宗同底 高的三角形面积相等，平行线间的距离处处 ；该类问题最终可转化为方程组是否有解的问题.【拓展提高】——中考真题改编3、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C.在抛物线上是否存在点N ，使得NBC ABC S S ∆∆=.【硕果累累】——感受收获的喜悦通过本节课的复习，我学会了……体会到了 的数学思想.【走进考场】——锲而不舍，金石可镂（2011，日照）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =xk相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（3分） （2）计算△ABC 的面积；（4分）（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．（3（郯城五中 孟祥飞）。
[初中数学]抛物线复习教案 人教版
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拓展：
过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点，且直线OA、OB的斜率分别为 ，则 ， ， 中有几个定值？
解：设直线AB的方程为 ，
联立
；
又 ；
而 ，所以 ， ， 均为定值。
课后练习：（高考·全国卷）设抛物线 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明：直线AC经过原点。
解：如图所示，因为抛物线 的焦点为
，所以经过F点的直线AB的方程可设为：
，联立 消去x可得
.若记 ，则
是该方程的两个根，所以 .
因为BC//x轴，且点C在准线 上，所以点C的坐标为 ，故直线CO的斜率为 ，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
三、课时小结
1.抛物线的定义、方程、几何性质；
，
所以 ，
此时即AB于y轴垂直（如图）。
变式：若该题中将A点的坐标改为 ，求 的最小值。
析：经判断A点在抛物线外，所以连接AF则
的长即为 的最小值，即
②设过定点M的直线方程为 ，
显然， ，直线交抛物线于点B、C。
，把直线方程带入抛物线，得
所以动直线方程为 ，即 ，必过定点（8，0）；
当 不存在时，直线x=8交抛物线于点B（8，－8）、C（8，8），仍有 。
解析： 得， ，又焦点坐标为（1，0），所以直线方程为： 。
例4：已知抛物线 ，焦点为F，P为抛物线上一动点，定点A坐标为（4，2），
①求 的最小值。②（2）若点O为坐标原点，问是否存在点M，使过M的动直线与抛物线交与B、C两点，且 ，证明你的结论。
解：①因为点P为抛物线上的点，由抛物线的定义知：
抛物线复习学案
《抛物线》复习学案【基础知识】1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的________，定直线l 叫做抛物线的________2、抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：3．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则AB =||11||1212212y y kx x k -+=-+= 【基础自测】1、抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617 B ．1615 C ．87D ．02、抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）A ．81B ．－81C ．8D ．－83、设a ≠0,a ∈R ，则抛物线y=4ax 2的焦点坐标为 .4、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆62x +22y =1的右焦点重合，则p 的值为 .二、例题讲析考点1 抛物线的定义（抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换）例1 .设抛物线2y =8x 的焦点为F ，A 为抛物线上的一点，且F A ＝6，则点A 的坐标是__ 例2：已知点P 在抛物线y2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为变式训练:1.已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(- 考点2 抛物线的标准方程（要注意焦点位置和开口方向）例3：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上变式训练3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线的右焦点2213x y -=重合,则p 的值4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 考点3 抛物线的几何性质例5 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9变式训练6、若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =7、如图，已知O 是坐标原点，过点)0,5(P 且斜率为k 的直线l 交 抛物线x y 52=于),(11y x M 、),(22y x N 两点.（1）求21x x 和21y y 的值； （2）求证：ON OM .考点4 有关于直线与抛物线问题例6．过抛物线2y =4x 的焦点作直线交抛物线与于A （1x ，1y ）、B(2x ，2y )两点， 若1x ＋2x ＝6，则AB 的值为（ ）（A ）10 (B)8 (C)6 (D)4 例7 .过点（0，－2）和抛物线C: 2y = 2x 只有一个公共点的直线有_______条.例8、过抛物线2y =4x 的焦点F 的一条直线l 与这条抛物线相交于A （1x ，1y ）、B(2x ，2y )两点，求21x x ＋21y y 的值。
初三数学一轮复习面积问题综合教案(含练习)
Presented by Csuzzy，All Rights Reserved.7面积问题§7-1铅锤法如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 为常数）与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点D ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式．（2）设点P 为抛物线对称轴上的一个动点．①如图1，若点P 为抛物线的顶点，求PBC △的面积．②是否存在点P 使PBC △的面积为6?若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．面积定值1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved. 1.如图，长方形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx =+经过点()1,4B 和点()3,0E 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在线段OC 上，且BD DE ⊥，BD DE =，求D 点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M ，使得BDM △的周长为最小，并求BDM △周长的最小值及此时点M 的坐标；（4）在条件（2）下，从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点F ，使得FAD △的面积最大?若存在，请求出FAD △面积的最大值及此时F 点的坐标；若不存在，请说明理由．2面积最大如图，曲线1y 抛物线的一部分，且表达式为()()2132333y x x x =--≤，曲线2y 与曲线1y 关于直线3x =对称．（1）求A ，B ，C 三点的坐标和曲线2y 的表达式；（2）过点C 作CD x 轴交曲线1y 于点D ，连接AD ，在曲线2y 上有一点M ，使得四边形ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M 的横坐标；（3）在（2）的条件下，设直线CM 与x 轴交于点N ，试问在线段MN 下方的曲线2y 上是否存在一点P ，使PMN △的面积最大?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.