2017年湖南省永州五中高考数学三模试卷(文科)
2017年高考新课标3卷文科数学试题(解析版) 甄选
2017年高考新课标3卷文科数学试题(解析版) （优选.)rd2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(适用地区：云南、贵州、广西、四川)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[解析]由题意可得A∩B＝{2，4}，故选B．答案：B2．复平面内表示复数z＝i(–2＋i)的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意z＝－1－2i，故选B．答案：B3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳[解析]由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误，故选A．答案：A4．已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( ) A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] sin2α＝2sin αcos α＝(sin α－cos α)2－11＝－79，故选A ．答案：A5．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0x ≥0y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[–3，0]B ．[–3，2]C ．[0，2]D ．[0，3][解析]绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3．在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2，故选A ．答案：B 6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为()A ．65B ．1C ．35D ．15[解析]由诱导公式可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65，故选A ． 答案：A7．函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的部分图像大致为( )[解析]当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，故排除A ，C ，当x →＋∞时，y →1＋x ，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．答案：D8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A．5 B．4 C．3 D．2[解析]若N＝2，第一次进入循环，1≤2成立，S＝100，M＝－10010＝－10，i＝2≤2成立；第二次进入循环，此时S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，i＝3≤2不成立，∴输出S＝90<91成立，∴输入的正整数N的最小值是2，故选D．答案：D9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A．πB．3π4C．π2D．π4[解析]如果，画出圆柱的轴截面AC＝1，AB＝12，∴r＝BC＝32，那么圆柱的体积是V＝πr2h＝π×⎝⎛⎭⎪⎪⎫322×1＝3π4，故选B．答案：B10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] 根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那么也垂直斜线在平面内的射线．对于A，若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，很显然不成立；对于B，若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，显然不成立；对于C，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C时，也能推出BC1⊥A1E，∴C成立，对于D，若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立，故选C．答案：C11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63B ．33C ．23D ．13[解析]以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)2a 2＝3c 2，即c 2a 2＝23，e ＝c a ＝63，故选A ．答案：A12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1[解析] 方法一：由条件，f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得：f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a (e 2－x －1＋e－(2－x )＋1)＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1) ＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)∴f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )的对称轴，由题意，f (x )有唯一零点， ∴f (x )的零点只能为x ＝1， 即f (1)＝12－2·1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12．方法二：x 2－2x ＝－a (e x －1＋e －x ＋1)，设g (x )＝e x －1＋e －x ＋1，g ′(x )＝e x －1－e －x ＋1＝e x －1－1e x －1＝e 2(x －1)－1e x －1， 当g ′(x )＝0时，x ＝1，当x <1时，g ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，g ′(x )>0，函数单调递增，当x ＝1时，函数取得最小值g (1)＝2，设h (x )＝x 2－2x ，当x ＝1时，函数取得最小值－1；若－a >0，函数h (x )和ag (x )没有交点，当－a <0时，－ag (1)＝h (1)时，此时函数h (x )和ag (x )有一个交点，即－a ×2＝－1a ＝12，故选C ．答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量a →＝(－2，3)，b →＝(3，m )，且a →⊥b →，则m ＝． [解析]由题意可得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2． 答案：214．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝．[解析]由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y ＝±3a x ，结合题意可得a ＝5． 答案：515．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝．[解析]由题意b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°． 答案：75° 16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤02x ，x >0则满足f (x )＋f (x －12)>1的x 的取值范围是．[解析] 方法一：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤02x ，x >0，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1－f (x )，由图象变换可画出y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12与y ＝1－f (x )的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1－f (x )的解为(－14，＋∞)． 方法二：由题意得，当x >12时，2x ＋2x －12>1恒成立，即x >12；当0<x ≤12时，2x＋x －12＋1>1恒成立，即0<x ≤12；当x ≤0时x ＋1＋x －12＋1>1x >－14，即－14<x ≤0；综上x 的取值范围是(－14，＋∞)．答案：(－14，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和．[解析](1)∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得，(2n －1)a n ＝2，a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式， ∴a n ＝22n －1；(2)由(1)a n 2n ＋1＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，∴S n ＝a 13＋a 25＋…＋a n 2n ＋1＝(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1．18．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．[解析](1)需求量不超过300瓶，即最高气温不高于25℃，从表中可知有54天， ∴所求概率为P ＝5490＝35． (2)Y 的可能值列表如下：低于20℃：y ＝200×6＋250×2－450×4＝－100； [20，25)：y ＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25℃：y ＝450×(6－4)＝900，∴Y 大于0的概率为P ＝290＋1690＝15．19．(本小题满分12分)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD ．(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．[解析](1)证明：取AC 中点O ，连OD ，OB ， ∵AD ＝CD ，O 为AC 中点，∴AC ⊥OD ， 又∵△ABC 是等边三角形，∴AC ⊥OB ， 又∵OB ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面OBD ，BD 平面OBD ，∴AC ⊥BD ；(2)设AD ＝CD ＝2，∴AC ＝22，AB ＝CD ＝22，又∵AB ＝BD ，∴BD ＝22，∴△ABD ≌△CBD ，∴AE ＝EC ， 又∵AE ⊥EC ，AC ＝22，∴AE ＝EC ＝2， 在△ABD 中，设DE ＝x ，根据余弦定理cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝AD 2＋DE 2－AE 22AD ·DE ＝22＋(22)2－(22)22×2×22＝22＋x 2－222×2×x ，解得x ＝2，∴点E 是BD 的中点，则V D －ACE ＝V B －ACE ，∴V D －ACEV B －ACE＝1．20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx –2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．[解析](1)设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的根， ∴x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝－2，则AC →·BC →＝(－x 1，1)·(－x 2，1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0， ∴不会能否出现AC ⊥BC 的情况．(2)解法一：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－m 2，由|EA |＝|EC |得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22－x 12＋y 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 222＋(y 0－1)2，化简得y 0＝1＋x 1x 22＝－12， ∴圆E的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12，令x ＝0得y 1＝1，y 2＝－2，∴过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1－(－2)＝3， ∴过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解法二：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由x 1x 2＝－2可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得|OD ||OC |＝|OA ||OB |＝|x 1||x 2|＝2， 又|OC |＝1，∴|OD |＝2，∴过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2． [解析](1)f ′(x )＝2ax 2＋(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax ＋1)(x ＋1)x (x >0)，当a ≥0时，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)单调递增，当a <0时，则f (x )在(0，－12a )单调递增，在(－12a ，＋∞)单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )max ＝f (－12a )，f (－12a )－(－34a ＋2)＝ln(－12a )＋12a ＋1，令y ＝ln t ＋1－t (t ＝－12a >0)， 则y ′＝1t －1＝0，解得t ＝1，∴y 在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，∴y max ＝y (1)＝0，∴y ≤0，即f (x )max ≤－(34a ＋2)，∴f (x )≤－34a －2．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4―4坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝kt (t为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋my ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解析] (1)将参数方程转化为普通方程 l 1：y ＝k (x －2)……①；l 2：y ＝1k (x ＋2)……②由①②消去k 可得：x 2－y 2＝4，即P 的轨迹方程为x 2－y 2＝4； (2)将参数方程转化为一般方程l 3：x ＋y －2＝0……③联立l 3和曲线C 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x 2－y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322y ＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，解得ρ＝5，即M 的极半径是5．23．(本小题满分10分)选修4—5不等式选讲： 已知函数f (x )＝|x ＋1|–|x –2|． (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2–x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．[解析] (1) f (x )＝|x ＋1|–|x –2|可等价为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－12x －1，－1<x <23，x ≥2．由f (x )≥1可得：①当x ≤－1时显然不满足题意；②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立．综上，f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价为f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m ．而g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1－x 2＋3x －1，－1<x <2－x 2＋x ＋3，x ≥2．①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5；②当－1<x<2时，[g(x)]max＝g(32)＝－⎝⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54；③当x≥2时，[g(x)]max＝g(2)＝－22＋2＋3＝1．综上，[g(x)]max＝54，故m≤54．∴m的取值范围为(－∞，54]．赠人玫瑰，手留余香。
2017年高考文科数学全国卷模拟试题答案(三份)
以
cos2α
-
sin2α
=
cos2α-2sinαcosα cos2α+sin2α
=
1-2tanα 1+tan2α
=
-177,故选 D.
