第三章 机构的运动分析--相对运动矢量方程图解法
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第3.3节 用矢量方程图解法作运动分析
c
速度多边形的用途 由两点的速度求构件上任意点的速度 C A 例如，求BC中间点E的速度VE 时，bc上 中间点e为E点的影像，连接pe就是VE a p ω E B
e b
c
2、同一构件上两点加速度之间的关系 设已知角速度ω ，A点加速度,求B点的加速度 A B两点间加速度之间的关系有： A
BA
C ω B aB
2 2 2
方向：顺时针
+ω +ω +ω
4 4 4
＝ μ aa’b’ ＝ μ a a’c’ ＝ μ a b’c’ A p’ ω α aA C
B
aB
得：a’b’/ lAB＝b’c’/ lBC＝ a’ c’/ lCA
∴△a’b’c’∽△ABC
p’a’b’c’－加速度多边形（或速度 图解）， p’－极点 加速度多边形的特性： ①联接p’点和任一点的向量代表该 点在机构图中同名点的绝对加速 度，指向为p’→该点。
VB B
2
VB B
2
1
1
VB
2
2
B（B1，B2）
vB2 vB1 vB2B1
VB
1
1
A
ω1
VB B
2
VB B
2
1
1
VB
：
aB2 aB1 a k B2B1 a r B2B1
2
2
B（B1，B2）
VB
aB1 a n B1 a t B1
等速
1
1
A
ω1
④极点p’代表机构中所有加速度为零的点。 用途：根据相似性原理由两点的加速度求任 意点的加速度。 例如，求BC中间点E的加速度aE 时，b’c’上中间
平面机构的运动分析
§3-2 用矢量方程图解法作机构的运动分析
二、同一构件上两点之间的速度和加速度关系
已知：机构的位置，各构件的长度及原动件角速度ω 。 已知：机构的位置，各构件的长度及原动件角速度ω1。 求：vC，vE，aC, ， ， 3、加速度分析 、
aE, ω 2, ω 3, α 2, α 3
a B = ω 1 l AB
aC = µ a • p c
'
'
a CB = µ a • b c
α
3
aCB
方向: 采用矢量平移 矢量平移法 矢量平移
µ a n3c '
l CD
α
2
=
a tCB l BC
=
µ a n2c '
l BC
=
a tC l CD
=
b´ n2
§3-2 用矢量方程图解法作机构的运动分析
二、同一构件上两点之间的速度和加速度关系
b´
§3-2 用矢量方程图解法作机构的运动分析
二、同一构件上两点之间的速度和加速度关系
已知：机构的位置， 已知：机构的位置， 加速度影像原理证明： 加速度影像原理证明： 加速度分析小结：各构件的长度及原动件角速度ω 。 加速度分析小结：各构件的长度及原动件角速度ω1。
F 求：vC，vE，aC, aE, ‘ω 2, ω 3, α 2, α 3 ， ， 在加速度图中， n 点称为极点， 2 加速度为零的影像点。 1）在加速度图中，p 点称为极点，代表所有构件上绝对2加速度为零的影像点。 B 2 t 2 a CB = ( a CB ) + ( a CB ) = (ω 2 l BC ) + (α 2 l BC ) 2 2 3、加速度分析 、 ω
机械原理第七版第三章
（二）、用解析法对平面连杆机构进行运动分析 用解析法对平面连杆机构进行运动分析又可分为：矢 量方程解析法、杆组法和矩阵法等。 矢量方程法是将机构中各种构件视为矢量，并构成封 闭矢量多边形，列出矢量方程，进而推导出未知量的表达 式。
复数矢量法 图示四杆机构，已知机构各构 件尺寸及原动件1的角位移θ 1和 角速度ω 1 ，现对机构进行位置、 速度、加速度分析 1、位置分析 矢量方程式：
第三章
平面机构的运动分析
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法 §3-2 用速度瞬心法作机构的速度分析
§3-3 用矢量方程图解法作机构的速度及 加速度分析
§3-4 综合运用瞬心法和矢量方程图解法 对复杂机构进行速度分析 §3-5 用解析法作机构的运动分析 返回
