2007年第二届“南方杯”数学邀请赛十年级(高一)第2试
2007年全国高中数学联赛一、二试试题及答案
2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P-ABCD 中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C 的平面角的余弦值为（）A.71 B.71 C.21 D.212. 设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（）A. ]31,31[B. ]21,21[C. ]31,41[D. [-3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于（）A.8152 B.8159 C.8160 D.81614. 设函数f(x)=3sin x+2cosx+1。
若实数a 、b 、c 使得af(x)+bf (x-c)=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（）A.21 B.21 C. -1D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n+2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（）A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P ，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF =1，BC=6，33CA ，若2AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。
2007学年度第一学期期末考试高一数学试题
12007学年度第一学期期末考试高一数学试题高级中学 胡志英考试时间：120分钟 满分：150分一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{},)0A x y x y =-=（，{},)0B x y x y =+=（，则A B =( ) （湖南版） A {}0B {}0,0C {}(0,0) D∅2.下列函数中与函数y x =相同的是（ ） (人教A 版)A 2y = B y =y =3.过点的直线的倾斜角为（ ）（人教B A 00 B 030 C 060 D 0904.在空间中，下列命题正确的是（ ） (人教B 版) （1） 平行于同一条直线的两条直线平行；（2 （3）平行于同一平面的两条直线平行；（4）平行于同一平面的两个平面平行； A 1 B 2 C 3 D 45.设()ln 26f x x x =+-，则下列区间中使()0f x =有实数解的区间是（ ）(人教A 版) A [1,2] B [2,3] C [3,4] D [4,5]6.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上是（ ）（湖南版）A 增函数且最大值为5-B 增函数且最小值为5-C 减函数且最大值为5-D 减函数且最小值为5- 7.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为42m , 互相平行的两个侧面的距离为2m ，则这个六棱柱 的体积为（ ）（北师大版）A 33m B 36m C 312m D 以上都不对 8.已知01x y a <<<<，则有（ ） （湖南版）A ()log 0xy a< B ()0log 1xy a << C ()1log 2xy a << D ()log 2xy a > 9.如图，在正方形1111ABCD A BC D -中，1AA a =，,E F 分别是,BC DC 的中点，则异面直线1AD 与EF 所成角为（ ）（江苏版）A 030B 045C 060D 09010.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+，则当0x ≤时，函数()f x 的解析式为（ ）(人教A 版)1BBA OA ()(1)f x x x =-B ()(1)f x x x =-+C ()(1)f x x x =-D ()(1)f xx x =--第二部分 非选择题（共100分）二填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）11.在空间直角坐标系中，点(1,3,0),(2,0,4)A B -的距离是___________.（人教B 版）12.函数()f x =___________.（人教B 版）13.已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -=___________.（江苏版）14.已知圆224x y +=和圆224440xy x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为___________. (人教A 版)三解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1(3)(3)()3f f f +-的值。
对一道2007年全国初中数学联赛题的新想法