7.D 【解析】 若a4,a12 是 方 程 x2 +3x+1=0 的 两 根,则
(k∈Z),即函数g(x)=Acos(φx+ω)图 像 的 对 称 中 心
( ) 为点
43k+
5 6
,0
(k∈Z).令k= -1,得 其 图 像 的 一
( ) 个对称中心为点
-
1 2
,0
.故选 C.
11.D 【解析】 若 AC=a,CB=b,则圆 O 的半径r=a2+b,
a4+a12= -3,a4a12=1,所 以a4<0,a12<0.又 数 列 {an}
为 等 比 数 列 ,所 以a8<0,所 以 a8 = - a4a12 = -1.因 为 在 常 数 列 通 项 为 an =1 或 an = -1 中 ,a4,a12 不 是 方 程 x2+3x+1=0的 两 根 ,所 以“a4,a12是 方 程 x2+3x+ 1=0 的 两 根 ”是 “a8 = ±1”的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 .故
一 、选 择 题
6+…+2015-2016+2017-2018=-1009.故选 B.
1.D 【解析】 由已知得 A= {0,1,2,3},B= {x|-1≤x≤ 9.C 【解析】 由三视图可知,该 几 何 体 是 一 个 四 分 之 一 圆
2},则 A∩B={0,1,2},故选 D.
2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)
2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。
湖南省永州市高考数学三模试卷 文(含解析)
2017年湖南省永州五中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）≤0}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．285．已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣ B．C．D．﹣6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．97．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．38．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．39．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A．B．C． D．11．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．12．已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．14．已知实数x，y满足条件则z=x2+（y+1）2的最小值为．15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是．16．在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n﹣，a1=1，b1=1．设c n=，则数列{c n}的前2017项和为．三、解答题（共5小题，满分0分）17．已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：519．如图，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）求证：AE⊥CD；（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM﹣BCF的体积．20．已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k PA k PB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．四、选做题22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年湖南省永州五中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）≤0}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化简A，利用B={x|x≤a}，A∪B=B，求出a的值．【解答】解：A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）≤0}={﹣1，0，1，2，3，4}，∵A∪B=B，∴A⊆B，∵B={x|x≤a}，∴a≥4，故选D．2．已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、不等式的解法、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=（2+i）（a+2i3）=（2+i）（a﹣2i）=2a+2+（a﹣4）i，在复平面内对应的点（2a+2，a﹣4）在第四象限，则2a+2＞0，a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4．实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，可得（0，b）在圆内，b2＜1，求出﹣1＜b＜1，即可得出结论．【解答】解：直线y=x+b恒过（0，b），∵直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，∴（0，b）在圆内，∴b2＜1，∴﹣1＜b＜1；0＜b＜1时，（0，b）在圆内，∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交．故选：B．4．在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．28【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故选：C．5．已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣ B．C．D．﹣【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，结合tanθ≠0，可得1+tan2θ=﹣3tanθ，利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2θ=3×=tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ=﹣3tanθ，∴sin[2（π﹣θ）]=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ=﹣=﹣=．故选：C．6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n ＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得： =1.5，解得：k=6．故选：B．7．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，由函数的解析式可得f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）的奇偶性，结合函数奇偶性的性质可得g（x）=﹣log（﹣x+1），计算g（﹣8）计算可得答案．【解答】解：根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，又由f（x）=，则有f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）为奇函数，则有g（x）=﹣log（﹣x+1），故g（﹣8）=﹣log[﹣（﹣8）+1]=﹣2；故选：A．8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选A．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的值．．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A=﹣2， ==，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=﹣2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣+）=﹣2sin（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间（）上，2x﹣∈[﹣π，2θ﹣]，由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣）的最小值为﹣1，此时，sin（2θ﹣）=，则2θ﹣=，求得θ=，故选：B．11．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．求出α=90°，证明OM⊥平面BCC1B1，得出cos（α﹣β）=sinβ=．【解答】解：连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．∵B1A=B1C，O是AC的中点，∴OB1⊥AC，∵B1E OB，∴四边形ODEB1是平行四边形，∴OB1∥DE，∴DE⊥AC，∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°，∵OM⊥BC，OM⊥BB1，∴OM⊥平面BCC1B1，∴∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β，∴cos（α﹣β）=sinβ=，∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB==，∴OB1==，∴sinβ==．故选A．12．已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出f（x）的导数得到b=3a﹣1，作差令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a ＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b﹣1的大小即可．【解答】解：f′（x）=3ax2﹣b﹣，∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，即3a﹣1=b，令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），则g′（a）=﹣3=，令g′（a）＞0，解得：0＜a＜，令g′（a）＜0，解得：a＞，故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（a）max=g（）=1﹣ln3＜0，故lna＜b﹣1，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个，利用列举法能求出至少取到1个白球的概率．【解答】解：记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（C1，C2），其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为：p=．故答案为：．14．已知实数x，y满足条件则z=x2+（y+1）2的最小值为 5 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣1）距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先画出由约束条件确定的可行域D，由可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的，判断出直线y=kx+1斜率小于等于即可得出k的范围．【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是封闭的，作出约束条件的可行域：可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，则实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：．16．在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n﹣，a1=1，b1=1．设c n=，则数列{c n}的前2017项和为4034 ．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】由已知可得a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2，a n+1b n+1=，即a n b n=2n﹣1．代入c n=，求得数列{c n}为常数数列得答案．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n﹣，a1=1，b1=1．