3.3.1几何概型课件

几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个;
(2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
d的测度 P(A) . D的测度
注: （1）古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况， 而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. （3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关．
于是事件B 发生的概率为
1 12.2 2 P B 4 0.01. 1 1222 4
建构数学
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机 试验,称为几何概型.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A， 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内则事 件A发生.
由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客 到达站 台立即乘上车的概率.
4.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么
剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
练习:5(会面问题)甲、乙二人约定在0点到
5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。 解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻， 于是 0 X 5, 0 Y 5. y
圆面积 a 2 P(A)= 2 正 方 形 面 积 4a 4
答:豆子落入圆内的概率为

4
撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在 圆内，当n很大时，频率接近于概率． m m 4m P( A) . n 4 n n
练一练:
1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听 电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.
A {( x, y) | y x,6.5 x 7.5,7 y 8} 即图中的阴影部分，面积为父亲离家时间
，事
件A表示父亲在离开家能得到报纸，所构成的区域为
这是一个几何概型，所以
P( A) SA 7 S 8
1 1 1 7 SA 1 . 2 2 2 8
答案：P(A)=1/10
练一练:
2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面
的概率是多少?
3.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
例3. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
A. 4 7 B.
5
C. 15
D. 5
2.在区间[1,3]上任取一个数,则这个数大于2的概
1 率是________ 2
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
5 4 3 2 1
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件 A
阴影部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
知识回顾:
1.古典概型的特点:
(1) 有限性: (2)等可能性: 试验中所有可能出现的基本事件为有限个 每个基本事件出现的可能性相等。
2.古典概型的概率计算公式:
P(A)= A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如何求呢?
问题情境：
问题1:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
在 这 两个问题中 , 基 本 事 件有无限多个,虽然 类似于古典概型的 "等可能性" 还存在着, 但是 显然不能用古典概型的 方法求解.怎么办呢?
问题解决：
考虑第一个问题, 如图, 记"剪得两段绳长都不 小于1 m " 为事件 A.
1 1
把绳子三等分 , 于是
3
当剪断位置处在中间一 段上时, 事件 A 发生.
5 4 3 2 1
y
y=x+1
y=x -1
0
1
2 Байду номын сангаас 4
5 x
课堂小结

1.古典概型与几何概型的区别. 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.

2.几何概型的概率公式.
d的测度(长度、面积 、体积) P(A) . D的测度(长度、面积 、体积)
由于绳子上各点被剪断 是等可能的， 1 且中间一段的长度等于 绳长的 , 3 1 所以事件 A 发生的概率P A . 3
对 于 问 题 2 .记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B, 1 由 于 中 靶 点 随 机 地 落面 在 积 为 π 1 2 22 cm 2 4 1 的 大 圆 内而 , 当中靶点落在面积为 π 1 2 .22 cm 2 4 的黄心内时 事 , 件 B发 生 .
（1）试验中的基本事件是什么？
射中靶面上每一点都是一个基本事件, 这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内 的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
上面二个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性．
1.2.3

3.几何概型问题的概率的求解.
用几何概型解简单试验问题的方法
• 1、适当选择观察角度，把问题转化为几 何概型求解； • 2、把基本事件转化为与之对应的区域D； • 3、把随机事件A转化为与之对应的区域 d； • 4、利用几何概型概率公式计算。 • 注意：要注意基本事件是等可能的。
作业
P103习题3.3
y=x
8: 00
7 : 00
6.5
7.5
报纸送到时间
•
对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.
巩固练习：
1.一路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5 秒，绿灯时间为40秒，问你到达路口时，恰好为绿 灯的概率为（ C ） 2 3 8
3m
（1）试验中的基本事件是什么？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位 置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题2:射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外
向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金 色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假 设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能 的,那么射中黄心的概率是多少?
父亲离家时间
y=x
8 : 00
7 : 00
6.5
7.5
报纸送到时间
解:设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为时间y。 (x,y)可以看成平面上的点，实验的全部结果构成的区
域为 {( x, y) | 6.5 x 7.5,7 y 8} ， 这是一个正方形区域，面积为 s 11 1
例1.两根相距8m的木杆上系一根拉直 绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两 端距离都大于3m的概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A， 由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时， 事件A发生，于是
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
例2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随 机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 解:记“豆子落入圆内”为事件A,则