如图1，抛物线2y x bx c =-++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴相交于点C ，连接BC ．点P 为抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线l ，交直线BC 于点G ，交x 轴于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）当P 位于y 轴右边的抛物线上运动时，过点C 作CF ⊥直线l ，F 为垂足．当点P 运动到何处时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与OBC △相似?并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当点P 在位于直线BC 上方的抛物线上运动时，连接PC ，PB ．请问PBC △的面积S 能否取得最大值?若能，请求出最大面积S ，并求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．3§7-2面积综合（2018福建）如图，直线与双曲线相交于，两点，轴，轴，则面积的最小值为．如图，OAC△和BAD△都是等腰直角三角形，90ACO ADB∠=∠= ，反比例函数6yx=在第一象限的图象经过点B，则OAC△与BAD△的面积之差OAC BADS S-△△为（）A.36B.12C.6D.3 1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.（2018盐城）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，且与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为个单位长度的直尺垂直于轴，并沿轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），连接，在线段上方抛物线上有一动点，连接，．（Ⅰ）若点的横坐标为面积最大值，并求此时点的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，面积是否有最大值?若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．2如图，已知抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为()1,0-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B ，C ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点1M ，2M ，3M 使得1M BC △，2M BC △，3M BC △的面积均为定值S ，求出定值S 及1M ，2M ，3M 这三个点的坐标．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.（2017苏州）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，．点在函数图象上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．（1）求，的值；（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小?如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．3如图①，己知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中()0,3C ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，交第一象限的抛物线于点E ．（1）求a 的值；（2）如图①，抛物线上两点C ，E 间的一动点F 关于AD 的对称点F '恰好落在线段BD 上，求F 点坐标；（3）若动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN △的面积是APM △面积的2倍，且线段NQ 的长度最小?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()4,0A -，与y 轴交于点()0,4B ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在x 轴上有一点P ，点P 在直线AB 的垂线段为PC ，C 为垂足，且2PC =求点P 的坐标；（3）如图（2），将原抛物线向左平移，使平移后的抛物线过原点，与原抛物线交于点D ，在平移后的抛物线上是否存在点E ，使APE ACD S S =△△?若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．4如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线的顶点，点P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D 重合）．（1）求OBC ∠的度数；（2）连接CD 、BD 、DP ，延长DP 交x 轴正半轴于点E ，且OCE OCDB S S =△四边形，求此时P 点的坐标；（3）过点P 作PF x ⊥轴交BC 于点F ，求线段PF 长度的最大值．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.第7次课同步练习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点()0,4A ，()1,0B ，()5,0C ，其对称轴与x 轴相交于点M ．（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PAB △的周长最小?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使NAC △的面积最大?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点()3,0A 和点()2,3B ，过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB ，BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当DBC ADC S S =△△时，求点D 的坐标．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.第7次课作业1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++经过A ，B ，C 三点，已知()4,0B ，()2,6C -．（1）求该抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）点()(),12D m n m -<<在抛物线图象上，当ACD △的面积为278时，求点D 的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点()4,0B ，与过A 点的直线相交于另一点53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DC x ⊥轴，垂足为C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），过P作PN x ⊥轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求PCM △面积的最大值。
九年级中考数学复习北师大版《函数与面积》大单元复习教学设计
3.导入新课：今天我们将学习如何运用函数知识解决面积问题，让大家在实际问题中更好地理解函数与面积的关系。
（二）讲授新知
在这一环节中，我们将结合教材内容，详细讲解函数与面积的相关知识。
-对于重点知识，通过例题精讲、变式训练等方式，帮助学生巩固基础知识，形成解题技能；
-针对难点问题，设计梯度性的练习题，由浅入深，逐步提高学生的解题能力；
-引导学生总结解题思路和方法，形成个性化的解题策略，提高解题效率。
3.教学过程：
-导入新课：通过回顾已学的函数知识，引入函数与面积的关系，激发学生的学习兴趣；
【例题】给定一次函数y=2x+1，求该函数图像与x轴正半轴围成的三角形面积。
