等差等比数列对比性质表 2

等差等比数列对比性质表 2

等差数列与等比数列性质的比较

等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

§6.2 等差数列 一.课程目标 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二.知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n ≥2,d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式:2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *,a 1为首项,d 为公差,a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a +=+。特别的,当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 (1)若}{n a 是等差数列,则}{n S n 也是等差数列, 其首项与}{n a 的首项相同,公差为}{n a 的公差的 2 1。 (2)数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2,则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ,则n a n n S )(1-=偶,n na S =奇,1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 (4)若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,,则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系: (1)n d a n d S )(2 212-+= ,数列{a n }是等差数列? S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (2)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.

等差等比数列的性质总结

一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. 注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,

等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义:()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式: ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项: (1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式: (1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的n ,都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数,为等比数列 (2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质: (2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。 (3)若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈,则n m s t a a a a ?=?。特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ?= 注:12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较:

等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结 一、等差数列: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用小写字母d 表示; 等差中项,如果2 b a A += ,那么A 叫做a 与b 的等差中项;如果三个数成等差数列,那么等差中项等于另两项的算术平均数; 等差数列}{a n 的通项公式:)N n (d )1-n (a a 1n *∈+=; 等差数列}{a n 的递推公式:)2n (d a a 1n n ≥+=-; 等差数列}{a n 的前n 项和公式:n S =2n )a a (n 1?+=d 2)1-n (n na 1?+ = 中12na n )2d -a (n )2d (=?+?; 【等差数列的性质】 1、d )1-n (a a m n += 【说明】n 11m a d )1-n (a d )m -n (d )1-m (a d )m -n (a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ,且m+n=p+q ,则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a )2-q p (a 2d )2-n m (a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列,公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k )1-n (nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ,S -S ,S ??成等差数列,公差为d n 2 【说明】d n )a a a (-)a a a (S -)S -S (2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++, ) a a a (-)a a a ()S -S (-)S -S (n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=,d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ,a a a 2,q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+

等差等比数列的运用公式大全

第六讲:等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质 定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质:{}n a 是等差数列 m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; a d a a d -+,, n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项, 即:当100a d ><,,解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>,,由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a , 有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶, 1 += n n a a S S 偶 奇. 12-n 的等差数列{} n a ,有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-,

等差数列性质、等比数列定义、等比中项概念①

等差数列性质、等比数列定义、等比中项概念① 姓名:___________班级:___________ 1.如果等差数列{}n a 中, 34512,a a a ++=则7S = ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 解题过程: 2.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.176 解题过程: 3.在数列{}n a 中() 11,2,221,n n a a a n N *+==+∈则101a 的值为( ) A.52 B.50 C.51 D.49 解题过程: 4.数列: 1,2,,8x -是等比数列,则实数x 的值是( ) A. 4± B. 4- C. 4 D.不存在 解题过程: 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且111a =-,46 6a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于__________. 解题过程: 6. 的等比中项为__________ 解题过程: 7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133 n n S a = +,则数列{}n a 的通项公式是n a =__________. 解题过程:

8.在等差数列{}n a 中, 131,3a a ==-. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}n a 的前k 项和 35k S =-,求k 的值. 9.已知{}n a 为等差数列,且366,0a a =-= (1)求{}n a 的通项公式 (3)若等比数列{}n b 满足8b 1-=,2123b a a a =++,求数列{}n b 的通项公式 10.已知等比数列{}n a 中, 143,24a a == (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)设等差数列{}n b 中, 2295,b a b a ==,求数列{}n b 的前n 项和n S

等差数列与等比数列归纳

二轮专题复习:等差数列与等比数列 澄海实验高级中学 曦怀 一、教材分析: 数列知识是历年高考的重点容,是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差(比)中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力,其中考查思维能力是支柱,运算能力是主体,应用是归宿.在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点,在解答题中以中等难度以上的综合题为主,涉及函数、方程、不等式等重要容,试题中往往体现了函数与方程,等价转化,分类讨论等重要的数学思想。 二、复习目的: 1.熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差(比)中项及等差(比)数列的相关性质. 2. 灵活运用等差(比)数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时,灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力. 三、复习重点、难点: 重点:等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差(比)中项及等差(比) 数列的相关性质. 难点:灵活运用差(比)数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路,分析问 题、解决问题. 复习容: 四、复习过程: (一)知识要点回顾: 1、重要公式: (1)数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系:1n 1 n 1 S n 2 n n S a S -=?=?-≥?. (2)等差数列: ①定义:1{}(n n n a a a d +? -=为等差数列常数). ②通项公式:1(1)n a a n d =+- , ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式:11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ = . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .

等差等比数列性质练习题

等差等比数列性质练习题 等差数列性质 1已知数列a n中,a n 0^ 1 2(n N ,n 2),若a1 3,则此数列的第10项是 ___________________ 2、等差数列a n的前n项和为s n,若a4 18 a5,则s8等于______________ 3、在等差数列中,a i与an是方程2x2 3 x 7 0的两根,贝U a为___________ 4、等差数列a n共有2n 1项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n等于 ________________ 5、在x和y之间插入n个实数,使它们与x, y组成等差数列,则此数列的公差为 ______ 6、首相为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围 _____________ 7、已知等差数列a n中,前15项之和为05 90,则a8等于_______________ 1 &已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,又数列{——}为等差数列,则a n= _________ a n 1 9、数列 a n 满足:a13, a26, a n+2a n+1 a n , a2004 = 10、在等差数列a n中,a m n , a n m (m,n € N+),则 a m n 11、等差数列a n中,已知a11,a2a 5 4,a n33,则n为 3 12、已知在数列{a n}中,a1 = —10,a n+1=a n+2,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|等于_ 13、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是 _______________ 14、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1=24,一=75,且a2+b2=100,则数列{a n+b n}的第100项 2 若S^ 1, S 4,求 a17 a18 a19 a20的值; 3若已知首项a113,且S3 Sn,问此数列前多少项的和最大?

等差、等比数列性质总结

等差数列性质总结 1.等差数列的定义式:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法:-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈,. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8.等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. 注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???, (4)若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}{}12n n n a b a b λλλ++,都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列,则232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列 (6)数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列

等差数列与等比数列性质的比较

等差数列与等比数列性质的比较

一、填空题 1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 2. 在等差数列中已知13 d =-,a 7=8,则a 1=_______________ 3. 2()a b +与2 ()a b -的等差中项是_______________ 4. 正整数前n 个数的和是___________ 5. 数列{}n a 的前n 项和2 3n S n n -=,则n a =___________ 二、选择题 1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=,则45678910a a a a a a a -+++-+的值为( ) A.84 B.72 C.60 D.48 2. 在等差数列{}n a 中,前15项的和1590S = ,8a 为( ) A.6 B.3 C.12 D.4 3. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 4. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=,则28a a +的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 三、计算题 1. 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{}n a 的有关未知数: (1)151 ,,5,66 n a d S ==-=-求n 及n a ; (2)12,15,10,n n d n a a S ===-求及 2. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是2 53n S n n =+,求它的前3项,并求它的通项公式 3. 如果等差数列{}n a 的前4项的和是2,前9项的和是-6,求其前n 项和的公式。

等差等比数列下标性质及应用

等差等比数列下标性质及应用 戎国华 一. 教学目标: (一)知识与技能:等比等差数列的下标性质; ????? ?? ??与实际应用列下标性质的灵活应用教学难点:等比等差数列的下标性质教学重点:等差等比数学生的猜想能力能力训练:进一步培养 方法推导比数列的下标性质及其教学目标:掌握等差等 (二)过程能力与方法(三)态度情感与价值观:培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维, 追求新知的创新意识;通过对等差等比数列的研究,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 (四)教学模式:多媒体,师生互动 一.新课引入 {}1524,n a a a a a ++等差数列中与的关系?{}3856,n a a a a a ++等差数列中与的关系?1524 a a a a ++答:=3856 a a a a ++答: ={},,,,n m n p q a a a a 1.等差数列中有a 二. 等差数列下标性质: 111111(1)(1)2(2)(1)(1)2(2)m n p q m n p q a a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d a a a a +=+-++-=++-?? ?+=+-++-=++-???+=+证明:111(1)(1)2(2)(1)(1)2(2)m n p q m n p q a a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d a a a a +=+-++-=++-??? +=+-++-=++-???+=+证明:{}2.(,,,n m n p a a a 变形)等差数列中有 a

