天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 理科数学 扫描版含答案
天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 政治 Word版含答案
天津市耀华中学2013-2014学年度第二学期期中形成性检测高二年级文科政治试卷I卷(60分)★请同学们将试题答案填涂在答题卡上1．伴随着“中国好声音”选秀节目的走红，带动了新一轮彩铃销售热潮，有人将彩铃形容为“把耳朵叫醒的听觉经济”。
这表明彩铃A．有使用价值但没有价值B．是用于交换的非劳动产品C．有价值但没有使用价值D．既有使用价值又有价值2．2013年8月5日，人民币汇率中间价为l美元对人民币6.176 7元。
而2013年1月4日，人民币汇率中间价为l美元对人民币6.289 7元。
人民币对美元汇率的这种变化对我国进出口的影响是(图中虚线表示变化后的状况)A．①③B．②④C．①④D．②③3．2013年5月30日，全国经济体制改革工作会议在北京召开。
国家发改委强调，要抓住当前物价水平总体稳定的有利时机，积极稳妥推进资源性产品价格改革，逐步建立反映市场供求关系、资源稀缺程度、环境损害成本的价格形成机制。
对“资源性产品”进行“价格改革”的原因是A．价格与供求的双向互动能实现资源的优化配置B．价格是在国家宏观调控中形成的C．价格决定供求，引导生产的发展D．价格机制是实现资源优化配置的唯一手段4．党的十八大报告提出，要千方百计增加居民收入，到2020年实现居民收入倍增目标。
实现居民收入倍增有利于①扩大消费，拉动经济增长②消除收入差距，实现社会公平③实现全面建成小康社会的目标④扩大就业，创造更多的就业岗位A．①②B．①③C．②④D．③④5．《江苏省“十二五”科技发展规划》指出，到2015年，自主创新将成为江苏经济社会发展的主要推动力，其中，全社会研发投入占地区生产总值的比重达2．5％，科技进步对经济增长贡献率达60％以上。
江苏省高度重视科技的经济学依据是A．生产和消费的辩证统一关系B．科学技术是第一生产力C．科技是人类社会赖以存在和发展的基础D．科学技术可以迅速提高人民生活水平6．国有企业是我国国民经济的支柱，中央企业是我国国企的主力军。
耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试地理试题及答案
天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，l00分，考试限定用时90分钟。
第I卷(选择题共54分)选择题(共36小题，每小题l．5分，共54分。
每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意。
请将正确答案填涂在答题卡上。
)1．在一幅中国地图上量得北京与绍兴的直线距离正好5厘米，两两地的实地距离是l200千米，这幅地图的比例尺是A．1：24000000 B．1：600000000C．图上一厘米代表实地距离24千米D．四百六十万分之一2．下面四幅经纬网地图的图幅一样大，其中比例尺最大的是3．右图中等高距相同，a、b、c、d处坡度大小的说法正确的是A．a=b=c=d B．a>c>d>b C．b>d>c>a D．c>b>a>d4．左面四幅图中，甲地在乙地西北，丙地在丁地东南方向的是读右面经纬网图，回答5—7题。
5．比较不同纬线的长度A．①线是②线的1／2 B．②线比③线长C．③线比④线长D．①②③④四条纬线一样长6．甲、乙两人分别从H、K点出发，先向北，再向西，再向南，最后向东行4440km，那么A．两人都能回到原出发地点B．两人都不能回到原出发地点C．只有甲能回到原出发地点D．只有乙能回到原出发地点7．图中符合“东半球、北半球、低纬度”条件的是A．E点B．G点C．H点D．K点位于山西省中部略偏南的世界文化遗产平遥古城，是中国迄今保存最为完整的明清时期的中国县城的原型，它是由完整的城墙和街巷、店铺、民居组成的大型古建筑群，有“中国古建筑的荟萃和宝库”之称。
据此完成8～9题。
8．作为旅游资源，平遥古城有多方面的价值，其中它对吸引旅游者起到了最主要的作用是A．经济价值B．美学价值C．历史文化价值D．科学价值9．现在平遥古城所在地区(地形区)存在的突出环境问题是A．现代基础设施的建设对部分古建筑的破坏B．滑坡C．开采煤矿对古建筑的破坏及燃煤等引起的酸雨D．水土流失“五岳归来不看山，黄山归来不看岳”，黄山以其奇松、怪石、云海和温泉令海赶外游客叹为观止，1990年被联合国教科文组织列入《世界遗产名录》。
天津市耀华中学年高二下学期期中考试数学(理)试题及答案
天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学（理）案 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时l00分钟．第I 卷(36分)一．选择题：本大题共l2个小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．1(A) i (B) i -ii2． “因为指数函数x y a =是增函数(大前提)，而13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数(小前提)，所以函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(A)大前提错误导致结论错 (B)小前提错误导致结论错(C)推理形式错误导致结论错 (D)大前提和小前提错误导致结论错3．在复平面内，复数2(1)1i i+++对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn nm =”类比得到“a b b a =”；②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()a b c a c b c +=+”；③“()()m n t m n t =”类比得到“()()a b c a b c =”；④“0,t mt xt m x ≠=⇒=”类比得到“0,p a p b p a b ≠=⇒=”；⑤“||=||||m n m n ”类比得到“||||||a b a b =”；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 55．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为3 6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设 (A)三个内角都不大于60o (B)三个内角都大于60o(C)三个内角至多有一个大于60o (D)三个内角至多有两个大于60o 7．点P 为曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线y=2x -距离的最小值为(A) 2 (B) 4(C) 28．用数学归纳法证明“l+2+22+···+2n+2=2n+3-1，n ∈N *”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为 (A) 1 (B) l+2 (C) l+2+22 (D) 1+2+22+239．