解答：首先，我们需要找到函数图像与x轴的交点，即令y=0，解得x=-1/2。然后，我们可以画出这个函数的图像，发现它与x轴正半轴围成一个直角三角形。利用三角形面积公式，我们可以计算出这个三角形的面积为1/4。
（二）过程与方法
（三）情感态度与价值观
在本章节的学习过程中，我们希望学生能够：
1.增强对数学学科的兴趣，相信自己能够掌握函数与面积的知识。
2.认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值。
3.培养勇于挑战困难、追求卓越的品质，形成良好的学习习惯。
4.学会在合作中尊重他人，倾听他人意见，提高人际交往能力。
1.分组：将学生分成若干小组，每个小组针对某一特定问题进行讨论。
2.讨论主题：如一次函数图像与三角形面积的关系、二次函数图像与四边形面积的关系等。
3.交流分享：各小组汇报讨论成果，分享解题思路和方法，互相学习，共同提高。
学案1：2.7.1 抛物线的标准方程
2.7.1抛物线的标准方程学习目标核心素养1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)1．通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养．2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养．【情境导学】情境引入在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．新知初探1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？2．抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2思考2：确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( ) 2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－83．抛物线y 2＝－16x 的焦点坐标为( ) A ．(－4,0) B ．(4,0) C ．(0,4) D ．(0，－4)4．抛物线x 2＝16y 的准线方程为 ．【合作探究】【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．[思路探究][规律方法]求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p的值；(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程.[跟进训练]1．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,25)到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．[探究问题]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？2．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？3．抛物线方程中参数p 的几何意义是什么？【例2】 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．[思路探究] 把|MF |比M 到y 轴的距离大12，转化为|MF |与点M 到x ＝－12的距离相等，从而利用抛物线定义求解．[母题探究]1．(变换条件、改变问法)若本例中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．[规律方法]抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．【例3】(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A．11．25 cm B．5．625 cmC．20 cm D．10 cm(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．[规律方法]求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系．(2)设出合适的抛物线方程．(3)通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求出需要求出的量．(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．[跟进训练]2．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0．75 m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．【学以致用】1．抛物线y 2＝4x 上的点M (4，y 0)到其焦点F 的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．62．抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．y 2＝16x D ．y 2＝8x 3．若抛物线y 2＝2px (p ≠0)的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则实数p ＝ ． 4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．【参考答案】【情境导学】新知初探 1． 抛物线的定义 相等定点F定直线l思考1：[提示] 不一定．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线． 2． 抛物线的标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0)思考2：[提示] 确定两个量，一个是p ，另一个是一次项系数的正负． 思考3：[提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)√ 抛物线的标准方程中p (p ＞0)即为焦点到准线的距离．(2)√ 一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上． (3)× 当定点在直线上时，不表示抛物线． 2．B [由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18．]3．A [y 2＝－16x ，∴p ＝－8，∴p2＝－4，开口方向向左，∴焦点坐标为(－4,0)．]4．y ＝－4 [抛物线的焦点在y 轴上，开口方向向上，故准线方程为y ＝－p2，且2p ＝16，∴p2＝4，∴准线方程为y ＝－4．] 【合作探究】【例1】[解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为y 2＝－6x ．若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y ．综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y ． (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x ． ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y ．综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y ． [跟进训练]1．[解] 设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6， 即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1，或a ＝－9．当焦点为F (－1,0)时，p ＝2，抛物线的开口向左，其方程为y 2＝－4x ； 当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口向左，其方程为y 2＝－36x ．[探究问题]1．[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1．定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．[提示] 焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”． 3．