巧思妙解对一道2007年全国初中数学联赛题的新想法罗增儒(陕西师范大学数学系,710062) 收稿日期:2007-08-27 本刊2007年第8期刊登的《2007年全国初中数学联赛》第二试A 卷最后一题是:例1 已知a 是正整数.如果关于x 的方程x 3+(a +17)x 2+(38-a )x -56=0的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.[1]正如参考答案所说的:“观察易知,方程有一个整数根x 1=1”,问题便转化为:例2 已知a 是正整数.如果关于x 的方程x 2+(a +18x +56=0①的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.笔者认为,文[1]对例2的处理虽有一般性,但过于保守,去掉“已知a 是正整数”的条件,也能“求a 的值及方程的整数根”;对例2还可用“有整数根”代替“根都是整数”.1 新想法的由来笔者感到,文[1]对例2讨论判别式为完全平方数、并引进k 2不是必要的.众所周知,对二次方程ax 2+bx +c =0配方时,可用这样的方式来突出判别式的地位,即先乘以4a 再配方,依次有4a 2x 2+4abx +4ac =0,(2ax )2+2(2ax )b +b 2-b 2+4ac =0,(2ax +b )2=b 2-4ac .可见,判别式来源于配方法,判别式本身就是一个完全平方式(2ax +b )2.由方程①有(2x +a +18)2=(a +18)2-224.文[1]所引进的k 2,就是(2x +a +18)2,文[1]中的分解式(a +18+k )(a +18-k )=224,只要用2x +a +18代替k ,即有[2(x +a +18)](-2x )=224Ζx (x +a +18)=-56.这就是方程①移项变形,引进的k 2是一个可精简的步骤.接下来的整数分解与讨论,当然是分解56比分解224更方便.新想法来源于对文[1]实质步骤的分析,也可以说,是用配方法处理二次方程整数根的问题.2 新想法的书写解法1:观察易知,方程有一个整数根x 1=1,问题便转化为:二次方程x 2+(a +18)x +56=0的根都是整数.求正整数a 的值及方程的整数根.把方程变为x (x +a +18)=-56<0.②可见,x 与x +a +18异号.又当a 为正整数时,有(x +a +18)-x =a +18≥19.故在-56的分解式中,x 取负值,x +a +18取正值,且两因数之差(大数减小数)不小于19.由56=1×56=2×28=4×14=7×8知,只有两种情况:(1)x =-1,x +a +18=56或x =-56,x +a +18=1,均有a =39,方程的整数根为21中等数学x2=-1,x3=-56;(2)x=-2,x+a+18=28或x=-28,x+a+18=2,均有a=12,方程的整数根为x2=-2,x3=-28.所以,当a=39时,方程的整数根为x1=1,x2=-1,x3=-56;当a=12时,方程的整数根为x1=1,x2=-2,x3=-28.说明1:可把式②变为a=-x-18-56x,然后,让x取56的约数来求解.说明2:由式②及韦达定理知,当x为方程的一个根时,-(x+a+18)必为方程的另一个根,因而,解法1又可以改写为韦达定理的形式.解法2:只解方程①.记方程的两个整数根为x1、x2,不妨设x1>x2.由二次方程根与系数的关系有x1+x2=-(a+18)≤-19,③x1x2=56>0.④由式④知两根同号,再由式③知两根同为负整数,且其和不超过-19.由56的分解式56=(-1)(-56)=(-2)(-28)=(-4)(-14)=(-7)(-8),知两数和不超过-19的只有两种情况:(1)x1=-1,x2=-56,a=-18-(x1+x2)=39;(2)x1=-2,x2=-28,a=-18-(x1+x2)=12.说明:由求解过程可见,式③中x1、x2为整数决定了a=-18-(x1+x2)必为整数.因而,条件“a为正整数”的作用主要是简化初中阶段的运算,降低试题的难度,否则,同样的方法可以求解下题:例3 如果关于x的方程x2+(a+18)x+56=0有两个整数根,求a的值及方程的整数根.这时,应有8个取值:39,12,0,-3,-75,-48,-36,-33.限于正整数,a就只有两个取值了.3 新想法的应用在式②,即x(x+a+18)=-56中,用x -3代替x有(x-3)(x+a+15)=-56.⑤展开得x2+(a+12)x+11-3a=0.这正是第二试C卷的最后一题.下面用这道题来说明新想法的更一般性应用.例4 设a是正整数.如果二次函数y=2x2+(2a+23)x+10-7a和反比例函数y=11-3ax的图像有公共整点(横、纵坐标都是整数的点),求a的值和对应的公共整点.解法1:两方程联立消去y得2x2+(2a+23)x+10-7a=11-3ax,即 2x3+(2a+23)x2+(10-7a)x+3a-11=0.分解因式得(2x-1)[x2+(a+12)x+11-3a]=0.由于已知两函数图像有公共整点,而2x-1=0的解不是整数,故二次方程x2+(a+12)x+11-3a=0⑥必有整数根.对方程的整数根x配方有x+a+1222-a2+36a+1004=0,即 x+a+1222-a+1822+56=0.整理得(x-3)(x+a+15)=-56<0.这正是如所预料的式⑤.由x-3为整数知,x+a+15也是整数,且是两个异号的整数.又当a为正整数时,有(x+a+15)-(x-3)=a+18≥19.故在-56的分解式中,x-3取负值, x+a+15取正值,且两因数之差(大数减小数)不小于19.由312007年第11期56=1×56=2×28=4×14=7×8知,只有两种情况:(1)x-3=-1,x+a+15=56或x-3=-56,x+a+15=1,均得a=39,方程⑥的解为x1=2,x2=-53.代入y=11-3ax,得两函数图像的公共整点为(2,-53),(-53,2);(2)x-3=-2,x+a+15=28或x-3=-28,x+a+15=2,均得a=12,方程⑥的解为x1=1,x2=-25,代入y=11-3ax,得两函数图像的公共整点为(1,-25),(-25,1).解法2:同解法1得二次方程⑥.将a表示为关于x的函数a=-x2+12x+11x-3=-(x-3)2+18(x-3)+56x-3=-(x-3)(x+15)+56x-3=-(x+15)-56x-3.