考前仿真测试1
考前仿真测试一
(时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·湖北高三模拟)复数i 3
2i -1(i 为虚数单位)的虚部是( )
A.1
5i B.15 C .-15
i
D .-15
解析:i 32i -1=-i 2i -1=i 1-2i =i (1+2i )5=-2+i 5,∴其虚部为1
5.
答案:B
2.(2014·潍坊二模)设集合A ={x ||2x -1|≤3},B ={x |y =lg(x -1)},则A ∩B =( ) A .(1,2) B .[1,2] C .(1,2]
D .[1,2)
解析:由|2x -1|≤3得-3≤2x -1≤3,-1≤x ≤2,由x -1>0,得x >1,∴A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x >1},∴A ∩B ={x |1 答案:C 3.(2014·湖南长沙市高三模拟)某班的全体学生参加消防安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( ) A .45 B .50 C .55 D .60 解析:设该班的学生人数为n ,由题意得15 n =20(0.005+0.010),得n =50. 答案:B 4.(2014·陕西西工大附中高三模拟)设函数f (x )=2x +1 x -1(x <0),则f (x )( ) A .有最大值 B .有最小值 C .是增函数 D .是减函数 解析:∵f ′(x )=2-1x 2,当x <-22时,f ′(x )>0,∴f (x )在????-∞,-2 2上为增函数, 当-22 ?-2 2,0上为减函数,∴当x =-22时,f (x )取得最大值. 答案:A 5.(2014·重庆高三压轴卷)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB → 同方向的单位向量为( ) A.????45 ,-3 5 B.????35,-4 5 C.??? ?-35,45 D.??? ?-45,35 解析:∵AB →=(3,-4),|AB →|=32+(-4)2 =5,与AB →同方向的单位向量为AB → |AB →|=15(3, -4)=????35 ,-45. 答案:B 6.(2014·江西二模)执行如下图所示的程序框图.若n =4,则输出S 的值是( ) A .-23 B .-5 C .9 D .11 解析:第一次循环:S =1+(-2)1=-1,i =2; 第二次循环:S =-1+(-2)2=3,i =3; 第三次循环:S =3+(-2)3=-5,i =4; 第四次循环:S =-5+(-2)4=11,i =5,此时跳出循环 故输出的S 的值为11. 答案:D 7.(2014·重庆高三压轴卷)设函数f (x )=? ???? 21- x (x ≤1), 1-log 2x (x >1),则满足f (x )≤2的x 的取值范 围是( ) A .[-1,2] B .[0,2] C .[0,+∞) D .[1,+∞) 解析:由f (x )≤2得????? 21- x ≤2,x ≤1,或? ??? ? 1-log 2x ≤2,x >1, 得0≤x ≤1或x >1,综上得不等式的解集为[0,+∞). 答案:C 8.(2014·山东潍坊高三模拟)若圆C 经过(1,0),(3,0)两点,且与y 轴相切,则圆C 的方程为( ) A .(x -2)2+(y ±2)2=3 B .(x -2)2+(y ±3)2=3 C .(x -2)2+(y ±2)2=4 D .(x -2)2+(y ±3)2=4 解析:设所求的圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=a 2, 由题意得????? (1-a )2+b 2=a 2 ,(3-a )2+b 2=a 2 ,得??? a =2, b =±3. ∴所求的圆的方程为(x -2)2+(y ±3)2=4. 答案:D 9.(2014·北京西城高三二模)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f ???? π4的值为( ) A.2 B .0 C .1 D. 3 解析:由图可知,A =2,34T =1112π-π6=34π,∴T =π,T =2πω,∴ω=2,又f ????π6=2sin ????2×π6+φ=2,∴sin ????π3+φ=1,又0<φ<π,∴φ=π6,∴f (x )=2sin ????2x +π6,∴f ????π4=2sin ????π2+π6=2cos π 6= 3. 答案:D 10.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ) A .2+1+5 2π B .2+1+25 2π C .2+(1+5)π D .2+2+5 2 π 解析:由三视图可知该几何体是底面朝上的圆锥的一半,其中圆锥的底面半径为1,高为2,∴其母线长l =22+12=5,∴其表面积S 表=12×2×2+12π×12+12π×1×5=2+π 2+ 5π 2 . 答案:A 11.