青岛版2019-2020九年级数学第四章一元二次方程单元综合练习题(能力提升 含答案)

青岛版2019-2020九年级数学第四章一元二次方程单元综合练习题（能力提升 含答案） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A.21x y -=；
B.202y +=；
C.2210x x ++=；
D.24y =；
2．代数式2x -4x +5的最小值是（ ）
A.-1
B.1
C.2
D.5
3．下列方程为一元二次方程的是 ( )
A ．ax 2+bx+c=0
B ．x 2－2x －3
C ．2x 2＝0
D ．xy ＋1＝0
4．关于方程式49x 2﹣98x ﹣1=0的解，下列叙述何者正确（ ）
A.无解
B.有两正根
C.有两负根
D.有一正根及一负根 5．已知一次函数，二次函数
，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为与
，则下列关系正确的是（ ） A. B.
C. D. 6．一个等腰三角形的边长是6，腰长是一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．12或14
7．若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为﹣2和4，则b+c 的值是（ ） A ．-10 B ．10 C ．-6 D ．-1
8．若关于x 的一元二次方程
－2m －3＝0有一个根为0，则m 的值是
（ ）
A.3
B.－1
C.3或－1
D.－3或1 9．方程22310x x -+=的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.以上说法都不对
10．设—元二次方程2240x x --=的两个实根为1x 和2x ，则下列结论正确的是（ ）
. A.122x x +=- B.122x x ⋅=- C.124x x +=- D.124x x ⋅=- 11．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m ，宽为5m ．地毯中央长
方形图案的面积为18m 2 ， 那么花边有多宽？设花边的宽为x, 则可得方程为
________。

12．若关于x 的一元二次方程（m+3）x 2+4x+m 2+2m-3=0有一个根为0，则m=______，另一根为________
13．将一元二次方程x 2+4x+1=0化成（x+a ）2=b 的形式，其中a ，b 是常数，则a+b=________
14．方程2160x -=的根是___________.
15．若一元二次方程2560x x --=的两根分别是1x 、2x ，则12x x +=________． 16．方程20x x +=的较小的根是____．
17．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为_______。

18．若一元二次方程2x 2+（k+8）x －（2k －3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=________
19．方程（x ＋8）（x －1）＝5化成一般形式是____________．
20．方程x 2-9=0的根是_____________________．
21．解下列方程：
（1）2420x x -+=（配方法解）；
（2）22410x x --=（公式法）；
（3）()3122x x x -=-.
22．解方程和不等式组：
⑴ 222x x x -=- ⑵ 216.3
x x x x -≥⎧⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，
23．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程2x 2+x ﹣2=0的两个根，求下列各式的值：
（1）x 1+x 2
（2）x 1•x 2．
24．化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m ﹣1），其中m 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根．
25．解方程：（1）2x 2﹣5x+2=0；
（2）x+3﹣x（x+3）=0．
26．用适当的方法解下列方程。

(1) x2+2x-2=0（用配方法解）；（2）230
x+=；（3）3x2+4x=7
27．解下列方程
（1）x2-3x+1=0(用公式法)
（2）x2+2x-3=0(用配方法)
（3）x(x+1)=2(x+1)
（4）
28．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab
（1）求4※7的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
参考答案
1．B
【解析】
A.方程含有两个未知数，故本选项错误；
B.符合一元一次方程的定义，故本选项正确；
C.未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故本选项错误；
D. 未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故本选项错误。