∴a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=，∴a n b n=2n﹣1．∴c n===，则数列{c n}的前2017项和S2017=2017×2=4034．故答案为：4034．三、解答题（共5小题，满分0分）17．已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a1，a2得出a n，计算b1，b3得出公比得出b n；（II）求出c n，根据裂项法计算T n．【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即2a2﹣a1=3，②由①②得a1=1，a2=2，∴a n=n，λ=2，∴b1=4，b3=16，∴{b n}的公比q==±2，∴或b n=（﹣2）n+1．（Ⅱ）由（I）知，∴ =，∴T n==1+﹣﹣=．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布；B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．如图，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）求证：AE⊥CD；（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM﹣BCF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出CD⊥ED，AD⊥DC，从而CD⊥平面AED，由此能证明AE⊥CD．（2）当M是线段AE的中点时，连结CE交DF于N，连结MN，则MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．（3）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF，空间几何体ADM﹣BCF的体积V ADM﹣=﹣V F﹣DEM，由此能求出空间几何体ADM﹣BCF的体积．BCF【解答】证明：（1）∵四边形CDEF是矩形，∴CD⊥ED，…∵AD⊥DC，AD∩ED=D，∴CD⊥平面AED，…∵AE⊂平面AED，∴AE⊥CD．…解：（2）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，…证明如下：连结CE交DF于N，连结MN，∵M、N分别是AE、CE的中点，…∴MN∥AC，又MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，…∴AC∥平面MDF …（3）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF，∴三棱柱ADE﹣B′CF的体积V=S△ADE•CD==8，…空间几何体ADM﹣BCF的体积：V ADM﹣BCF=﹣V F﹣DEM=8﹣﹣=．…∴空间几何体ADM﹣BCF的体积为．…20．已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k PA k PB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线PA：y﹣y0=k PA（x﹣x0），代入抛物线方程，得出，同理，有，k PA，k PB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；（Ⅱ）求出直线AB的方程，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），则直线PA：y﹣y0=k PA（x﹣x0），代入抛物线方程：x2﹣2k PA x ﹣2y0+2k PA x0=0，因为直线与抛物线相切，所以，…同理，有，…所以k PA，k PB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，…k PA k PB=﹣2=2y0，所以y0=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x1x﹣y﹣y1=0，x2x﹣y﹣y2=0，…又都过点P（x0，﹣1），所以…所以直线AB的方程为xx0﹣y+1=0，…所以直线AB恒过定点（0，1）．…21．已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ），．由函数f（x）与F（x）有公共切线，知函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．由此能求出a的取值范围．（Ⅱ）等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得，从而求出g（x）的最小值，令，由=0，得x=1，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），．∵函数f（x）与F（x）有公共切线，∴函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．当两函数图象相切时，设切点的横坐标为x0（x0＞0），则，解得x0=2或x0=﹣1（舍去），则f（2）=F（2），得a=ln2﹣3，由此求出a≥ln2﹣3，即a的取值范围为[ln2﹣3，+∞）．（Ⅱ）等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，因为g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得，xg'（x）﹣0 +g（x）极小值所以g（x）的最小值为，令，因为，令t'（x）=0，得x=1，且x （0，1） 1 （1，+∞）t'（x）+ 0 ﹣t（x）极大值所以当a∈（0，1）时，g（x）的最小值，当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为=t（2），所以a∈[1，2]．综上得a的取值范围为（0，2]．四、选做题22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，利用参数方程，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为=1 直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4化为：（ρsinθ+ρcosθ）=4，化成直角坐标方程为：x+y﹣8=0；（2）P（cosα，sinα）到直线x+y﹣8=0的距离d==，∴sin（α+θ）=1时，d的最小值为．23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．。
湖南省永州市2017届高考数学三模试卷
2017年湖南省永州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合P={x|x﹣1≤0}，M={x|x+2＞0}，则P∩M=（）A．（﹣∞，1]B．[﹣2，+∞）C．[1，2） D．（﹣2，1]2．“a=1”是“a2=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知数列{a n}满足a1=1，a na n+S n=5，则a2=（）+1A．2 B．3 C．4 D．54．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．17石B．166石C．387石D．1310石5．若a=log23，b=log3，c=3﹣2，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则p=（）A．2 B．2 C．8 D．47．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的最小正周期为π，则下列直线为f（x）的对称轴的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=8．如图，在△ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设=，=，则=（）A．+B．﹣+C．﹣﹣ D．﹣9．某程序框图如图所示，分别输入下列选项中的四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=sinx C．f（x）=2x D．f（x）=log2|x|10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+πB．8+πC．4+D．4+11．已知F为椭圆+=1的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AF⊥AB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+my+3=0相切，则m的值为（）A．±3 B．C．±D．312．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1在区间[0，1]上单调递减，m=a+b，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．[﹣，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[﹣3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i2=﹣1，且i•z=2+4i，则z=．14．一圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为4的半圆，则圆锥的高等于．15．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣a=0有两个解，则a 的取值范围是．16．数列{a n}的通项公式为a n=nsin+（﹣1）n，其前n项和为S n，则S2017=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，设平面向量=（cosB，sinB），=（cosC，﹣sinC），与所成的夹角为120°．（1）求A的值．（2）若△ABC的面积S=，sinC=2sinB，求a的值．18．（12分）我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫，把2017年列为“精准扶贫”攻坚年，2017年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本，以考核该县2016年的“精准扶贫”成效（2016年贫困家庭脱贫的标准为人均收入不小于3000元）．根据所得数据将人均收入（单位：千元）分成五个组：[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）如果被抽取的100户贫困家庭有80%脱贫，则认为该县“精准扶贫”的成效是理想的．请从统计学的角度说明该县的“精准扶贫”效果是理想还是不理想？（3）从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，求至少有1户人均收入在区间[1，2）上的概率．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，H为线段PC上一点．（1）证明：平面BHD⊥平面PAC；（2）若OH⊥PC，PC与底面ABCD所成的角为45°，求三棱锥H﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：x2+=1，直线l：y=2x+m（m∈R），点M（1，0）．（1）若直线l与椭圆C恒有公共点，求m的取值范围；（2）若动直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P，求|PM|的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣px+1（p∈R）．（1）当p＞时，f（x）在区间[1，e]上的最大值为﹣1，求P的值；（2）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，有f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，求p的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，0＜α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）若直线OP：θ=θ1（0＜θ1＜）交曲线C1于点P，交曲线C2于点Q，求|OP|+的最大值．五、选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣m|．（1）当m=6时，解不等式f（x）≥12；（2）已知a＞0，b＞0，且+=，若对于∀a，b∈R*，∃x0使f（x0）≤ab 成立，求m的取值范围．2017年湖南省永州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合P={x|x﹣1≤0}，M={x|x+2＞0}，则P∩M=（）A．