§3-1 机构运动分析的任务、目的和方法
i
2
l33e
i
3
l11 cos 1 l22 cos 2 l33 cos 3 l11 sin 1 l22 sin 2 l33 sin 3
3l3 sin( 3 2 ) 1l1 sin( 1 2 )
1L1 sin( 1 2 ) 3 L3 sin( 3 2 )
1L1 sin( 1 3 ) 2 L2 sin( 2 3 )
1L1 sin( 1 3 ) 2 L2 sin( 2 3 )
3、加速度分析
l11e i l22e i l33e i
1 2
3
2 i il1 1 e1
1
i l2 2e 2
1．任务 根据机构的尺寸及原动件已知运动规律，求构件中从动件上 某点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角 加速度。 2．目的 了解已有机构的运动性能，设计新的机械和研究机械动力性 能的必要前提。 3．方法 主要有图解法和解析法。图解法又有速度瞬心法和矢量方程 图解法（又称相对运动图解法）。 图解法： 形象、直观，用于平面机构简单方便，但精度 和求解效率较低。 解析法： 计算精度和求解效率高。可借助计算机计算。
第3.3节 用矢量方程图解法作运动分析
a p
e b
c
2、同一构件上两点加速度之间的关系 设已知角速度ω，A点加速度,求B点的加速度 A B两点间加速度之间的关系有： A ω aA C B aB
aB =anB+
大小： √ 方向： √
a tB ＝ a A +
? √ √ √
anBA+
ω2lAB
atBA
? p’
B→A ⊥BA a’
选加速度比例尺μa m/s2/mm， 在任意点p’作图使aA＝μap’a’ 求得：aB＝μap’b’ atBA＝μa nba’ b’ 方向: nba’ → b’ aBA＝μab’ a’ 方向: a’ →b’
2 1
B 有a k 3
2 1 B 3 有 ak
B2 3 有ak
1
三、机构运动分析中应注意的若干问题
例 题
3.进行凸轮等高副机构的运动分析时，可采用高副低代方法， 对相应的低副机构作运动分析，二者具有相同的运动特性
⊥AB
//导路 ？
vB 3 ω3 = lBD
？
ω1l AB
c
速度向量图
A 1 2 C P
bLeabharlann ω1B (B1B2B3)vB1 = vB2 = ω1l AB
3
vC = vB + vCB
D 4 E
vCB ω2 = lBC
⊥CE ⊥AB ？ ω1l AB
//导路 ？
加速度向量图
aB3 = aB2 + a
A
a
r
B3B2
B→D ω 2 3 l BD
⊥BD ？
A 1 2
B→A
ω 2 1l1
⊥导路（指左） 2vB3B2ω3
矢量方程图解法对机构运动分析1
《机械原理》第三章平面机构运动分析——矢量方程图解法对机构运动分析（1）矢量方程图解法（相对运动图解法）依据的原理理论力学中的运动合成原理同一构件两点间的运动关系两构件重合点间的运动关系ω1A D C1432B C B CB v v v =+2121C C C C v v v =+矢量方程图解法（相对运动图解法）依据的原理理论力学中的运动合成原理同一构件两点间的运动关系两构件重合点间的运动关系1、根据运动合成原理列出矢量方程2、根据矢量方程图解条件作图求解基本作法二、同一构件两点间的运动分析运动合成原理：连杆上任一点（如C 点）的运动，可以看作是随同该构件上另一点B 的平动(牵连运动)和绕该点的转动(相对运动)的合成。
已知图示曲柄滑块机构原动件AB 的运动规律和各构件尺寸。
求：①图示位置连杆BC 的角速度和其上各点速度。
②连杆BC 的角加速度和其上C 点加速度。
