2020-2021备战中考数学易错题精选-圆与相似练习题附详细答案

2020-2021备战中考数学易错题精选-圆与相似练习题附详细答案

一、相似

1．

（1）问题发现：

如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为________；

（2）深入探究：

如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN= ，试求EF的长．【答案】（1）NC∥AB

（2）解：∠ABC=∠ACN，理由如下：

∵ =1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN

∴，

∵AB=BC，

∴∠BAC= （180°﹣∠ABC），

∵AM=MN

∴∠MAN= （180°﹣∠AMN），

∵∠ABC=∠AMN，

∴∠BAC=∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC=∠ACN

（3）解：如图3，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵，

∴，

∴△ABM～△ACN

∴，

∴ =cos45°= ，

∴，

∴BM=2，

∴CM=BC﹣BM=8，

在Rt△AMC，

AM= ，

∴EF=AM=2 ．

【解析】【解答】解：（1）NC∥AB，理由如下：

∵△ABC与△MN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM与△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠B=∠ACN=60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，

∴CN∥AB；

【分析】（1）由题意用边角边易得△ABM≌△ACN，则可得∠B=∠ACN=60°，所以

∠BCN+∠B=∠BCA+∠ACN+∠B=180°，根据平行线的判定即可求解；

（2）由题意易得△ABC～△AMN，可得比例式，由三角形内角和定理易得∠BAM=∠CAN，根据相似三角形的判定可得△ABM～△ACN，由相似三角形的性质即可求解；

（3）要求EF的值，只须求得CM的值，然后解直角三角形AMC即可求解。连接AB，AN，由正方形的性质和相似三角形的判定易得△ABM～△ACN，可得比例式

，可求得BM的值，而CM=BC﹣BM，解直角三角形AMC即可求得AM的值，即为EF的值。

2．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.

（1）球在地面上的影子是什么形状?

（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?

（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?

【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.

（2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.

（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：

依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，

在Rt△OAE中，

∴OA= = = (m)，

∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，

∴△OAH∽△OEA，

∴，

∴OH= == (m)，

又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，

∴△OAE∽△AHE，

∴ = ，

∴AH= ==2625 (m).

依题可得：△AHO∽△CFO，

∴ AHCF=OHOF ，

∴CF= AH?OFOH = 2625×32425=64 (m)，

∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).

答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.

【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.

（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.

（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.

3．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．

根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

（2）当t=4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；

（4）若S=12，则t=________．

【答案】（1）解：由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，

∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8?CO＝8? ，OA＝4，

则8? ，解得t＝，

∴当点D在直线AB上时，t＝

（2）解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7

（3）解：①当0＜t≤时，S= t2

②当＜t≤4时，S=-t2+10t?16

③当4＜t≤16时，S=t2+2t

（4）8

【解析】【解答】解：（3）①当0﹤t≤时，如图（1），

②当

∵A（4,0），B（0,8）

∴直线AB的解析式为y=-2x+8,

∴G（t,-2t+8）,F(4-,),

∴DF=t-4,DG=t-8，

∴S=S矩形COED-S△DFG=t·

③当4＜t≤16时，如图（3）

∵CD∥OA，

∴△BCF∽△BOA，

∴

∴,

∴CF=4-,

∴S=S△BOA-S△BCF=

（4）由题意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）当S=12时，t=8

【分析】（1）首先判断出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶BO=CD ∶OA ，根据矩形的性质及线段的和差得出CD＝OE＝t，BC＝8?CO＝8- ，OA＝4，利用比例式即可得出方程，求解得出t的值；

（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，则由△CBF∽△OBA得CF ：CB=OA ∶OB ，根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案；

（3）①当0﹤t≤ 时，如图（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积

公式即可得出函数关系式；②当

的解析式，根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示出G,F的坐标，进而表示出DF的长，DG的长，根据S=S矩形COED-S△DFG即可得出函数关系式；③当4＜t≤16时，如图（3）根据矩形的性质得出CD∥OA，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△BCF∽△BOA，由相似三角形的对应边成比例得出BC：BO=CF：OA,根据比例式表示出CF的长，再根据S=S△BOA-S△BCF即可得出函数关系式。