（﹣∞，1]B．[﹣2，+∞）C．[1，2） D．（﹣2，1]【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合P，M，根据交集的定义进行计算即可【解答】解：集合P={x|x﹣1≤0}=（﹣∞，1]，M={x|x+2＞0}=（﹣2，+∞），则P∩M=（﹣2，1]，故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．“a=1”是“a2=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2=1得a=1或﹣1，则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．a n+S n=5，则a2=（）3．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】a1=1，a n+1a n+S n=5，可得a2•a1+a1=5，解得a2．【解答】解：∵a1=1，a n+1a n+S n=5，∴a2•a1+a1=5，即a2+1=5，解得a2=4．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．17石B．166石C．387石D．1310石【考点】B2：简单随机抽样．【分析】根据数得270粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1494×=166石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．5．若a=log23，b=log3，c=3﹣2，则下列结论正确的是（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log23＞1，b=log3＜0，c=3﹣2∈（0，1），∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则p=（）A．2 B．2 C．8 D．4【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析计算可得焦点坐标为（±2，0），由抛物线的标准方程分析抛物线的焦点位置，可得抛物线的焦点坐标，进而由抛物线的焦点坐标公式可得=2，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣y2=1，其焦点坐标为（±2，0），而抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在x轴正半轴上，则抛物线的焦点为（2，0），即=2，解可得p=4；故选：D．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，要先由双曲线的方程求出其焦点坐标．7．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的最小正周期为π，则下列直线为f（x）的对称轴的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，再写出f（x）的对称轴，从而得出答案．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0）的最小正周期为T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin2x；令2x=+kπ，k∈Z，∴x=+，k∈Z；当k=0时，x=是f（x）的一条对称轴．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8．如图，在△ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设=，=，则=（）A．+B．﹣+C．﹣﹣ D．﹣【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．【解答】解：=+=+，=﹣+（﹣），=﹣+（﹣），=﹣+﹣（+），=﹣+，=﹣+，故选：B【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和三角形法则，属于基础题．9．某程序框图如图所示，分别输入下列选项中的四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2+1 B．f（x）=sinx C．f（x）=2x D．f（x）=log2|x|【考点】EF：程序框图．【分析】根据题意，得该程序框图输出的函数应满足：①是偶函数，②存在零点；由此判定各选项中的函数是否满足条件即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得：该程序框图输出的函数应满足条件：①f（x）﹣f（﹣x）=0，是偶函数，②存在零点；对于A，f（x）=x2+1不存在零点，不能输出；对于B，f（x）=sinx不是偶函数，不能输出；对于C，f（x）=2x，不是偶函数，不能输出；对于D，f（x）=log2|x|，是偶函数，且存在零点0，∴满足条件①②，可以输出；故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出解题的关键是输出的函数应满足的条件，是基础题．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+πB．8+πC．4+D．4+【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱柱与半球的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱柱与半球的组合体，故体积V=1×2×4+×=8+π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．11．已知F为椭圆+=1的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AF⊥AB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+my+3=0相切，则m的值为（）A．±3 B．C．±D．3【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的焦点坐标，设B，则圆心C（，0），半径为r=，利用勾股定理求得x的值，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值．【解答】解：由题意可知：椭圆+=1的左焦点（﹣1，0），设B（x，0），由AF⊥AB，且A，B，F三点确定的圆C，圆心C（，0），半径为r=，在△AOC中，由丨AO丨2+丨OC丨2=丨AC丨2=r2，即（）2+（）2=（）2，解得：x=3，则C（1，0），半径为2，由题意可知：圆心到直线x+my+3=0距离d==2，解得：m=±，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1在区间[0，1]上单调递减，m=a+b，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．[﹣，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[﹣3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[0，1]上恒成立．只需要即可，由此能求出m=a+b的取值范围．【解答】解：依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[0，1]上恒成立．只需要即可，∴3+2a+2b≤0，∴m=a+b≤﹣．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣]．故选：A．【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i2=﹣1，且i•z=2+4i，则z=4﹣2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=2+4i，得z=，故答案为：4﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．一圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为4的半圆，则圆锥的高等于2．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图，即对应扇形的弧长是底面圆的周长，结合题意列出方程，求出底面的半径．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则由题意得，2πR=π×4，即R=2，∴圆锥的高等于=2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥侧面展开图中弧长的等量关系，即由圆锥底面圆的圆周和展开图中弧长相等，列出方程进行求值．15．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣a=0有两个解，则a的取值范围是（﹣，2] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】画出f（x）的图象，由二次函数及幂函数的性质求得f（x）的取值范围，即可求得a的取值范围．【解答】解：由﹣2≤x＜0，f（x）=x2+x，对称轴x=﹣，则﹣2≤x＜﹣时，f（x）单调递减，﹣＜x＜0，f（x）单调递增，当x=﹣2时，取最大值，最大值为2，当x=﹣时取最小值，最小值为﹣，当0≤x≤9时，f（x）=，f（x）在[0，9]上单调递增，若方程f（x）﹣a=0有两个解，则f（x）=a与f（x）有两个交点，则a的取值范围（﹣，2]，∴a的取值范围（﹣，2]，故答案为：（﹣，2]．【点评】本题考查二次函数的及幂函数图象与性质，考查分段函数的单调性，考查数形结合思想，属于中档题．16．数列{a n}的通项公式为a n=nsin+（﹣1）n，其前n项和为S n，则S2017=﹣3026．【考点】8E：数列的求和．【分析】n=2k（k∈N*）时，a n=a2k=2k•sinkπ+1=1．n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k=（2k﹣1）•sinπ﹣1=（﹣1）k﹣1（2k﹣1）﹣1．利用分组求和即可得出．﹣1【解答】解：∵n=2k（k∈N*）时，a n=a2k=2k•sinkπ+1=1．n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k=（2k﹣1）•sinπ﹣1=（﹣1）k﹣1（2k﹣1）﹣﹣11．∴S2017=（a2+a4+…+a2016）+（a1+a3+…+a2017）=1008+（1﹣3+5﹣7+…﹣2017﹣1009）=1008+（﹣1008﹣2017﹣1009）=﹣3026．故答案为：﹣3026．【点评】本题考查了分组求和、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•永州三模）已知A，B，C是△ABC的三个内角，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设平面向量=（cosB，sinB），=（cosC，﹣sinC），与所成的夹角为120°．（1）求A的值．（2）若△ABC的面积S=，sinC=2sinB，求a的值．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的夹角公式及两角和的余弦公式的逆运用，即可求得cosA=，求得A；（2）利用正弦定理求得c=2b，根据三角形的面积公式求得bc=，即可求得b 和c的值，利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：（1）由与所成的夹角为θ，cosθ===cos（B+C）=﹣cosA，由cosθ=﹣，则cosA=，由0＜A＜π，A=，∴A的值；（2）由正弦定理可知：=2R．则sinA=，sinB=，sinC=，由sinC=2sinB，则c=2b，△ABC的面积S=×bcsinA=，即bc=，解得：b=，c=，由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bcosA=16，则a=4，∴a的值4．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•永州三模）我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫，把2017年列为“精准扶贫”攻坚年，2017年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本，以考核该县2016年的“精准扶贫”成效（2016年贫困家庭脱贫的标准为人均收入不小于3000元）．根据所得数据将人均收入（单位：千元）分成五个组：[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）如果被抽取的100户贫困家庭有80%脱贫，则认为该县“精准扶贫”的成效是理想的．