⑦当a、x∈Z时,x-3必为56的约数.又由a≥1,得-(x+15)-56x-3≥1,即 (x-3)+56x-3≤-19.这表明x-3与56x-3都是56的负约数,且56的两个约数之和不超过-19,即56=(-4)(-14)=(-7)(-8)均不成立,只有两种情况.以下同解法1.事实上,式⑦就是式⑤的变形,两者形异而质同.解法3:同解法1得二次方程⑥.设方程的两个根为x1、x2,其中至少有一个为整数.由根与系数的关系有x1+x2=-a-12,⑧x1x2=11-3a.⑨⑨-3×⑧得x1x2-3x1-3x2=47,即(x1-3)(x2-3)=56.⑩可见,x1-3、x2-3中有一个为整数时,另一个必为整数,从而,两者为同号的整数.又由式⑧有(x1-3)+(x2-3)=-a-18≤-19,得x1-3、x2-3均为负整数,且其和不超过-19,即56=(-4)(-14)=(-7)(-8)均不成立,只有两种情况:(1)x1-3=-1,x2-3=-56]x1=2,x2=-53,代入式⑧或⑨,得a=39,再代入y=11-3ax,得两函数图像的公共整点为(2,-53),(-53,2);(2)x1-3=-2,x2-3=-28]x1=1,x2=-25,代入式⑧或⑨,得a=12,再代入y=11-3ax,得两函数图像的公共整点为(1,-25),(-25,1).解法4:同解法1得二次方程⑥.设方程的两个根为x1、x2,其中至少有一个为整数.则有恒等式x2+(a+12)x+11-3a=(x-x1)(x-x2).令x=3,得式⑩.以下同解法3.解法5:同解法1得二次方程⑥.作变换x=t+3,则方程⑥变为t2+(a+18)t+56=0.用例1(或例2)的解法即可得:(1)a=39,t1=-1,t2=-56,从而,a= 39,x1=2,x2=-53,得两函数图像的公共整点为(2,-53),(-53,2);(2)a=12,t1=-2,t2=-28,从而,a= 12,x1=1,x2=-25,得两函数图像的公共整点为(1,-25),(-25,1).参考文献:[1] 2007年全国初中数学联赛[J].中等数学,2007(8).41中等数学。
2007年全国高中联赛二试
2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。
过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。
O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。
求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++511 1iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。
求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。
同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。
综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。
因为AF·AB=AP·AD=AE·AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
2007年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第二试)
2007年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第二试（4月22日上午10：00——12：00）
一、（本题满分20分）
设函数()cos223sin cos f x x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T 。
⑴求M 、T 的值，并写出函数()f x 的单调递增区间； ⑵若10个互不相等的正数i x 满足()i f x M =，且10i x π<()1,2,,10i =，求
1210x x x +++的值。
二、（本题满分20分）
如图，在ABC 中，AB AC >，
过点A 作ABC 外接圆的切线，交BC 延长线于,D E 为AD 的中点，连结BE 交ABC 外接圆于F 。
求证：FAC FDA ∠=∠。
三、（本题满分20分）
已知1,,,12a b c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求证：⑴52b a a b +≤ ⑵222225ab bc a b c +≥++ 四、（本题满分30分）
如图，在一张画有直角坐标系的纸片上，()0,A a 是y 轴正半轴上一定点。
折叠纸片，使点A 正好与x 轴上某一点'A 重合。
这样的每一种折法，在纸片上都留下一条直线折痕。
当'A 遍及x 轴上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合，并在图中用斜线（阴影）标出这个集合。
五、（本题满分30分）
设集合(){},,,,X a b c a b c Z =∈，f 是从X 到X 的映射，且满足()(),,,,f a b c a b c ab bc ca abc =++++。
试求所有的三元数组(),,a b c 使得()()(),,,,f f a b c a b c =。
2007年全国高中数学联赛加试题另解
2007年全国高中数学联赛加试题另解
黎永汉; 李涛; 高翔; 杨思路; 刘才华; 余水能; 张鹄; 宋程; 龚斯靓; 沈毅; 安传恺; 胡圣团
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2008(000)002
