平面向量复习一(1)

平面向量复习一一、向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量。

向量和数量的区别：从定义上来看，数量只有大小；从特点上看，向量可以平移。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：（必须牢记）。

零向量的方向是任意的（知道即可）；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥， 规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

二、平面向量的基本定理：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使=1λ1e ＋2λ2e 。

基底的特点：不共线。

三、 向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

特别地，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

四、向量的运算1．向量加法： “平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

特点：共起点。

2AB AC AD AE +==（重点识记）“三角形法则”：特点：首尾相连。

AB BC AC +=；2．向量的减法：用“三角形法则”： AB AC CB -=，口诀：“共起点，指被减”。

口诀解析：两个向量起点相同，由减向量的终点指向被减向量的终点。

通常写出答案后通过移项，利用加法检验一次。

①AB BC CD ++=___ ；②AB AD DC --=____ ；③()()AB CD AC BD ---=3．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。

五、巩固练习1．给出下列命题①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同起点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 的长度与向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。

其中假命题的个数为2．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =，则a b =③若AB DC =，则四边形ABCD 为平行四边形； ④在ABCD 中，一定有AB DC =；⑤若m n =，n p =，则m p = ⑥若//a b ，//b c ，则//a c其中正确的命题个数是3．设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PA PC += C ．0PC PB +=D ．0PA PB PC ++=4．在ABC ∆中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则 AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233b c -C ．2133b c -D ．1233b c + 5．已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___6．已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____7．ABC ∆中， AB 边上的高为CD ，若CB a =，CA b =，CA CB ⊥，||1a =，||2b =，则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b -C ．3355a b -D ．4455a b - 8．在ABC ∆中， M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若A P m O A n O B =+，则n m -=9．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，AM =A ．8B ．4C ．2D ．110．若向量,,则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知向量(3,1)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若2a b -与c 共线，则k=12．设a 、b 是两个不共线的向量，若2AB a kb =+，CB a b =+，2CD a b =-，且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值等于如何用向量法证明三点A 、B 、C 共线？证明AB AC λ=，即证明AB 与AC 共线，又因为有一个公共点，所以三点共线。

13．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-14．已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值。

15．在ABC ∆中，D 为AC 边的中点，E 为AB 上一点，BD 、CE 交于一点F ，且2BF F D =，若B E B A λ=，则实数λ的值为16．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得=AB AC mAM +成立，则m=17．已知A 、B 、C 是圆O 上的三点，若0OA OB OC ++=，则AB 与AC 的夹角为()1,2AB =()3,4BC =AC =()4,6()4,6--()2,2--()2,2平面向量复习二一、平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π时，，垂直。

两个向量的夹角也记作：,a b <>向量夹角判断的注意事项：两向量要共起点。

（重中之重） 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即a b ⋅＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，数量积是一个实数，不是一个向量。

3．b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______4．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当a ，b 同向时，a b ⋅＝a b ，特别地，222,a a a a a a =⋅==；当a 与b 反向时，a b ⋅＝－a b ；当θ为锐角时，a b ⋅＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a b ⋅＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a b θ⋅=；④||||||a b a b ⋅≤。

二、坐标运算1．与数量积有关的坐标运算 ①平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+。

②向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。

如③两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =2．与向量平行(共线)的坐标运算： //a b ⇔12120x y y x -=如下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →= 22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b a a ⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。

其中正确的是______提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅≠⋅，为什么？三、巩固练习1．△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________2．已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____3．已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ 4．已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____5．已知非零向量b a ,，，则>+<ba a ,cos=（ ）A6．已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______7．在△ABC 中，02<⋅+BC AB AB ，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____9．若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同10．已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______11．设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线12．设 ,向量且 ,则（ ）ABC ．D ． 13．已知向量,夹角为,且||=1,|,则||=_______.14．设向量,若⊥,则.15．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．216．设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3 17．如图，在边长为2的菱形ABCD 中60BAD ∠=，E 为CD 中点，则AE BD ⋅=18．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于(B )A.32B.52 C ．2 D ．319．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( D )A ．2 3B.32C.33D. 3 x R ∈(,1),(1,2),a x b ==-a b ⊥||a b +=10a b 045a 2-a b b (1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=()a c +b a =_____。