一道2019年高考模拟试题的探究与推广

Ey0 + 2F = 0.
x2 y2
特别地: (1) 对于椭圆 C :
对应的极线方程为
x0x a2
+
y0y b2
a2 + = 1;
b2
= 1, 与点 P (x0, y0)
x2 y2 的极(线2)方对程于为双x曲a02x线−Cyb:02ya2=−1;b2 = 1 , 与点 P (x0, y0) 对应
(3) 对于抛物线 y2 = 2px 与点 P (x0, y0) 对应的极线方
分别交于 M, N 两点.
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若 △P AF 与 △P M F 的面积之比为 1 , 求 M 的坐
5 标;
(3) 设直线 l 与 x 轴交于点 R, 若 P, F, Q 三点共线, 求
证:∠M F R = ∠F N R.
试题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关
关键词 射影几何; 极点; 极线; 焦点弦; 类焦点弦
2019 年北京市东城区高考文科第二次模拟考试压轴题
题目如下:
试题
x2 y2 已知椭圆 C : a2 + b2 = 1 (a > b > 0) 的一个
1
焦点为 F (1, 0), 离心率为 , A 为椭圆 C 的左顶点,P, Q 为
2
椭圆 C 上异于 A 的两个动点, 直线 AP, AQ 与直线 l : x = 4
解析
(1)
x2 y2 + = 1; (2) 略.
43
x2 y2 (3) 如图 2, 椭圆 C : + = 1 的焦点为 F (1, 0), 准
43 线为 x = 4, 点 B 为椭圆长轴上的右顶点. 连接直线 QB, 则
与直线 l 交于点 M; 连接直线 P B, 则与直线 l 交于点 N, 即
△M F N 为自极三角形.
(2) 当点 P 为二次曲线外的点时, 过点 P 作二次曲线的 切线, 切点分别为 A, B . 则点 P 的极线为直线 AB.
(3) 当点 P 为二次曲线内的点时, 过点 P 引两条割线依 次交二次曲线于点 E, F, G, H, 连接 EH, F G 交于点 N , 连 接 EG, F H 交于点 M , 则 M N 为点 P 对应的极线.
为椭圆 C 上任意一点 (异于 P, Q), 直线 AP, AQ 分别交准线 a2
l : x = 于 M, N 两点, 则 c b4
(1) M, N 两点的纵坐标之积为定值 − c2 .
(2) M F ⊥N F .
证 明 如 图 3, 点
F (c, 0) 关 于 椭 圆 C :
x2 y2
a2 + b2 = 1 (a > b > 0)
在《高等几何》[2] 一书中有: 点 P (x0, y0) 关于二次曲线
C : Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 的极线方程为
(x0, y0, 1)
2A B
B 2C
D E
x y
= 0
D E 2F
1
即 (2Ax0 + By0 + D) x + (Bx0 + 2Cy0 + E) y + Dx0 +
32
中学数学研究
2019 年第 10 期 (上)
此时设 M (4, m), N (4, n), 则点 M (4, m) 关于椭圆 C
b4 (1) M, N 两点的纵坐标之积为定值 − c2 . (2) M F ⊥N F .
的 极 线 为 直 线 NF, 即 N F 方程为 x + m = 1.
3
又点 N (4, n) 在直线 N F
接 EH, F G 交于点 N , 连接
EG, F H 交 于 点 M , 则 M N
为点 P 对应的极线. 特别地,
图1
若 P 是二次曲线上的点, 则过点 P 的切线即为极线. 同理
直线 P N 为点 M 对应的极线, 直线 P M 为点 N 对应的极
线,M N P 称为自极三角形.
定理 1 [1] (1) 当点 P 为二次曲线上的点时, 点 P 的极线 即为二次曲线在 P 点处的切线.
2019 年第 10 期 (上)
中学数学研究
31
一道 2019 年高考模拟试题的探究与推广
北京首都师范大学数学科学学院 (100048) 田朋朋
摘要 以 2019 年北京东城区高考二模文科数学试题为
内容, 从射影几何的角度运用极点极线的知识对圆锥曲线中
焦点弦和类焦点弦的一个优美性质进行了证明与推广.
系、椭圆中的几何性质等知识. 考查数形结合、方程、转化与
化规、函数与方程的数学思想方法以及运算求解能力. 尤其
是第三问, 不仅可以通过将题干中的三点共线条件转化为斜
率相等进行求解, 还可以通过计算两向量数量积为零进行证
明. 但这两种方法计算量比较大, 需要学生具有较强的运算
能力. 其实本试题有着射影几何的命制背景, 我们可以从射
程为 y0y = p(x + x0).
事实上,
圆锥曲线方程中,
以
x0x
替换
x2,
以
x0 + 2
x
替
换 x, 即可得到 P (x0, y0) 对应的极线方程. 且可看出: 圆锥
曲线的焦点对应的极线为准线.
定理 2 [1] 如果 P 点的极线通过 Q 点, 则 Q 点的极线也 通过 P 点.
2 . 解法探究与推广
影几何的角度来认识本试题的结构, 认清其背后蕴含的丰富
的数学背景. 下面首先简单介绍一些射影几何中与二次曲线
相关的基本理论.
1. 射影几何中二次曲线的相关理论 定 义 [1]: 如 图 1, 点 P
为 不 在 二 次 曲 线 上 的 点, 过
点 P 引两条割线依次交二
次 曲 线 于 点 E, F, G, H , 连
曲线中的初等化表现. 当改变试题中点 A 的位置或者直线
P Q 的位置时, 其射影结构本质上不会发生改变, 继续运用极
2 y2 已知椭圆 C : + = 1 (a > b > 0) 的右焦
a2 b2
点为 F (c, 0), 过焦点 F 的直线交椭圆 C 于 P, Q 两点, 点 A
mn
上, 因此有 4+ = 1, 即
3
图2
mn = −9. 此时 F R = 3,
即有 M R · N R = F R2, 即
MR
=
FR , 又因 M R⊥x 轴, 所
FR NR
以有 △M F R △F N R, 因此 ∠M F R = ∠F N R, 证毕.
由此可见, 该试题为射影几何中的极点极线理论在圆锥