2020年高考理科数学一轮复习：概率与统计的综合应用
高考苏教版数学理大一轮复习课件专题七 概率与统计的综合应用
求离散型随机变量的概率分布，必 须正确地求出相应的事件的个数， 即正确求出相应的排列、组合数， 掌握好排列、组合知识是学好概率 分布的基础与前提．
题型分类·深度剖析
变式训练1
厂家在产品出厂前需对产品做检验，厂家将一批产
品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做 检验，以决定是否接受这批产品．若厂家发给商家20件产品，其 中有3件不合格品，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只 有2件都合格时才接受这批产品，否则拒收．分别求出该商家检 验出不合格产品数分别为1件和2件的概率，并求该商家拒收这批 产品的概率．
题型分类·深度剖析
题型一 随机变量及其概率分布
探 究 提 高 解 析 【例1】 (2011· 四川)本着健康、低碳 的生活理念，租自行车骑游的人越来越 多，某自行车租车点的收费标准是每车 解 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率 每次租车时间不超过两小时免费，超过 1 1 两小时的部分每小时收费 2元(不足1小 分别为 ， ，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则P(A)＝ 4 4 时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人 1相互独立来该租车点租车骑游 1 1 1 1 1 5 (各租一 × ＋ × ＋ × ＝ . ．设甲、乙不超过两小时还车 4车一次 2 )2 4 4 4 16 5 1 1 ∴ 甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 的概率分别为 ， ；两小时以上且不超 16 4 2 1 1 (2) ξ可能取的值有0,2,4,6,8. 过三小时还车的概率分别为 ， ；两人 2 4 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 租车时间都不会超过四小时． P(ξ＝0)＝ × ＝ ；P(ξ＝2)＝ × ＋ × ＝ ；P(ξ＝4)＝ × ＋ 4 2 8 4 4 2 2 16 2 4 4 (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同 1 1 (2) 1 设甲、乙两人所付的租车 5 1 1 1 1 3 1 1 1 的概率； × ＋ × ＝ ；P(ξ＝6)＝ × ＋ × ＝ ；P(ξ＝8)＝ × ＝ . 2 4 4 16 2 4 4 4 16 4 4 16 费用之和为随机变量 ξ，求ξ的概率分布 及数学期望E(ξ)．
2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合课件理
(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？
(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种？
2.排列与排列数
(1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺
序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用
n！ (n－m)！
n！
1
3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
答案：12
(2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四 位数.(用数字作答)
答案：1260
【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既 不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.
【互动探究】
4.现安排 4 名老师到 3 所不同的学校支教，每所学校至少 安排一名老师，其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排
方法有( C ) A.42 种
B.36 种
C.30 种
D.25 种
5.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大 学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现 有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教，有___9_0___种不同的分派方法.
2020届高考数学一轮总复习第十单元计数原理、概率与统计第80讲概率与统计的综合问题课件理新人教A版
【例 1】(经典真题)经销商经销某种农产品，在一个销售 季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购 进了 130 t 该农产品，以 X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内 的市场需求量，T(单位：元)表示下一 个销售季度内销售该农产品的利润．
点评：(1)高考概率统计试题，既注意概率、统计知 识之间的纵向联系，还注意知识之间的横向联系，重视 运用数学知识分析问题、解决实际问题的能力的考查．
(2)在进行概率与统计知识复习时，不仅要注意概率 与统计的综合，还要注意与其他知识之间的综合．
【例 2】(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器，该 种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机 器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机 器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决 策在购买机器时应同时购买几个 易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内 更换的易损零件数，得右面柱状 图：
若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使
水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解：(1)依题意P1＝P(40<X<80)＝1500＝15， P2＝P(80≤X≤120)＝3550＝170， P3＝P(X>120)＝550＝110. 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过 120的概率为： P＝C04(1－P3)4＋C14(1－P3)3P3＝(190)4＋4×(190)3×110 ＝190407070＝0.9477.