[提示] 抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p 的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误． 【例2】[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12， 所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等． 由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． [母题探究]1．[解] 设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋y 20＝4 ①， 又由例题的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②， 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，3或⎝⎛⎭⎫32，－3． 2．[解] 如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |， 于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时， |MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，最小值为3＋12＝72．这时点M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)， 代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．类型三抛物线的实际应用【例3】(1)B[如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p2＝4542＝458＝5．625(cm)．](2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．即抛物线方程为x2＝－25y．∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6．由图知，AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，y B)，解得y B＝－425，点A的坐标为(2，－4)，∴|AB|＝y B－(－4)＝－425＋4＝3．84，∴最长支柱的长为3．84米．[跟进训练]2．[解]如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y ． 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54． 又知船面露出水面上的部分高为0．75 m ，所以h ＝|y A |＋0．75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．【学以致用】1．C [由抛物线y 2＝4x ，得F (1,0)，如图，|FM |＝4＋p 2＝4＋1＝5． ]2．C [抛物线的准线为x ＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p 2＝4，p ＝8，抛物线方程为y 2＝16x ．] 3．4 [因为椭圆x 26＋y 22＝1，所以a 2＝6，b 2＝2， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，故c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4．] 4．[解] 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10，即9＋p 2＝10，∴p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝－4x ．将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6．∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。
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抛物线与面积专题复习（学案）
【我的任务】
（1）熟练掌握抛物线中特殊点的坐标求法，体会数形结合、方程等数学思想。
（2）会求抛物线中常见图形的面积，体会转化、建模等数学思想。
（3）培养发散思维能力，力求做到一题多解，多题归一。
【自主探究】——求抛物线中常见图形的面积
1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
【反思归纳】
（1）一般取在 上的线段为底边。
（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需将图形 ，即用割或补的
方法把它转化为若干个易于求面积的图形。
（3）解决该问题用到了 等数学思想。
图五
图四 图六
图二
图一
CE AB S ABC
⋅=∆2
1
图三
【尝试应用】——知识整合
2、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.
（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；
（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,
若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐
标；若不存在，请说明理由.
变式二：在双曲线3
y x
=
上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
【反思归纳】——万变不离其宗
同底 高的三角形面积相等，平行线间的距离处处 ；该类问题最终可转化为方程组是否有解的问题.
【拓展提高】——中考真题改编
3、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于
点C.在抛物线上是否存在点N ，使得NBC ABC S S ∆∆=.
【走进考场】——锲而不舍，金石可镂
（2011，日照）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =
x
k
相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；（3分） （2）计算△ABC 的面积；（4分）
（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．
若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．（3
4：如图，已知在同一坐标系中，直线22
k
y kx =+-
与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。
C 是抛物线的顶点。
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。
①当k 取何值时，直线通过点B ；
②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。
5：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
（1）求m 的取值范围；
（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式；
（3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
6．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式；
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。
7.如图1，已知直线
1
2
y x
=-与抛物线2
1
6
4
y x
=-+交于A B
，两点．
（1）求A B
，两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B
，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B
，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
图2
图1。