平面向量的实际背景及基本概念
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向量与向量的线性运算
分析：∵点P在AB上，可知AP与AB共线，得AP = tAB.再用以O为起点的向量表示. 证明：∵P在AB上，∴AP与AB共线. ∴AP=tAB.∴OP－OA=t（OB－OA）. ∴OP=OA+tOB－tOA=（1－t）OA+t OB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+ μOB,且λ+μ=1，λ、μ∈R.
02
（4）平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量.任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.
03
（5）相等向量
长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a=b.
变式探究
1.设a0为单位向量①若a为平面内的某个向量，则|a|·a0;②若a与a0平行，则a=|a|·a0；③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0.上述命题中，假命题个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D. 3
变式探究
2.（2009年福州模拟)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC=0，那么 ( ) Ａ．AO=OD Ｂ．AO=2OD Ｃ．AO=3OD Ｄ． 2AO=OD
解析：
A
对共线向量、平面向量的基本定理的考查
设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ、μ∈R.试问：其逆命题成立吗？试证之.
知识体系构建
备考方略
向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.
01
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考查向量的坐标表示，及坐标形式下的向量的线性运算；第三，和函数、曲线、数列等知识结合，考查综合运用知识能力．
02
（4）平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量.任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.
03
（5）相等向量
长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a=b.
变式探究
1.设a0为单位向量①若a为平面内的某个向量，则|a|·a0;②若a与a0平行，则a=|a|·a0；③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0.上述命题中，假命题个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D. 3
变式探究
2.（2009年福州模拟)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC=0，那么 ( ) Ａ．AO=OD Ｂ．AO=2OD Ｃ．AO=3OD Ｄ． 2AO=OD
解析：
A
对共线向量、平面向量的基本定理的考查
设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ、μ∈R.试问：其逆命题成立吗？试证之.
知识体系构建
备考方略
向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.
01
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考查向量的坐标表示，及坐标形式下的向量的线性运算；第三，和函数、曲线、数列等知识结合，考查综合运用知识能力．
平面向量的实际背景及基本概念
用有向线段的起点与终点字母表示；AB 、CD ……
（二）向量AB的大小(长度)称为向量的模，记作| AB |.
（三）两个特殊向量：零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意
的。零向量的模是零，记作 0 0
②长度为1个单位的向量，叫单位向量，记作e。
例 1 如图，试根据图中比例尺以及三地的位置, 在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么 这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.一个单位圆
4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必
定
.
5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c 与a共线,则c与b必定 .
6.在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形 ABCD是 .
么向量？（平行向量） 6．两个非零向量相等的充分必要条件是什么？
（长度相等且方向相同） 7．共线向量一定在同一直线上吗？（ 不一定 ）
2、下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
若向量a与b同向 且 a＞ b 则a＞b不正确
若向量a与b的模相等则a与b的长度相等且方向
相同或相反 不正确
对于任何两个向量 若模相等且方向相同，则两
向量相等
正确
由于零向量方向不确定，故0不与任何向量平行
不正确
向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点
一定在同一直线上 不正确
续上页：
• 若a、b都是单位向量，则a=b 不正确 • 起点不同，但方向相同且模相等的几个
向量是相等向量 正确 • 向量AB与向量BA的长度相等 正确 • 若AB= CD，则四边形ABCD是平行四边
（二）向量AB的大小(长度)称为向量的模，记作| AB |.
（三）两个特殊向量：零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。0的方向是任意
的。零向量的模是零，记作 0 0
②长度为1个单位的向量，叫单位向量，记作e。
例 1 如图，试根据图中比例尺以及三地的位置, 在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么 这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.
B.
C.
D.一个单位圆
4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必
定
.
5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c 与a共线,则c与b必定 .
6.在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形 ABCD是 .
么向量？（平行向量） 6．两个非零向量相等的充分必要条件是什么？
（长度相等且方向相同） 7．共线向量一定在同一直线上吗？（ 不一定 ）
2、下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
若向量a与b同向 且 a＞ b 则a＞b不正确
若向量a与b的模相等则a与b的长度相等且方向
相同或相反 不正确
对于任何两个向量 若模相等且方向相同，则两
向量相等
正确
由于零向量方向不确定，故0不与任何向量平行
不正确
向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点
一定在同一直线上 不正确
续上页：
• 若a、b都是单位向量，则a=b 不正确 • 起点不同，但方向相同且模相等的几个
向量是相等向量 正确 • 向量AB与向量BA的长度相等 正确 • 若AB= CD，则四边形ABCD是平行四边
2.1平面向量的实际背景及基本概念
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中： E D (1)试找出与FE共线的向量；
F
O C
热 热 身
解： （1） OA BC， （2） FE BC
若不相等，则之间有什么关系？
A
B
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____ 0
BACK
练习：
1.与非零向量 a （非单位向量）平行的 2 向量中，不相等的单位向量有_____ 个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出
三维目标 1.通过实例，利用平面向量的物理背景以及研 究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以 及确定平面向量的两个要素，分清数量与向量 的区别。 2.理解自由向量、平行向量、相等向量、相反 向量等概念，并能判断它们之间的关系，并会 辨认图形中的相等向量或作出与某一向量相等 的向量。 3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个 要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移 这一特性。培养学生数形结合的思想。
教学反思：
位移和距离 这两个量
香港
上海 台北
想一想：
观察下述三个量，哪个与另两个有区别？
m=5kg
(1)
F=20N
(2)
v =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
授课教师：高 波
一、向量的定义
平面向量的实际背景与基本概念
在相等向量旳定义下，任意两个相等旳非 零向量，都可用同一条有向线段表达，而 且与有向线段旳起点无关，在平面上，两 个长度相等且指向一致旳有向线段表达同 一种向量，因为向量完全由它旳方向和模 拟定
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有 向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平 面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示 同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定.
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
平面向量的实际背景及基本概念
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模 等于该实数乘以原向量模，其方向与原向量方向相同或相 反（当实数为负时）。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性：对于任意实数λ和向量 a，有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义：向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|，其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用， 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量，可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成，可以更好地分析物体的运动状 态，例如，在曲线运动中，可以将速度分解为多个分 量，然后分别对每个分量进行分析，以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外，在航天工程中， 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果，其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小，可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度，可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时，它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时，它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数， 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数，可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。