请从统计学的角度说明该县的“精准扶贫”效果是理想还是不理想？（3）从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，求至少有1户人均收入在区间[1，2）上的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（2）由频率分布直方图求出人均收入超过3000元的频率，由此能求出结果．（3）户人均收入小于3千元的贫困家庭中有5户，其中人均收入在区间[1，2）上有2户，人均收入在区间[2，3）上有3户，至少有1户人均收入在区间[1，2）上的对立事件是两户人均收入都在区间[2，3）上，由此能求出至少有1户人均收入在区间[1，2）上的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：+++a+（2）由频率分布直方图得人均收入超过3000元的频率为：＞80%，∴从统计学的角度来说该县的“精准扶贫”效果理想．+×100=5，其中人均收入在区间[×100=2户，人均收入在区间[×100=3户，从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，基本事件总数n==10，至少有1户人均收入在区间[1，2）上的对立事件是两户人均收入都在区间[2，3）上∴至少有1户人均收入在区间[1，2）上的概率：p=1﹣=．【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关键是正确理解频率分布直方图的性质，解题时要要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．19．（12分）（2017•永州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，H为线段PC上一点．（1）证明：平面BHD⊥平面PAC；（2）若OH⊥PC，PC与底面ABCD所成的角为45°，求三棱锥H﹣BCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BHD⊥平面PAC．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥H﹣BCD的体积．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，AC交BD于O，∴AC⊥BD，PA⊥BD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BHD，∴平面BHD⊥平面PAC．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PC与底面ABCD所成的角为45°，∴PA=AC==2，∴O（1，1，0），P（0，0，2），C（2，2，0），设H（a，b，c），，0≤γ≤1，则（a，b，c﹣2）=（2λ，2λ，﹣2），∴a=2λ，b=2λ，c=2，∴H（2），=（2λ﹣1，2λ﹣1，2），=（2，2，﹣2），∵OH⊥PC，∴=2（2λ﹣1）+2（2λ﹣1）﹣2（2）=0，解得，∴H到平面BCD的距离d=2=，∴三棱锥H﹣BCD的体积V===．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•永州三模）已知椭圆C：x2+=1，直线l：y=2x+m（m∈R），点M（1，0）．（1）若直线l与椭圆C恒有公共点，求m的取值范围；（2）若动直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P，求|PM|的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程，由△≥0，即可求得m的取值范围；（2）由（1）可知：利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得P点坐标，根据两点之间的距离公式，及二次函数的性质即可求得|PM|的最小值．【解答】解：（1），整理得：8x2+4mx+m2﹣4=0，由△=（4m）2﹣4×8×（m2﹣4）≥0，解得：﹣2≤m≤2，则m的取值范围[﹣2，2]；（2）动直线l与椭圆C相交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可知：x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=2（x1+x2）+2m=m，则AB的中点坐标P（﹣，），∴|PM|2=（1+）2+（﹣0）2=m2+m+1，﹣2≤m≤2，由二次函数的性质可知：m=﹣时，丨PM丨取最小值，则丨PM丨的最小值为：，∴|PM|的最小值．【点评】本题直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•永州三模）已知函数f（x）=lnx﹣px+1（p∈R）．（1）当p＞时，f（x）在区间[1，e]上的最大值为﹣1，求P的值；（2）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，有f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，求p的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得＜e，然后分0＜＜1和1≤＜e求得函数的单调区间，进一步求得f（x）在区间[1，e]上的最大值，由最大值为﹣1求P的值；（2）由f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，得f（x1）+x12＜f（x2）+x22成立，构造函数g（x）=f（x）+x2，由题意可得函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．转化为△=p2﹣8≤0或，求解即可得到p的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣px+1，x＞0，∴f′（x）=﹣p==，∵p＞，∴＜e，当0＜＜1时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=1﹣p=﹣1，解得p=2，满足题意；当1≤＜e时，若f′（x）＞0时，即1≤x＜，函数单调递增，若f′（x）＜0时，即＜x≤e，函数单调递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣1+1＜﹣1，舍去．综上可得：p=2；（2）由f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，得f（x1）+x12＜f（x2）+x22成立，构造函数g（x）=f（x）+x2，∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∵g（x）=f（x）+x2=lnx﹣px+1+x2，∴g′（x）=（x＞0），则h（x）=2x2﹣px+1≥0在（0，+∞）上恒成立．∴△=p2﹣8≤0或，解得p．∴p的取值范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了函数构造法，属中档题．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•永州三模）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，0＜α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）若直线OP：θ=θ1（0＜θ1＜）交曲线C1于点P，交曲线C2于点Q，求|OP|+的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出普通方程，再求曲线C1的极坐标方程；（2）由题意，|OP|+=2cosθ1+2sin（θ1+）=2sin（θ+），即可求|OP|+的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，0＜α＜π），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，极坐标方程为ρ=2cosθ；（2）由题意，|OP|+=2cosθ1+2sin（θ1+）=2sin（θ+），∴sin（θ+）=1，|OP|+的最大值为2．【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲23．（10分）（2017•永州三模）已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣m|．（1）当m=6时，解不等式f（x）≥12；（2）已知a＞0，b＞0，且+=，若对于∀a，b∈R*，∃x0使f（x0）≤ab 成立，求m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式；（2）求出ab≥2，f（x）min，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=6时，|x+2|+|x﹣6|≥12，x＜﹣2时，不等式化为﹣x﹣2﹣x+6≥12，∴x≤﹣4，此时x≤﹣4；﹣2＜x＜6时，不等式化为x+2﹣x+6≥12，无解；x≥6时，不等式化为x+2+x﹣6≥12，∴x≥8，此时x≥8；综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣4或x≥8}；（2）a＞0，b＞0，且+=≥2，∴ab≥2（当且仅当a=b时取等号），∵对于∀a，b∈R*，∃x0使f（x0）≤ab成立，∴|2+m|≤2，∴﹣4≤m≤0．【点评】本题考查不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
湖南省永州市高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题及答案
湖南省永州高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 现从已编号（1~50）的50位同学中随机抽取5位以已经他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是（）A. 5,10,15,20,25B. 3,13,23,33,43C. 1,2,3,4,5D. 2,10,18,26,343. 已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A. B. 0 C. 1 D. 24. 下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）A. B. C. D.5. 一个球被两个平行平面截后所得几何体形如我国的一种民族打击乐器“鼓”，该“鼓”是三视图如图所示，则求的表面积为（）A. B. C. D.6. 已知抛物线（其中为常数）经过点，则抛物线的焦点到准线的距离等于（）A. B. C. D.7. 运行如图所示的程序框图，若输入的（）分别为1，3，4，6，则输出的值为（）A. 2B. 3C. 7D. 108. 已知数列满足，，则（）A. 8B. 16C. 32D. 649. 将函数的图象向左平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.10. 已知函数（）的最小值为8，则（）A. B. C. D.11. 已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列结论：①；②最小；③；④.其中一定正确的结论是（）A. ①②B. ①③④C. ①③④D. ①②④12. 已知双曲线的焦距为，若，则此双曲线焦距的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若，则实数的值为_______.14. 从“1，2，3，4”这组数据中随机取出三个不同的数，则这三个数的平均数恰为3的概率是_______.15. 设实数满足约束条件，则的最大值是_______.【答案】116. 若直角坐标平面内两点满足条件：①两点分别在函数与的图象上；②关于轴对称，则称是函数与的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）.若函数与有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，的面积为，求的值.18. 如图所示，在多面体中，分别是的中点，，，，四边形为矩形，平面平面，（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.19. 为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：经计算：，，，，，，，其中分别为试验数据中的温度和死亡株数，.（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（结果精确到）；（2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且相关指数为.（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；相关指数为：.20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.21. 已知函数.（1）讨论的导函数的零点个数；（2）当时，证明：.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，并判断曲线是什么曲线；（2）设直线与曲线相交与两点，当，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数的取值范围.湖南省永州高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故选A。