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如左下图所示，则其导函数'()y f x =的 图象可能为下列图中所示10．已知函数3()()f x x x m =-在x =2处取得极小值，则常数m 的值为(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D)以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R ，'()f x >2，则()f x >2x +4的解集为(A)(-l ，1) (B)(-1，+∞) (C)(- ∞，-1) (D)(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x ≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x=+的零点的个数 (A) 0 (B) 1 (C ) 2 (D) 0或2第II 卷(64分) 二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．． 13．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，则实数a 的值为 ．14．曲线12x y e =在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ． 15．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(1)1*1=1，(2)(n+1)*1=n*l+1，则n*1= ．16．由曲线y =4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积为 ．17．若函数3()12f x x x =-在区间(k-l ，k+1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .18．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x 1∈[-1,2]，总存在x 2∈[1，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 . 三．解答题：本题共4个题，共46分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写．．．．．在答题纸上．．．．．． 19．(本小题11分)已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90o ，PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=12AB=1，M 是PB 的中点．(I)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(II)求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值；(III)求平面AM C 与面BMC 所成锐二面角的大小的余弦值．20．(本小题11分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N*都有S n =2n -a n ．(I)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(II)猜想该数列的通项公式a n ，并用数学归纳法证明猜想的正确性。
天津市耀华中学2012届高三第二次月考_理科数学试题
耀华中学2012届高三第二次月考考试 数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试用时l20分钟． 祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1、若复数ii a 213+- (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )．(A)6 (B)一6 (C)5 (D)一42、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=,0),(,0,0,0,2x x g x x x f x 且)(x f 为奇函数，则g(3)= ( )(A)8 (B)81 (c)-8 (D) 81-3、将函数)32sin(π-=x y 的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为( )。
(A)y=cosx (B)y=sin4x (c)y=sin(x-6π) (D)y=sinx4、在△ABC 中，点P 在BC 上，且PC BP 2=，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，BC =( )．(A)(-2，7) (B)(-6，21) (c)(2，-7) (D)(6，-21)5、两个圆042222=-+++a ax y x 与0414222=+--+b byx y x 恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，ab≠0则2211ba+的最小值为( )(A)91 (B)94 （C ）1 （D ）36、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x ∈[0,1]时，f (x)=x ，则函数||log)(3x x f y -=的零点个数是 ( )(A)0个 (B)2个 (C) 4个 (D)6个7、若}{n a 是等差数列，首项0,0,020042003200420031<∙>+>a a a a a 则使数列}{n a 的前n 项和n s >0成立的最大自然数n 是( ) (A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008 8、已知函数())R x (|x |x x f ∈+-=1，区间M=[a,b](a<b),集合()},M x ,x f y |y {N ∈==则使M=N 成立的实数对（a,b ）有（ ）（A ）0个 (B)1个 (c)2个 (D)无数多个 第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分，不需写出解答过程，请把答案填在题中横线上。
天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 物理 Word版含答案
天津市耀华中学2013—2014学年度第二学期期中形成性检测高二年级物理试卷I卷(50分)★请同学们将试题答案填涂在答题卡上一、单项选择题(共10题，每小题3分，共30分。
每道题只有一个选择最适合。
)1．关于感应电动势大小的下列说法中，正确的是A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大B．线圈中磁通量越大，产生的感应电动势一定越大C．线圈放在磁感强度越强的地方，产生的感应电动势一定越大D．线圈中磁通量变化越快，产生的感应电动势越大2．如右图所示，在长载流直导线近旁固定有两平行光滑导轨A、B，导轨与直导线平行且在同一水平面内，在导轨上有两可自由滑动的导体ab和cd。
