第三章 方阵的行列式

第三章 方阵的行列式3.1 求下列各排列的逆序数：(1) 51324； (2) 54321；(3) 21)1( -n n ； (4) )2(246)(12(135n n -； (5) 42)22)(2)(12(135 --n n n .解：(1) 5)51324(=τ；(2) 10)54321(=τ； (3) 2)1(12)2()1(-=+++-+-=n n n n τ； (4) 2)1()1(321-=-++++=n n n τ；(5) )1())1(21())1(321(-=-++++-++++=n n n n τ. 3.2 要使8元排列685321k j 为奇排列，数j 与k 应取何值？ 解：易见k j ,代表4和7，当7,4==k j 时，4)21453768(=τ；当4,7==k j 时，7)21753468(=τ. 所以取4,7==k j 时，为奇排列. 3.3 证明奇偶排列在n 元排列中各占一半.证：只要证明奇排列和偶排列的1—1对应关系.设=S {)(|2121n n j j j j j j τ为偶数}；=S {)(|2121n n j j j j j j τ为奇数} f ：S S →，n n j j j j j j j j 323211为S 到S 的映射. (1) 任n j j j 21，S i i i n ∈ 21，若n j j j 21n i i i 21≠.则n n i i i i j j j j 312312≠，即f 为单射. (2) 任S j j j n ∈ 21，有S j j j n ∈ 12，使n n j j j j j j j f 21312)(=即f 亦为满射.综上所述：f ：S S →为双射，在n 元排列中，奇偶各半.3.4 下述各项中，哪一项是五阶行列式展开式中的一项？(1) 5125134231a a a a a ； (3) 2534531142a a a a a ； (2) 5433254112a a a a a -； (4) 5433254112a a a a a . 解： (1) 有二个第一列元素(2)、(3)、(4)均应为负项. 只有(2) 5433254112a a a a a -为5D 中的一项. 3.5 写出四阶行列式展开式中含因子2311a a 的项. 解：含2311a a 的项有44322311a a a a -、42342311a a a a .3.6 若n 阶方阵A 有n n -2个以上元素为0，证明：0)det(=A .证：n n A ⨯中共有2n 个元，)det(A 中每一项均为不同行不同列n 个元之积，但nn A ⨯中非零元素的个数n n n n =--<)(22.)det(A 中每一项中都有零因子，即 0)det(=A . 3.7 用行列式的定义证明00000000)det(2121215432154321εεδδγγβββββααααα=A 0=证：54321215432154321)()1()det(j j j j j j j j j j j j j a a a a a A n∑-=τ在任意项5432154321j j j j j a a a a a 中，无论2121j j a a 如何取,543543j j j a a a 三个数无论在后三行中如何取，至少有一个为零，故 0)det(=A . 3.8 计算下述各方阵行列式(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-800410962； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-114130212 (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2100121001210012；(4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6217213424435431014327427246； (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3214214314324321； (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----011111ααααn nx xx 解：(1) 16)det(=A ；(2) 20)det(-=A ；(3) 1)det(=A . (4) 722275193)det(⨯⨯⨯⨯-=A ；(5) 160)det(=A .(6) 011111)det(αααα----=n n xxxA0111100000000102,,,αααx xa xa n j xc c in n i i i n ni ij j +--=+--=-=+∑∑ i n ni i n i n n i i n x a x a -=--=+∑∑=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0101)1()1(3.9 证明：(1) αβγαγββαγβαγγβα4det =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++333222111333333222222111111det 2det γβαγβαγβαβααγγββααγγββααγγβ (3) 22222)(det δγβααβγδβαδγγδαβδγβα+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------ 证：(1) 原式αγββαγβααβαγββαγβααβ++-=++----02220321r r rαβγγβγααβγβγααβ4000)2(000)2(1213=-=-=--r r r r (2) 原式333332222211111333332222211111βααγγβααγγβααγγβααγββααγββααγβ+++++++++++++=333222111333222111βαγβαγβαγαγβαγβαγβ+= 3332221113332221113332221112γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβα=+= (3) 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=αβγδβαδγγδαβδγβαA 则: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++=2222222222222222000000000000δγβαδγβαδγβαδγβαA A T ,)()det(42222δγβα+++=A A T 即det )(A A T =det 2)(A所以 22222)()det(δγβα+++±=A 又因为当0===δγβ时det 4)(α=A为正，故原式=det 2222)()(δγβα+++=A 3.10 证明奇数阶反对称阵的行列式必为零.证：设A A T -=为反对称阵，且阶数12+=k n 为奇数，由行列式的性质： 一方面：)det()det(A A T =，另一方面：)det()det()1()det()det(12A A A A k T -=-=-=+ 故应有：)det()det(A A -=，即0)det(=A . 3.11 求下述矩阵的伴随阵及其逆矩阵.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120111011； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111013221.解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=022111111*A ； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-022*********A(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=512613201*A ； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-512613201*1A A3.12 计算下述n 阶方阵的行.