概率论与数理统计5
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概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
概率论与数理统计 第5章
i 1 4 i 2 2 i i 1
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
(1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ; (2)有关计算P 2 (n) 2 (n) 称为上侧α分位数
例5.1 设 X ~ N ( , 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N ( , 2 )
n
i 1,2,, n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1
2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
(n)为整体记号
2
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 (
1 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
2
练习1. P(2(n)<s)=1-p ∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p ∴ P(2(n) s )=p 2 s p (n) 练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
(1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ; (2)有关计算P 2 (n) 2 (n) 称为上侧α分位数
例5.1 设 X ~ N ( , 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N ( , 2 )
n
i 1,2,, n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1
2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
(n)为整体记号
2
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 (
1 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
2
练习1. P(2(n)<s)=1-p ∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p ∴ P(2(n) s )=p 2 s p (n) 练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
概率论与数理统计(经管类) (5)
概率论与数理统计（经管类）您的姓名： [填空题] *_________________________________1描述随机变量取值偏离数学期望程度的数字特征是（） [单选题] *A.方差(正确答案)B.平方差C.期望D.偏差2设C为常数，则C的方差D （C）=( ) [单选题] *A.1B.0(正确答案)C.2D.53设随机变量X服从【2,5】上的均匀分布，则E(X)=（）。
[单选题] *A.1B.2.5C.3.5(正确答案)D.54设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(2X)=_________。
（） [单选题] *A.1B.4(正确答案)C.25设随机变量X的方差D(X)=1，则-X的方差D(-X)=（）。
[单选题] *A.1(正确答案)B.0C.2D.56已知随机变量X～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为(） [单选题] *A.1B.2C.3D.4(正确答案)7设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，E(X)=5，则λ=（） [单选题] *A.1B.0C.2D.5(正确答案)8设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为（）。
[单选题] *A.1/6B.1/4C.1/3(正确答案)D.1/29同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为（）。
[单选题] *B.1/4C.1/3D.1/2(正确答案)10设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（） [单选题] *A.P(A)=1-P(B)B.P(A-B)=P(B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)(正确答案)。
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
故
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
概率论与数理统计答案第五章(东华大学出版)
第五章复习题Page1941、 设i (i=1,2,,50)ξ 是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为0.03λ=的泊松分布。
记1250ξξξξ=+++ ，试用中心极限定理计算P(3)ξ≥。
解：由中心极限定理可认为~ξ((),())(1.5,1.5)N E D N ξξ=，则(3)P ξ≥1.31.5)1)1(1.225)10.889751.51.5P ===-Φ=-=。
2、 一部件包括10部分。
每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立且具有同一分布。
其数学期望为2mm ，均方差为0.05mm ，规定总长度为20±0.1mm 时产品合格，试求产品合格的概率。
解：由中心极限定理可认为总长度~ξ((),())(20,0.025)N E D N ξξ=，则(19.920.P ξ≤≤()2(0.6325)10.4735025P ξ=≤=Φ-=。
3、 一个加法器同时收到20个噪声电压(1,2,,20)k V k = 。
设它们是相互独立的随机变量，且都在区间[0,10]上服从均匀分布。
V 为加法器上受到的总噪声电压，求(105)P V >解：由中心极限定理可知)3500,100()121020,520())(),((~2N N V D V E N V =⨯⨯=，则(105))1(0.39)10.65170.3483P V P >=>=-Φ=-= 4、 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(0.5,0.5]-上服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2） 问几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解：（1）由中心极限定理：误差总和)125,0()1211500,01500(~N N =⨯⨯ξ，因此(||15)2(12(10.9099)0.1802P P ξ>=>=-Φ=⋅-=。
概率论与数理统计第5章
p( x1 , x2 ,
, xn ) = p(x1 )p(x2 )
p(xn ) = ∏ p( xi )
i =1
n
14 September 2009
1.
