“恒成立”问题的解法
恒成立问题的解法20141009
取值范围．
【解】
(1)令 F(x)＝ g(x)－ f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ k.
问题转化为 F(x)≥0 在 x∈[－ 3， 3]时恒成立， 故解 [F(x)]min≥0 即可． ∵ F′ (x)＝ 6x － 6x－ 12＝ 6(x － x－ 2)， 故由 F′(x)＝ 0，得 x＝ 2 或 x＝－ 1. ∵ F(－ 3)＝ k－ 45， F(3)＝ k－ 9， F(－ 1)＝ k＋ 7， F(2)＝ k－ 20， ∴ [F(x)]min＝ k－ 45， 由 k－ 45≥ 0，解得 k≥ 45， 故实数 k 的取值范围是[45，＋∞ )．
3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端 点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的 也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只 要不在端点处取必定是极值．
利用导数解不等式恒成立问题 利用导数研究某些函数的单调性与最值，可以解 决一些不等式证明及不等式恒成立问题，如利用 “f(x) ＜ a 恒 成 立 ⇔ f(x)max ＜ a” 和 “f(x) ＞ a⇔f(x)min＞a”的思想解题．
1：当 a 1,3 时，不等式 x 2 ax 2 0 恒成立，则 x 的范围为 ．
x＞－1或x＜－2
对于一次函数f x kx b(k 0)， x [m，n]，有 f m 0 ； 1 f x 0恒成立 f n 0 f m 0 . 2 f x 0恒成立 f n 0
6＋6a＋ 3b＝0 即 . 24＋ 12a＋ 3b＝0
解得 a＝－3，b＝4. 3 2 (2)由(1)可知，f(x)＝2x － 9x ＋ 12x＋8c， 2 f′ (x)＝ 6x －18x＋ 12＝6(x－ 1)(x－2)． 当 x∈ (0,1)时，f′ (x)>0； 当 x∈ (1,2)时，f′ (x)<0； 当 x∈ (2,3)时，f′ (x)>0.
高考数学导数恒成立问题的解法及例题
高考数学导数恒成立问题的解法
对于恒成立问题，一般采取的方法有两种：一是利用函数的单调性，二是利用函数的最值。
1. 利用函数的单调性
如果函数f(x)在区间D上单调，可以根据函数的单调性来解决问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，那么只需要找到满足f(x)min > 0的x值即可。
2. 利用函数的最值
如果函数f(x)在区间D上不是单调的，那么可以转化为求函数的最值问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，可以转化为求f(x)的最小值，只要最小值大于0，那么不等式就恒成立。
例题：已知函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上都不小于2，求a的取值范围。
解法：首先根据题意得到函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上的最小值为2，然后根据二次函数的性质得到对称轴为x=-b/2a=-a/2。
我们需要分三种情况讨论：
1. 当-a/2≤-1时，即a≥2时，函数在[-1,2]上是增函数，只需要满足f(-1)=1-a+4≥2即可，解得a≤3，所以2≤a≤3；
2. 当-a/2≥2时，即a≤-4时，函数在[-1,2]上是减函数，只需要满足
f(2)=4+2a+4≥2即可，解得a≥-4，但是此时a没有合适的取值，故舍去；
3. 当-1<-a/2<2时，即-4<a<2时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，只需要满足f(-a/2)=(-a/2)2-a2/4+4≥2即可，解得-4<a≤-2。
综上可得a的取值范围为：[-4,-2]∪[2,3]。
10、恒成立问题的解法
函数 y1 的图像须位于函数 y2 图像的上方，则
由图可得 x (1, 0)
方法四、变更主元法： 先看一个例子：
例1、不等式 mx2 2x m 1 0 对于m 2,2 恒成立,求 x 的范围
表面看是求范围，但似乎和我们前面见到的范围题有所不 同，前面都是求系数的范围，而这里是求自变量的范围，都 不用仔细看就知道这是解一元二次不等式，（心中窃喜！） 可真的仔细一看又发现不对，若m没有限制我还能解，有了 限制还真没招！没解过这样的题，怎么办？ ——转化！ 转化成已解过的题，解过题的特征是求系数的范围，那我就 把x看成系数，m看成自变量——这就是变更主元！ 具体做法如下：
m 4 1 m 3 3 1 m3 或 m 7 5 3 1 2 m 1 2m m 或m , 2 4 4 2 2
练习：若x 2,2时，不等式 x2 ax 3 a 恒成立，求a的范围
令 f x x2 ax 3 a. 显然用性质（3）
1 f x 0对一切x R恒成立 a 0且 b2 4ac 0; 2 f x 0对一切x R恒成立 a 0且 b2 4ac 0;
b b m n 或 2a ; 3 f x 0 a 0 在x m, n 上恒成立 0或 2a f m 0 f n 0
即 a x 2 2 x 2 2 x 0 对任意 a 0, 都成立，
x2 2 x 于是 a 2 对任意 a 0, 都成立， x 2 x 2 2 x 2 x 0. 只需 0 2 x 2
注意：像例1）并不能用分离变量法，只是此题特殊， 不具有普遍性！
恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
恒成立问题的解法
5
题型二 转化为二次函数问题求解。 x 的不等式 x 2 ax a 0 例2（1）若关于 的解集为 (,) ，求实数 a 的取值范围； （2）若函数 y mx2 6mx m 8定义域为R，求m的 取值范围。 （3）已知函数 f ( x) x 2 ax 3 a 若 x [2,2]时恒
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： a <0 a=b=0 或
C<0 Δ=b -4ac<0 ______________________。
2
ａ≥[f (x)] max ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;
ａ≤[f (x)] min ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
f ( x) 0 成立，求实数a的取值范围。
6