(2014·山东菏泽高三二模)已知抛物线y 2 =4x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点且与双曲线交于A 、B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积为3 2,则双曲线的离 心率为( ) A.32 B .4 C .3 D .2 解析:∵y 2 =4x 的准线方程为x =-1,由题意得c =1,将x =-1代入x 2a 2-y 2 b 2=1中, 得y 2 =1-a 2a 2·b 2,∴|AB |=2|y |=2b a 1-a 2 =2b 2a ,∴S △AOB =12×2b 2a ×1=3 2 ,∴2b 2=3a ,即 2(1-a 2)=3a ,得a =12或a =-2(舍),∴e =c a =1 1 2 =2. 答案:D 12.(2014·陕西西工大附中高三模拟)下列三个命题: ①在区间[0,1]内任取两个实数x ,y ,则事件“x 2+y 2>1成立”的概率是1-π4; ②函数f (x )关于(3,0)点对称,满足f (6+x )=f (6-x ),且当x ∈[0,3]时函数为增函数,则f (x )在[6,9]上为减函数; ③满足A =30°,BC =1,AB =3的△ABC 有两解. 其中正确命题的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .0 解:对于①,∵(x ,y )满足的平面区域如图中的矩形,其中满足x 2+y 2>1的(x ,y )如图中的阴影部分,∴其概率为P =S 阴S 矩=1-π41=1-π 4,故①正确;对于②∵f (x )关于(3,0)对称, 且f (x )在[0,3]上为增函数,∴f (x )在[3,6]上为增函数,又f (x )满足f (6+x )=f (6-x ),∴f (x )关于x =6对称,∴f (x )在[6,9]上为减函数,故②正确;对于③由正弦定理得AB sin C =BC sin A ,∴sin C = 3 2 ,又AB >BC ,∴C =60°或C =120°,∴△ABC 有两解,故③正确. 答案:C 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.(2014·湖南长沙市高三模拟)已知{a n }为等差数列,a 3=7,a 1+a 7=10,S n 为其前n 项和,则使S n 达到最大值的n 等于________. 解析:∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 7=2a 4=10,∴a 4=5, ∴d =a 4-a 3=-2,∴a n =a 3+(n -3)d =13-2n . ∴S n =(11+13-2n )n 2=12n -n 2=-(n -6)2+36,∴当n =6时S n 取得最大值. 答案:6 14.(理)(2014·淮南市高三二模)????x +a x ·????2x -1x 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为________. 解析:由题意得(1+a )(2-1)5=2,∴a =1. 又? ???2x -1 x 5的展开式的通项T r +1= (-1)r C r 5(2x )5-r ??? ?1x r =(-1)r ·25-r C r 5x 5-2r , ∴该展开式中的常数项为(-1)325- 3C 35+(-1)225- 2C 25=-40+80=40. 答案:40 (文)(2014·陕西压轴卷)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第8行从左向右的第1个数为________. 解析:该三角形数阵前7行共有(1+7)×7 2=28个数,即第7行最后一个数为28,∴第 8行从左向右的第1个数为29. 答案:29 15.(2014·北京西城区高三二模题改编)在平面直角坐标系xOy 中,不等式组???? ? x ≥0,y ≥0,x +y -8≤0 所表示的平面区域是α,不等式组? ???? 0≤x ≤4, 0≤y ≤10所表示的平面区域是β,从区 域α中随机取一点P (x ,y ),则P 为区域β内的点的概率是________. 解析:不等式组????? x ≥0,y ≥0,x +y -8≤0表示的平面区域α是如图所示的三角形,其面积为S = 1 2 ×8×8= 32. 其中满足? ??? ? 0≤x ≤4,0≤y ≤10,表示的平面区域如图中的矩形,从区域α中随机取一点P ,则点 P 在区域P 内的概率P =S 阴S =(4+8)×4 232=2432=3 4 . 答案:3 4 16.(2014·福建四地六校高三模拟)在计算“1×2+2×3+…+n (n +1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k 项:k (k +1)=1 3 [k (k +1)(k +2)-(k -1)k (k +1)],由此得 1×2=1 3(1×2×3-0×1×2), 2×3=1 3(2×3×4-1×2×3), … n (n +1)=1 3 [n (n +1)(n +2)-(n -1)n (n +1)]. 相加,得1×2+2×3+…+n (n +1)=1 3 n (n +1)(n +2). 类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n (n +1)(n +2)”, 其结果为________. 