理论力学大小：方向：？ω1l AB ?∥xx ⊥AB ⊥BC cp★求V C①由运动合成原理列矢量方程式CB B C v v v +=v B ω2②确定速度图解比例尺μv ( (m/s)/mm)/B v pb v μ=b2CB CB l ω=v （逆时针方向）2CB CBl ω=v C v v pc μ=CB v v bc μ=③作图求解未知量：大小：方向：c p★求V Ev B ω2bE v v peμ=？√ ?？⊥AB ⊥EBE B EB v v v =+C EC v v =+∥xx ⊥EC √ ?e 速度多边形极点m/sc pv B ω2be 速度多边形极点①由极点p 向外放射的矢量代表相应点的绝对速度，极点p 的速度为零；②连接极点以外其他任意两点的矢量代表构件上相应两点间的相对速度，其指向与速度的下角标相反；③因为△BCE 与△bce 对应边相互垂直且角标字母顺序一致，故相似，所以图形bce 称之为图形BCE 的速度影像。
CB B C v v v +=C v v pc μ=速度影像。
第3章机构的运动分析-1
E
an EB
C 3 4
ω3
aE e'
b'
ω2
A
2
aB
1
w4
D
a
t EB
a
n EB
(P12 )
以曲柄滑块机构为例，进一步说明用矢量方程图 解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。
例 : 已知曲柄滑块机构原动件 AB 的运动规律和各构件尺寸。求： (1)图示位置连杆BC的角速度和 其上各点速度。 (2)连杆BC的角加速度和其上C点 加速度。 ω2 2
极点
C
vEC
vCB vEB
b
bc 代表 vCB 。
e
3）在速度多边形中,极点p 代表机构中速 度为零的点。 4）已知某构件上两点的速度 ,可用速度影 像法求该构件上第三点的速度。
速度多边形
E B
A
C
vC x
p
极点
C
vEC e
vCB
vB
vEB
b
△bce ~ △BCE
已知连杆上两点的速度vB 、vC 用速度影像法可以确定vE 。
④确定点的轨迹（连杆曲线）。
V型发动机运动简图
D
E
C B
A
3-1
机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
（2）速度分析
5 4
①掌握从动件的度变化规律 是否满足工作要求。如牛 头刨床； ②为加速度分析作准备。
2
1 3
6
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
用三心定理可以确定ω3、ω4 的大小。
平面铰链四杆机构
例2：用三心定理分析凸轮机构速度 (v3)。 1
an EB
C 3 4
ω3
aE e'
b'
ω2
A
2
aB
1
w4
D
a
t EB
a
n EB
(P12 )
以曲柄滑块机构为例，进一步说明用矢量方程图 解法作机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。
例 : 已知曲柄滑块机构原动件 AB 的运动规律和各构件尺寸。求： (1)图示位置连杆BC的角速度和 其上各点速度。 (2)连杆BC的角加速度和其上C点 加速度。 ω2 2
极点
C
vEC
vCB vEB
b
bc 代表 vCB 。
e
3）在速度多边形中,极点p 代表机构中速 度为零的点。 4）已知某构件上两点的速度 ,可用速度影 像法求该构件上第三点的速度。
速度多边形
E B
A
C
vC x
p
极点
C
vEC e
vCB
vB
vEB
b
△bce ~ △BCE
已知连杆上两点的速度vB 、vC 用速度影像法可以确定vE 。
④确定点的轨迹（连杆曲线）。
V型发动机运动简图
D
E
C B
A
3-1
机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
（2）速度分析
5 4
①掌握从动件的度变化规律 是否满足工作要求。如牛 头刨床； ②为加速度分析作准备。
2
1 3
6
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
1.机构运动分析的任务与目的
用三心定理可以确定ω3、ω4 的大小。
平面铰链四杆机构
例2：用三心定理分析凸轮机构速度 (v3)。 1
机械原理-机构的运动分析
3、加速度分析
aC aB aCB
a C a C aB a CB a CB
n t n t
a B 12l AB
F
1
1 A B 2 E C
大小 lCD32
?