故选B.
点睛：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
2．B
【解析】
2x -4x +5
=2x -4x +4-4+5
=2(2)x -+1
∵2(2)x -≥0，
∴2(2)x -+1≥1，
∴代数2x -4x +5的最小值为1．
故选B.
点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
3．C
【解析】A. ax 2+bx+c=0，当a≠0时是一元二次方程，条件中没有强调，因此不一定是一元
二次方程，故不符合要求；B. x 2－2x －3，不是方程，故不符合要求；C. 2x 2＝0，满足定义，
故符合要求； D. xy ＋1＝0，是二元二次方程，故不符合要求，故选C.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，解答本题的关键是要判断所给的是否为方程，
然后看是否是整式方程，最后要看是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 4．D
【解析】
试题分析：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，又由一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-
b a ，x 1•x 2=
c a ，知x 1+x 2=﹣b a =2＞0，x 1•x 2=c a =﹣149
＜0，所以有一正根及一负根．
故选D ．
5．D
【解析】 试题分析：由消去y 得到：，∵△=0，∴直线y=4x 与抛物线只有一个交点，如图所示，观察图象可知：，故选D ．
考点：二次函数与不等式（组）．
6．C
【解析】
解方程x 2﹣7x+12=0，得123,4x x == ，则等腰三角形的三边为4,4,6或3,3,6（舍去），易得等腰三角形的周长为4+4+6=14，故选C.
7．A
【解析】由根与系数的关系可得：-2+4=-b ，-2×
4=c ，所以b =-2，c=-8，所以b+c=-10，故选A.
8．A
【解析】
把x=0代入方程可得2230m m --=，解得m=-3或1，又因m+1≠1，所以m 只取-3，故选
A.
9．A
【解析】
∵在方程2310x x -+=中，1?3?1a b c ，，==-=，
∴△=249450b ac -=-=>，
∴原方程有两个不相等的实数根.
故选A.
10．D
【解析】 试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可得12=2b x x a +=-，12=4c x x a ⋅=-. 故选：D
点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a
⋅=，然后确定一元二次方程的系数a 、b 、c 的值代入求解即可.
11．（8-2x ）(5-2x)=18
【解析】
设花边的宽为x m ，则中央长方形图案的长为(82)x -m ，宽为(52)x -m ，根据题意可得方程：(82)(52)18x x --=.
12． 1 -1
【解析】把x=0代入方程得：m 2+2m−3=0，m+3≠0， 解得：m=1，
当m=1时，原方程为：4x 2+4x=0，
解得：x 1=0，x 2=−1，方程的另一根为x=−1.
故m 的值是1，方程的另一根是x=−1.
故答案为1，−1.
13．5
【解析】
试题解析：
2410,x x ++=
241,x x +=-
2443,x x ++=
2(2) 3.x +=
2, 3.a b ∴==
5.a b +=
故答案为：5.
14．14x =,24x =-
【解析】
解：216x =，∴x =±
4，∴14x =，24x =-．故答案为：14x =，24x =-． 15．5
【解析】
试题解析：∵一元二次方程x 2-5x+6=0的两根分别是x 1，x 2，
∴根据根与系数的关系得：x 1+x 2=5．
16．-1
【解析】
根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可得到较小的根．
解：x(x+1)=0，
x=0，x+1=0，
x 1=0，x 2=-1，
∴方程20x x +=的较小的根是-1.
故答案为：-1.
17．4
【解析】试题解析：∵α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0．且α•β=1．
由此可得：1+2008α+α2=2α，1+2008β+β2=2β．
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4α•β=4．
18．8
【解析】
试题分析：由题，二次项系数为2，一次项系数为8k + ，常数项为
23k -+ ，28235k k ++-+= ，解得8k = .
所以本题的正确答案为8.
19．x 2＋7x －13=0
【解析】（x ＋8）（x －1）＝5，
x 2-x+8x-8-5=0，
所以x 2
＋7x －13=0，
故答案为：x 2＋7x －13=0. 20．x 1=3，x 2= -3
【解析】试题解析：x 2-9=0即（x+3）
（x-3）=0，所以x=3或x=-3．
21．（1）1222x x ==（2）122x =，22
x =；（3）1221,3x x ==- 【解析】 试题分析：（1）按配方法的步骤，先把常数项移到方程的右侧，然后在两边同时加上一次项系数一半的平方，然后进行求解即可；
（2）先确定出a 、b 、c 的值，再确定b 2-4ac 的值，最后利用求根公式进行求解即可；
（3）利用因式分解法进行求解即可.
试题解析：（1）x 2-4x=-2，x 2-4x+4=-2+4，()2
22x -= ， ，
∴ 1222x x ==
（2）22410x x --=中，241a b c ==-=-，，
()()224442124b ac -=--⨯-=>0，
