第九章 期权估价-二叉树期权定价模型
简述期权定价的二叉树模型微分部分处理流程
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期权价值评估的方法--注册会计师辅导《财务成本管理》第九章讲义3
正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL)中华会计网校 会计人的网上家园 注册会计师考试辅导《财务成本管理》第九章讲义3期权价值评估的方法一、期权估价原理（一）复制原理与套期保值原理1.复制原理：构建一个股票和借款的适当组合（“自有资金＋借款”进行股票投资），使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权（到期日价值）相同，则投资于该组合的成本（自有资金部分），就是期权的价值。
2.套期保值原理：确定复制组合中的股票数量（套期保值比率）和借款数量。
例如，假设M 公司的股票现在的市价为20元。
有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为22元，到期时间是6个月，到期前预计M 公司不派发股利。
6个月以后股价有两种可能：上升25%，或者降低20%。
无风险利率为每年4%。
现构建一个用一定量自有资金加一部分借款投资于M 公司股票的组合，使得无论股价如何变动，该组合6个月后的损益与购进该看涨期权的到期日价值相等，则构建组合的成本（自有资金）就应等效于该看涨期权的当前价值。
推导过程如下： 上行乘数u ＝1＋上升百分比＝1＋25%＝1.25下行乘数d ＝1－下降百分比＝1－20%＝0.86个月后上行股价S u ＝20×1.25＝25元>执行价格22元，行权6个月后上行期权到期日价值C u ＝25－22＝3元6个月后下行股价S d ＝20×0.8＝16元<执行价格22元，弃权6个月后下行期权到期日价值C d ＝0设：复制组合中应购买的股票数量为H 股（套期保值比率），需借入的本金为B ，令：组合的到期日价值＝期权的到期日价值，可得：股价上行时（执行期权），有：25×H－B×（1＋2%）＝3……①股价下行时（放弃期权），有：16×H－B×（1＋2%）＝0……②由①－②，得：借款本金B ＝S d ×H×（1＋i ）－n＝16×0.3333/（1＋2%）＝5.23元期权价值（复制组合中的自有资金）C 0＝购买股票支出－借款本金＝20×0.3333－5.23＝1.44元 通过比较复制组合与看涨期权的到期日价值，可理解上述期权估价方法的正确性：1.基本原理1）风险中性原理。
金融工程学 第9章
= [ pc + (1 − p )c ]e
d
− rτ
e S0 − S e rτ − d here， p = u = d S −S u−d
d
rτ
9
例子
假设有一个股票买权合约，到期日为 年 假设有一个股票买权合约，到期日为1年，执行 价格为112美元，股票当前的价格为 美元， 美元， 价格为 美元 股票当前的价格为100美元，无 美元 风险利率为8％（连续复利折算为单利）。 ％（连续复利折算为单利）。在到 风险利率为 ％（连续复利折算为单利）。在到 期日股票的价格有两种可能： 美元或者60美 期日股票的价格有两种可能：180美元或者 美 美元或者 求期权的价值？ 元，求期权的价值？ S1=Su=uS0＝180 c1=cu=max(0, Su-112) ＝68 S1=Sd=dS0=60 c1=cd=max(0, Sd-112) ＝0
V = [(c − c ) /( S − S )]S − c = Be
u d u d u u
rτ
若S1＝Sd
V = [(c − c ) /( S − S )]S − c = Be
u d u d d d
rτ
15
这说明，上述风险性资产投资的组合相当 这说明， 于一个无风险的套期保值组合 所以， 所以，投资的风险态度对于这样的组合是 无关紧要。 无关紧要。 基于上述的理由， 基于上述的理由，只要以上述方式构建投 资组合来对期权定价， 资组合来对期权定价，就等价于假设投资 者是风险中性的， 者是风险中性的，由此就大大简化对期权 的推导过程。 的推导过程。
14
风险中性的另一种解释
若在期初构造如下组合： 的价格买入N 若在期初构造如下组合：以S0的价格买入 股股票，同时以c 的价格卖出一个期权， 股股票，同时以 0的价格卖出一个期权，则 该组合的投资成本为NS 该组合的投资成本为 0－c0，若无套利它 必然等于B。 必然等于 。 证明： 证明：若S1＝Su
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型是指基于二叉树构建的期权定价模型，该模型结合了终值定理（Binomial Option Pricing Model；BOPM）和二叉树的理论。
该模型的精确性比一般的期权定价模型（即欧式期权定价模型）要高，为投资者提供了更多的信息和选择。
二叉树期权定价模型以股票价格移动变量来构建定价模型，而欧式期权定价模型只考虑股票价格固定。