当载流直导线中的电流逐渐增强时，导体ab和cd的运动情况是A．一起向左运动B．一起向右运动C．ab和cd相向运动，相互靠近D．ab和cd相背运动，相互远离3．电阻R、电容C与一线圈连接成闭合回路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N极朝下，如图所示。
现使磁铁开始自由下落，在N极接近线圈上端的过程中，流过R的电流方向和电容器极板的带电情况是A．从a到b，上极板带正电B．从a到b，下极板带正电C．从b到a，下极板带正电D．从b到a，上极板带正电4．如图所示的两个电路中，电阻R和自感线圈L的电阻都小于灯H的灯丝电阻。
接通电路达到稳定时，灯泡H都能发光。
有下列说法：①左图中，断开S后，H将逐渐变暗；②左图中，断开S后，H将先闪亮一下，然后才变暗；③在右图中，断开S后，H将逐渐变暗；④在右图中，断开S后，H将先闪亮一下，然后才变暗。
以上说法中正确的是A．①③B．①④C．②④D．②③5．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动产生的电动势e-t图象如图，则在时刻A．t1，t3线圈通过中性面B．t2，t4线圈通过中性面C．t1，t3线圈中磁通量变化率最大D．t2，t4线圈中磁通量最大6．如图所示表示交变电流的电流随时间变化的图象，此交变电流的有效值是A．4 A B．5 AC．D．7．一理想变压器原线圈接交流电源，副线圈接电阻，则下列哪些方法可使输入功率增加为原来的2倍A．副线圈的匝数增加为原来的2倍B．原线圈的匝数增加为原来的2倍C．负载电阻变为原来的2倍D．副线圈匝数和负载电阻均变为原来的2倍8．一个质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系图线如图所示，在t=4s时，质点的A．速度为正的最大值，加速度为零B．速度为负的最大值，加速度为零C．速度为零，加速度为正的最大值D．速度为零，加速度为负的最大值9．有甲、乙两个单摆，已知甲摆的摆长是乙摆的9倍，乙摆摆球质量是甲的摆的2倍，那么在甲摆摆动4次的时间内，乙摆摆动A．4／3次B．6次C．12次D．36次10．一个单摆在空气中振动，振幅越来越小，这表明A．后一时刻摆球的位移一定小于前一时刻摆球的位移B．后一时刻摆球的动能一定小于前一时刻摆球的动能C．后一时刻摆球的势能一定小于前一时刻摆球的势能D．后一时刻摆球的机械能一定小于前一时刻摆球的机械能二、不定项选择(共5个小题，每题4分，共20分。
天津市耀华中学年高二下学期期中考试数学(文)试题及答案-推荐
天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学（文）)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时l00分钟．第I 卷(36分)一。
选择题：本大题共l2个小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．1(A) i (B) i -i i2． “因为指数函数xy a =是增函数(大前提)，而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数(小前提)，所以函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(A)大前提错误导致结论错 (B)小前提错误导致结论错 (C)推理形式错误导致结论错 (D)大前提和小前提错误导致结论错3．在复平面内，复数2(1)1ii+++对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn nm =”类比得到“a b b a =”；②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()a b c a c b c +=+”； ③“()()m n t m n t =”类比得到“()()a b c a b c =”；④“0,t mt xt m x ≠=⇒=”类比得到“0,p a p b p a b ≠=⇒=”； ⑤“||=||||m n m n ”类比得到“||||||a b a b =”； 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是 (A ) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 55．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为(C) 3π(D) 3π6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设(A)三个内角都不大于60o(B)三个内角都大于60o(C)三个内角至多有一个大于60o(D)三个内角至多有两个大于60o7．点P 为曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线y=2x -距离的最小值为8．若命题p ：22421ax x a x ++≥-+是真命题，则实数a 的取值范围是 (A)(-∞，2] (B)(-2，2) (c)(-2，+∞] (D)[2，+∞)9．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如左下图所示，则其导函数'()y f x =的 图象可能为下列图中所示10．已知函数3()()f x x x m =-在x =2处取得极小值，则常数m 的值为 (A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D)以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R，均有'()f x >2， 则()f x >2x +4的解集为(A)(-l ，1) (B)(-1，+∞) (C)(- ∞，-1) (D)(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x ≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x=+的零点的个数 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 0或2第II 卷(64分)二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．． 13．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，则实数a 的值为 ． 14．曲线12x y e=在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．15．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1，(2)(n+1)*1=n*l+1，则n*1= ．16．设a ∈R，若函数xy e ax =+(x ∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围是 .17．若函数3()12f x x x =-在区间(k-l ，k+1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .18．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x 1∈[-1,2]，总存在x 2]，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 .三．解答题：本题共4个题，共46分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在．．．．．．答题纸上．．．．． 19．(本小题11分)设a ，b 互为共轭复数，且2()346a b abi i +-=-，求复数a 和b 。
