江苏高考数学理科一轮创新设计总复习课件2.8函数与方程
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(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程课件理苏教版
零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲 线 ， 且
有 f(a)· f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b) 上有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)· f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
一个零点.( √ )
考点自测
1.(教材改编)函数f(x)＝ x －(
答案 解析
1 2
1 x ) 的零点个数为 1 . 2
f(b)<0 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·
把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y＝ax2＋ Δ＝0 Δ<0
答案 解析
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及
y＝log3|x|的图象，如图，
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
思维升华
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法： ①解方程法； ②零点存在性定理、结合函数的性质； ③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 一 条 不 间 断 的 曲 线 ， 且
有 f(a)· f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b) 上有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)· f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
一个零点.( √ )
考点自测
1.(教材改编)函数f(x)＝ x －(
答案 解析
1 2
1 x ) 的零点个数为 1 . 2
f(b)<0 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·
把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y＝ax2＋ Δ＝0 Δ<0
答案 解析
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及
y＝log3|x|的图象，如图，
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
思维升华
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法： ①解方程法； ②零点存在性定理、结合函数的性质； ③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.8函数与方程课件理
∴f(－1)＝1a－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，
由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点． 答案：B
第十四页，共37页。
2．设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点
值范围是( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
第三十五页，共37页。
第三十三页，共37页。
∴2a＝b－2，联立2aab＝＝b4－，2， 消去 b 得 a2＋a－2＝0， 得 a＝1 或 a＝－2，又 a>0，∴a＝1，此时 b＝4， ∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9，故选 D. 答案：D
第三十四页，共37页。
2．已知函数 f(x)＝02， x，xx≤＞00，， 则使函数 g(x)＝f(x)＋x－m 有零点的实数 m 的取
2
基础自主梳理
第五页，共37页。
「基础知识填一填」
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有 零点(l．ínɡ diǎn (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有 __f_(a_)_·f_(_b_)＜__0____，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c∈(a，b)， 使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.8函数与方程课件苏教版
f－2＝0， 内恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)<0 或②－2<41m<0 或③
f2＝0， 1 0<4m<2.
解①得－18<m<0 或 0<m<38；
②无解，解③得 m＝38. 综上可知－18<m≤38.故选 D.
03 微突破 提升素养
突破重点 开阔视野
【典例】 (2020·衡水中学调研)设定义域为 R 的函数 f(x)＝
由图可知，－a≤1，解得 a≥－1，故选 C.
(2)依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知，m 需满足
mf－≠12，·f0<0， f1·f2<0，
m≠2， 即m－2－m＋2m＋12m＋1<0，
m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]<0，
解得14<m<12.
方法技巧 1二次函数的零点要讨论开口方向，对称轴、区间端点值的 符号. 2其他问题：一般思路就是通过分离参数简化问题的求解， 即先分离参数，整理成 a＝fx的形式，将问题转化为函数 y＝fx 与直线 y＝a 的交点问题，进而研究函数 y＝fx的相关性质，画 出函数图象，根据图象的直观性求解参数的取值范围.
取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
(4)函数 f(x)＝cos3x＋6π在[0，π]的零点个数是 3 .
(5)(2020·西安调研)若方程 2x＋3x＝k 的解在[1,2)内，则 k 的取值范
围是 [5,10) ．
解析：(1)由所给的函数值的表格可以看出，x＝2 与 x＝3 这两个数 字对应的函数值的符号不同，即 f(2)·f(3)<0，所以函数 f(x)在(2,3)内有 零点．
f2＝0， 1 0<4m<2.
解①得－18<m<0 或 0<m<38；
②无解，解③得 m＝38. 综上可知－18<m≤38.故选 D.
03 微突破 提升素养
突破重点 开阔视野
【典例】 (2020·衡水中学调研)设定义域为 R 的函数 f(x)＝
由图可知，－a≤1，解得 a≥－1，故选 C.
(2)依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知，m 需满足
mf－≠12，·f0<0， f1·f2<0，
m≠2， 即m－2－m＋2m＋12m＋1<0，
m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]<0，
解得14<m<12.
方法技巧 1二次函数的零点要讨论开口方向，对称轴、区间端点值的 符号. 2其他问题：一般思路就是通过分离参数简化问题的求解， 即先分离参数，整理成 a＝fx的形式，将问题转化为函数 y＝fx 与直线 y＝a 的交点问题，进而研究函数 y＝fx的相关性质，画 出函数图象，根据图象的直观性求解参数的取值范围.