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------122123123122121321n n n n n n n n n ； (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111101111011111 ；(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 222232222222221 ；(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛αββαβα；(5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αααx x x x x x ； (6) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n αααα001001001111321； (7) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n ααα11111111121； (8)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++βααββαβααββααββα00000000000000; (9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x x x αααααα ；(10)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛θθθθθcos 2101cos 200000cos 210001cos 210001cos(11) 设b a ,为n 维列向量，证明 a b ab I T T n +=+1)det(解：（1）ii r r A -+1)det(111111111111111111111321-----------n n1000120001220012220123211,,1-----------++++-=n n n n n c c n i ni 212)1()1(--+-=n n n .（2） 原式)det(A =1,,21)1(1000010000101111-=-=----n ni i r r（3） 原式)det(A =])!2[(222122012000100222200012--=--=---n n n r r i(4) 原式)det(A =11100000000)1(000000000-+--+n n n βαβαβαββαβαβαβααn n n n n n βαβαα111)1()1(++--+=⋅-+⋅=.(5) 原式)det(A =ααααx x x xx x xx xx n1111])1([-+=xx x x xxx n ----+=αααα000000001])1([111)()1()()]()1([-----+-=--+=n n n x x n x x x n ααααα.(6) 原式=)det(A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∑∑===nk k n nnk knj jjr r 21323221,211),(0000011111αααααααααα其中0,32≠n ααα(7) 原式110101001111111000111132121131211---+=---+=nnnαααααααααααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=100110111121 n k kn αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=nk k n 12111αααα (8) 原式按第一列展开得：21)(---+=n n n D D D αββα于是有：n n n n n n D D D D D D βαβαβα=-=-=-----)()(122211 n n n n n n D D D D D D αβαβαβ=-=-=-----)()(122211联立：⎪⎩⎪⎨⎧=-=---nn n nn n D D D D αββα11解得 αβαβ--=++11n n n D ；(其中:βα≠)(9) n D =)det(A x xx x αααααααααααααα------+-=)(=x x x x αααααααααα-------xxx ααααααααααααα------+11)()(--++-=n n x D x ααα即 11)()(--++-=n n n x D x D ααα，改写为11)()(--+=--n n n x D x D ααα再由 xxx x D n αααααααααααααα-------+=)(xxx x ααεααααααα---+=00+xxx ααααααααααααα-------11)()(----+=n n x D x ααα 得 11)()(----=+-n n n x D x D ααα联立：⎩⎨⎧--=+-+=------1111)()()()(n n n n n n x D x D x D x D αααααα解得：])()[(21n n n x x D αα-++= . (10) 设行列式为n D 用数字归纳法.1°当2=n 时，θθθθ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D 成立.2°设k n ≤时成立，则θθθθ)1cos(cos cos 2cos 211--=-=-+k k D D D k k kθθθθ)1cos()1cos()1cos()1cos(+=---++=k k k k .所以结论对任意n 成立，θn D n cos =. (11) 设b a ,为n 维列向量作辅助矩阵.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1Tb a I M 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101a I P n， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=102T nb I P 使 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101101T TTb ab I b a Ia I M P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a I ba Ib IM P T T T101102 由 )det()det()det(21M P M M P ==及)det()det(1Tab I M P +=,a b a b M P T T +=+=1)1det()det(2 即得 a b ab I T T +=+1)det(.3.13 问u ,λ取何值时，下述方程组有唯一解、无解、无穷解？(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x ux x x ux x x x x λ解：(1)系数行列式为:2)1)(2(111111-+==λλλλλD当1,2≠-≠λλ时，0≠D 方程组有唯一解.当1=λ时，方程组的等阶方程组只有一个方程，有无穷多解. 