【数学】天津市天津一中2013-2014学年高二下学期期中考试(理)
天津市天津一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学一、选择题： 1．复数52i=+ A ．2i -B ．21i 55+ C ．105i - D ．105i 33- 2．“1m =”是“复数(1i)(1i)z m =++ (m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是A ．不存在0x ∈R, 02x>0 B ．存在0x ∈R, 02x ≥0C ．对任意的x ∈R, 2x≤0D ．对任意的x ∈R, 2x>04．在用数学归纳法证明凸n 边形内角和定理时,第一步应验证 A ．1n =时成立 B ．2n =时成立 C ．3n =时成立 D ．4n =时成立5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)=f ' A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e6．若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．曲线311y x =+在点(1,12)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是 A ．75B ．752C ．27D ．2728．已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===，现给出如下结论： ①(0)(1)0f f ⋅>；②(0)(1)0f f ⋅<；③(0)(3)0f f ⋅>；④(0)(3)0f f ⋅< 其中正确结论的序号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 9．设a R ∈,若函数e ,x y ax x R =+∈有大于零的极值点,则 A ．1a <-B ．1a >-C ．1e a >-D ．1ea <- 10．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则A ππ()()43>B ．(1)2()sin16πf f <C ππ()()64f >D ππ()()63f <二、填空题：11．观察下列等式:332333233332123,1236,123410+=++=+++=,…,根据上述规律,第五个等式为__________.12．已知322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b ⋅=__________. 13．已知函数3()3f x x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =__________. 14．已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上可导，其图象如图，记()y f x =的导函数()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集是__________. 15．若函数21()43ln 2f x x x x =-+-,x 在[],1t t +上不单调，则t 的取值范围是__________.16．若关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为__________. 三、解答题：17．已知函数()e 1x f x x =-- （1）求函数()f x 的最小值； （2）设21()2g x x =，求()y f x =的图象与()y g x =的图象的公共点个数。
天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 政治.pdf
天津市耀华中学2013-2014学年度第二学期期中形成性检测 高二年级文科 政治试卷 卷(60分) ★请同学们将试题答案填涂在答题卡上 1伴随着“中国好声音”选秀节目的走红，带动了新一轮彩铃销售热潮，有人将彩铃形容为“把耳朵叫醒的听觉经济”。
这表明彩铃 A有使用价值但没有价值 B．是用于交换的非劳动产品 C有价值但没有使用价值 D．既有使用价值又有价值 2．2013年8月5日，人民币汇率中间价为l美元对人民币6176 7元。
而2013年1月4，人民币汇率中间价为l美元对人民币6289 7元。
人民币对美元汇率的这种变化对我国进出口的影响是(图中虚线表示变化后的状况) A．①③ B．②④ C．①④D．②③ 3．2013年5月30日，全国经济体制改革工作会议在北京召开。
国家发改委强调，要抓住当前物价水平总体稳定的有利时机，积极稳妥推进资源性产品价格改革，逐步建立反映市场供求关系、资源稀缺程度、环境损害成本的价格形成机制。
对“资源性产品”进行“价格改革”的原因是 A．价格与供求的双向互动能实现资源的优化配置 B．价格是在国家宏观调控中形成的 ．价格决定供求，引导生产的发展 D．价格机制是实现资源优化配置的唯一手段 4党的十八大报告提出，要千方百计增加居民收入，到2020年实现居民收入倍增目标。
实现居民收入倍增有利于 ①扩大消费，拉动经济增长②消除收入差距，实现社会公平③实现全面建成小康社会的目标④扩大就业，创造更多的就业岗位 A①② B．①③ C．②④ D③④ 5．《江苏省“十二五”科技发展规划》指出，到2015年，自主将成为江苏经济社会发展的主要推动力，其中，全社会研发投入占地区生产总值的比重达2．5％，科技进步对经济增长贡献率达60％以上。
江苏省高度重视科技的经济学依据是 A．生产和消费的辩证统一关系 B．科学技术是第一生产力 C．科技是人类社会赖以存在和发展的基础 D．科学技术可以迅速提高人民生活水平 6．国有企业是我国国民经济的支柱，中央企业是我国国企的主力军。
天津耀华高二数学期中试卷