取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
(4)函数 f(x)＝cos3x＋6π在[0，π]的零点个数是 3 .
(5)(2020·西安调研)若方程 2x＋3x＝k 的解在[1,2)内，则 k 的取值范
围是 [5,10) ．
解析：(1)由所给的函数值的表格可以看出，x＝2 与 x＝3 这两个数 字对应的函数值的符号不同，即 f(2)·f(3)<0，所以函数 f(x)在(2,3)内有 零点．
2021高考数学一轮复习课件_2.8函数与方程
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点
(2)(2013·汕头模拟)函数f(x)＝ln(x－2)－2x的零点所在的
大致区间是( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
【解析】 (1)令f(x)＝ x－cos x＝0，则 x＝cos x，设 函数y＝ x 和y＝cos x，在同一坐标系下作出在[0，＋∞)的 图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 _(_x_1_，___0_)_，__(_x_2_，__0__)_ __(_x_1_，__0_)__ 无交点
零点个数
2
1
0
3.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且____f(_a_)_·_f(_b_)_＜__0___的函 数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 _一__分__为__二___，使区间的两个端点逐步逼近_零__点___，进而 得到零点近似值的方法叫做二分法．
∵f(1)＝1－(12)－1＝－1＜0， f(2)＝8－(12)0＝7＞0 ∴f(1)f(2)＜0， ∴x0∈(1，2)．
【答案】 (1)B (2)(1，2)
1 ． 函 数 零 点 的 判 定 常 用 的 方 法 有 ： (1) 零 点 存 在 性 定 理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
D．(2.5，3)
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C. 【答案】 C
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝ bx2－ax的零点是( )
A．0，2
B．0，12
高考数学一轮复习2.8函数与方程课件理新人教A版
第八节 函数与方程(全国卷5年3考)
【知识梳理】 1.函数的零点 (1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使_f_(_x_)_=_0_成立的 实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函 数y=f(x)的图象与_x_轴__有交点⇔函数y=f(x)有_零__点__. (3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且有_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0_,那 么函数y=f(x)在区间_(_a_,_b_)_内有零点,即存在x0∈(a,b), 使得_f_(_x_0)_=_0_.
巧用结论系列1——二次函数的零点分布问题 【结论诠释】二次函数的零点分布情况多样,比较复杂, 常结合二次函数的图象从判别式“Δ ”、端点函数值、 对称轴三方面入手综合考虑.设二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2,其零点分 布情况如下:
零点分布 (m<n<p为常数)
2.函数f(x)=
lg x，x x 2－4，x
0， 0
的零点是________.
【解析】由lg x=0(x>0)得x=1,由x2-4=0(x<0)得x=-2,
所以函数的零点为-2,1.
答案:-2,1
3.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则 实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)=x+2x的零点必定小于零,g(x)=x+ ln x的零点必位于(0,1)内,函数h(x)= x－ 的x－零1 点必定大于1, 所以这三个函数的零点依次增大,即x1<x2<x3. 答案:x1<x2<x3
【知识梳理】 1.函数的零点 (1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),把使_f_(_x_)_=_0_成立的 实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系:方程f(x)=0有实根⇔函 数y=f(x)的图象与_x_轴__有交点⇔函数y=f(x)有_零__点__. (3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线,并且有_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0_,那 么函数y=f(x)在区间_(_a_,_b_)_内有零点,即存在x0∈(a,b), 使得_f_(_x_0)_=_0_.
巧用结论系列1——二次函数的零点分布问题 【结论诠释】二次函数的零点分布情况多样,比较复杂, 常结合二次函数的图象从判别式“Δ ”、端点函数值、 对称轴三方面入手综合考虑.设二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2,其零点分 布情况如下:
零点分布 (m<n<p为常数)
2.函数f(x)=
lg x，x x 2－4，x
0， 0
的零点是________.
【解析】由lg x=0(x>0)得x=1,由x2-4=0(x<0)得x=-2,
所以函数的零点为-2,1.