(1)求在未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机
高三数学概率与统计的应用与解题技巧梳理
高三数学概率与统计的应用与解题技巧梳理概率与统计是数学中的重要分支，也是高中数学中的一门重要课程。
在高三阶段，概率与统计的应用与解题技巧成为了考试重点。
本文将围绕这一主题，对高三数学概率与统计的应用与解题技巧进行梳理。
一、概率的应用概率的应用是指在实际问题中运用概率理论进行计算和分析。
其中，常见的应用包括事件的概率计算、条件概率、独立事件、贝叶斯定理等。
以下将逐一介绍。
1. 事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
计算事件的概率通常采用频率版概率或古典概率。
频率版概率是通过对事件进行多次实验，统计事件发生的频率来计算概率。
而古典概率是指事件的每种可能性发生的概率相等。
在解题时，根据题目给出的条件，运用频率版概率或古典概率来计算事件的概率。
2. 条件概率条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
计算条件概率可以运用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
在解题时，根据题目给出的条件，结合条件概率公式计算所需的条件概率。
3. 独立事件独立事件是指两个或多个事件之间相互独立，一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
对于独立事件，可以使用乘法原理进行计算。
乘法原理是指在独立事件中，多个事件同时发生的概率等于各事件发生概率的乘积。
在解题时，判断事件是否独立，并根据乘法原理计算所需的概率。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种计算条件概率的方法，它基于已知的先验概率和相应的条件概率，求解出新的后验概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A发生的先验概率；P(B)表示事件B发生的先验概率。
2020版高考数学一轮复习 高考大题增分课6 概率与统计中的高考热点问题课件 理 北师大版
(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测 值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
第四页，共53页。
[解] (1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y ＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
由题意可知 X 的所有可能取值为 16,17,18,19,20,21,22. 从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4 分 ···········································································
把握认为产量的提高与使用新技术有关；
对照组
实验组
合计
产量高
产量一般
合计
第十一页，共53页。
(3)从“产量高”的数据中随意抽取 3 株做进一步科学研究中，计算恰好有
2 株来自实验组的概率．
附：χ2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a＋b＋c＋ d．
P(χ2≥k)
0.050
0.010
第十八页，共53页。
[信息提取] 看到①这种条件，想到解题时可能要分类求解； 看到②想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义； 看到③想到 X 的所有可能取值； 看到④想到 X 和 n 的含义，想到(1)中的分布列．
高考数学一轮总复习课件：概率与统计的综合问题
【解析】 (1)根据表中数据，描点如图：
(2)由已知数据得
－t
＝
1＋2＋3＋4＋5＋6 6
＝3.5，
－y
＝
3＋5＋8＋611＋13＋14＝9，
用情况，得到统计表如下：
居民用气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量 (立方米)
95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数 关系式；
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超
(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348
立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过
348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝
C73 C103
＝274，P(ξ＝1)＝CC721C0331＝2410，
P(ξ＝2)＝CC711C0332＝470，P(ξ＝3)＝CC13033＝1120，
例3 (2021·哈尔滨三中模拟)为了解某校学生参加社区服务
的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有
学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样 本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：
超过1小时 男 女
不超过1小时
20
8
12
m
(1)求m，n；
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间
专题研究 概率与统计的综合问题
高考数学一轮复习概率与统计的综合问题
(2)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2，
P(X＝0)＝12×32×21＝16，P(X＝2)＝21×32×12＋12×13×13＝29，P(X＝1) ＝1－61－92＝1118，
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
1 11 2 6 18 9
所以 E(X)＝0×16＋1×1118＋2×29＝1198.
[方法技巧] 高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何 分布、二项分布、频率分布直方图等交汇在一起进行考查，因此在解答 此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事 件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．
[针对训练] (2023·聊城模拟)某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健 康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
x2i －6 x 2
i＝1
3.92－(－0.26)×3.5＝4.83.
所以^z＝ln ^y＝－0.26x＋4.83，即 y 关于 x 的经验回归方程为 y＝e－ 0.26x＋4.83.
令 e－0.26x＋4.83<10＝eln 10≈e2.3，所以－0.26x＋4.83<2.3，解得 x>9.73. 由于 x∈N ，所以 x≥10，所以从第十个月开始，该年级体重超重的 人数降至 10 人以下．
[针对训练] 已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场 分析，X1和X2的分布列如下：
X1
5%
10%
P
0.6
0.4
X2
2% 8% 12%
P
0.1
0.5
0.4
(1)在 A，B 两个项目上各投资 200 万元，Y1 和 Y2(单位：万元)分别 为投资项目 A 和 B 所获得的利润，求 D(Y1)和 D(Y2)；
2020高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2020高考试题汇编 第十三章 概率与统计 Word版含解析.doc
第十三章 概率与统计第一节 概率及其计算题型140 古典概型1.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.1.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则48510C 5().C 18P M ==题型141 几何概型2.（2017江苏07）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．2.解析 由题意260x x +-…，故[]2,3D =-，所以()()325549P --==--．故填59．3.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A.14 B. π8 C. 12 D. π4AB D3.. 解析 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248=.故选B.第二节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率4.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.4.解析 （2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差5．（2107浙江8）已知随机变量i ξ满足()1i i P p ξ==，()01i i P p ξ==-，12i =，.若12102p p <<<，则（ ）.A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ<B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>5. 解析 依题意，列分布列1ξ1 0p1p11p -2ξ1 0p2p 21p -所以()11E p ξ=，()()1111D p p ξ=-；()22E p ξ=，()()2221D p p ξ=-． 因为12102p p <<<，所以()()12E E ξξ<，()()()()21211210D D p p p p ξξ-=--+>⎡⎤⎣⎦.故选A ．6.（2017山东理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.（2）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望()E X . 6.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则48510C 5().C 18P M ==（2）由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则56510C 1(0)C 42P X ===，4164510C C 5(1)C 21P X ===，3264510C C 10(2)C 21P X ===，2364510C C 5(3)C 21P X ===，1464510C C 1(4)C 42P X ===，因此X 的分布列为X 的数学期望()0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==5105101234221212142+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7..（2107山东理8）分别从标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）. A.518 B.49 C.59D.79 7. 解析 由于是不放回的抽取，两张卡片的数的奇偶性不同共有11542C C 种基本情况，总的基本事件共有98=72⨯种，则所求事件的概率为12542C C 5989=⨯ .故选C. 8.（2107天津理16）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 8.解析 （1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.9.（2017全国2卷理科13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X = ． 9．解析 有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =， 则()()11000.020.98 1.96D X np p =-=⨯⨯=.10.