湖南省高考数学三模试卷(文科)
湖南省高考数学三模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·嘉兴模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·南昌期中) 若复数（1+a•i）2（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A . ±1B . ﹣1C . 0D . 13. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 函数在点取极值是的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 必要非充分条件4. （2分）已知，且是第二象限角，那么等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·武邑月考) 湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2 014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 014人中，每个人被抽取的可能性（）A . 均不相等B . 不全相等C . 都相等，且为D . 都相等，且为6. （2分） (2019高二上·丽水月考) 已知，是单位向量，• 0．若向量满足||＝1，则| |的最大值为（）A .B .C .D .7. （2分）阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为-25时,输出的值为（）A . -1B . 1C . 3D . 98. （2分） (2019高三上·肇庆月考) 已知，满足不等式组，则函数的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高一上·南昌期中) 若函数是偶函数，定义域为，则等于（）A .B .C . 2D .10. （2分）(2017·白山模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . +8πB . 24+8πC . 16+8πD . 8+16π11. （2分）双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 90°12. （2分） (2019高三上·衡水月考) 设函数，则函数的零点的个数为（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·西湖月考) 设，，则的大小关系为________．14. （1分）在△ABC中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是________．15. （1分） (2017·运城模拟) 四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为________．16. （1分） (2020高三上·合肥月考) 若直线经过抛物线的焦点且与圆相切，则直线的方程为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2020高三上·安徽月考) 随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数802003202501003020附：0.050.0250.0103.841 5.024 6.635，其中 .（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100人，得到如下列联表：潜伏期天潜伏期天总计60岁以上（含60岁）5060岁以下35100请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；（3）在条件（2）得到的100人样本中，从潜伏期超过10天的人中，随机选取3人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过12天的概率？18. （10分）(2016·枣庄模拟) 已知等比数列{an}满足an+1+an=10•4n﹣1（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn ，且bn=log2an ．（1）求bn ， Sn；（2）设cn= ，证明： + +…+ ＜ Sn+1（n∈N*）．19. （15分）(2016·安庆模拟) 如图所示几何体ABC﹣A1B1C1中，A1、B1、C1在面ABC上的射影分别是线段AB、BC、AC的中点，面A1B1C1∥面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形．（1）求证：△A1B1C1是等边三角形；（2）若面ACB1A1⊥面BA1B1 ，求该几何体ABC﹣A1B1C1的体积；（3）在（2）的条件下，求面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值．20. （10分）对于椭圆C， + =1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（非顶点），点D在椭圆上，AD⊥AB，直线BD与x轴，y轴分别交于M，N．（1）证明：①kADkBD是定值；②直线AM⊥x轴；（2）求△OMN的面积的最大值．21. （5分）(2017·山东模拟) 已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1 ，x2∈[0，2]，x1≠x2 ，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．22. （10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．23. （10分）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+ |．（1）解不等式f（x）＜0；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）+3m2＜5m，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省永州市2017届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|01,}A x x x N =≤≤∈，则集合A 的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.若复数z 满足(1)z i i =-，则||z =（ ）A ．1 BC ．2 D3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．304.已知a R ∈，“22a ≥”是“函数log a y x =在(0,)+∞上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知直线1:10l x y ++=，2:10l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1 B．26.一个几何体的三视图如图所示（图中小方格均为边长为1的正方形），该几何体的体积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sin B =（ ） A ．25 B ．35 C ．45 D ．858.执行下边的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．12B ．18C ．20D ．289.已知函数122log (01)()1(1)x x f x x x <≤⎧⎪=⎨⎪->⎩，则1(())4f f 的值为（ ）A ．1516-B ．34- C ．3 D ．1 10.已知实数x ，y 满足约束条件203500,0x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．53C ．4D ．-10 11.已知()sin()(0,||)2f x x πϖϕϖϕ=+><满足()()f x f x π=+，1(0)2f =，则()2cos()g x x ϖϕ=+在区间[0,]2π上的最小值为（ ） A．．-2 C ．-1 D ．112.已知关于x 的方程1|1|202kx x ---=+有三个不相等实根，那么实数k 的取值范围是（ ）A．(1)+∞ B．(1-+ C．(0,1(,0)--∞ D．3(,0)(1,12-∞-+ 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1sin 23α=，则cos2α=__________. 14.已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为3y x =，则双曲线的离心率为__________.15.已知OA 为球O 的半径，垂直于OA 的平面截球面得到圆M （M 为截面与OA 的交点）.若圆M 的面积为2π，OM =___________.16.函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]m n D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域为[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()y f x =的“完美区间”.下列函数中存在“完美区间”的是________（只需填符合题意的函数序号）.①2()f x x =； ②12()log f x x =； ③()x f x e =； ④1()3f x x x=-+. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 中，2614a a +=，n S 为其前n 项和，525S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本题满分12分）某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边A ，B 两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A 路口数据的平均数比B 路口数据的平均数小2.（1）求出A 路口8个数据中的中位数和茎叶图中m 的值；（2）在B 路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率.19. （本题满分12分）如图，在四棱锥F ABCD -中，已知CD DF⊥，四边形ABCD 为矩形，DF AF ==4AD =.（1）求证：DF ⊥平面ABF ；（2）若三棱锥C BDF -的体积为83，求CD 的长. 20. （本题满分12分）已知曲线C 上的任一点到点(0,1)F 的距离减去它到x 轴的距离的差都是1.（1）求曲线C 的方程；（2）设直线(0)y kx m m =+>与曲线C 交于A ，B 两点，若对于任意k R ∈都有0FA FB <，求m 的取值范围.21. （本题满分12分）已知函数21()13(0)a f x ax a a x-=++->. （1）当1a =时，求函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）若不等式()(1)ln f x a x ≥-在[1,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是ABC △的外接圆，D 是AC 的中点，BD 交AC 于E ．（Ⅰ）求证：2DC DE DB =⋅；（Ⅱ）若CD =，点O 到AC 的距离等于点D 到AC 的距离的一半，求圆O 的半径r ．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线1:x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若1a =，解不等式：()41f x x ≥--；（Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]02，，()11002a m n m n+=>>，，求mn 的最小值． 