小结：
二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
7
题型三 利用一次函数求解 2 例3：已知不等式 x 4 x p px 3 ，在 p 0, 4 上恒成立，试求实数x的取值范围。
8
小结：
一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
3
例题讲解 题型一 分离变量利用函数的最值求解 例1 （1）已知不等式， 2 2 x a 0 x
恒成立，ax 4 0 在 [1,) 上恒成立，求实数a的取值范围。
2
4
小结：
通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)） 恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法， 使问题获解。
11
9
题型四 利用函数图像求解 2 例4：已知不等式 ( x 1) loga 上恒成立，求实数a的取值范围。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
不等式 恒成立问题
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
函数的恒成立问题
函数的恒成立问题函数的恒成立问题是一个重要的数学概念，它涉及到函数的性质和不等式的解法。
这类问题在数学高考和数学竞赛中经常出现，是考察学生数学思维和解题能力的重要题型。
函数的恒成立问题是指对于某个区间内的所有x值，函数f(x)都满足某个条件或不等式，即f(x)恒成立。
解决这类问题通常需要运用函数的性质、导数、参数分离等多种方法。
具体来说，解决函数的恒成立问题可以通过以下几种方法：1. 函数性质法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，来证明函数恒成立。
2. 导数法：通过求函数的导数，研究函数的单调性和最值，进而证明函数恒成立。
3. 参数分离法：将参数与变量分离，转化为求函数的最值问题，再证明该最值满足条件。
4. 数形结合法：将函数与图形结合，通过观察图形的性质来证明函数恒成立。
举个例子，假设我们要求证函数f(x) = x^2 - 2x在区间[0,3]上恒成立。
我们可以采用以下步骤：1. 首先求出函数f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 2x - 2。
2. 然后通过分析f'(x)的符号，确定函数的单调性。
当f'(x) > 0时，f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，f(x)单调递减。
由此可知，f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增。
3. 接下来求出函数在区间端点的值，即f(0)、f(1)、f(3)。
计算得到f(0) = 0，f(1) = -1，f(3) = 3。
4. 最后比较这些值，发现f(0)、f(1)、f(3)都满足条件，因此可以证明函数f(x)在区间[0,3]上恒成立。
以上是解决函数恒成立问题的一种基本思路和方法，当然具体的解题过程可能因题目的不同而有所差异。
在解决这类问题时，需要灵活运用数学知识，注重思维方法的训练和解题技巧的提升。
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【例6】设
f ( x) x 4 x
2
,
,若恒有
f ( x) g ( x)
成立,求实数
a
的取值范围. 的图象
y
解：在同一直角坐标系中作出 如图所示， f
f ( x)
及
g ( x)
( x)
的图象是半圆
( x 2) 2 y 2 4( y 0)
x [2,3] 上有解，求实数 m
的范围.
y ( x 1) 解法一：当 x [2,3] 时， 9 m . ∴ 2
1 9 2 [4, ] x 1 2
解法二： f (2) 0 或 f (3) 0 ，∴ m
9 . 2
友情提醒：
关于“恒成立”问题的策略还有很多，对于某 些“恒成立”题目，不一定用一种方法，还可用多种 方法去处理。这就要求我们养成良好的数学思维，有 良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力， 使所见到的“恒成立”问题更有效地解决。
-2
g ( x) 的图象是平行的直线系 4 x 3 y 3 3a 0 要使 f ( x) g ( x) 恒成立，
则圆心 (2,0) 到直线
-4 -4 O
x
4 x 3 y 3 3a 0
解得
的距离满足
d
8 3 3a 5
2
5 a 5或a （舍去) 3
祝同学们成功，再见！
时有解
f min ( x) k• ,• xI
fmin ( x) k•• ,xI
时恒成立
, xI f ( x) k 在 x I 时有解 fmax ( x) k••
四. 恒成立与有解的区别：
【例７】设函数 在
f ( x) x2 mx m
，若
f ( x) 0
四、恒成立与有解的区别
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异， 恰当使用，等价转化，切不可混为一团。
（1）不等式 （2）不等式 （3）不等式 （4）不等式
,x • I f ( x) k 在 x I 时恒成立 f max ( x) k•
f ( x) k 在 x I f ( x) k 在 x I
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例2】若函数
f ( x) 2
x 2 2 ax a
1 的定义域为 R,
则实数a Βιβλιοθήκη 取值范围为______________
x2 2 ax a
解：已知函数的定义域为 R ，即 2
1 0 2 x 2ax a 0 在 R 上恒成立，也即 2 恒成立，所以有 (2a) 4(a) 0
f ( ) 0 f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 f ( ) 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在区间 [ , ] 上恒成立问题： （2）当 a 0 时，f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
变换主元法 3.变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
【例5】对任意 a [1,1] ，不等式 恒成立，求
解：令
x 2 (a 4) x 4 2a 0
x
的取值范围.