天津市耀华中学2015—2016学年第一学期期中形成性检测高二年级（实验四）数学试卷一、选择题1.已知,,,βαβα⊂⊂=b a l 且b a ,为异面直线，那么直线l （ ）（A ）至多与b a ,中的一条相交 （B ）至少与b a ,中的一条平行（C ）与b a ,都相交 （D ）至少与b a ,中的一条相交2.如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 一定不经过（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3.对于直线n m ,和平面α，下面命题中的真命题是（ ）（A ）如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么α//n（B ）如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n 与α相交（C ）如果n m n m ,,//,αα⊂是共面，那么n m //（D ）如果n m n m ,,//,//αα是共面，那么n m //4.圆0744221=+-++y x y x C ：和圆013104222=+--+y x y x C ：的公切线有（）（A ）1条 （B ）3条 （C ）4条 （D ）以上均错5.设γβα，，为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出下列命题：①若，，βαβα⊥//则γβ⊥；②若，，γβγα⊥⊥且，l =βα 则γ⊥l ；③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β；上述命题中，正确命题的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36.下列四个正方体图形中，B A ,为正方体的两个顶点，P N M ,,分别为其所在棱的中点，能得出MNP AB 平面//的图形的序号是（ ）（A ）①④ （B ）①③ （C ）②③ （D ）②④7.圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个8.直三棱柱111C B A ABC -中，,90︒=∠BAC M 与N 分别是11B A 与11C A 的中点，且1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）（A ）101 （B ）1030 （C ）52 （D ）22 9.已知点())0(,≠ab b a M 是圆2221r y x C =+：内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m与直线,:2r by ax l =+则（ ）（A ）l m //，且l 与圆相交 （B ）l m ⊥，且l 与圆相交（C ）l m //，且l 与圆相离 （C ）l m ⊥，且l 与圆相离10.如图，在大小为︒45的二面角D EF A --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 与C 两点间的距离是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）2-311.已知圆C 的方程是042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值为（ ）（A ）5-3 （B ）53+ （C ）56-14 （D ）5614+12.如图所示，空间四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的长为4和5，则平行于两条对角线的截面四边形EFGH 在平行移动的过程中，四边形EFGH 周长的取值范围是（ ） （A ）()108，（B ）()105， （C ）()54， （D ）()96，二、填空题13.已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是 2cm14.若两直线()()0112=--++y a x a 与()()02321=+++-y a x a 相互垂直，则a =15.直线l 将圆04222=--+y x y x 平分且不通过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是16.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点F E ,，且22=EF , ①BE AC ⊥②ABCD EF 平面//③三棱柱BEF A -的体积为定值④异面直线AE 和BF 所成的角为定值。
天津市耀华中学2013届高三数学第二次校模拟考试试题 理(含解析)
2013年天津市耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）（2008•辽宁）复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念．解答：解：依题：∴虚部为故选B．点评：本题是对基本概念的考查．2．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）①已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“a6+a7＞0”是“S9≥S3”的充要条件②命题“存在实数x，使x＞l”的否定是“对任意实数x，使x＜1”③命题“若x2﹣4x+3=0，则x=l或x=3”的逆否命题为“若x≠1或x≠3，则x2﹣4x+3≠0④若p∨q为假命题，则p、q均为假命题．A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：对①，利用等差数列的性质判断即可；对②，根据特称命题的否定为全称命题来判断即可；对③，根据逆否命题的定义及逻辑连接词“或、且”的含义来判断即可；对④，根据复合命题真值表判断即可．解答：解：对①，∵a6+a7=a5+a8=a4+a9＞0，∴S9﹣S3=a4+a5+…+a9＞0，∴a6+a7＞0⇒S9＞S3；而S9≥S3时，a6+a7＞0不一定成立，故①错误；对②，命题“存在实数x，使x＞l”的否定应是“对任意实数x，使x≤1”，故②错误；对③，命题“若x2﹣4x+3=0，则x=l或x=3”的逆否命题应为“若x≠1且x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故③错误；对④，根据复合命题真值表，若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，④正确．故选C．点评：本题借助考查命题的真假判断，考查等差数列的性质、特称命题的否定及复合命题的真假判定．3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．4．（5分）设二项式（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3，0，求出A，B，再列出方程求出a．解答：解：展开式的通项为Tr+1==（﹣a）r 令6﹣=3，得r=2，则A==15a2令6﹣=0，得r=4，则B==15a4∵B=4A∴15a4=4×15a2∵a＞0，∴a=2．故选B．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选S．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）在△AB C中，设，则sinB的值为（）A．