(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案
复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。
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1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
(完整版)北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案
北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；（4）（5） 若∑==0n n n2nz )(z f ，则其收敛半径 ；（6） 计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；（7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为；（8） 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是 ；（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）； （10） 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为：①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r（4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.（7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分） 八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）一、(1)直线y=x(2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ(3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21-(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π(10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：z=(1+i)t 1)t (0≤≤故⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1++⎰=()⎰+1tdt i 1=2i1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,故⎰CRezdz =()[]⎰⎰++110idt it 1Re Retdt=⎰⎰+110dt i tdt=i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷Q(z) f(z)=复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π- 四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i,)1(1Re 221 （3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换期末考试题
一、单项选择题（每小题3分，共21分，将选择答案填入下列表格）1．函数在区域内可导是在区域内解析的（）（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既非充分也非必要条件2．ln(-1的主值为（）（A）无定义的（B）0（C）πi （D）(2k+1πi(k为整数3．是直线段，为原点，为, 则（）（A）1+i （B）0（C）1 （D）以上答案都不对4. （）（A）i （B）2i（C）3i（D）4i5．下列级数中绝对收敛的级数为（）（A）（B）（C）（D）6．.以z=0为本性奇点的函数是（）（A）（B）（C）（D）7.δ函数的傅氏变换F 为：（）（A） -2（B） -1（C） 1 （D） 2二、填空题(每小题3 分，共21分，将答案填在空白处8．设函数，，，则的充要条件是_______________________。
9．若，则=__________________。
10．幂极数的收敛半径为__________________。
11．若，则__________________。
12．设f(z=，则Res[f(z,0]= __________________。
13．函数在z=0处的泰勒展开式为__________________。
14．设则 L[]=__________________。
三、计算题(15题12分，16题24分，17题12分，18题10分，共58分，要求写出详细过程15. 判定下列函数何处可导？何处解析？（1）; （2）。
16．计算积分 (1 , 其中为的任何复数, C为正向圆周|z|=1,(2 , C为正向圆周|z|=2,(3 , C为正向圆周|z|=2。
(第三小题要求用留数做17．求在圆环域和内的罗朗级数展开式。
18．求微分方程的解。
一、单项选择题（每小题3分，共21分，将选择答案填入下列表格）1．不等式所表示的区域为（）（A）角形区域（B）圆环内部（C）圆的内部（D）椭圆内部2．在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（）（A）sinz是周期函数（B）sinz是解析函数（C）|sinz|（D）3．设C为正向圆周，则积分为（）（A）（B）1（C）-1 （D）04．复数列的极限为（）（A）-1（B）0（C）1 （D）不存在5. δ函数的傅氏变换为（）（A）-2 （B）-1（C）1 （D）26．z=0不为可去奇点的函数是（）（A）（B）（C）（D）7．下列函数中，为解析函数的是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题(每小题3 分，共21分，将答案填在空白处8．的指数表示式___________。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
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23∞ «复变函数与积分变换»期末试题（A）1．1 -i一．填空题（每小题3 分，共计15 分）的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；二．选择题（每小题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ； （D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则⎰C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.（A）z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ⎰C f (z )dz = 0（C ） 如果 ⎰C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析；（D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为 的孤立奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ⎰Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算⎰ 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3（4） 函数 f (z ) =z (z 2 -1)(z + 2)3 (z - 3)2(sin z )3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分⎩ 数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ⎨y (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅立叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅角是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =1）；3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（ 一级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；二．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件∂u = ∂v∂x ∂y ∂u = -∂v∂y ∂x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