∴ ()422x --±==⨯∴122x +=，222x -=； （3）方程变形为()()31210x x x -+-= ， ()()1320x x -+= ，1221
3x x ==-，.
22．⑴ .x1=2,x2=1. ⑵原不等式组的解集是1≤x＜3．
【解析】
试题分析：（1）首先移项变为一般式，再利用因式分解法解方程；（2）分别解出两个不等式的解，再求出不等式组的解集．
试题解析：⑴ x2－2x=x－2，
x2－2x－x+2=0，
x（x－2）+（x－2）=0，
（x+1）（x－2）=0 ，
x1=-1，x2=2．
⑵解不等式组：
21
6
3
x x
x
x
-≥⎧
⎪
+
⎨
>⎪⎩
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x+6＞3x，2x＜6，x＜3，
∴原不等式组的解集是1≤x＜3．
点睛：解一元二次方程的时候要根据题目特征选择适合的方法解方程，解不等式组的时候注意符号问题．
23．（1)-1 2 ;
(2)-1 【解析】
试题分析：（1）根据根与系数的关系x1+x2=﹣b
a
，结合方程的系数即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系x1•x2=c
a
，结合方程的系数即可得出结论；
试题解析：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，
∴x1+x2=﹣1
2
；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2+x﹣2=0的两个根，∴x1•x2=﹣1．考点：根与系数的关系．
24．原式=2．
【解析】
试题分析：求出m2+m=1，算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
试题解析：∵m 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，∴m 2+m=1．∴原式=m 2+2m+1+m 2﹣1=2m 2+2m=2．
考点：整式的混合运算—化简求值；一元二次方程的解．
25．(1)x 1=2，x 2=
12;(2)x 1=﹣3，x 2=1 【解析】
试题解析：
（1）题选用“公式法”来解（也可用其它方法）；
（2）题根据题目特点，选用“因式分解法”来解.
试题解析：
（1）∵在方程22520x x -+=中，252a b c ，，==-=，
∴249b ac -=， ∴534
x ±=， ∴12122
x x ==，； （2）原方程可变形为：(3)(1)0x x +-=，
∴30x +=或10x -=，
解得：1231x x ，=-=.
26．(1)x=1；(2)12x x == (3) 1271,3
x x ==-
【解析】
试题分析：第(1)小题用配方法,第(2)小题用直接开方法 ,第(3)小题用因式分解法.
试题解析： ()21220,x x +-=
222,x x +=
22121,x x ++=+
()213,x +=
1x +=
1211x x ∴=-=-
()(2
20,x +=
0,x +=
12x x ∴=
()3(1)(37)0,x x -+=
10x -=或370,x +=
1271.3
x x ∴==-， 点睛：一元二次方程得解法：直接开方法，公式法，配方法，因式分解法.因式分解法是最简单的一种方法，但是不是所有方程都适用.公式法是通用的一种方法，配方法对于二次项系数相对比较简单时用.
27．（1）12x x =
=2）121,3x x ==-（3）121,2x x =-=（4）123,9x x == 【解析】
试题分析：（1）找出a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上1变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
（3）先移项，再运用因式分解法把原方程转化为两个一元一次方程来求解；
（4）先根据平方差公式和移项得到2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，然后利用因式分解法求解. 试题解析：（1）∵a=1，b=-3，c=1
Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0
∴x =
即：12x x =
= （2）x 2+2x-3=0，
x 2+2x=3，
x 2+2x+1=4，
（x+1）2=4，
x+1=±2，
解得x 1=1，x 2=-3；
（3）x(x+1)=2(x+1)
x(x+1)-2(x+1)=0
（x+1）(x-2)=0
x+1=0，x-2=0
∴121,2x x =-=
(4) 2（x-3）2=x 2-9，
2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，
（x-3）（2x-6-x-3）=0，
（x-3）（x-9）=0，
x-3=0，x-9=0，
解得x 1=3，x 2=9.
28．（1）112（2）x 1=2，x 2=﹣4（3）a=
14
【解析】
试题分析：
（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；
（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；
（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.
试题解析：
（1）4※7=4×
4×7=112； （2）由新运算的定义可转化为：4x 2+8x ﹣32=0， 解得x 1=2，x 2=﹣4；
（3）∵由新运算的定义得4ax=x ，
∴（4a﹣1）x=0，
∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，
即
1
4
a ．
点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可.。