4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA ，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F ， G．

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．

①若点G为DE中点，求FG的长．

②若DG=GF，求BC的长．

（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）①在正方形ACDE中，有DG=GE=6

在Rt△AEG中，AG=

∵EG∥AC

∴△ACF∽△GEF

∴，

∴

∴

②如图1，在正方形ACDE中，AE=ED

∠AEF=∠DEF=45°，

又EF=EF，∴△AEF≌△DEF

∴∠1=∠2（设为x）

∵AE∥BC

∴∠b=∠1=x

∵GF=GD

∴∠3=∠2=x

在△dbf中，∠3+∠FDb+∠b=180°

∴x+（x+90°）+x=180°，解得x=30°

∴∠B=30°

∴在Rt△ABC中，BC=

（2）在Rt△ABC中，AB=

如图2，当点D在线段BC上时，此时只有GF=GD

∵DG∥AC

∴△BDG∽△BCA

设BD=3x，则DG=4x，BG=5x

∴GF=GD=4x，则AF=15-9x

∵AE∥CB，

∴△AEF∽△BCF

∴

∴，即

解得x1=1，x2=5（舍去）

∴腰长G D=4x=4

如图3，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，此时只有GF=Dg，

设AE=3x，则E G=4x，A G=5x，

∴F G=DG=12+4x，

∵AE∥BC

∴△AEF∽△BCF

∴

∴，即x2=4

解得x1=2，x2=-2（舍去）

∴腰长GD=4x+12=20

如图4，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作D H⊥FG。

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12

∴FH=GH=DG·cos∠DGB=

∴GF=2G H= ，

∴AF=GF-AG=

∵AC∥DG

∴△ACF∽△GEF

∴

∴，即7x2=288cos

解得x1= ，x2= （舍去）

∴腰长GD=4x+12=

如图5，当点D在线段Cb的延长线上时，此时只有DF=D g，过点D作D h⊥AG，

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x-12

∴FH=GH=DG·cos∠DGB=

∴AF=AG?FG=

∵AC∥EG

∴△ACF∽△GEF

∴

∴，即7x2=288

解得x1= ，x2= （舍去）

∴腰长GD=4x-12=

综上所述，等腰△DFG的腰长为4，20，，

【解析】【分析】（1）①此小题考查相似三角形的判定与性质；由正方形的性质可得AG//EG，则△ACF∽△GEF，即可得FG：AF=EG：AC=1:2，则只要由勾股定理求出AG即可；

②由正方形性的对称性，不难得出∠1=∠2，而由GF=GD可知∠3=∠2，在△BDF中，由三角形内角和为180度，不难求出∠b的度数，可知是一个特殊角的度数，从而求出BC即可；（2）因为BC=9，所以B是定点，动点是D，因为点D是直线BC上一点，随着点D 的位置的变化，E和F点的位置也跟着变化；需要分类计论点D在线段BC上，点D在BC 的延长线和点D在CB的延长线上，再逐个分析等腰三角形的存在性，根据相似三角形的性及三角函数分析解答即可．

5．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K

①求的值

②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值

（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

【答案】（1）解：①、∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∵AD⊥BC ∴AK⊥EF

∴ = ．

②∵① ② ①+②得：

又∵EH=x，AD=8，BC=12 ∴EF=12－ x

∴S=EH·EF=－ +12x=－ +24 ∴S的最大值为24

（2）解：或．

【解析】【分析】根据EF∥BC得出△AEF∽△ABC，从而得到，求出答案；根据题意得出和，将两式相加得到，根据EH=x，得出EF=12－

x，根据S=EH·EF得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出答案

6．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数

的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC 下方的二次函数图象上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；

（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：直线，当时，；当时，，∴， .

∵二次函数的图象经过，两点，

∴解得

∴二次函数的表达式为： .

（2）解：过点作轴于点，交于点，过点作于点，