题型16

高中物理学习材料

（灿若寒星**整理制作）

题型16 带电粒子在复合场中的运动

1．如图1所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在水平的x 轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B ，方向垂直xOy 平面向里，电场线平行于y 轴，一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小球，从y 轴上的A 点水平向右抛出，经x 轴上的M 点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x 轴上的N 点第一次离开电场和磁场，M 、N 之间的距离为L ，小球过M 点时的速度方向与x 轴的方向夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，求：

图1

(1)电场强度E 的大小和方向；

(2)小球从A 点抛出时初速度v 0的大小； (3)小球从A 点运动到N 点的时间t .

答案 (1)mg q ，方向竖直向上 (2)qBL

2m tan θ

(3)qBL 2mg ＋2mθqB

解析 (1)小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，有：qE ＝mg ，则E ＝mg

q ，电场强度方

向竖直向上．

(2)小球做匀速圆周运动，设半径为r ，

由几何关系知：sin θ＝L

2r

设小球做圆周运动的速率为v ，有：q v B ＝m v 2

r

由速度的合成与分解得：cos θ＝v 0

v

得：v 0＝qBL

2m tan θ

.

(3)设小球到M 点的竖直分速度为v y ， v y ＝v 0tan θ＝gt 1

t 1＝qBL 2mg

在磁场中运动时间为：t 2＝2θ2π·2πm qB ＝2mθ

qB

运动总时间为：t ＝t 1＋t 2＝qBL 2mg ＋2mθ

qB

.

2．(2014·天津·12)同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图2所示的模型．M 、N 为两块中心开有小孔的平行金属板．质量为m 、电荷量为＋q 的粒子A (不计重力)从M 板小孔飘入板间，初速度可视为零．每当A 进入板间，两板的电势差变为U ，粒子得到加速，当A 离开N 板时，两板的电荷量均立即变为零．两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A 在磁场作用下做半径为R 的圆周运动，R 远大于板间距离．A 经电场多次加速，动能不断增大，为使R 保持不变，磁场必须相应地变化．不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应．求：

图2

(1)A 运动第1周时磁场的磁感应强度B 1的大小； (2)在A 运动第n 周的时间内电场力做功的平均功率P n ；

(3)若有一个质量也为m 、电荷量为＋kq (k 为大于1的整数)的粒子B (不计重力)与A 同时从M 板小孔飘入板间，A 、B 初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变．下图中虚线、实线分别表示A 、B 的运动轨迹．在B 的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映A 、B 的运动轨迹，并经推导说明理由．

答案 (1)1

R

2mU q (2)qU

πR nqU

2m

(3)A 理由见解析 解析 (1)设A 经电场第1次加速后速度为v 1，由动能定理得qU ＝1

2m v 21－0①

A 在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力

q v 1B 1＝m v 21

R

②

由①②式得B 1＝1R 2mU

q .③

(2)设A 经n 次加速后的速度为v n ，由动能定理得

nqU ＝12m v 2n

－0④

设A 做第n 次圆周运动的周期为T n ，有T n ＝2πR

v n ⑤

设在A 运动第n 周的时间内电场力做功为W n ，则 W n ＝qU ⑥

在该段时间内电场力做功的平均功率为P n ＝W n

T n

⑦ 由④⑤⑥⑦式解得P n ＝

qU πR

nqU

2m

.⑧ (3)A 图能定性地反映A 、B 运动的轨迹．

A 经过n 次加速后，设其对应的磁感应强度为

B n ，A 、B 的周期分别为T n 、T ′，综合②⑤式

并分别应用A 、B 的数据得T n ＝2πm

qB n

T ′＝2πm kqB n ＝T n

k

由上式可知，T n 是T ′的k 倍，所以A 每绕行1周，B 就绕行k 周．由于电场只在A 通过时存在，故B 仅在与A 同时进入电场时才被加速．

经n 次加速后，A 、B 的速度分别为v n 和v n ′，考虑到④式v n ＝ 2nqU

m

v n ′＝

2nkqU

m

＝k v n 由题设条件并考虑到⑤式，对A 有T n v n ＝2πR

设B 的轨迹半径为R ′，有T ′v n ′＝2πR ′

比较上述两式得R ′＝R

k

上式表明，运动过程中B 的轨迹半径始终不变． 由以上分析可知，两粒子运动的轨迹如图A 所示．

3．一圆筒的横截面如图3所示，其圆心为O ，筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆筒左侧有相距为d 的平行金属板M 、N ，其中M 板带正电荷，N 板带等量负电荷．质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边缘的P 处由静止释放，经N 板的小孔S 以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中．粒子与圆筒发生3次碰撞后仍从S 孔射出．设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

图3

(1)M 、N 间电场强度E 的大小； (2)圆筒的半径R ；

(3)欲使粒子仍从M 板边缘的P 处由静止释放，进入圆筒后与圆筒碰撞2次后从S 孔射出，在保持M 、N 间电场强度E 不变的情况下，应如何平移M 板？

答案 (1)m v 22qd (2)m v

qB (3)向左平移2d

解析 (1)设两板间的电压为U ，由动能定理得 qU ＝12m v 2

由匀强电场中电势差与电场强度的关系得U ＝Ed

联立解得E ＝m v 2

2qd

.