该模型使用二叉树，其中每个分支都对应一定的定价模型，以确定期权价格。
该方法有三个基本步骤：1）构建二叉树；2）确定期权执行价值；3）通过使用backward卷积，利用当前价格和当前的期权价值，来决定每个分支的期权价格。
二叉树期权定价模型具有不同的算法变种，它们能够捕获市场（股价）的单向和双向变化，以及波动性。
它比欧式期权模型更精确，也更灵活，可以捕获一系列特殊事件，比如空头期权，复合期权，多元期权，多档次期权。
此外，二叉树期权定价模型还能够用来估算期权的损失或收益，并对复杂的期权进行定价。
总的来说，二叉树期权定价模型是一种简单的，有效的，能够捕获市场变化的定价模型，为投资者提供了更多的信息和选择。
该模型比较早出现于二十世纪九十年代，自此后逐渐普及，并得到广泛应用。
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
二叉树定价模型公式
二叉树定价模型公式一、引言二叉树定价模型是金融衍生品定价中常用的一种模型，其基本原理是将金融衍生品的未来现金流量进行离散化，并通过构建二叉树来模拟其未来可能的价格变动，从而计算得到衍生品的定价。
二、二叉树定价模型的基本原理二叉树定价模型是基于离散时间和离散价格的模型，它假设在每个时间点上，价格只有两种可能的变动方向，即上涨或下跌。
根据这种假设，可以构建一棵二叉树，其中每个节点表示一个时间点，每个节点的两个子节点分别表示价格上涨和下跌的情况。
通过计算每个节点的期望价格，可以得到衍生品的定价。
三、二叉树的构建需要确定二叉树的层数，即模拟的时间段。
然后，在每个时间点上，需要确定上涨和下跌的幅度以及对应的概率。
一般情况下，可以根据历史数据或市场预期来确定这些参数。
根据上涨和下跌的幅度和概率，可以计算出每个节点的期望价格。
四、期权定价对于期权的定价，可以使用二叉树模型来计算。
期权是一种金融衍生品，它给予持有人在未来某个时间点上以指定价格购买或出售某个标的资产的权利。
根据期权的特性，可以将其分为两类：看涨期权和看跌期权。
1. 看涨期权定价对于看涨期权，持有人有权以事先约定的价格在未来购买标的资产。
在二叉树模型中，可以计算每个节点上看涨期权的价值。
对于每个节点，计算看涨期权的价值等于期权在上涨和下跌两种情况下的价值的加权平均值。
最后，通过逐层回溯计算，可以得到期权的定价。
2. 看跌期权定价对于看跌期权，持有人有权以事先约定的价格在未来出售标的资产。
在二叉树模型中，可以计算每个节点上看跌期权的价值。
同样地，计算看跌期权的价值等于期权在上涨和下跌两种情况下的价值的加权平均值。
最后，通过逐层回溯计算，可以得到期权的定价。
五、优缺点分析二叉树定价模型的优点在于它相对简单，易于理解和计算。
它可以在离散的时间点上模拟未来价格变动，并且可以灵活地调整模型参数来适应不同的市场情况。
此外，二叉树定价模型还可以应用于不同类型的金融衍生品的定价，包括期权、期货、利率互换等。
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
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2015年注册会计师资格考试内部资料
财务成本管理
第九章 期权估价
知识点：二叉树期权定价模型
● 详细描述：
一、单期二叉树模型
关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。
以风险中性原理为例：
根据前面推导的结果：
代入（1）式有:
二、两期二叉树模型
如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。
由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
三、多期二叉树模型
原理从原理上看，与两期模型一样
，从后向前逐级推进
乘数确定期数增加以后带来的主要问题
是股价上升与下降的百分比如
何确定问题。
期数增加以后
，要调整价格变化的升降幅度
，以保证年收益率的标准差不
变。
把年收益率标准差和升降
百分比联系起来的公式是：
u＝1＋上升百分比＝ d＝1－下
降百分比＝ 其中：e＝自然常
数，约等于2.7183 σ＝标的资
产连续复利收益率的标准差
t＝以年表示的时间长度（每期
时间长度用年表示）
做题程序：
（1）根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式） （2）建立股票价格二叉树模型
（3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
构建顺序由后向前，逐级推进。
——复制组合定价或者风险中性定价。
（4）确定期权的现值
例题：
1.如果股票目前市价为50元，半年后的股价为51元，假设没有股利分红，则
连续复利年股票投资收益率等于（）。
A.4%
B.3.96%
C.7.92%
D.4.12%
正确答案：B
解析：r=ln(51/50)/0.5=3.96%。