高考数学18个常见问题专项突破---常考问题10 数列求和及其综合应用

常考问题10 数列求和及其综合应用(建议用时：50分钟)1．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋ n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为( )．A ．25B ．576C ．624D ．625 解析 a n ＝1n ＋ n ＋1＝－( n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)]＋…＋(n －n ＋1)]＝n ＋1－1＝24，故n ＝624.故选C.答案 C2．在等差数列{a n }中，a 1＝142，d ＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n }，则此数列的前n 项和S n 取得最大值时n 的值是( )．A ．23B ．24C ．25D ．26解析 因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{b n }，所以新数列的首项为b 1＝a 1＝142，公差为d ′＝－2×3＝－6，则b n ＝142＋(n －1)(－6)．令b n ≥0，解得n ≤2423，因为n ∈N *，所以数列{b n }的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{b n }的前24项和取得最大值．故选B. 答案 B3．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )．A.32B.53C.256D.43解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32. 答案 A4．(2013·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 006和a 1 007是方程x 2－2 012x －2 011＝0的两根，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )．A ．1 006B ．1 007C ．2 011D ．2 012解析 由题意知，a 1 006＋a 1 007＝2 012>0，a 1 006·a 1 007＝－2 011<0，又因首项为正等差数列，所以a 1 006>0，a 1 007<0,2a 1 006＝a 1＋a 2 011>0,2a 1 007＝a 1＋a 2 013<0，即S 2 011>0，S 2 013<0，又因S n ＝n (a 1＋a n )2，n 的最大值为2 011.答案 C5．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为( )．A ．－12 B.12 C.32 D ．－32 解析 不妨设x 1<x 2，x 3<x 4.由题意，可得x 1，x 2的值分别为π2，3π2，代入检验． 若m ＝－12，则x 3，x 4的值分别为2π3，4π3，因为4π3－2π3≠3π2－π3，显然这四个数不能构成等差数列；若m ＝12，则x 3，x 4的值分别为π3，5π3，因为π2－π3≠3π2－π2，故这四个数不能构成等差数列；若m ＝32，则x 3，x 4的值分别为π6，11π6，因为11π6－3π2≠3π2－π2，显然这四个数不能构成等差数列；若m ＝－32，则x 3，x 4的值分别为5π6，7π6，显然这四个数能构成等差数列，公差为π3. 答案 D6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析 在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25.所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝a n5n ，故a n ＝5n －3×2n －1.答案 a n ＝5n －3×2n －1 7．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析 左边为平方项的(－1)n ＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n )的(－1)n ＋1倍．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)28．(2013·临沂模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n 为非零常数，所以d ＝4.答案 49．(2013·江西卷)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564.(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n . (2)证明 由a n ＝2n ，得 b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2T n ＝116⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 10．已知函数f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }是各项均不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上；数列{b n }满足b 1＝2，b n ≠1，且(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )(n ∈N ＋)． (1)求a n 并证明数列{b n －1}是等比数列； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n4n －1·(b n －1)，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <3.(1)解 因为点(a n ＋1，S 2n －1)在函数f (x )的图象上，所以a 2n ＝S 2n －1.令n ＝1，n ＝2，得⎩⎨⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎨⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2(d ＝－1舍去)，则a n ＝2n －1. 由(b n －b n ＋1)·g (b n )＝f (b n )， 得4(b n －b n ＋1)(b n －1)＝(b n －1)2.由题意b n ≠1，所以4(b n －b n ＋1)＝b n －1， 即3(b n －1)＝4(b n ＋1－1)，所以b n ＋1－1b n －1＝34. 所以数列{b n －1}是以1为首项，公比为34的等比数列． (2)证明 由(1)，得b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.c n ＝a n4n －1·(b n －1)＝2n －14n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1＝2n －13n －1.令T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋532＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，②①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n .所以T n ＝3－n ＋13n －1. 所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝3－n ＋13n －1<3.11．(2013·天津卷)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n≥S 2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为5 6，最小项的值为－7 12.。