答案:-2,1
3.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则 实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)=x+2x的零点必定小于零,g(x)=x+ ln x的零点必位于(0,1)内,函数h(x)= x－ 的x－零1 点必定大于1, 所以这三个函数的零点依次增大,即x1<x2<x3. 答案:x1<x2<x3
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•(4) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续 不断的一条曲线，且 f(a)f(b) ＜ 0 ，则函数 y ＝ f(x) 在区间(a，b)内至少有一个零点． (√) •(5)(2012·湖北卷改编 ) 函数f(x) ＝xcos 2x在区间 [0,2π]上的零点的个数为2. ( ×) •(6)(2013·广州模拟改编 )已知函数 f(x)＝x2＋x＋ a 在区间 (0,1) 上有零点，则实数 a 的取值范围是 (－2,0)． (√)
(2)当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x. 画出g(x)与h(x)的图象如图： 故当x＞0时，f(x)有2个零点． 1 当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－ ， 4 综上函数f(x)的零点个数为3.
•规律方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求 出解，则有几个解就有几个零点. •(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区 间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0， 还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶 性)才能确定函数有多少个零点． •(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函 数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐 标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
• • •
•
• 辨析感悟 函数零点概念的理解及应用 (1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交 点． ( ×) (2) 对 于 定 义 域 内 的 两 个 变 量 x1 ， x2 ， 若 f(x1)f(x2)＜0，则函数f(x)有零点． (× ) (3) 若 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 不 断 ， 且 f(a)f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点． (×)
2 ln x－x ＋2x，x＞0， 4x＋1，x≤0
的零点
解析
1 1 1 1 3 (1)f 4 ＝1－ log2 ＝1＋ ＝ ＞0， 4 4 2 2
1 1 1 1 3 f 2 ＝1－ log2 ＝1＋ ＝ ＞0， 2 2 2 2
f(1)＝1－0＝1＞0，f(2)＝1－2 log22＝－1＜0， 由f(1)f(2)＜0知③正确．
考点一
函数零点的求解与判断
【例1】 (1)(2013· 青岛一模)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间 是________．
1 1 1 ①4，2；②2，1；③(1,2)；④(2,3)．
(2)(2014· 郑州一模)函数f(x)＝ 个数是________．
•(3)零点存在性定理 •如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续 f(a)·f(b)＜0 (a，b)，那么函 不断的一条曲线，并且有 数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a， b)，使得f(c)＝0，这个c也就是 (x0)＝0的根． f(a)·f(b)f ＜ •对 于 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 不 断 且 一分为二 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地把函数 f(x) 的零点所 在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 零 点 ， 进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 做二分 法．
1 －2 x的零点，即令f(x)＝0.根据此题可得x 1 ＝2 x，
在平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x
1 和指数函数y＝ 2 x
的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个．
答案 (1)② (2)1
考点二
根据函数零点的存在情况，求参数的值
2 e 【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)． x
1 【训练1】 (1)(2014· 合肥模拟)函数f(x)＝－ x ＋log2x的一个零点 落在区间________． ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． (2)(2012· 北京卷改编)函数f(x)＝x
1 －2x的零点个数为____．
1 解析 (1)∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ >0，故其中一个零点会落 2 在(1,2)内． (2)f(x)＝x
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． e2 解 (1)法一 ∵x＞0时g(x)＝x＋ x ≥2 e2＝2e，
等号成立的条件是x＝e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e， 则y＝g(x)－m就有零点． ∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
• [感悟·提升] • 1．一点提醒 函数的零点不是点，是方程f(x) ＝0的根，如(1)． • 2．三个防范 一是严格把握零点存在性定理 的条件，如(2)中没有强调连续曲线；二是连 续函数在一个区间的端点处函数值异号是这 个函数在这个区间上存在零点的充分条件， 而不是必要条件，如(3)；三是函数f(x)在[a，b] 上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一 个零点.
e2 法二 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致图象如图： x 可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. ∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两 个不同的交点， e2 作出 g(x)＝x＋ x (x>0)的大致图象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝ －(x－e)2＋m－1＋e2， ∴其图象的对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e2.故当 m－1＋e2>2e，即 m>－e2＋2e＋1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
• 第8讲 函数与方程
• 知识梳理
• 函数的零点 • (1)函数的零点的概念 • 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实 数x称为函数y＝f(x)的零点． • (2)函数的零点与方程的根的关系 x轴 •方程 f(x) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f(x) 的图象 零点 ⇔函数y＝f(x)有 与 有交点 ．