（2107全国3卷理科18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 10．解析 （1）易知需求量x 可取200,300,500， ()21612003035P X +===⨯；()3623003035P X ===⨯；()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为：【解析】X【解析】200【解析】300【解析】500【解析】P【解析】15【解析】25【解析】25（2）①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到. ②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=， 此时max 520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -= 此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况. 综上所述当300n =时，Y 取到最大值为520.11.（2017北京理17）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）11.解析 （1）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （2）由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.2224C 1(0)C 6P ξ===，112224C C 2(1)C 3P ξ===，2224C 1(2)C 6P ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 12.（2017江苏23）已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球()*,2,m n n ∈N …，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n ⋅⋅⋅+的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉()1,2,3,,k m n =⋅⋅⋅+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()()1nE X m n n <+-．12.解析 （1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量 X 的概率分布为：随机变量X 的期望为：111C ()C n m nk n k n m nE X k -+-=+=⋅∑()()()1!11C 1!!m nnk n m n k k n k n +=+-=⋅--∑． 所以()()()()2!1C 1!!m nn k n m n k E X n k n +=+-<--∑()()()2!1=(1)C 2!!m nn k n m n k n n k n +=+-=---∑ ()()222121 1C C C =1C n n n n n m n n m nn ----+-+++++-()()12221121C C C C =1C n n n n n n n m n nm nn ------+-++++⋅⋅⋅+- ()()12221C C C ==1C n n n n n m n nm nn ---+-+++⋅⋅⋅+-()()12221C C =1C n n m n m n nm nn --+-+-++- ()()()11C 1C 1n m n nm n n n m n n -+-+=-+-， 即()()()1nE X m n n <+-．题型144 正态分布——暂无13.（2107全国1卷理科19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数，求()1P X …及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.9610.01 9.929.9810.04 10.269.9110.13 10.02 9.2210.04 10.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ===，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1216i =⋯，，，．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.09≈．13. 解析 （1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974，落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X==-≈，()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…，由题可知()~160.0026X B ，，所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+，之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=，39.9730.21210.606μσ+=+⨯=，()()339.33410.606μσμσ-+=，，，因为()9.229.33410.606∉，，所以需对当天的生产过程检查．因此剔除9.22，剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈.所以0.09σ=≈.第三节 统计与统计案例题型145 抽样方式——暂无14.（2017江苏3）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件． 14.解析 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件)．故填18． 题型146 样本分析——用样本估计总体15.（2017北京理14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，123i =，，.①记1Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_________. ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123p p p ，，中最大的是_________.)15. 解析 联结11A B ，22A B ，33A B 比较三者中点终坐标的大小，所以第一问选1Q ，分别作1B ，2B ，3B 关于原点的对称点1B '，2B '，3B '，比较直线11A B '，22A B '，33A B '斜率大小，可得22A B '最大.故填2p16.（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）. A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳16．解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误.故选A.17.（全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ， 新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .17．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ，“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=，()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=，()()()0.4092P A P B P C ==. （2）箱产量50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法 62 38 新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()2 6.6350.001P K ≈≥，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.10.0040.0200.0440.032-++=，80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35.题型147 线性回归方程18.（2107山东理5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）.A. 160B. 163C. 166D.170 18. 解析 22.5x =，160y =，所以160422.570a =-⨯=，从而24x =时，42470166y =⨯+=.故选C.题型148 独立性检验——暂无19.（全国2卷理科18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ， 新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .19．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ，“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=，()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=，()()()0.4092P A P B P C ==. （2）箱产量50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法6238新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()2 6.6350.001P K ≈≥，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.10.0040.0200.0440.032-++=，80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35.。
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参数数据： P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
k0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841
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(2)为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办读书交流会，从这 200 人中筛选出 5 名男代表和 4 名女代表，其中有 3 名男代表和 2 名女 代表喜欢古典文学．现从这 9 名代表中任选 3 名男代表和 2 名女代表参 加交流会，记 ξ 为参加交流会的 5 人中喜欢古典文学的人数，求 ξ 的分 布列及数学期望 E(ξ)．
解：(1)根据所给条件，制作列联表如下： 男女
总计
喜欢阅读古典文学
64 36 100
不喜欢阅读古典文学
56 44 100
总计
120 80 200
所以 K2 的观测值 k＝20100×0×641×004×4－12506××83062＝43，
因为 K2 的观测值 k＝43＞1.323，
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应用二 概率与统计案例的综合 [例 2] (2018·山东淄博一模)为了响应“文化强国建设”号召，某 市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需 求，随机抽取市民 200 人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的 有 64 人，不喜欢的有 56 人；女士喜欢阅读古典文学的有 36 人，不喜 欢的有 44 人． (1)能否在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认为喜欢阅读古典文 学与性别有关系？
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，其中 μ 近似为样本平均数 x ，σ2 近似为样本方差 s2.