解析:∵1×2×3=1 4(1×2×3×4-0×1×2×3), 2×3×4=1 4(2×3×4×5-1×2×3×4), … n (n +1)(n +2)=1 4[n (n +1)(n +2)(n +3)-(n -1)n (n +1)(n +2)], ∴1×2×3+2×3×4+…+n (n +1)(n +2)=1 4n (n +1)(n +2)(n +3). 答案:1 4 n (n +1)(n +2)(n +3) 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(12分)(2014·东北三省高三模拟)在三角形ABC 中,内角A ,B ,C 所对边a ,b ,c 成公比小于1的等比数列,且sin B +sin(A -C )=2sin2C . (1)求内角B 的余弦值; (2)若b =3,求△ABC 的面积. 解:(1)sin B +sin(A -C )=2sin2C , ∴sin(A +C )+sin(A -C )=4sin C cos C , sin A =2sin C ,a =2c . 又因为b 2=ac =2c 2, 所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =34. (2)∵b =3,∴a =6,c =32=6 2. 又因为sin B = 1-cos 2B = 74 , 所以S △ABC =12ac sin B =3 8 7. 18.(12分)(文)(2014·江西二模)某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调查,根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值(百分制).现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计,得到下图所示的频率分布表: (1)请完成题目中的频率分布表,并补全题目中的频率分布直方图; (2)该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加“幸福愿望”的座谈会,在题中抽样统计的这20个人中,已知幸福指数评分值在区间(80,100]的5人中有2个人被邀请参加座谈,求其中幸福指数评分值在区间(80,90]的仅有1人被邀请的概率. 解:(1)频率分布表: 频率分布直方图: (2)记幸福指数评分值在(80,90]的3人分别是A 1,A 2,A 3,(90,100]的2人分别是B 1,B 2,则全部基本事件有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),(B 1,B 2)共10个,其中幸福指数评分值在(80,90]区间有1人被邀请的基本事件有6个. 故幸福指数评分值在(80,90]区间仅有1人被邀请的概率P =610=3 5 . (12分)(理)(2014·天津市红桥区高三二模)某工厂生产A ,B 两种型号的玩具,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品,现随机抽取这两种玩具各100件进行检测,检测结果统计如下: (2)生产一件玩具A ,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件玩具B ,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(1)的前提下,①记X 为生产1件玩具A 和1件玩具B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望;②求生产5件玩具B 所获得的利润不少于140元的概率. 解:(1)玩具A 为正品的概率约为40+32+8100=4 5. 玩具B 为正品的概率约为40+29+6100=3 4. (2)①随机变量X 的所有取值为90,45,30,-15. P (X =90)=45×34=35;P (X =45)=15×34=3 20; P (X =30)=45×14=15;P (X =-15)=15×14=1 20. 所以,随机变量X 的分布列为: E (X )=90×35+45×320+30×15+(-15)×1 20 =66. ②设生产的5件玩具B 中正品有n 件,则次品有5-n 件. 依题意,得50n -10(5-n )≥140,解得n ≥19 6. 所以n =4,或n =5. 设“生产5件玩具B 所获得的利润不少于140元”为事件A ,则P (A )=C 45 ????344×14+????345 =81128 . 19.(12分)(文)(2014·重庆高考压轴卷)已知在直四棱柱ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中,底面ABCD 为直角梯形,且满足AD ⊥AB ,BC ∥AD ,AD =16,AB =8,BB 1=8, E , F 分别是线段A 1A ,BC 上的点. (1)若A 1E =5,BF =10,求证:BE ∥平面A 1FD ; (2)若BD ⊥A 1F ,求三棱锥A 1-AB 1F 的体积. 解:(1)证明:过E 作EG ∥AD 交A 1D 于G ,连接GF . A 1E A 1A =58,则EG AD =5 8,∴EG =10=BF . ∴BF ∥AD ,EG ∥AD ,∴BF ∥EG . 四边形BFGE 是平行四边形, ∴BE ∥FG ,又FG ?平面A 1FD ,BE ?