B．1C．D．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析：在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A﹣C=，求得sin的值，可得 cos的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．解答：解：在△ABC中，∵a+c=2b，由正弦定理可得 sinA+sinC=2sinB，∴2sin cos=4sin cos．再由A﹣C=，可得 sin cos=2sin cos，解得sin=，∴cos=．故sinB=2sin cos=，故选D．点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的余弦公式、以及和差化积公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•天津模拟）在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ=1，①同理可得=，由D、M、F三点共线，可得λ+μ=1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解答：解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故===（λ﹣μ）+μ=2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ=1，即2λ﹣μ=1，①同理可得===，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）=1，即λ+μ=1，②综合①②可解得λ=，，故实数λ与μ的乘积=故选B点评：本题考查平面向量基本定理即意义，涉及三点共线的结论，属中档题．8．（5分）（2013•浙江模拟）已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值是（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径减去y轴与准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的y轴距离之和的最小为：|FC|﹣r﹣1=﹣1﹣1=，故选B．点评：本题主要考查了抛物线的定义的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上9．（5分）对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是46 、45 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：直接利用茎叶图，求出该样本的中位数、众数，即可．解答：解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：=46．出现次数最多的数是45，故众数是45．故答案为：46，45．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．10．（5分）已知直线PA切⊙O于点A，PBM是⊙O的一条割线，如图所示有∠P=∠BAC，若PA=，BM=9，BC=5，则AB= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：先根据切割线定理得到PA2=PB•PM，求出PB的长；结合PA为⊙O的切线，∠PAB=∠ACB，又有∠P=∠BAC得到△PAB∽△ACB，得到，进而求出结果．解答：解：∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，∴PA2=PB•PM，即PA2=PB•（PB+BM），又∵PA=，BM=9，∴（）2=PB•（PB+9），∴PB=7，又∵PA为⊙O的切线，∴∠PAB=∠ACB，又有∠P=∠BAC，∴△PAB∽△ACB，∴，∴AB===故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切割线定理，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．11．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题意三视图可知，几何体是有3个圆柱体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为1的圆柱与一个底面半径为1，高为4的圆柱组成的几何体，所以几何体的条件为V=2×22π×1+12π×4=12π．故答案为：12π．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．12．（5分）已知数列{a n}满足，则的最小值为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{}是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值．解答：解：∵∴，=1∴数列{}是以10为首项，1为公差的等差数列∴=n+9∴==n++11∵y=n+在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增∴n=4时，取得最小值为故答案为：点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查数列的最值，取得数列的通项是关键．13．（5分）若关于x的不等式2﹣x2≥|x﹣a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：原不等式为：2﹣x2≥|x﹣a|，我们在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．解答：解：不等式为：2﹣x2≥|x﹣a|，且0≤2﹣x2．在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由可得 x2﹣x+a﹣2=0，再由△=0 解得a=．数形结合可得，实数a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．（5分）函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．考点：复合三角函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函数的单调性可得1﹣2sin2θ+2msinθ＜2m+2，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．解答：解：∵函数f（x）在R上是奇函数，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0 ∴f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）∵y=f（x）是减函数，∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．