永州市2017年高考第一次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题 13. 7916π 16.①④ 三、解答题17.（本题满分12分）解：（1）∵{}n a 是等差数列，且2614a a +=，525S =，（2）由（1）知12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+，………………………………………8分 ∴1211111(1)()()3352121n n T b b b n n =+++=-+-++--+1212121n n n =-=++.…………………………………………………………………………………………12分18. （本题满分12分）解：（1）A 路口8个数据的中位数为343534.52+=.………………………………………………………3分 ∵A 路口8个数据的平均数为2130313435353749348+++++++=， ∴B 路口8个数据的平均数为36， ∴24323637384245(30)368m ++++++++=，4m =.………………………………………………6分（2）B 在路口的数据中任取2个大于35的数据，有如下10种可能结果： （36,37），（36,38），（36,42），（36,45），（37,38），（37,42），（37,45）， （38,42），（38,45），（42,45）. ………………………………………………………………………………9分 其中“至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有如下7种：（36,42），（36,45），（37,42），（37,45），（38,42），（38,45），（42,45）. 故所求的概率为710p =.………………………………………………………………………………………12分 19. （本题满分12分）解：（1）因为22216AD AF DF ==+，∴DF AF ⊥.……………………………………………………………………………………………………2分∵CD DF ⊥，//CD AB ，∴AB DF ⊥.又∵AF ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，AFAB A =，∴DF ⊥平面ABF .……………………………………………………………………………………………6分（2）作FM AD ⊥，垂足为M ，则在等腰Rt FAD ∆中，122FM AD ==， ∵CD AD ⊥，CD DF ⊥，∴CD ⊥平面FAD .∴CD FM ⊥.∴FM ⊥平面ABCD ，…………………………………………………………………………………………8分 ∴11183323C BDF F BCD BCD V V S FM BC CD FM --∆====. 即11842323CD =，得2CD =.……………………………………………………………………………12分 （注：由F BCD D ABF V V --=求解亦可，请按步酌情给分）20. （本题满分12分）解：（1）设曲线C 上的任一点为(,)P x y ，则||1y =，……………………………………3分化简得24x y =，即曲线C 的方程为: 24x y =.…………………………………………………………………………………5分（2）将y kx m =+，代入24x y =得2440x kx m --=. 当0m >时，216160k m ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-.……………………………………………………7分11(,1)FA x y =-，22(,1)FB x y -，224(1)4k m m =-+--.………………………………………………………………………………9分∵对于任意k R ∈都有0FA FB <，∴224(1)40k m m -+--<对任意的k R ∈恒成立.则2(1)40m m --<，解得33m -<<+所以m的取值范围是33m -<<+………………………………………………………………12分21. （本题满分12分）解：（1）当1a =时，1()2f x x x=+-， 21'()1f x x =-，3'(2)4f =，1(2)2f =.……………………………………………………………………3分 所以，函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为13(2)24y x -=-. 即314y x =-.……………………………………………………………………………………………………5分（2）记()()(1)ln (1,0)g x f x a x x a =--≥>， 即21()13(1)ln a g x ax a a x x-=++-+-. 221(1)[(2)](1)[(12)]a x x x ax a a x x------==.……………………………………………………………7分讨论如下： （ⅰ）当103a <<时，令'()0g x >得12x a>-； 令'()0g x <得112x a<<-. 所以()g x 在1(1,2)a -上是减函数，从而当1(1,2)x a ∈-时，()(1)0g x g <=. 与()0g x ≥在[1,)+∞恒成立矛盾.……………………………………………………………………10分 （ⅱ）当13a ≥时，'()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立，所以()g x 在[1,)+∞上为增函数，所以，()(1)0g x g >=，这说明13a ≥符合题意. 综上，13a ≥.……………………………………………………………………………………………………12分22.（本题满分10分）解：（Ⅰ）∵D 是AC 的中点，∴ABD CBD ∠=∠又∵ABD ACD ∠=∠∴CBD ACD BDC CDE ∠=∠∠=∠，，∴BDC CDE △∽△， ∴BD DC CD DE=，即2DC DE DB =⋅，……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）连结OD ，∵D 是AC 的中点，∴OD AC ⊥，设垂足为F ， 则12OF DF OF DF OD r =+==，， ∴1233OF r DF r ==，， 在Rt OFC △中，222OF FC r +=，∴2289FC r =， 在Rt DFC △中，22248DF FC CD +==，即22284839r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得6r =．…………………………………………………………………………………………………………10分23.（本题满分10分）解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为10x y --=，…………………………………………………………………2分由()222224cos 04cos 04024x y x x y ρθρρθ-=-=+-=-+=⇔⇔⇔， 即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，………………………………………………………………5分 （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得 2214⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即230t --=，设方程230t --=的两根分别为12t t ，，则12AB t t =-=．………………………………………………………………………10分24.（本题满分10分） 解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为141x x -≥--，即12x -≥， ∴12x -≥或12x -≤-，即3x ≥或1x ≤-，∴原不等式的解集为(1][3)-∞-+∞，，；…… ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）()111111f x x a x a a x a ≤-≤-≤-≤-≤≤+⇔⇔⇔， ∵()1f x ≤的解集为[]02，∴10112a a a -=⎧⇒=⎨+=⎩………………………………………………………………………………………………7分∴)111002m n m n +=≥>>，， ∴2mn ≥（当且仅当11122m n ==即21m n ==，时取等号） ∴mn 的最小值为2．…………………………………………………………………………………………10分。
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2017年湖南省永州五中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）≤0}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a 的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．285．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣ B．C．D．﹣6．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．97．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．38．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．39．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A．B．C． D．11．（5分）如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．12．（5分）已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．14．（5分）已知实数x，y满足条件则z=x2+（y+1）2的最小值为．15．（5分）由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．16．（5分）在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n﹣，a 1=1，b 1=1．设c n =，则数列{c n }的前2017项和为 ．三、解答题（共5小题，满分0分）17．已知等差数列{a n }的前n （n ∈N*）项和为S n ，a 3=3，且λS n =a n a n +1，在等比数列{b n }中，b 1=2λ，b 3=a 15+1． （Ⅰ）求数列{a n }及{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n }的前n （n ∈N*）项和为T n ，且，求T n ．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70） [70，80） [80，90） x ：y1：12：13：44：519．如图，空间几何体ADE ﹣BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB=AD=DE=2，EF=4，M 是线段AE 上的动点．（1）求证：AE ⊥CD ；（2）试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由； （3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM ﹣BCF 的体积．20．已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k PA k PB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．四、选做题22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年湖南省永州五中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017•郴州四模）设集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）≤0}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：A={x∈Z|（x+1）（x﹣4）≤0}={﹣1，0，1，2，3，4}，∵A∪B=B，∴A⊆B，∵B={x|x≤a}，∴a≥4，故选D．2．（5分）（2017•河南模拟）已知复数z=（2+i）（a+2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【解答】解：复数z=（2+i）（a+2i3）=（2+i）（a﹣2i）=2a+2+（a﹣4）i，在复平面内对应的点（2a+2，a﹣4）在第四象限，则2a+2＞0，a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4．