【摘要】第一题在锐角△ABC中，AB〈AC，AD是边BC上的高，P是线段AD 内一点，过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F，O1、O2分别是
△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC 的垂心．
【总页数】8页(P12-19)
【作者】黎永汉; 李涛; 高翔; 杨思路; 刘才华; 余水能; 张鹄; 宋程; 龚斯靓; 沈毅; 安传恺; 胡圣团
【作者单位】华南师范大学附属中学高二(1)班 510630; 天津师范大学数学科学学院 300387; 湖南省长沙市雅礼中学高三(311)班 410000; 天津市南开中学高三(1)班 300100; 山东省宁阳第一中学 271400; 武汉市第二中学 430010; 广西柳州铁一中 545007; 重庆市合川太和中学 401555; 山东师大附中2006级理科实验(2)班250014; 湖南省澧县一中 415500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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2007年第18届希望杯全国数学邀请赛高一第二试(2试)试题[1]
![2007年第18届希望杯全国数学邀请赛高一第二试(2试)试题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2d1dd7e9998fcc22bcd10d47.png)
第18届希望杯全国数学邀请赛高一2试一．选择题（40分）1．角cos 2007α=︒在（ ）（A ）第1象限（B ）第2象限（C ）第3象限（D ）第4象限 2．在△ABC 中，若21sin ,sin 75A B ==，则sin C 的取值有（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个3．在△ABC 中，若222sin sin sin 0A B C --=，且sin 2sin sin A B C =，则△ABC 是（ ） （A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形4．当[0,1)x ∈时，若函数22()log (1)f x x ax a =++-有意义，则a 的取值范围是（ ） （A ）1a <（B ）1a ≤（C ）1a >（D ）1a ≥5．设命题甲：2x >或1y ≤；乙：3x ≥且2y <。
则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件 6．设点P 在△ABC 内，提出以下命题：（1）存在正数12,λλ，使12AP λAB λAC =+；（2）如果0AP BC = 且0BP AC = ，那么0CP AB =； （3）如果3AP AB AC =+ ，那么3BP BC BA =+；（4）如果PA PB PC ==，那么△ABC 是锐角三角形。
在这4个命题中，正确命题的个数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）47．Let y =f(x) be a function on R , and 1()0(2)f x f x +=+,then ()f x is （ ）（A ）not aperiodic function （B ）a aperiodic function with the least period 4（C ）a aperiodic function with the least period 8（D ）a aperiodic function with the least period 16 8．The minimum of 122007x x x x +-+-+++- is （ ） （A ）10032（B ）10042（C ）20062（D ）200729．O 是平面内一点，A 、B 、C 是平面内与O 不共线的三个点，P 是BC 的中点且使等式()AB ACλO A O P AB AC++=成立，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形（B ）等边三角形（C ）等腰三角形（D ）不等边三角形10．若关于x 的二次函数233y x m x =-+的图象与端点在15(,)22和（3，5）的线段只有一个交点，则m 的值可能是（ ） （A ）52（B ）1（C ）12（D ）13二．填空题（40分）11．设实数123,,a a a 成等差数列，且24a =。
2007年高一数学期中考试试卷+答题纸+答案
曾宪梓中学2007-2008<上）高一数学期中试卷2007.11.13 一、选择题<本题共12小题，每题3分，共36分）． 1．若，则是 < ）A 、B 、C 、D 、 2. 满足条件的所有集合A 的个数是< ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3．当0<a<1时，在同一坐标系中函数与的图像是< ）4、下列函数中，在区间不是增函数的是 < ） A.B.C.D. 5、函数y=的定义域是 < ）A 、RB 、C 、{x∣x>0且x≠1} D、{x∣x∈R 且x≠0}1Zh CMducpX 6.函数的值域是 < ） A 、B 、C 、 D、7、使式子y=有意义的x 的取值范围是 < ） A 、 B 、C 、D、8、的单调递增区间为< ）(A>(C> (D>A、 B、 C、 D、9. 已知不等式为≤ 3x ＜27，则的取值范围是< ）A、 B、C、D、10. 函数(，且>的图象必经过点< ）A、(0，1>B、(1，1>C、(2， 0>D、(2，2> 1ZhCMducpX11、设 < ）A、0B、1C、2D、312、甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只可能是< ）1ZhCMducpXA、甲是图①，乙是图②B、甲是图①，乙是图④1ZhCMducpXC 、甲是图③，乙是图②D 、甲是图③，乙是图④1ZhCMducpX 二、填空题<本题共4小题，每题4分，共16分）13．已知偶函数f (x>在上是减函数，则f (1>和f (-10>的大小关系为：_______________。