等差等比数列的性质20条

1 等差数列和等比数列的性质 1、等差数列的性质:(11条) (1)首尾项性质:在有穷等差数列中,距首末两项等距离的两项之和就等于首末两项之和,即:n n n a a a a a a --+=+=+= 1213 2 特别的,若总项数为奇数,则等于中间项的两倍,即:n a a a +=12中 推广:1、若(),,,*p q r s p q r s N +=+∈,则P q r s a a a a +=+ 2、若m n p +=2,则m n p a a a +=2 (2)若{}{},n n a b 均为等差数列,则{}{}(),,n n n ma ma kb m n R ±∈也为等差数列;依次将等差数列{}n a 中间隔相同的项抽取出来所得新数列仍为等差数 列;依次将等差数列{}n a 中连续的间隔相同的项作和所得新数列仍为等差数列; (3){}n a 是有限项公差为d 的等差数列,则 1、若总项数为n -21,则 ()(),-,+-,n n n S na S n a S S n a ===121奇偶奇偶 , -, n S n S S a S n == -1 奇奇偶偶(其中n a 为中间项) 2、若总项数为n 2,则 (),,+,n n n n S na S na S S n a a ++===+11奇偶奇偶 , -,n n S a S S nd S a +==1 奇偶奇偶(其中n a 和n a +1为中间两项) (4)顺次n 项和性质:若{}n a 为等差数列,则其前n 项和n S 、次n 项和 n n S S -2、末 n 项和n n S S -32仍成等差数列,即 ()()n n n n n S S S S S -=+-2322 (5)若等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,则有 , n n n n a S b T --=2121 (6)若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若有()()m n m S S n ---=-2 212 212121,则有 ,m n a m a n -=-2121 (7)若{}n a 为等差数列,且,p q a q a p ==,则p q a +=0 (8)若{}n a 为等差数列,且,p q S q S p ==,则()p q S p q +=-+ (9)若{}n a 为等差数列,若()p q S S p q =≠,则p q S +=0 (10)若{}n a 为等差数列,则{}(),n a C c c >≠01是等比数列。 (11)若{}n a 是公差为d 的等差数列,则n S n ?? ???? 仍是公差为d 2的等差数列。 2.等比数列的性质: (9条) (1)首尾项性质:若{}n a 是有穷等比数列,则距首末两项等距离的两项之积就等于首末两项之积,即 =?=?=?--23121n n n a a a a a a 推广:若n m p q +=+,则q p n m a a a a =; 若2n m p +=,则2 m n p a a a =。 (2)若{}n a 是等比数列,则n n a a +?>20(同号) (3)已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列,则

等差等比数列的性质总结

等差数列 1.等差数列的定义:(d为常数)(); 2.等差数列通项公式: ,首项:,公差:d,末项: 推广:.从而; 3.等差中项 (1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或 (2)等差中项:数列是等差数列 4.等差数列的前n项和公式: (其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1)定义法:若或(常数)是等差数列.(2)等差中项:数列是等差数列 . (3)数列是等差数列(其中是常数)。 (4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若或(常数)是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项

②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为); ③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2) 8..等差数列的性质: (1)当公差时, 等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差; 前和是关于的二次函数且常数项为0. (2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。 (3)当时,则有,特别地,当时,则有. 注:, (4)若、为等差数列,则都为等差数列 (5)若{}是等差数列,则,…也成等差数列 (6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列 (7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和 1.当项数为偶数时, 2、当项数为奇数时,则 (其中是项数为2n+1的等差数列的中间项). (8)、的前和分别为、,且, 则.

等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列; 2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列:1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 (常数),则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式:),1(1) 1(111≠--=--=q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a Λ 1°.若}{n a 是等差数列,则;23121Λ=+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121Λ=?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质: 1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质: 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 2131 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列; 2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则组成公差为q n 的等比数列.(注意:当q =-1,n 为 偶数时这个结论不成立) ⑤若}{n a 是等比数列, 则顺次n 项的乘积:n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,,ΛΛΛ++++组成公比这2 n q 的等比数列.

等差、等比数列的性质总结

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 ( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d )

(完整版)等比数列的性质总结

等比数列性质 1. 等比数列的定义: ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2. 通项公式: ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠, 首项:1a ;公比:q 推广:n m n m a a q -=, 从而得n m n m a q a -= 或n q =3. 等比中项 (1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2A ab = 或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4. 等比数列的前n 项和n S 公式: (1) 当1q =时, 1n S na = (2) 当1q ≠时,() 11111n n n a q a a q S q q --==-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5. 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数,?{}n a 为等比数列 (2) 等比中项:211n n n a a a +-=(11n n a a +-≠0)?{}n a 为等比数列 (3) 通项公式:()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列 (4) 前n 项和公式:()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、q 、n 、n a 及n S ,其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;11n n a a q -= 如奇数个数成等差,可设为…,22,,,,a a a aq aq q q …(公比为q ,中间项用a 表示);

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