实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．3．（5分）（2017•衡阳三模）“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线y=x+b恒过（0，b），∵直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，∴（0，b）在圆内，∴b2＜1，∴﹣1＜b＜1；0＜b＜1时，（0，b）在圆内，∴直线y=x+b与圆x2+y2=1相交．故选：B．4．（5分）（2017•衡阳三模）在等差数列{a n}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．28【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a 10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故选：C．5．（5分）（2017•河南模拟）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：∵3cos2θ=3×=tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ=﹣3tanθ，∴sin[2（π﹣θ）]=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ=﹣=﹣=．故选：C．6．（5分）（2017•河南模拟）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．9【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：=1.5，解得：k=6．故选：B．7．（5分）（2017•衡阳三模）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【解答】解：根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，又由f（x）=，则有f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）为奇函数，则有g（x）=﹣log（﹣x+1），故g（﹣8）=﹣log[﹣（﹣8）+1]=﹣2；故选：A．8．（5分）（2017•衡阳三模）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．9．（5分）（2017•河南模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4 D．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选A．10．（5分）（2017•河南模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ等于（）A．B．C． D．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A=﹣2，==，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=﹣2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣+）=﹣2sin（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间（）上，2x﹣∈[﹣π，2θ﹣]，由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣）的最小值为﹣1，此时，sin（2θ﹣）=，则2θ﹣=，求得θ=，故选：B．11．（5分）（2017•衡阳三模）如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos （α﹣β）=（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．∵B1A=B1C，O是AC的中点，∴OB1⊥AC，∵B1E OB，∴四边形ODEB1是平行四边形，∴OB1∥DE，∴DE⊥AC，∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°，∵OM⊥BC，OM⊥BB1，∴OM⊥平面BCC1B1，∴∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β，∴cos（α﹣β）=sinβ=，∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB==，∴OB 1==，∴sinβ==．故选A．12．（5分）（2017•衡阳三模）已知x=1是函数f（x）=ax3﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是（）A．lna＞b﹣1 B．lna＜b﹣1 C．lna=b﹣1 D．以上都不对【解答】解：f′（x）=3ax2﹣b﹣，∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，即3a﹣1=b，令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a+2，（a＞0），则g′（a）=﹣3=，令g′（a）＞0，解得：0＜a＜，令g′（a）＜0，解得：a＞，故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（a）max=g（）=1﹣ln3＜0，故lna＜b﹣1，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2017•河南模拟）一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．【解答】解：记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（C1，C2），其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为：p=．故答案为：．14．（5分）（2017•河南模拟）已知实数x，y满足条件则z=x2+（y+1）2的最小值为5．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．15．（5分）（2017•衡阳三模）由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是封闭的，作出约束条件的可行域：可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，则实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：．16．（5分）（2017•衡阳三模）在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n﹣，a1=1，b1=1．设c n=，则数列{c n}的前2017项和为4034．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+，b n+1=a n+b n﹣，a1=1，b1=1．∴a n+1+b n+1=2（a n+b n），a1+b1=2．∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=，∴a n b n=2n﹣1．∴c n===，则数列{c n}的前2017项和S2017=2017×2=4034．故答案为：4034．三、解答题（共5小题，满分0分）17．（2017•河南模拟）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①∵数列{a n }是等差数列，∴a 1+a 3=2a 2，即2a 2﹣a 1=3，② 由①②得a 1=1，a 2=2，∴a n =n ，λ=2， ∴b 1=4，b 3=16，∴{b n }的公比q==±2，∴或b n =（﹣2）n +1．（Ⅱ）由（I ）知，∴=，∴T n==1+﹣﹣=．18．（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数． 分数段[50，60）[60，70） [70，80） [80，90） x ：y1：12：13：44：5【解答】解：（1）依题意得，10（2a +0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．（2017•衡阳三模）如图，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE 上的动点．（1）求证：AE⊥CD；（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM﹣BCF的体积．【解答】证明：（1）∵四边形CDEF是矩形，∴CD⊥ED，…（1分）∵AD⊥DC，AD∩ED=D，∴CD⊥平面AED，…（2分）∵AE⊂平面AED，∴AE⊥CD．…（3分）解：（2）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，…（4分）证明如下：连结CE交DF于N，连结MN，∵M、N分别是AE、CE的中点，…（5分）∴MN∥AC，又MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，…（6分）∴AC∥平面MDF …（7分）（3）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF，•CD==8，…（8分）∴三棱柱ADE﹣B′CF的体积V=S△ADE空间几何体ADM﹣BCF的体积：V ADM﹣BCF=﹣V F﹣DEM=8﹣﹣=．…（11分）∴空间几何体ADM﹣BCF的体积为．…（12分）20．（2017•衡阳三模）已知抛物线x2=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k PA k PB=﹣2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），则直线PA：y﹣y0=k PA（x﹣x0），代入抛物线方程：x2﹣2k PA x﹣2y0+2k PA x0=0，因为直线与抛物线相切，所以，…（2分）同理，有，…（3分）所以k PA，k PB分别为方程：k2﹣2x0k+2y0=0的两个不同的实数根，…（5分）k PA k PB=﹣2=2y0，所以y0=﹣1，所以点P的轨迹方程为y=﹣1．…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x1x﹣y﹣y1=0，x2x﹣y ﹣y2=0，…（8分）又都过点P（x0，﹣1），所以…（9分）所以直线AB的方程为xx0﹣y+1=0，…（11分）所以直线AB恒过定点（0，1）．…（12分）21．（2017•河南模拟）已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数有公共切线．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），．∵函数f（x）与F（x）有公共切线，∴函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．当两函数图象相切时，设切点的横坐标为x0（x0＞0），则，解得x0=2或x0=﹣1（舍去），则f（2）=F（2），得a=ln2﹣3，由此求出a≥ln2﹣3，即a的取值范围为[ln2﹣3，+∞）．（Ⅱ）等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax，因为g'（x）=lnx+1﹣a，令g'（x）=0，得，xg'（x）﹣0+g（x）极小值所以g（x）的最小值为，令，因为，令t'（x）=0，得x=1，且x（0，1）1（1，+∞）t'（x）+0﹣t（x）极大值所以当a∈（0，1）时，g（x）的最小值，当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为=t（2），所以a∈[1，2]．综上得a的取值范围为（0，2]．四、选做题22．（2017•衡阳三模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为=1直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=4化为：（ρsinθ+ρcosθ）=4，化成直角坐标方程为：x+y﹣8=0；（2）P（cosα，sinα）到直线x+y﹣8=0的距离d==，∴sin（α+θ）=1时，d的最小值为．23．（2017•河南模拟）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．参与本试卷答题和审题的老师有：lcb001；沂蒙松；刘长柏；zlzhan；w3239003；danbo7801；双曲线；caoqz；zhczcb；刘老师；qiss；sxs123；xintrl（排名不分先后）菁优网2017年7月5日。