若连续型总体 X 的密度函数为 p(x )， , X n )是取自总体 X 的样本， iid
(X 1 , X 2 ,
X1, X2, … , Xn
n 则 (X 1 , X 2 , , X n )的密度函数为 p( x1 , x2 , , xn ) = p(x1 )p(x2 ) p(xn ) = ∏ p( xi ) i =1
数理统计
学习基础：1、高等数学 2、概率论
前面的学习已知:随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了 随机现象的统计规律性,所以要研究一个随机现象首先要 知道它的概率分布. 概率论中:许多问题的概率分布通常是已知的或假设为已知的然后 在此基础上进行一切计算与推理. 实际中:一个随机现象的概率分布可能完全不知道 或知道分布类型却不知道其中的参数.例如正态分布
则 (X 1 , X 2 ,
, X n )的密度函数为
p( x1 , x2 ,
, xn ) = p(x1 )p(x2 )
n
p(xn )
⎧n −λ ∑ xi ⎪ Π λe −λxi = λ ne i=1 = ⎨ i =1 ⎪ 0 ⎩
xi > 0, i = 1, 2, 其它
,n
例如 设某批产品共有N 个,其中的次品 数为M, 其次品率为 p = M / N 若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它. 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X来描述它是否是次品: 所取的产品是次品 ⎧ 1, X =⎨ ⎩ 0, 所取的产品不是次品 X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示 方法: P(x) = p (1− p) ,
概率论与数理统计 五大数定理
[注]： X n P → a 注： 推论(辛钦大数定律) 推论(辛钦大数定律)
X n − a P → 0
设独立随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 服从同一分布 并且有数学 服从同一分布, 期望 µ 及方差 σ 2， X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 的算术平均值当 n → ∞ 则 时，按概率收敛于µ， 即对于任何正数 ε，恒有 按概率收敛于 ，
第五章 大数定理与中心极限定理
“大数定律”: 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理 大数定律” 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理. 大数定律
一、切比雪夫不等式
切比雪夫不等式: 切比雪夫不等式: 设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX， ， 下列不等式成立： 则对于任何正数 则对于任何正数 ε，下列不等式成立：
2 i
n
则：E(Yn ) =
2 µi , D(Yn ) = ∑σi2 = sn . ∑
n i =1
n
i =1
i =1
∴ Z n = Yn
1 = sn
∗
n Y n − EY n 1 n = = ∑ X i − ∑ µ i sn i =1 DY n i =1
∑ (X
i =1
n
i
− µ i ), 则有：E ( Z n ) = 0 , D ( Z n ) = 1 . 则有：
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 随机变量的和的极限分布是正态分布 是独立随机变量， 设 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅ , X n ,⋅ ⋅ ⋅ 是独立随机变量，并各有
EX i = µ i , DXi = σ , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n,⋅ ⋅ ⋅. 设 n = ∑Xi , Y
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26.757
28.299 29.819 30.319 … …
上分位点
查表练习：
求下列各式中的 C 值
1. Y ~ 2 ( 24), P (Y C ) 0.1 2. Y ~ 2 (40), P (Y C ) 0.95 3. Y ~ t (6), P (Y C ) 0.05 4. Y ~ t (15), P (Y C ) 0.01 5. F0.05 (4,9), F0.1 (10,5), F0.9 (10,20),
1 5 2 5 2 1 1.8 x i 0.6 (0 1 0 1 1) 0 .3 4 i 1 4 4 4
第六章 样本及抽样分析
抽样分布 统计量是不含未知量的样本函数，也是随机变量。
统计量的分布称抽样分布。
当总体分布已知时，抽样分布也确定了，但这些分布 很难求出。 抽样 总体 样本 统计量 抽样分布 概率
t1 ( n) t ( n)
第六章 样本及抽样分析
正态总体统计量的分布
X 1 , X 2 , , X n 来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，其样
本均值和样本方差
n 1 n 1 2 X Xi , S2 ( X X ) n i 1 n 1 i 1 i
第六章 样本及抽样分析
练习
2.设总体Ｘ～N(a, b)，其中 a 已知，b 未知。再设
X1, X2, X3 是取自总体 X 的一个样本。那么，函数
（1）X1 + X2 + X3；（2）X2 + 2a；（3）X1； （4）max{X1, X2, X3}；（5）∑Xi2 / b 中哪些是统计量？
第六章 样本及抽样分析
•对称性: t1 ( n) t ( n)
• n →∞，密度函数趋
向标准正态分布；
α
1-α
分位点 查表
深绿面积占整个面积的 5 分之一，那么点x称为 5 分 之一右侧分位点，记为x0.2
α分位点(0<α<1)指将密度曲线下面的面积按比例α划分的点， 有左(侧)分位点和右(侧)分位点，后者也称上分位点。
… 2.156
n
… 10
0.99
… 2.558
0.975
… 3.247
0.95
… 3.940
…
… …
…
… …
0.05
… 18.307
0.025
… 20.483
0.01
… 23.209
0.005
… 25.188
11
12 13 14 … …
2.603
3.074 3.565 4.075 … …
3.053