∴1﹣2sin2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．设t=sinθ∈[0，1]，等价于2t2﹣2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．只要g（t）=2t2﹣2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1≥0，所以可得：0＞m≥﹣（2）当0≤m≤1时，最小值为g（）=﹣m2+2m+1≥0，所以可得：0≤m≤1（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2≥0恒成立，得：m＞1，综之：m≥﹣为所求的范围．故答案为：m≥﹣．点本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思评：想，属于中档题．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f（B）=1，求的值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到，直接由即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；（Ⅱ）由B为锐角，利用f（B）=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c 成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）==﹣2===．故f（x）max=1，此时，得．所以取得最大值的x的集合为{x|}．（Ⅱ）由f（B）=，又∵0＜B＜，∴．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴==．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”．是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．16．（13分）一个袋子中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，若取至一个白球得2分，取到一个黑球得3分，（I）若无放回地依次抽取3个小球，求得分不少于7分的概率．（II）若从袋子中有放回地依次取出3只球，求总得分ξ的概率分布列及期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从5个球中无放回地依次抽取3个小球共有种方法，可得所求事件的对立事件共1种情形，可得其概率，进而可得所求；（II）由题意可得甲的总得分ξ共有有6、7、8、9四种情况，分别求得概率，进而可得ξ的概率分布列和期望．解答：解：（I）从5个球中无放回地依次抽取3个小球共有种方法，记“无放回地依次抽取3个小球，得分不少于7分”为事件A，其对立事件为“无放回地依次抽取3个小球，得分少于7分”即抽到的是3只白球，仅1种情况．故可得P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=（II）由题意可得甲的总得分ξ共有有6、7、8、9四种情况，P（ξ=6）==，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）==故ξ的概率分布列为：ξ 6 7 8 9P \frac{27}{125} \frac{36}{125} \frac{8}{125}故甲总得分的数学期望Eξ==点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．（I）证明CD⊥平面POC；（II）求二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值．（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出，若不存往，清说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）过C点作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC=、CD=2且OD=，由勾股定理的逆定理证出OC⊥CD．利用面面垂直的性质与线面垂直的性质，证出PO⊥CD，结合线面垂直判定定理即可证出CD⊥平面POC；（II）设CD的中点为F，连结OF，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O﹣xyz．可得C、D、P、O各点的坐标，从而可得、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量，同理求出平面PCD的一个法向量为=（，，1）．利用空间向量夹角公式算出、夹角的余弦值为，即可得到二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值；（III）设侧棱PC上存在点M且=λ，使得BM∥平面POD．算出向量=（﹣λ，﹣λ+1，2λ），根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到•=0，解出，由此即可得到在侧棱PC上存在点M，当=时满足BM∥平面POD．解答：解：（I）平面ABCD内，过C点作CE⊥AD于E∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2 Rt△CDE中，DE=2，可得CD==2∵Rt△BOC中，BO=AB=1，BC=1，∴OC==同理，得OD==∴OD2=10=OC2+CD2，可得△OCD是以CD为斜边的直角三角形，∴OC⊥CD∵PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，结合CD⊂平面ABCD，得PO⊥CD∵PO、OC是平面POC内的相交直线，∴CD⊥平面POC；（II）设CD的中点为F，连结OF，则直线OB、OF、OP两两互相垂直，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，如图所示则C（1，1，0），D（﹣1，3，0），P（0，0，2），可得=（0，0，2），=（﹣1，3，0），设=（x，y，z）为平面P0D的一个法向量，则，取y=1，得x=3且z=0，得=（3，1，0）同理求出平面PCD的一个法向量为=（，，1）∵cos＜，＞===∴二面角C﹣PD﹣O的平面角的余弦值等于；（III）设侧棱PC上存在点M，使得BM∥平面POD，此时=λ，则∵=（1，1，﹣2），=（0，1，0）∴=λ=（﹣λ，﹣λ，2λ），可得=+=（﹣λ，﹣λ+1，2λ），∵BM∥平面POD，=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量∴•=﹣3λ﹣λ+1=0，解之得因此，侧棱PC上存在点M，当=时满足BM∥平面POD．点本题给出特殊的四棱锥，求证线面垂直、求二面角的余弦值并探索线面垂直的存在评：性．