z （2）．计算 ⎰C(z - 1)2zd z 其中 C 是正向圆周：解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数 f (z ) = e z(z - 1)2 z在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2= 1 ，分别以z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内z⎰C (z - 1)2 z d z = ⎰C e z (z - 1)2 zd z + ⎰Ce z z 2 (z - 1)2d z1zz →0 z z ⎰ = 2i ( e z ' + 2i e )z z =1(z -1)2 z =0= 2i无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3． ⎰ 15z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3 d z解：设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在： z < 3 内，由留数定理15⎰z =3 (1 + z 2 ) 2 (2 + z 4 )3 d z = -2i Re s [ f (z ), ∞]-----（ 5 分） = 2 1 1 ]----（8 分） i Re s [ f ( 1 z ) z 21 1 ( )15 1 f ( ) = zz z 21 1 (1+ 1 )2 (2 + ( 1)4 z 2 z1 )3 z2 f ( ) = 有唯一的孤立奇点z = 0, z z 2 z (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)31 1 1 1 1 Re s [ f ( ) z2 ,0] = lim zf ( ) z →0z 2 = lim (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3 = 1∴ z 15 z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3d z = 2i --------（10 分）（4）函数 f (z ) =z (z 2 -1)(z + 2)3(sin z )32(z - 3) 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解：z (z 2 - 1)(z + 2)3 (z - 3)2f (z ) = (sin z )3的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ，∞（1）z k , k 0 1 2 3, 为（sin z ）3 0的三级零点，（2） z0，z 1,为f (z 的二级极点， z 2是f (z 的可去奇点，（3） z = 3为f (z )的一级极点（4）z = 2,-3,±4 ，为f (z )的三级极点 （5）为f (z 的非孤立奇点。
zzn =0∞⎩ ∞ 备注：给出全部奇点给 5 分 ，其他酌情给分。
四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级数；（1） 0 <z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞解：（1）当0 <f (z ) = z - 1 < 11 z 2(z - 1) 1= - 1 (z -1) ∞[ 1 ]' (z - 1 + 1) 而[(z - 1 + 1) ]' = [∑ (-1)n (z - 1)n ]' ∞= ∑(-1)n n (z - 1)n -1n =0f (z ) = ∑(-1)n +1 n (z - 1)n -2n =0-------6 分（2）当0 < z < 1f (z ) =1= -11 ∞z nz 2 (z - 1)= -∑ z n -2n =0z 2 (1 - z ) =2∑n =0-------10 分（3）当1 < z < ∞f (z ) = 1= 11z 2 (z - 1) z 3 (1 - )1 ∞ f (z ) = z 1 n =∞1 ∑z 3 ∑( )z zn +3------14 分每步可以酌情给分。
n =0 n =0 五．（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x⎨y (0) = 1 = y '(0) = 1解：对 y (x ) 的 Laplace 变换记做L (s ) ，依据 Laplace 变换性质有z-1整理得s 2 L (s ) - s - 1 - 5(sL (s ) - 1) + 4L (s ) =1s + 1…（ 5 分）L (s ) =1 +(s + 1)(s - 1)(s - 4) 1s - 1= 1 10(s + 1) = 1 10(s + 1) -1 6(s -1) + 5 6(s -1) + 1 + 15(s - 4) +1 15(s - 4) 1 s -1 …（7 分）y (x ) = 1 e -x + 5e x + 1 e 4 x…（10 分）10 6 15六、（6 分）求 f (t) et(0) 的傅立叶变换，并由此证明：costt2 2d2 eF ()eietd t(0)--------3 分F () eiedte iedt( 0)e (i )tdte(i )tdt(0)e (i )ti(0)F () 11 2(0) ------4 分i i22f (t )e i F ()d (0)2- -------5 分1e i2d(0) 2221(cos i sin)d(0)222 cos di sind( 0)2222e(i )ti解： 0f (t ) 2 cos d(0)， ------------6 分0 2 2costt2d2e«复变函数与积分变换»期末试题（B)1. 填空题（每小题 3 分，共计 15 分）2．1． 1 - i 的幅角是（）；2. Ln (- + i ) 的主值是 2（）；3.a =（），f (z ) = x 2 + 2xy - y 2 + i (ax 2 + 2xy + y 2 ) 在复平面内处处解析．4．z = 0 是z - sin z 的（）极点；5．z3f (z ) = 1z ，Re s [ f (z ),∞] =（）；二．选择题（每小题 3 分，共计 15 分）1．解析函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 的导函数为（ ）；（A ） f '(z ) = u y + iv x ； （B ） f '(z ) = u x- iu y ；（C）f '(z ) = u x + iv y ； （D） f '(z ) = u x + iu y . 2．C 是正向圆周 z = 2 ，如果函数 f (z ) = （），则⎰C f (z )d z = 0 ．（A ）3z - 1； （B ） 3zz - 1 ； （C ） 3z(z - 1)2 ； （D ） 3. (z -1)2∞3. 如果级数∑c n n =1z n在 z = 2i 点收敛，则级数在（A ） z = -2 点条件收敛 ； （B ） z = -2i 点绝对收敛； （C ） z = 1 + i 点绝对收敛； （D ） z = 1 + 2i 点一定发散． ４．下列结论正确的是( )（A ） 如果函数 f (z ) 在 z 0 点可导，则 f (z ) 在 z 0 点一定解析；(B)如果⎰C f (z)dz = 0 ,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z) 在C 所围成的区域内一定解析；（C）函数f (z) 在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数 f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u(x, y) 、v(x, y) 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．（A）、lnz是复平面上的多值函数；(B)、cosz是无界函数；(C)、sin z是复平面上的有界函数；（D）、e z是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题8 分，共计50 分）（1）设f (z) u( x, y) i( x2 g( y))) 是解析函数，且f (0) 0 ，求g( y),u( x, y), f (z) ．（2）．计算⎰ zd z ．其中 C 是正向圆周z = 2 ；C(z+21)(z-i)2得分1（3）．计算 ⎰ z 2C (1 - z )e 1z d z ，其中 C 是正向圆周 z =（4．利用留数计算 ⎰C(z - 1)(z - 2)2d z ．其中 C 是正向圆周 z = 3 ；2 ；（5）函数f (z ) z (z 2 1)(z 2)3 (sin z )3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如 果有极点，请指出它的级.四、（本题 12 分）将函数 f (z ) =1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗 （1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞级数；得分⎩五．（本题 10 分）用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎧ y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ⎨y (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 8 分）求 f (t) e t(0) 的傅立叶变换，并由此证明：costt22 d2e 0得分得分z 2«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B）填空题（每小题3 分，共计15 分）1.1-i 的幅角是（2Ln(-1 -i) 的主值是（1 ln 2 --+ 2k,k = 0 ±1,±2,4）；2.1i ）；3. f (z) =2 4 1 +z2 ，f (7) (0) =（ 0 ）；4． f (z) =z - sin zz 3 ，Re s[ f (z),0] =（0）；5． f (z) = 1 ，Re s[ f (z),∞] =（0 ）；二．选择题（每小题3 分，共计15 分）1-------5 A A C C C三．按要求完成下列各题（每小题10 分，共计40 分）（1）求a,b, c, d 使f (z) =x2 +axy +by 2 +i(cx2 +dxy +y 2 )是解析函数，解：因为f (z) 解析，由 C-R 条件∂u=∂v∂x ∂y ∂u=-∂v ∂y ∂x2x +ay =dx + 2y ax + 2by =-2cx -dy,a = 2, d = 2, ，a=-2c,2b =-d ,c =-1, b =-1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。