平面A 1FD , ∴BE ∥平面A 1FD . (2)在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A ⊥平面ABCD , BD ?平面ABCD ,∴A 1A ⊥BD .由已知,BD ⊥A 1F ,A 1F ∩A 1A =A 1, ∴BD ⊥平面A 1AF ,∴ BD ⊥AF . ∵梯形ABCD 为直角梯形,且满足AD ⊥AB ,BC ∥AD , ∴在Rt △BAD 中,tan ∠ABD =AD AB =2, 在Rt △ABF 中,tan ∠BAF = FB AB =BF 8 . ∵BD ⊥AF ,∴∠ABD +∠BAF =π2,∴BF 8=1 2,BF =4. ∵在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A ⊥平面ABCD , ∴平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ,又平面ABCD ∩平面A 1ABB 1=AB ,∠ABF =90°,∴FB ⊥平面A 1ABB 1,即BF 为三棱锥F -A 1B 1A 的高,∠AA 1B 1=90°,AA 1=BB 1=8,A 1B 1=AB =8. ∴S △AA 1B 1=32, ∴VA 1-AB 1F =VF -A 1B 1A =13S △AA 1B 1·BF =128 3. (12分)(理)(2014·上海市高三模拟)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=BC =AB =2,AB ⊥BC .M ,N 分别是AC 和BB 1的中点. (1)求二面角B 1-A 1C -C 1的大小; (2)证明:在AB 上存在一个点Q ,使得平面QMN ⊥平面A 1B 1C ,并求出BQ 的长度. 解:解法一(向量法): 如图建立空间直角坐标系, (1)A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C (0,2,0),C 1(0,2,2), ∴A 1C →=(-2,2,-2),A 1B 1→=(-2,0,0),CC 1→ =(0,0,2), 设平面A 1CB 1的法向量为n =(x 1,y 1,z 1),平面A 1CC 1的法向量为m =(x 2,y 2,z 2), 则有????? A 1C →·n =0A 1 B 1→· n =0?????? -2x 1+2y 1-2z 1=0-2x 1=0?n =(0,1,1). ????? A 1C →·m =0CC 1→· m =0?????? -2x 2+2y 2-2z 2=0 -2z 2=0?m =(1,1,0), 设二面角B 1-A 1C -C 1为θ,则 cos θ=|cos 〈n ,m 〉|=????n·m |n ||m |=1 2, ∴二面角B 1-A 1C -C 1的大小为60°. (2)证明:设Q (t,0,0), ∵M (1,1,0),N (0,0,1), ∴NQ →=(t,0,-1),NM → =(1,1,-1),设平面QMN 的法向量为u =(x ,y ,z ), 则有:????? NQ →·u =0NM →· u =0????? ? tx -z =0x +y -z =0?u =(1,t -1,t ). 由(1)可知平面A 1CB 1的法向量为n =(0,1,1), ∵平面QMN ⊥平面A 1B 1C , ∴u ·n =0,即2t -1=0,t =1 2. 此时BQ =1 2 . 解法二:(1)取A 1C 1中点G ,连接B 1G , ∵A 1B 1=B 1C 1,∴B 1G ⊥A 1C 1. 又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1,B 1G ?平面A 1B 1C 1,,∴CC 1⊥B 1G . A 1C 1∩CC 1=C 1,且A 1C 1和CC 1均在平面A 1C 1C 内, ∴B 1G ⊥平面A 1C 1C ,∴B 1G ⊥A 1C . 过G 作GH ⊥A 1C 于H ,连接B 1H , ∴A 1C ⊥平面B 1GH ∴A 1C ⊥B 1H , ∴∠B 1HG 为二面角B 1-A 1C -C 1的平面角, ∵A 1B 1=B 1C 1=2,∠A 1B 1C 1=90°,∴B 1G = 2. ∵△A 1GH ∽△A 1CC 1,A 1G =2,CC 1=2,A 1C =23, ∴GH CC 1=A 1G A 1C ?GH 2=223?GH =23. ∴tan ∠B 1HG =B 1G GH = 3. ∴∠B 1HG =60° (2)同解法一. 20.(12分)(2014·兰州高三模拟)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1(-1,0)、 F 2(1,0),直线l :x =a 2交x 轴于点A ,且AF 1→=2AF 2→ . (1)试求椭圆的方程; (2)过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示)试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值. 