→A
lCB22 C→B
? ⊥CB
·
G
3
方向 C→D ⊥CD
取极点p’ ，按比例尺a作加速度图
1
4
D
' aC a p 'c ' aCB a b 'cc´
思考题：
P44 3-1
作业：
P44 3-3、3-6、3-8（b)
§3-3 用矢量方程图解法作机构的运动分析
一、矢量方程图解法的基本原理及作图法
1、基本原理 —— 相对运动原理 B（B1B2） 1
B
A
同一构件上两点间的运动关系
2
两构件重合点间的运动方程
vB v A vBA
aB a A aBA aA a
c´
aC a G e´
aCB
n2 ´ n2
p´
n3
aF
b´
加速度图分析小结： 1）p‘点代表所有构件上绝对加速度为零的影像点。 2）由p‘点指向图上任意点的矢量均代表机构图中对应点 的绝对加速度。 3）除 p′点之外，图中任意两个带“ ′”点间的连线 均代表机构图中对应两点间的相对加速度，其指向与加 速度的角标相反。 4）角加速度可用构件上任意两点之间的相对切向加速度 除于该两点之间的距离来求得，方向的判定采用矢量平 aCB b ' c ' 移法。 5）加速度影像原理：在加速度图上，同一构件上各点的 绝对加速度矢量终点构成的多边形与机构图中对应点构 成的多边形相似且角标字母绕行顺序相同。 6）加速度影像原理只能用于同一构件。
第三章 平面机构的运动分析
第三节 用矢量方程图解法作机构的速度 及加速度分析
1. 矢量方程图解法的基本原理和作法
在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析
时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的 速度和加速度矢量方程，然后用作图法求解矢量方 程，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形， 求得未知的运动参数。
第三章 平面机构的运动分析
第三章 平面机构的运动分析
两构件以平面高副相联接时，当两构件作 纯滚动，接触点相对速度为零，
该接触点M即为瞬心P12；
第三章 平面机构的运动分析
若高副元素间既作相对滚动，又作相对滑 动，由于相对速度v12存在，并且其方向沿 切线方向，
瞬心P12必位于过接触点的公法线（切线的垂线） n---n上，具体在法线的哪一点，须根据其它 条件再作具体分析确定。
B
A
第三章 平面机构的运动分析
速度分析
①
②
通过分析，了解从动件的速度变化
为加速度分析作准备。
规律是否满足工作要求。如牛头刨床； 加速度分析 ① 确定各构件及其上某些点的加速度； ② ③ 了解机构加速度的变化规律； 为机构的力分析打基础。 ●图解法 ●解析法
速度瞬心法
矢量方程图解法
机构运动分析的方法
第三章 平面机构的运动分析
第一节 机构运动分析的任务、目的及方法
机构的运动分析：就是对机构的位移、速度和 加速度进行分析
位移、轨位形），绘制 机构位置图。 ② 确定构件的运动空间，判断是否发生 干涉。 ③ 确定构件行程， 找出极限位置。 ④ 确定点的轨迹（连杆曲线）。
设有矢量方程： D＝ A + B + C 因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据 已知条件的不同，上述方程有以下四种情况： D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √
1. 矢量方程图解法的基本原理和作法
在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析
时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的 速度和加速度矢量方程，然后用作图法求解矢量方 程，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形， 求得未知的运动参数。
第三章 平面机构的运动分析
第三章 平面机构的运动分析
两构件以平面高副相联接时，当两构件作 纯滚动，接触点相对速度为零，
该接触点M即为瞬心P12；
第三章 平面机构的运动分析
若高副元素间既作相对滚动，又作相对滑 动，由于相对速度v12存在，并且其方向沿 切线方向，
瞬心P12必位于过接触点的公法线（切线的垂线） n---n上，具体在法线的哪一点，须根据其它 条件再作具体分析确定。
B
A
第三章 平面机构的运动分析
速度分析
①
②
通过分析，了解从动件的速度变化
为加速度分析作准备。
规律是否满足工作要求。如牛头刨床； 加速度分析 ① 确定各构件及其上某些点的加速度； ② ③ 了解机构加速度的变化规律； 为机构的力分析打基础。 ●图解法 ●解析法
速度瞬心法
矢量方程图解法
机构运动分析的方法
第三章 平面机构的运动分析
第一节 机构运动分析的任务、目的及方法
机构的运动分析：就是对机构的位移、速度和 加速度进行分析
位移、轨位形），绘制 机构位置图。 ② 确定构件的运动空间，判断是否发生 干涉。 ③ 确定构件行程， 找出极限位置。 ④ 确定点的轨迹（连杆曲线）。