3.571. 4.107 4.660 … …
的分布性质：
X ~ N ( ,
2
n
),
( X ) n
~ N (0,1)
( n 1) S 2
2 X n ~ t ( n 1) S
~ 2 ( n 1)
X , S 2 相互独立
第六章 样本及抽样分析
正态总体统计量的分布
X i ~ N ( , 2 ), 1 n 1 n 2 E ( X ) E X i , D( X ) D X i n i 1 n i 1 n
n n
2
n
Xi X
1 n X i nX 0 i 1
2
只有 n—1 个独立的 随机变量
X X 2 i ~ ( n 1) i 1
第六章 样本及抽样分析
正态总体统计量的分布
X n ~ t ( n 1) S X n1 2 2 ~ N ( 0 , 1 ), S ~ ( n 1) 2 2 /n
179.0 165.6 172.4 171.6 163.7
173.9 167.4 180.3 168.1 175.4
173.7 166.6 160.5 172.2 170.1
157.0 163.1 172.4 170.1
174.2 176.8 162.5 163.5
166.0 169.2 166.4 176.1
第六章 样本及抽样分析
总体与样本
在实际问题中，往往并不知道是什么样分 布，或者分布中的参数值是什么，这需要用数 理统计的办法来解决。从全体研究对象中抽取 部分个体（有限）进行试验，尽可能从中获取 对研究对象统计规律 作出精确可靠的推测 -统计推断。
统计学的研究对象:
客观事物总体的数量特征和数量关系等。
估计/推断
第六章 样本及抽样分析
几种常用的统计量分布
2 （一） 分布
设 X 1 , X 2 , , X n 来自总体 X~N(0,1) 的样本，则称统计量
2 Y X X X 为服从自由度 n 的 分布。
2 1
2 2
2 n
（自由度乃独立的随机变量的个数）即 Y ~
2 ( n)
n 1 2 S ( X X ) ∑ n 1 i 1 i 1 n k Ak ∑ X n i 1 i 1 n k Bk ∑ ( X X ) n i 1 i 2
A1 X n 1 2 B2 S n
统计量也是 随机变量
k 阶中心矩
标准差
S S2
其观测值用小写表示。
第六章 样本及抽样分析 例 有一组样本观测值为 (5,4,6,5),计算其样本均值、 样本方差、2 阶原点矩和 3 阶中心矩。
f ( x1 , x 2 ,, x n ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
第六章 样本及抽样分析
统计量
-- 是样本的函数，用来对总体的未知参 数进行推断，故其中不含有未知的总体参数。 常用的统计量
样本均值 样本方差 k 阶原点矩
X ( X1 X 2 X n ) n
( X ) 2 n
n1
2
X n ~ t ( n 1) n1 S
S2
第六章 样本及抽样分析 1.设正态分布 N (100,100) 的有一个容量为 10 的样本，其样本 2 均值服从______，样本方差乘以____后服从 (9) 分布。 2. 已知来自正态总体 N (0, 2 ) 的样本均值和样本方差， （1）查什么分布表可以确定 P(| X | a ) 的值？ （2）
是否服从卡方分布？若 kY ~ χ2( n )，求 k，n
第六章 样本及抽样分析
抽样分布 （二）t-分布
X ~ N (0,1), Y ~ 2 (Y /n
服从自由度为 n 的 t-分布
T ~ t( n ) 。
第六章 样本及抽样分析
抽样分布 性质：
练习
4.设Ｘ～Ｂ(1, p)，X 的一组观察值为 0,1,0,1,1，那么
样本均值的观察值=
，样本方差的观测值=
。
1 5 1 x x i (0 1 0 1 1) 0.6 5 i 1 5
5 5 1 1 s 2 ( xi 0.6) 2 ( xi2 0.6 2 ) 4 i 1 4 i 1
• （2）查到20年前该校同龄男生平均身高为168cm，20 年来城市男生的身高是否发生了变化？
• （3）收集到100名农村男生的平均身高和标准差分别为 168.9cm和5.4cm，问与城市同龄男生的身高有否差距？
50名17岁城市男生身高（单位：cm） 163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 173.2 172.3 169.3 172.8 176.4 163.7 177.0 174.0 174.3 184.5 171.9 181.4 164.6 176.4 166.2 173.5 171.7 167.9 168.7 175.6 179.6 179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 45名17岁农村男生身高（单位：cm） 171.2 163.7 173.1 171.9 164.4 167.4 162.4 170.6 170.1 169.0 163.4 163.7 166.8 162.4 162.3 168.6 162.8 161.6 167.4 174.0 169.5 167.4 162.3 161.7 173.9 168.9 165.4 173.2 170.4 176.8 175.0 165.2 161.9 168.5 167.1
第六章 样本及抽样分析
总体与样本
总体，母体(研究对象)
随机变量 X 可能取值的全体
个体（组成总体的元素）
对总体 X 的一次观测
表现为：某个指标
表现为：一次观测值
抽样 — 总体中抽取一部分个体的过程； 样本 — 抽样得到 X 的一组数据； 样本容量（大小）— 样本中的个体数量
第六章 样本及抽样分析
对给定的α(概率值)，若 P ( X x ) 则称 x 为 f (x) 的 α 上分位点。
抽样分布往往由α 制成上分位点表
右侧尾部概率
2 P { 2 ( n) ( n)}
自由度
如：查找自由度为 12 的卡方分布，关于右侧 尾部概率 0.05 的上分位点？
α=0.995
x ( 5 4 6 5) 4 5 1 2 2 s (0 ( 1) 2 12 0 2 ) 2 / 3 3 1 2 2 2 2 a 2 (5 4 6 5 ) 102 / 4 4 1 3 3 3 3 b3 (0 ( 1) 1 0 ) 0 4
n X / S 服从什么分布？
3. 设总体 X ~ N ( , 2 )有两个容量分别为10和15的两个样本 均值 X1 , X 2 . p1 P(| X1 | ), p2 P(| X 2 | ), 比较 两个概率大小。 4. X ~ B(1, p)，求 D( X ), E ( S 2 ) 5. X ~ N(15, 2)，有两个容量为 10 和 15 的两个样本，求其样 本均值差的绝对值小于 0.2 的概率。