，则原问题转化为
数形结合法 4.数形结合法
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位， 其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的 精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数 问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思 维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些 概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
4. 数形结合法：
“恒成立”问题的解法
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、 图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函 数最值法；②变量分离法；③数形结合法.
三、解决恒成立问题常用的方法
1
函数性质法
常用 方法
4
2
变量分离法
3
变换主元法
数形结合法
1.函数性质法 1. 函数性质法
（1）恒成立问题与一次函数联系：给定一次函数
y f ( x) ax b(a 0) ，若 y f ( x) 在
[m, n] 内恒有 f ( x) 0 ， 则根据函数的
（2）恒成立问题与二次函数联系： 【例3】已知函数 f ( x) x2 ax 3 a ，在 x 2,2 求 上 f ( x) 0 恒成立，
2
a 的取值范围.
a a2 解： f ( x) x a 3 ，令 f ( x) 在 2,2 上的最小值为 g (a) 2 4 a ⑴当 2 ，即 a 4 时， g (a) f (2) 7 3a 0 2 7 又 a 4 a 不存在. a 3 2
解得 1 a 0 .
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在区间 [ , ] 上恒成立问题： （1）当 a 0 时，f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立 b b b ， 2a 或 或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0
图像（直线）可得上述结论等价于
a 0 ⅰ） f ( m) 0
a 0 或ⅱ） f ( n) 0
f ( m) 0 . 亦可合并成 f ( n) 0
函数性质法 1.函数性质法
如图所示.同理，若在 [m, n] 内恒有 f ( x) 0
f ( m) 0 则有 f ( n) 0
讲座内容
1
恒成立问题常见的题型 恒成立问题解决的基本策略 解决恒成立问题常用的方法 恒成立与有解的区别
2
3
4
一、恒成立问题常见的题型
1. 函数、数列的恒成立问题
2. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围
3. 证明不等式恒成立
二、恒成立问题解决的基本策略
两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1： m
恒成立
a f ( x)
a f ( x)max
f ( x)
a f ( x)min
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围 已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个 变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解.
2. 变量分离法：
又 a 4 7 a 4 综上所述，7 a . 2
变量分离法 2.变量分离法
将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如： a 或
f ( x)
或
a f ( x)
a f ( x)
则
恒成立的形式.
a f ( x)
恒成立
恒成立 a 的范围是 f ；a
( x) 的值域；
f ( ) 0 f ( ) 0
f ( x) 0在x [ , ] 上恒成立
b b b 2a 或 或 2a 2a f ( ) 0 0 f ( ) 0
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1 x 2 时，函数
f ( x) (m 1) x 4m 3 0 恒成立，求实数 m
的范围.
f (1) 0 解： f (2) 0
∴
4 m 3
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f ( x) ax2 bx c(a 0) ，f ( x) 0 在全集 R 上恒成立问题： （1）f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 （2） f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0
【例4】 当 x (1, 2) 时，不等式 x mx 4 0
2
恒成立，则
m 的取值范围是
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x2 mx 4 0 2 x2 4 x 4 4 m 得 x .令 f ( x ) x x x 则易知 f ( x) 在 (1, 2) 上是减函数， 所以 f ( x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
f (a) ( x 2)a x 2 4x 4
x2
f (a) 0
恒成立（a [1,1] ）.当
时，可得
f (a) 0 ，不合题意.
当
x2
时，应有
f (1) 0 f (1) 0
解之得
x 1或x 3
∴
x 的取值范围为 (,1) (3,)
⑵当 2
a a a 2 ，即 4 a 4 时，g (a) f ( ) a 3 0 2 4 2
6 a 2 又 4 a 4 4 a 2
⑶当
a 2 ，即 a 4 时，g (a) f (2) 7 a 0 a 7 2
思路2：
f ( x)在x D上恒成立 m [ f ( x)]max