设有矢量方程： D＝ A + B + C 因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据 已知条件的不同，上述方程有以下四种情况： D＝ A + B + C 大小：？ √ √ √ 方向：？ √ √ √
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（刚体的平面运动=随基点的平动+绕基点的转动） 若已知 VA、 和 aA、 B
VB VA VBA
大小
•
？ √ 方向 ？ √
LAB AB
n BA t BA
VA • aA
A V B
VBA
B
aB aA a a
大小
aB •
A
？ 方向 ？
√ 2LAB LAB √ BA AB
0
2 1 2 1
a a a
n
大小： 21 vB B 2 1 vB B Sin 90 2 1 vB B
2 1
方向：将 v B B 的方向顺着 1的转向转 900
aB B
2
K
1
大小： 21 vB B 2 1 vB B Sin 90 2 1 vB B
0
2 1 2 1
连接点p与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点
的绝对速度，其指向是从p指向该点。如p→x代表 vX
连接其他任意两点的矢量便代表该两点在机构图中的同名
点间的相对速度，其指向适与速度的角标相反。如x→y代 表 vYX
速度影像的应用条件是同一构件内。
加速度影像（梅姆克第二定理）
– 一个刚体上三个点的加速度矢量末端在加速度平面图 中所构成的三角形与原始三角形同向相似。 π称为极点，代表所有构件上绝对加速度为零的点。 连接点π与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点的 绝对加速度，其指向是从π指向该点。如π→x’代表示 aX 连接带有角标’的其他任意两点的矢量便代表该两点在机构 图中的同名点间的相对加速度，其指向适与加速度的角标相 反。如x’→y’代表 aYX 加速度分量一般用虚线表示。切向加速度用同名而不同上标 的两个字母表示，方向指向单撇(’)点。如y”→y’代表 atYX。而Y→X的向心加速度x’ → y”代表 anYX
③∵△bce∽△BCE，称bce为BCE的速度影象 ，两者相似且字母顺序一致。前者沿 ω 2 方 向转过90°。 ④极点p代表机构中所有速度为零的点－ 绝对瞬心的影象。
v m
smm
c p b
e
特别注意：影象与构件相似而不是与机构位 形相似！
C B
1 A
2
3 E D 4
p’ a
方向:C D CD B A C B CB 大小：lCD 32 ? lAB12 lCB 22 ?
量方程式，再按一定的比例尺画出相应的矢量多边 形，由矢量多边形解出机构上各点的速度、加速度 以及各构件的角速度和角加速度。
IMP
矢量方程图解法的基本原理和作法
矢量方程图解
（相对运动图解法）
依据的原理
理论力学中的 运动合成原理
基本作法
1、根据运动合成原理列机构运动的矢量方程 2、根据按矢量方程图解条件作图求解
2 a 1 s mm
smm
( b2 ) b1 大小 √ 方向 B C
m
n t k r aB a a a a B3 B2 B3 B2 B3 B2 3
？
CB
B A
√
CB
√
？
// BC
3
t aB 3
l BC
aB3 a pb3
重合点的选取原则，选已知参数较多 的点（一般为铰链点）
运动分析—矢量方程法
两类问题： 1）同一构件不同点之间的运动关联
刚体的平面运动=随基点的平动+绕基点的转动 选构件两点
基点法
2）两构件重合点之间的运动关联
点的复合运动=动系(重合点)的牵连运动+相对 (该重合点的)运动 选两构件重合点
重合点法
一、同一构件上各点的速度和加速度
C B 2
已知：各杆长 度，机构位置， 1 为常数。
3 2
无ak 1 2 B 3 B 有a k 3
无ak
1
2 3
有ak B 有ak
B 3
2
1
1 B
2
3有ak
2
1
2 B 3 有ak
1
B
1
3 有ak
B2
1
小结
利用相对运动图解法对Ⅱ级机构进行运动分析
步骤： ⒈选取长度比例尺l，准确地作出机构位置图。 ⒉确定解题顺序及方法： ⑴从原动件开始，根据机构的组成顺序，按杆组由近及 远地进行运动分析。 ⑵ 先分析各个杆组本身所包含的基本运动副上的点的运 动，再分析该杆组中非基本运动副的点或其它点的运动。 根据杆组中作平面复杂运动的构件（连杆）参与组成 的两个基本运动副的类型,决定采用“基点法”、“重合 点法（点的复合运动）”。
机构运动 分析两种 常见情况
◆同一构件上两点间速度及加速度的关系
◆两构件重合点间的速度和加速度的关系
矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
A
b
AB C
A C
a
B
பைடு நூலகம்
x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
？ ？ √ ？
A
B C
速度和加速度的矢量方程 两类问题： 1）同一构件不同点之间的运动关系
l v l
2
CD
bc CB V （顺）
l
CD
BC
l
BC
C B 1 2
E
3 D
方向： ? 大小： ?