(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由于粒子与圆筒发生3次碰撞又从S 孔射出，由几何关系知r ＝R

粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，得q v B ＝m v 2

R

联立解得R ＝m v

qB

.

(3)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心为O ′，圆半径为r ′.设第一次碰撞点为A ，由于粒子与圆筒发生2次碰撞又从S 孔射出，因此，SA 圆弧所对的圆心角∠AO ′S ＝π3

由几何关系得r ′＝R tan π

3

粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，得q v ′B ＝m v ′2

r ′

设粒子做匀速圆周运动的轨道半径为r ′，则r ′＝3m v

qB

可得v ′＝3v

由qU ＝12m v 2

可看出：U ′U ＝v ′2v 2

则U ′＝3U ＝Ed ′，得d ′＝3d

所以应将M 板向左平移距离Δd ＝d ′－d ＝2d .

4．如图4所示的平面直角坐标系中，在y >0的区域存在匀强电场，场强沿y 轴负方向，在y <0的区域存在匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面向外．一电荷量为q 、质量为m 的带正电粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后经过x 轴上x ＝2h 处的P 2点进入磁场．不计粒子重力．

图4

(1)求电场强度的大小；

(2)若粒子进入磁场后，接着经过了y 轴上y ＝－2h 处的P 3点，求磁感应强度的大小； (3)若只改变磁场的大小(仍为匀强磁场)，让粒子仍从P 1经P 2沿原路径进入磁场后，为了使粒子能再次通过P 2点，求磁感应强度的大小满足的条件．

答案 (1)m v 202qh (2)m v 0

qh

(3)m v 02qh 或(n ＋1)m v 02nqh (n ＝1,2,3,4…) 解析 (1)粒子运动轨迹如图甲所示

在电场中，a ＝Eq m

2h ＝v 0t h ＝12

at 2 解得E ＝m v 20

2qh

.

(2)在电场中v y ＝at ＝v 0

进入磁场的速度v ＝v 2

0＋v 2y ＝2v 0，方向与x 轴成45°

在磁场中，连接P 2、P 3两点，

由几何关系知，P 2P 3为圆弧的直径，所以R ＝2h ，

又由q v B ＝m v 2R ，所以B ＝m v qR ＝m v 0

qh

.

(3)设满足条件的磁感应强度为B ′，下面分两种情况进行讨论．

第一种情况：根据对称性，轨迹关于y 轴对称，能过P 2点的轨迹如图乙所示，

由几何关系知R ＝22h 又由q v B ′＝m v 2R ，所以B ′＝m v qR ＝m v 0

2qh

第二种情况：如果轨迹与y 轴不对称，能过P 2点的轨迹如图丙所示，

设粒子此后在电场中偏转n 次后再经过P 2点，当n ＝1时，粒子在磁场中将偏转2次过P 2点，

R ＝21×4h 2(1＋1)＝21×2h

1＋1

当n ＝2时，粒子在磁场中将偏转3次过P 2点，R ＝22×4h 2(2＋1)＝22×2h

2＋1

……

当粒子在电场中偏转n 次时，粒子在磁场中将n ＋1次过P 2点，R ＝2

n ×4h 2(n ＋1)＝22nh

n ＋1

＝22

nh

n ＋1

(n ＝1,2,3，4…) 所以R ＝22nh

n ＋1

(n ＝1,2,3,4…)

又由q v B ′＝m v 2

R

，

所以B ′＝m v qR ＝(n ＋1)m v 0

2nqh

(n ＝1,2,3,4…)

所以过P 2点的条件是B ＝m v qR ＝m v 0qh 或B ′＝m v qR ＝(n ＋1)m v 0

2nqh (n ＝1,2,3,4…)．

【必考模型4】 带电粒子在组合场中的运动 1.模型特点：电场、磁场同时存在，但空间位置不同.

2.表现形式：(1)在电场中做匀加速直线运动，在有界磁场中做匀速圆周运动.(2)在电场中做类平抛运动，在有界磁场中做匀速圆周运动.

3.应对模式：这类问题实质是类平抛运动、直线运动和圆周运动组成的多过程问题，要善于把多过程分解，逐个击破.对于在电场中的加速和类平抛运动，要能熟练应用力和运动的方法以及功和能的方法求解.对于粒子在磁场中的圆周运动，关键是找圆心画出运动轨迹，并结合几何知识，求出半径或运动的时间.