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第二届“南方杯”数学邀请赛十年级(高一)第2试2007年5月13日 上午8：30至10：30一、选择题：以下每题的四个选项中仅有一个是正确的，请将表示正确答案选项的英文字母填写在答题卡中的表格内（每小题6分，共36分）. 1．若x R ∈，且1112≤-x x ，则||x 的取值范围是( ).A ．⎫⎪+∞⎪⎭B. 31,2⎛+ ⎝⎦ C . (1,)+∞D . 不同于A 、B 、C 的另一个答案2. 设指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠及实数122007,,,x x x 满足122007()9f x x x +++=，则122007(3)(3)(3)f x f x f x ⋅⋅⋅的值等于( ).A ．729B . 2007C . 20093D . 条件不够，函数值之积不可能确定3．若点(,)P x y 在曲线2y x =上，则P 到直线1(,)4y x a a R a =+∈>且距离的最小值是( ). A(41)a - B . 14a -C1()4a -D(41)a - 4．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=（a 是实数）的距离为1，则a 等于( ).A ．1±B. C. D. 5．若实数x 、y 满足：25x y +=，且25x y -≥，则函数22(,)f x y x y =+的最小值等于( ).A ．8B . 9C . 10D . 116．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = BC = 1，BB 1 = 2，作C 1E ⊥B 1C 分别交B 1C 、BB 1于点F 、E ，则点F 到平面A 1C 1C 的距离为( ). ABCD二、填空题（每题9分，共54分）7．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤-∈=238log 2,|1x Z x x A x，则A 的含有不少于2个元素的真子集的个数为 .8．若k 是实数，关于a 、b 的方程组⎩⎨⎧=-+--+=-+01364,01322k b a b a b a 有实数解，则k 的取值范围A 1DBC B 1C 1EF 图1是 .9．若k 是正整数，24629310kkk⋅+⋅-⋅+>，则k 的取值范围是 . 10．设)11ln()(kxkxx f +-=（其中||1||k x <，k 为实数常数），且()g x 是定义在R 上的奇函数. 令()()()2F x m f x n g x =⋅+⋅+( m 、n 均为实数常数)，若()F a b =，则()F a -等于 . 11．数1260的不被9除尽的正因数有 个。
12. 若a 为常数，且|a |<1，则关于x 的方程2|43||2|x x x a -+--=的实数解的个数为 （填上一个具体的数字，或填上“不能确定，与a 的具体取值有关”）.三、解答题（每题15分，共60分）13. (本题满分为15分)设k 是实数，)(313)5(22)(2R x k x k x x f y k ∈+---==.(1) 求证：所有这样的抛物线()k y f x =都经过同一个定点P ，并求出点P 的坐标； (2) 求证：所有这样的抛物线()k y f x =的顶点都在同一条抛物线()y g x =上，并求出()g x 的解析式；(3) 求出所有的k ，使得()k y f x =与x 轴的两个交点皆为整数点（即()0k f x =的根均是整数）.14.（本题满分为15分）设a 是一个给定的实数，试求所有的函数:f R R →（R 为全体实数的集合），使得对于任何的x R ∈，都有(2)()f x f x +=-，及(3)()f x f x a +=+.15.（本题满分为15分）试求出所有的正整数对a 、b ，使得447a b -=，且a 与b 的最小公倍数为26190.16.（本题满分为15分）如图2，在△ABC 中，AB = BC ，点P 是△ABC 内部的一点，90BAP BCP ∠+∠=. 若AP = 4，BP = 5，CP = 3，试求△ABC 的面积.ABCP图2第二届“南方杯”数学邀请赛参考答案十年级(高一)第2试 2007年5月13日上午8：30至10：30一、选择题：二、填空题：三、解答题：13．