E
A
b
1
4
e
p
EB EC ? ? v pe 方向如图。
V
v v v v v
E B EB C
EC
∵bcBC, ecEC, beBE
v △bec ∽△ BEC;
§3-2矢量方程图解法
相对运动图解法
准备工作
由理论力学可知，构件的平面运动可看成构件 上任一点（称为基点)的牵连移动和该构件的相对转 动所组成;牵连移动的速度和加速度等于基点的速度 和加速度,绕基点的相对转动角速度和角加速度等于 该构件的角速度和角加速度。
根据这一相对运动原理可列出构件上任一点的矢
D
4
t B t 2 A 3 1 1 B
3
不可解！
当取B点为重合点时: B点或 VB4 = VB3 + VB4B3 大小： ? √ ? C 点 C 方向： √ √ √ 方程可解。 4
4
D
此机构，重合点应选在何处？
2 A
2.正确判哥式加速度的存在及其方向 当两构件构成移动副： ①且动坐标含有转动分量时，存在ak ； ②动坐标平动时，无ak 。 判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak
求： 2 , 3 , 2 , 3 ,
1 A
E
3 D
1
4
v
E
和 aE 。
C B 1 2
解：
E
3
A
b
c
1
4
p
D 选 ，任找一点P（
V
CD AB CB 方向： 大小： ? lAB1 ?
v v v
C B
CB
v
绝对速度为零的点）。 pc V v C 3 （逆）
二、两构件组成移动副的重合点的速度和加速度
B 3 2 1 1 A
3
速度分析：
ω3 3 4 C b1 ( b2 )
p
vB3
l BC
大小 ？ 方向 CB
vB3 vB2 vB3 B 2
√ AB ？ // BC
k
p
v B3 v pb3
加速度分析：
b3
v m
b3 b3
如： VC3 = VC4+VC3C4 大小： ? ? ? 方向： ? √ √ VB4 = VB3+VB4B3 ? √ ? √ √ √
t A 2 B 1 3 C t
应将构件扩大至包含B点！
下图中取C为重合点， 构件3上C、B的关系： 有: VC3=VC4+VC3C4 = VB3+VC3B3 大小： ? ？ ? √ ? C 方向： ? √ √ √ √
•
aBA
2）两构件重合点之间的运动关系
（动点的运动=牵连点的运动+动点相对牵连点的运动）
VB1 VB 2 VB1B 2
？
？
aB1B2
1
√ √
√ √
k B1B 2
•
2
VB1B2 B 哥氏
VB2
aB1 aB 2 a
？
？
a
r B1B 2
√ √
2VB1B 2
将VB1B2顺牵连 转90°
2 1 2
解：
1
大小： ?