着重考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．18．（13分）（2011•昌平区二模）已知数列{a n}满足a1=，且对任意n∈N*，都有．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）试问数列{a n}中a k﹣a k+1（k∈N*）是否仍是{a n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．（Ⅲ）令，证明：对任意n∈N*，都有不等式成立．考点：用数学归纳法证明不等式；等差关系的确定；数列与不等式的综合．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）条件可变形为a n a n+1+2a n=4a n a n+1+2a n+1，整理得2a n﹣2a n+1=3a n a n+1，两边同除以a n a n+1，可得，从而可得数列是以为首项，公差为的等差数列．（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以，从而可得=．只需证明是正整数即可．（Ⅲ）由（II）知：，．下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．对于当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2，从而可证．解答：解：（Ⅰ）∵∴a n a n+1+2a n=4a n a n+1+2a n+1，即2a n﹣2a n+1=3a n a n+1，所以所以数列是以为首项，公差为的等差数列．（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以∴=．因为当k∈N*时，一定是正整数，所以是正整数．所以a k﹣a k+1是数列{a n}中的项，是第项．（Ⅲ）证明：由（II）知：，．下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．（1）当n=1时，显然25＞52，不等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2即有：也成立．综合（i）（ii）知：对任意n∈N*，都有不等式成立．点评：本题以数列递推式为载体，考查等差数列的定义，考查不等式的证明，解题的关键是正确利用递推式求通项，掌握数学归纳法的证题步骤．19．（14分）已知椭圆的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=2，b2=3，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2，A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理可得x1+x2=﹣，x1x2=，从而求得|AQ|=；再设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），可求得，|x4|=，从而得|OP|=•；继而可求得的值．解：（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，y M）代入椭圆方程解答：+=1，解得y M=±，…（2分）故=3，可得b2=3．…（4分）所以，椭圆方程为+=1．…（6分）（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），则|AR|=2，…（8分）设A（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消去y得：（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则|AQ|=|x1﹣x2|==．…（11分）设y=kx与椭圆交另一点为M（x3，y3），P（x4，y4），联立方程组，消去y得（4k2+3）x2﹣12=0，|x4|=，所以|OP|=|x4|=•．…（13分）故==2．所以等于定值2…（15分）点评：本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．20．（14分）已知函数 f（x）=x2+2lnx+aln（1+x2）．（I）若a=求f（x）的极值；（II）已知f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2（i）求a的取值范围（ii）求证：f（x1）＜1﹣4ln2（III） a=0时，求证[f'（x）]n﹣2n﹣1f'（x n）≥2n（2n﹣2）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（I）a=﹣时求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号即可求得其极值；（II）（i）求导数f′（x）=，令t=x2，问题转化为方程t2+（a+2）t+1=0有两个不同正根，从而有，解出即得a的范围；（ii）由（i）知x1，x2为方程x4+（a+2）x2+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x1＜1，再由a＜﹣4，得f（x1）=+2lnx1+aln（1+）＜+2lnx1﹣4ln（1+），令g（x1）=+2lnx1﹣4ln（1+），利用导数可判断g（x1）的单调性，由单调性得g（x1）＜g（1），整理后即得结论；（III）a=0时求出，，则左边[f'（x）]n ﹣2n﹣1f'（x n）=2n（++），令S n=++，利用倒序相加法可得2S n，再运用基本不等式即可证明；解解：（I）a=﹣时，f（x）=x2+2lnx﹣ln（1+x2）（x＞0），f′（x）=2x+﹣答：=，当0＜x＜时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故f（x）极小=f（）=2+ln2﹣，f（x）极大=f（）=．（II）由（I）计算过程不难计算出f′（x）=，令t=x2，故只需t2+（a+2）t+1=0有两个不同正根，即，所以a的范围为a＜﹣4．因此x1，x2为方程x4+（a+2）x2+1=0的两根，且结合韦达定理可知，0＜x1＜1，再由a＜﹣4，所以f（x1）=+2lnx1+aln（1+）＜+2lnx1﹣4ln（1+），令g（x1）=+2lnx1﹣4ln（1+），易知g′（x1）≥0，即g′（x1）单调递增，所以g（x1）＜g（1）=1﹣4ln2，从而命题得证．（III）a=0时，f（x）=x2+ln2x，所以，，故左边[f'（x）]n﹣2n﹣1f'（x n）=2n（++），令S n=++，利用倒序相加法可得，2S n=（x n﹣2+）+（x n﹣4+）+…+（x n﹣4+）+（+x n﹣2）≥2（++…++）=2（2n﹣2），从而命题得证．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查二次方程根的分布及二项式定理，考查学生综合运用知识解决问题的能力，解决（III）问的关键是利用倒序相加法其S n．。