①利用该正态分布，求 P(187.8＜Z＜212.2)； ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品 中 质 量 指 标 值 位 于 区 间 (187.8,212.2) 的 产 品 件 数 ． 利 用 ① 的 结 果 ， 求 E(X)．
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学科素养专题十 概率与统计的综合应用
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应用一 概率与频率分布的综合应用 [例 1] 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的 一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
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(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一 组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
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附： 150≈12.2. 若 Z～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ ＋2σ)＝0.954 4.
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解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为 x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋ 220×0.08＋230×0.02＝200， s2 ＝ ( － 30)2×0.02 ＋ ( － 20)2×0.09 ＋ ( － 10)2×0.22 ＋ 0×0.33 ＋ 102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)， 从而 P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.682 6. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6， 依题意知 X～B(100,0.682 6)，所以 E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
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P(ξ＝4)＝P(m＝2，n＝2)＋P(m＝3，n＝1)＝CC23C53 21·CC2224＋CC3335·CC12C42 12＝16， P(ξ＝5)＝P(m＝3，n＝2)＝CC5333·CC2224＝610， 所以 ξ 的分布列是
ξ
1
2
3
4
5
P
1 20
3 10
7 15
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2．本题以产品质量的指标数据为背景，设计概率与统计、正态分 布的综合应用．体现了数学建模(用频率估计概率、正态分布)、数学运 算(求平均数、方差、求概率)、数据分析、逻辑推理(以直方图中求平均 数方差，由正态分布求概率及期望)的学科素养；培养了统计意识，经 历“收集数据—整理数据—分析数据—作出推断”的全过程．
所以由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认 为喜欢阅读古典文学与性别有关．
(2)设参加交流会的 5 人中喜欢古典文学的男代表有 m 人，女代表 有 n 人，则 ξ＝m＋n，根据已知条件可得 ξ 的所有可能取值为 1,2,3,4,5，
P(ξ＝1)＝P(m＝1，n＝0)＝CC13C53 22·CC2224＝210， P(ξ＝2)＝P(m＝1，n＝1)＋P(m＝2，n＝0)＝CC13C53 22·CC12C24 12＋CC12C53 32·CC2224＝ 130， P(ξ＝3)＝P(m＝1，n＝2)＋P(m＝2，n＝1)＋P(m＝3，n＝0) ＝CC13C53 22·CC2224＋CC23C35 12·CC12C42 12＋CC3335·CC4222＝175，
1 6
1 60
所以 Eξ＝1×210＋2×130＋3×175＋4×16＋5×610＝154.
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1．概率与独立性检验相交汇的关键：一是会观察频率分布直方图， 求出相应区间的频率，利用样本估计总体的思想，即可估计总体的概率； 二是会使用 K2 统计量作 2×2 列联表的独立性检验，先假设两个分类变 量 X 与 Y 无关系；再找相关数据，列出 2×2 列联表；由公式 K2＝ a＋bcn＋add－ab＋cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2b＋d，(其中 n＝a＋b＋c＋d)计算出 K2 的观测值； 将 K2 的观测值与临界值进行对比，进而作出统计推断．
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1．教材必修三(人教版第 79 页)“阅读与思考”对生产过程中的质 量控制图的论述：在现实生活中，有一些总体(如某地区同龄儿童的身 高、体重等)的分布的密度曲线是由它的平均值 μ 与标准差 σ 完全确定 的(图 1～图 3)，我们把这种分布记作 N(μ，σ2)，称为平均数为 μ，方差 为 σ2 的正态分布．