?
aB1 aB2
ak
B2B1
1
2
B (B1B2)
方向： 大小：？
2
aB aB aB B aB B
1 2 1 2
r
k
r aB2B1
aB B
2
K
1
1
aB
2
2 1
？ 若B2点平动， a B 只有一项；
1
2
若B2点转动， B2 B2 B2
1
2
1
2
1
vA vA vA
1 2
3
3
2 (A1A2A3)
A
aA aA aA
1 2
3
1 2
3
1 2
3
4)、 比例尺：
l
实际长度（m) 长度比例尺： 图长（mm) m ） 实际速度（ s 速度比例尺： 图 长 （ mm）
VB VA VBA
大小
•
？ √ 方向 ？ √
LAB AB
n BA t BA
VA • aA
A V B
VBA
B
aB aA a a
大小
aB •
A
？ 方向 ？
√ 2LAB LAB √ BA AB
0
2 1 2 1
a a a
n
大小： 21 vB B 2 1 vB B Sin 90 2 1 vB B
2 1
方向：将 v B B 的方向顺着 1的转向转 900
aB B
2
K
1
大小： 21 vB B 2 1 vB B Sin 90 2 1 vB B
0
2 1 2 1
连接点p与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点
的绝对速度，其指向是从p指向该点。如p→x代表 vX
连接其他任意两点的矢量便代表该两点在机构图中的同名
点间的相对速度，其指向适与速度的角标相反。如x→y代 表 vYX
速度影像的应用条件是同一构件内。
加速度影像（梅姆克第二定理）
– 一个刚体上三个点的加速度矢量末端在加速度平面图 中所构成的三角形与原始三角形同向相似。 π称为极点，代表所有构件上绝对加速度为零的点。 连接点π与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点的 绝对加速度，其指向是从π指向该点。如π→x’代表示 aX 连接带有角标’的其他任意两点的矢量便代表该两点在机构 图中的同名点间的相对加速度，其指向适与加速度的角标相 反。如x’→y’代表 aYX 加速度分量一般用虚线表示。切向加速度用同名而不同上标 的两个字母表示，方向指向单撇(’)点。如y”→y’代表 atYX。而Y→X的向心加速度x’ → y”代表 anYX
③∵△bce∽△BCE，称bce为BCE的速度影象 ，两者相似且字母顺序一致。前者沿 ω 2 方 向转过90°。 ④极点p代表机构中所有速度为零的点－ 绝对瞬心的影象。
v m
smm
c p b
e
特别注意：影象与构件相似而不是与机构位 形相似！
C B
1 A
2
3 E D 4
p’ a
方向:C D CD B A C B CB 大小：lCD 32 ? lAB12 lCB 22 ?
量方程式，再按一定的比例尺画出相应的矢量多边 形，由矢量多边形解出机构上各点的速度、加速度 以及各构件的角速度和角加速度。
IMP
矢量方程图解法的基本原理和作法
矢量方程图解
（相对运动图解法）
依据的原理
理论力学中的 运动合成原理
基本作法
1、根据运动合成原理列机构运动的矢量方程 2、根据按矢量方程图解条件作图求解
2 a 1 s mm
smm
( b2 ) b1 大小 √ 方向 B C
m
n t k r aB a a a a B3 B2 B3 B2 B3 B2 3
？
CB
B A
√
CB
√
？
// BC
3
t aB 3
l BC
aB3 a pb3
重合点的选取原则，选已知参数较多 的点（一般为铰链点）
运动分析—矢量方程法
两类问题： 1）同一构件不同点之间的运动关联
刚体的平面运动=随基点的平动+绕基点的转动 选构件两点
基点法
2）两构件重合点之间的运动关联
点的复合运动=动系(重合点)的牵连运动+相对 (该重合点的)运动 选两构件重合点
重合点法
一、同一构件上各点的速度和加速度
C B 2
已知：各杆长 度，机构位置， 1 为常数。
3 2
无ak 1 2 B 3 B 有a k 3
无ak
1
2 3
有ak B 有ak
B 3
2
1
1 B
2
3有ak
2
1
2 B 3 有ak
1
B
1
3 有ak
B2
1
小结
利用相对运动图解法对Ⅱ级机构进行运动分析
步骤： ⒈选取长度比例尺l，准确地作出机构位置图。 ⒉确定解题顺序及方法： ⑴从原动件开始，根据机构的组成顺序，按杆组由近及 远地进行运动分析。 ⑵ 先分析各个杆组本身所包含的基本运动副上的点的运 动，再分析该杆组中非基本运动副的点或其它点的运动。 根据杆组中作平面复杂运动的构件（连杆）参与组成 的两个基本运动副的类型,决定采用“基点法”、“重合 点法（点的复合运动）”。
机构运动 分析两种 常见情况
◆同一构件上两点间速度及加速度的关系
◆两构件重合点间的速度和加速度的关系
矢量方程的图解法
矢量：大小、方向
矢量方程
A
b
AB C
A C
a
B
பைடு நூலகம்
x
一个矢量方程可以解两个未知量。
AB C
大小 √ √ 方向 √ √
？ √ √ √
？ ？ √ ？
A
B C
速度和加速度的矢量方程 两类问题： 1）同一构件不同点之间的运动关系
l v l
2
CD
bc CB V （顺）
l
CD
BC
l
BC
C B 1 2
E
3 D
方向： ? 大小： ?