解：(1) 2()21031(23)k y f x x x k x ==-+-⋅+，显然，当32x =-时，2334121031222y ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（与k 无关），故定点P 为341,22⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………………………………3分(2) ()k y f x =的顶点的坐标为222(5)5,424(5)8(313)(5)331,82k k x k k k y k -⋅--⎧=-=⎪⎪⎨⋅--⋅--⎪==+-⎪⎩ 消去k 得：2(2)3(25)312x y x =+⋅+-， 即22616y x x =+-，这就是()k y f x =的顶点所在的那条抛物线方程，即2()2616g x x x =+-…………………………………………………………………………………………………6分(3)解法1：设()0k f x =，即222(5)3130x k x k -⋅-⋅+-=的两个整数根为1x 、2x ，且12x x ≤，则12125,313,2x x k k x x +=-⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩………………………………………………………………………………………………………7分消去k 得：12122313(5)x x x x =-⋅++，……………………………………………………………………9分121223316x x x x ++=，1212223(22)32x x x x ⋅+⋅+=，所以12(23)(23)32941x x +⋅+=+=（41是素数），………………………………………………11分从而12231,2341,x x +=⎧⎨+=⎩或122341,231,x x +=-⎧⎨+=-⎩1211923x x k =-⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩或1222219x x k =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩………………………………13分 以上仅是必要条件，下面来逐一检验：当23k =时，方程为2236380x x --=，即218190x x --=，(19)(1)0x x -⋅+=，119x =，21x =-，合乎题目要求。
当19k =-时，方程为2248880x x ++=，即224440x x ++=，(2)(22)0x x +⋅+=，122x =-，22x =-，合乎题目要求。
综上所述，所求的整数1923k =-或。
………………………………………………………………………15分 解法2：（利用判别式）设()0k f x =，即222(5)3130x k x k -⋅-⋅+-=的两个整数根为1x 、2x ，且12x x ≤，则125x x k k +=-∈Z ⇒∈Z ，………………………………………………………………………………………7分而1,2x ==于是22437k k t --=（t 为非负整数），………………………………………………………………………9分 22(2)41k t --=所以(2)(2)41k t k t --⋅-+=（41为素数），……………………………………………………………11分从而21,241,k t k t --=⎧⎨-+=⎩或241,21,k t k t --=-⎧⎨-+=-⎩2320k t =⎧⇔⎨=⎩或1920k t =-⎧⎨=⎩………………………………13分 检验如下：当23k =时，5182019122k t x -±±===-或，合乎要求。
当19k =-时，5242022222k t x -±-±===--或，合乎要求。
综上所述，所求的整数1923k =-或。
…………………………………………………………………………15分14．解：由题意知：对于任意的x R ∈，都有(2)()f x f x +=-，……①及(3)()f x f x a +=+……②由②和①得：(2)(1)()(3)((1)2)(1)a f x f x f x f x +=+=++=-+，即(1)()f x f x a +=--……③ ………………………………………………………………………………………6分 由①和③得：(1)(3)(3)()(2)((1)1)(1)[()]()()f x f x f x f x a f x a a f x a a f x -=+=++=-+-=----=+-=，即2()0f x =，于是()0f x =……④………………………………………………………………………………………10分把④代入②得：0a =……⑤（0a =是()f x 存在的必要条件）……………………………………12分 综上可知：若0a =，则()0f x =（x R ∀∈），显然满足所有条件。
若0a ≠，则满足要求的()f x 不存在。
…………………………………………………………15分15．解：令1a a k =，1b b k =(k 为a 与b 的最大公因数，且a 1与b 1互素，11,,a b k +∈Z )……3分由447a b -=得：11()3149k a b ⋅-=⨯（149为素数）……①………………………………………4分 因为a 与b 的最小公倍数a bk⨯=，……………………………………………………………………………………5分 所以3112619023597a ba b k k⨯===⨯⨯⨯（97为素数）……②……………………………………6分 由①，②得：|3149k ⨯，且3|23597k ⨯⨯⨯所以13k =或。
……………………………………………………………………………………………………………………9分 下面进行分类讨论：(1) 若1k =，则11311311447,(447)2359723597,a b b b a b -=⎧⇒⋅+=⨯⨯⨯⎨⋅=⨯⨯⨯⎩， 2311447235970b b +-⨯⨯⨯=，即23113149235970b b +⨯-⨯⨯⨯=，……③A由此可知：13|b令13()b t t =∈Z ，代入③得：2399149235970t t +⨯-⨯⨯⨯=，即2149235970t t +-⨯⨯⨯=，……④ 其判别式214942359733841∆=+⨯⨯⨯⨯=。
显然22334891833384118433856=<<=，所以Δ不是完全平分数，从而④无整数根，故1k =不合要求。