解:(1)由题意,|F 1F 2→ |=2c =2, ∴c =1,又A (a 2,0), ∵AF 1→=2AF 2→ ,∴F 2为AF 1的中点, ∴a 2=3,b 2=2, 即椭圆方程为x 23+y 2 2 =1. (2)当直线DE 与x 轴垂直时,|DE |=2b 2a =4 3,此时|MN |=2a =23,四边形DMEN 的 面积S =|DE |·|MN |2=4,同理当MN 与x 轴垂直时,也有四边形DMEN 的面积S =|DE |·|MN | 2= 4,当直线DE ,MN 均与x 轴不垂直时,设DE ∶y =k (x +1),代入消去y 得:(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2 -6)=0.设D (x 1 ,y 1 ),E (x 2 ,y 2 ),则???? ? x 1+x 2=-6k 22+3k 2 , x 1x 2 =3k 2 -6 2+3k 2 , ∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2 -4x 1x 2=43·k 2+1 3k 2+2 , ∴|DE |=k 2 +1|x 1-x 2|=43(k 2+1) 2+3k 2 , 同理|MN |=43????????-1k 2+12+3??? ?-1k 2=43??? ?1k 2+12+3k 2. ∴四边形的面积S =|DE |·|MN |2=12·43(k 2 +1) 2+3k 2·43????1k 2+12+3k 2=24????k 2+1k 2+26????k 2+1k 2+13. 令u =k 2+1k 2,得S =24(2+u )13+6u =4-413+6u , ∵u =k 2+1k 2≥2,当k =±1时,u =2,S =96 25, 且S 是以u 为自变量的增函数,所以96 25 ≤S <4. 综上可知,9625≤S ≤4.故四边形DMEN 面积的最大值为4,最小值为96 25 . 21.(12分)(文)(2014·湖南省岳阳市高三模拟)已知函数f (x )=ln x -1 2ax 2+bx (a >0),f ′(1) =0. (1)试用含a 的式子表示b ,并求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在????1 2,+∞上有两个零点,求实数a 的取值范围. 解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -ax +b , ∴f ′(1)=1-a +b =0?b =a -1, ∴f ′(x )=1 x -ax +a -1=-(ax +1)(x -1)x . 由f ′(x )>0及x >0,a >0得0 ∴f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由(1)知f (x )在???? 12,1上单调递增,在[1,+∞)上单调递减, ∵f (x )在????1 2,+∞上有两个零点, ∴f (x )max =f (1)=1 2 a -1>0?a >2. 又f (e)=1-12a e 2+(a -1)e =-12a (e -1)2+1+12a -e<-12a +1+1 2a -e<0, ∴f (x )在(1,+∞)上有且仅有一个零点. ∴f (x )在????12,+∞上有两个零点的充要条件是f (x )在????12,1上有一个零点,即f ????1 2<0,解得a <43+8 3 ln 2. 综上知所求a 的范围为??? ?2,43+8 3ln 2. (12分)(理)(2014·重庆高考压轴卷)设函数f (x )=(x -a )e x +(a -1)x +a ,a ∈R . (1)当a =1时,求f (x )的单调区间; (2)设g (x )是f (x )的导函数,证明:当a >2时,在(0,+∞)上恰有一个x 0使得g (x 0)=0. 解:(1)当a =1时,f (x )=(x -1)e x +1,f ′(x )=x e x . 当f ′(x )<0时,x <0;当f ′(x )>0时,x >0 所以函数f (x )的减区间是(-∞,0);增区间是(0,+∞). (2)证明:g (x )=f ′(x )=e x (x -a +1)+(a -1),g ′(x )=e x (x -a +2). 当g ′(x )<0时,x 0时,x >a -2. 因为a >2,所以函数g (x )在(0,a -2)上递减;在(a -2,+∞)上递增, 又因为g (0)=0,g (a )=e a +a -1>0, 所以在(0,+∞)上恰有一个x 0使得g (x 0)=0. 请考生在第22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22.(10分)(选修4-1:几何证明选讲)(2014·吉林高三模拟)如图,D 、E 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F 、G 两点,若CF ∥AB . 证明: (1)CD =BC ; (2)△BCD ∽△GDB . 证明:(1)∵CF ∥AB ,DF ∥BC ?CF 綊BD 綊AD ?CD =AF ,CF ∥ AB ?AF =BC ?BC =CD . (2)∵BC ∥GF ?∠GDB =∠BGD =∠DBC =∠BDC ?△BCD ∽△GDB . 23.(10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)(2014·甘肃高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1为????? x =a cos φ y =sin φ