E
A
b
1
4
e
p
EB EC ? ? v pe 方向如图。
V
v v v v v
E B EB C
EC
∵bcBC, ecEC, beBE
v △bec ∽△ BEC;
§3-2矢量方程图解法
相对运动图解法
准备工作
由理论力学可知，构件的平面运动可看成构件 上任一点（称为基点)的牵连移动和该构件的相对转 动所组成;牵连移动的速度和加速度等于基点的速度 和加速度,绕基点的相对转动角速度和角加速度等于 该构件的角速度和角加速度。
根据这一相对运动原理可列出构件上任一点的矢
D
4
t B t 2 A 3 1 1 B
3
不可解！
当取B点为重合点时: B点或 VB4 = VB3 + VB4B3 大小： ? √ ? C 点 C 方向： √ √ √ 方程可解。 4
4
D
此机构，重合点应选在何处？
2 A
2.正确判哥式加速度的存在及其方向 当两构件构成移动副： ①且动坐标含有转动分量时，存在ak ； ②动坐标平动时，无ak 。 判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak
求： 2 , 3 , 2 , 3 ,
1 A
E
3 D
1
4
v
E
和 aE 。
C B 1 2
解：
E
3
A
b
c
1
4
p
D 选 ，任找一点P（
V
CD AB CB 方向： 大小： ? lAB1 ?
v v v
C B
CB
v
绝对速度为零的点）。 pc V v C 3 （逆）
二、两构件组成移动副的重合点的速度和加速度
B 3 2 1 1 A
3
速度分析：
ω3 3 4 C b1 ( b2 )
p
vB3
l BC
大小 ？ 方向 CB
vB3 vB2 vB3 B 2
√ AB ？ // BC
k
p
v B3 v pb3
加速度分析：
b3
v m
b3 b3
如： VC3 = VC4+VC3C4 大小： ? ? ? 方向： ? √ √ VB4 = VB3+VB4B3 ? √ ? √ √ √
t A 2 B 1 3 C t
应将构件扩大至包含B点！
下图中取C为重合点， 构件3上C、B的关系： 有: VC3=VC4+VC3C4 = VB3+VC3B3 大小： ? ？ ? √ ? C 方向： ? √ √ √ √
•
aBA
2）两构件重合点之间的运动关系
（动点的运动=牵连点的运动+动点相对牵连点的运动）
VB1 VB 2 VB1B 2
？
？
aB1B2
1
√ √
√ √
k B1B 2
•
2
VB1B2 B 哥氏
VB2
aB1 aB 2 a
？
？
a
r B1B 2
√ √
2VB1B 2
将VB1B2顺牵连 转90°
2 1 2
解：
1
大小： ?
?
aB1 aB2
ak
B2B1
1
2
B (B1B2)
方向： 大小：？
2
aB aB aB B aB B
1 2 1 2
r
k
r aB2B1
aB B
2
K
1
1
aB
2
2 1
？ 若B2点平动， a B 只有一项；
1
2
若B2点转动， B2 B2 B2
1
2
1
2
1
vA vA vA
1 2
3
3
2 (A1A2A3)
A
aA aA aA
1 2
3
1 2
3
1 2
3
4)、 比例尺：
l
实际长度（m) 长度比例尺： 图长（mm) m ） 实际速度（ s 速度比例尺： 图 长 （ mm）