当2-=λ时，方程组无解(代入显见). (2)由增广矩阵→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ341101003114121311411u u u u u⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)24(1)1(00241102101241101002101λλλλλλu u u可见:当0=u 或1=λ时无解. 当0≠u 且1≠λ时唯一解.3.14 问λ何值时，下述齐次线性方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 解：系数矩阵的行列式)2)(3(λλλ--=D ，当2,3,1=λ时方程组有非零解. 3.15 用克莱姆法则解下述线性方程组(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+-56433427252321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：(1) T T x x x )1,1,5(),,(321= (2) )1,1,5(),,,(4321=x x x x 3.16 计算下述n 阶方阵的行列式.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n αβββαβββα 21(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛θθθcos 211cos 211cos 2 解：(1) 当βα≠i 时n i ,2,1=.11)det(+=n A αβββαβββαβββ =121010010011+------n n βαβαβαβββ=1212111010100111)())((+---------n n nβαββαββαββαβαβα)())((21βαβαβα---=n 100001000101211βαββαββαββαβ----+∑=n ni i=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∑==ni i ni i 111)(βαββα(2) 令θβαcos 2=+，1=αβ则βα,为01)(cos 22=+-x x θ的根： θθαsin cos i += θθβsin cos i -=原式βααββαβααββααββα+++++=100000010001000n D21)(---+=n n D D αββα 即 21)(---+=n n n D D D αββα有⎩⎨⎧-=--=-------)()(211211n n n nn n n n D D D D D D D D βββαβα 由第12题8小题知βαβα--=++11n n n D 代入 θθαsin cos i +=， θθβsin cos i -=θθα)1sin()1cos(1+++=+n i n n ，θθβ)1sin()1cos(+-+=n i n n 得： θθsin )1sin(+=n D n或由欧拉公式：θθθsin cos i e i +=， θθθsin cos i e i -= θαi e =， θβi e -=θθβαβαθθβαsin )1sin(|11+=--=-==++n D iie e n n n 3.17 设A 为n 阶方阵，证明(1) 1))(det())(det(-=n A A adj ；(2) A A A adj adj n 2))(det())((-=. 证：(1) 设n n ij a A ⨯=)(可逆.)())(det(11A adj A A --=，即1)det()(-=A A A adj))det(det())(det(1-=A A A adj 11))(det()det())(det(--==n n A A A当A 不可逆时，0)det(=A ，0=*A A .由0≠A ，即0=*X A 有非零解，所以 0)det(*=A . (2) 假定0)det(≠A （0)det(=A 的情况在下章证明）：1)det()(-=A A A adj 两边同时求逆得：111))(())(det(---=A adj A A 左端A A )det(1=右端[]))(())(det())(()))((det(111A adj adj A A adj adj A adj n ---==A A a adj adj n 2))(det())((-= 再由左端=右端得证. 3.18 设A 为n 阶可逆阵，D 为m 阶可逆阵，记分块阵.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A M证明：(1) )det()det()det(1B CA D A M --=； (2) )det()det()det(1C BD A D M --=； (3) )()det()det()det(11C BD A A D B CA D ---=-. 证：(1) 考虑消去M 左下角的子块C ，取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-I CA IP 110 1)det(1=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--B CA D B A D C B A I CA I M P 11100则 )det()det()det()det(11B CA D A M P M --==(2) 考虑消去M 右上角的子块B ，取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-I BD I P 012；1)det(2=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--D C CBD A D C B A I BD I M P 00112 则)det()det()det()det(12C BD A D M P M --== (3) 利用(1)、(2)两等式并注意到0)det(≠A 便得. 3.19 设A 为n 阶可逆阵，βα,为n 维列向量，证明)det()1()det(1A A A T T αβαβ-+=+证：作辅助矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1TAM βα 设初等变换矩阵:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1011A IP T β， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=102T IP β 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-αβα1110A A M P T ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=102ααβT A MP注意到 )det()det()det(12M P M MP == 便得 )det()1()det(1A A A T T αβαβ-+=+ 3.20 设B A ,均为n 阶方阵，证明)det()det(det B A B A A B B A -⋅+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 证：取块消去法阵：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nI I I P 01， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n n nI I I P 02 则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A B BA I I I AB B A I I I P A B B A P n n nn n n 00021 左右两边取行列式相等得)det()det()det(B A B A A B B A -⋅+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛。