微分方程稳定性分解
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。
在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。
本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。
稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。
在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。
局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。
稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。
线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。
通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。
解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。
在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。
其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。
它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。
利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。
柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。
它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。
除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。
比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。
总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。
通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。
而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。
这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。
微分方程的稳定性分析与相绘制
微分方程的稳定性分析与相绘制在微分方程的研究中，稳定性分析与相绘制是非常重要的工具和方法。
通过分析微分方程的稳定性，我们可以了解系统的行为，预测系统的发展趋势，并做出合适的控制和调整。
而相绘制则是一种直观地展示系统行为的图形化方法，可以帮助我们更好地理解微分方程的解。
一、稳定性分析稳定性是指系统是否能够在一定条件下达到平衡状态，或者能够在某个稳定的解周围进行振荡。
稳定性分析是通过分析微分方程解的性质来判断系统的稳定性。
1. 稳定性的分类在稳定性分析中，常见的分类有稳定、不稳定和半稳定。
稳定性可以细分为渐近稳定和有界稳定。
渐近稳定指系统能够以指数衰减的速度趋于某个平衡状态，而有界稳定指系统的解在一定范围内有界。
2. 稳定性分析方法稳定性分析的方法包括线性稳定性分析和非线性稳定性分析。
线性稳定性分析是通过线性化微分方程来判断系统的稳定性，可以使用特征值分析、拉普拉斯变换等方法。
非线性稳定性分析则需要更加复杂的方法，如李雅普诺夫稳定性定理、直接法等。
二、相绘制相绘制又称为相图绘制或者相平面分析，是一种直观地展示微分方程解的演化情况的方法。
通过画出系统状态的轨迹，可以帮助我们更好地理解微分方程的解以及系统的行为。
1. 相平面相平面是相绘制的基础，它是由系统状态的某些变量（通常是微分方程中的未知函数及其导数）所构成的平面。
相平面的坐标轴可以表示不同的变量，例如时间、物理空间或者其他微分方程中涉及到的变量。
2. 相绘制方法相绘制的方法包括定性分析方法和定量分析方法。
定性分析方法主要通过分析相平面轨迹的形状、稳定点和周期解等特征来判断系统的稳定性。
而定量分析方法则通过数值计算和计算机仿真等手段，得到相平面中的具体解的轨迹和系统的稳定性信息。
在进行相绘制时，我们可以利用不同的工具和软件进行绘图，例如MATLAB、Python的绘图函数库等。
这些工具可以方便我们绘制出系统的状态轨迹，并进一步分析系统的稳定性。
总结：稳定性分析与相绘制是微分方程研究中重要的工具和方法。
微分方程中的稳定性与周期解
微分方程中的稳定性与周期解微分方程是数学中的重要概念，用于描述许多自然界和科学问题中的变化与变化率。
在微分方程的解空间中，稳定性与周期解是两个关键概念。
本文将讨论微分方程中的稳定性与周期解，并探讨它们在不同类型微分方程中的应用。
一、稳定性稳定性是指微分方程解中的一个重要特性，它描述了系统在扰动（如初始条件的微小变化）下的行为。
稳定性分为两种类型：有界稳定和渐近稳定。
1. 有界稳定有界稳定是指当系统受到扰动时，解的变化被限制在一个有界的范围内。
换句话说，无论初始条件如何变化，解都在一定范围内波动。
这种稳定性在许多实际问题中非常重要，例如电路中的振荡器系统。
2. 渐近稳定渐近稳定是指当系统受到扰动时，解最终趋于一个稳定的平衡状态。
也就是说，随着时间的推移，解会逐渐接近一个固定的值。
这种稳定性可以帮助我们理解许多自然现象，如天体力学中的行星轨道。
二、周期解周期解是指在一定时间间隔内重复出现的解。
周期解在许多周期性现象中都有应用，例如振动系统和生物节律等。
对于一个周期解，我们需要确定它的周期和振幅。
1. 周期周期是指解重复出现的时间间隔。
在微分方程中，我们可以通过分析解的特征来确定周期。
例如，对于振动系统的微分方程，周期解对应于解的正弦或余弦波动。
2. 振幅振幅是指解在周期内变化的幅度。
在微分方程中，振幅可以通过解的极大值与极小值之间的差值来确定。
振动系统中的振幅通常与初始条件有关。
三、应用稳定性与周期解在许多科学和工程领域中都有重要的应用。
下面将介绍在不同类型微分方程中的具体应用。
1. 非线性方程非线性方程的解通常较为复杂，稳定性和周期解的分析对于理解系统行为非常重要。
例如，Lotka-Volterra方程是用于描述捕食和被捕食物种之间关系的非线性方程，通过分析方程的周期解，我们可以预测种群数量的周期性波动。
2. 线性方程线性方程的解相对较简单，但稳定性分析仍然重要。
例如，热传导方程是描述热量传输的线性方程，在稳定性分析中，我们可以确定热传导系统是否会达到热平衡状态。
微分方程的稳定性与全局解的存在性
微分方程的稳定性与全局解的存在性微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
对于微分方程的研究，稳定性与全局解的存在性是两个重要的问题。
本文将针对微分方程的稳定性与全局解的存在性展开讨论，并探讨它们在应用中的意义。
一、稳定性分析稳定性是指微分方程解的行为在微小扰动下是否保持不变。
对于一阶线性微分方程，稳定性可通过特征值的符号来判断。
具体而言，若特征值的实部均小于零，则系统稳定；若存在大于零的实部特征值，则系统不稳定。
对于高阶非线性微分方程，稳定性的分析相对复杂。
一种常用方法是通过线性化系统来研究非线性系统的稳定性。
线性化系统是在非线性系统的稳定点附近对非线性系统进行线性逼近得到的系统。
通过分析线性化系统的特征值，可以判断非线性系统的局部稳定性。
二、全局解的存在性全局解是指微分方程在整个定义域上存在且唯一的解。
对于一阶线性微分方程，全局解的存在性一般能得到保证。
而对于非线性微分方程，全局解的存在性则需要满足一定的条件。
全局解的存在性与定理有关。
例如，一个常用的定理是皮卡-里普丝定理（Picard-Lindelöf Theorem），该定理保证了一阶常微分方程在给定条件下存在唯一的全局解。
另外，拉格朗日平均值定理（MeanValue Theorem）也是分析全局解存在性的有用工具。
除了定理，数值方法也可以用来求解微分方程的全局解。
例如，常用的欧拉方法、龙格-库塔方法等数值方法能够逼近微分方程的全局解。
这些数值方法在实际应用中具有重要意义，特别是对于复杂的非线性微分方程。
三、稳定性与全局解的应用意义微分方程的稳定性和全局解的存在性在科学与工程中具有广泛的应用价值。
以下列举几个具体的应用领域：1. 物理学：微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。
通过稳定性分析和全局解的存在性可以确定物理系统的稳定性和行为。
2. 工程学：微分方程被应用于工程学中的控制系统、信号处理、电路等领域。
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
线性微分方程的稳定性和相图分析
线性微分方程的稳定性和相图分析在微积分学中，我们已经学过了许多数学方法和技巧来求解各种微积分方程和微分方程。
其中，线性微分方程在数学和物理学中都有着重要的应用。
线性微分方程一般由一个函数及其导数与常数之间的线性关系构成，其一般形式为：$$\frac{d}{dx}y(x)=A(x)y(x)+B(x)$$其中，$y(x)$是未知函数，$A(x)$和$B(x)$是已知函数。
在解决这类方程时，我们经常需要考虑方程的稳定性和相图分析。
1.线性微分方程的稳定性线性微分方程的稳定性是指解在系统感受到微小扰动时具有稳定性。
如果解在经过微小扰动后仍然能稳定存在，并且解的稳定程度不降低，则称其具有稳定性。
如果解在扰动后发生了剧烈变化，导致系统不受控制，称其是不稳定的。
要判断线性微分方程的稳定性，我们首先需要将其转化为标准形式：$$\frac{d}{dx}y(x)=-Ay(x)$$其中，$A$是一个对称矩阵。
要判断方程的稳定性，我们需要求出$A$的特征值和特征向量。
设$A$具有$n$个特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，以及对应的特征向量$v_1,v_2,...,v_n$。
则方程的通解为：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1x}v_1+c_2e^{\lambda_2x}v_2+...+c_ne^ {\lambda_nx}v_n$$其中，$c_1,c_2,...,c_n$是常数。
对于一个实数域内的$n$维线性微分方程的标准形式，其稳定性与其特征值的实部有关。
如果所有特征值的实部均为负数，则方程是稳定的。
如果至少有一个特征值的实部为正数，则方程是不稳定的。
2.相图分析相图分析是一种使用图像来说明系统解的行为的分析方法。
它能直观地显示出微分方程的解在相空间中的运动状态，并且能精确地揭示动态系统的性质。
相图分析常被用于分析动态系统的稳定性、不稳定性和周期性等特征。
我们以一阶线性微分方程的相图分析为例，假设有一个形如$\frac{d}{dx}y(x)=A(x)y(x)+B(x)$的线性微分方程，我们将其化为标准形式：$\frac{d}{dx}y(x)=-Ay(x)$，其中，$A$是实对称矩阵。
微分方程中的稳定解与周期解
微分方程中的稳定解与周期解微积分中的微分方程是描述自然界中各种变化规律的重要工具。
在微分方程的解中，稳定解和周期解是两种常见而重要的解析形式。
本文将探讨微分方程中的稳定解与周期解的性质和特点。
1. 稳定解稳定解是指在微分方程中的解随时间的推移而趋于一个固定的值。
具体而言，对于一阶常微分方程dy/dt=f(t,y)，如果对于任意的初始条件(y0,t0)，解y(t)在t趋于无穷时都趋于一个固定的极限值y∞，则称该解为稳定解。
稳定解的一个典型例子是指数衰减现象。
考虑一阶常微分方程dy/dt=-ky，其中k>0为常数。
可以求得该微分方程的解析解为y(t)=y0e^(-kt)，其中y0为初始条件。
当t趋于无穷时，指数项e^(-kt)趋近于0，因此y(t)趋于极限值0，这就是一个稳定解。
稳定解的图像通常表现为一条渐近于某个水平线或曲线的曲线。
在控制系统、生态学和经济学等领域中，稳定解常常用来描述系统在长时间内的行为趋势。
2. 周期解周期解是指在微分方程中的解在经过一定时间之后回到初始状态的解。
换句话说，周期解是解在时间轴上以一定周期重复出现的解。
周期解的一个简单例子是谐振子的运动。
考虑一个简谐振动系统，其运动方程可用二阶常微分方程描述。
解析解表达式为x(t)=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为相位。
由于余弦函数是周期性的，因此x(t)在一定时间间隔内会回到初始位置，这就是一个周期解。
周期解的图像呈现出规则的周期性重复特征。
在物理学、电路和天体力学等领域中，周期解经常出现在周期性运动和周期性现象的描述中。
3. 稳定解与周期解的关系稳定解和周期解是微分方程中两种不同类型的解析形式。
它们在数学性质和物理意义上有着显著的区别。
首先，在数学性质上，稳定解通常是解析解，可以通过数学方法精确求解。
而周期解通常是通过数值方法或近似方法求解，因为周期解往往无法用一般的函数表达式表示。
其次，在物理意义上，稳定解描述的是系统的稳定性，即系统趋于平衡或固定状态的趋势。
常微分方程的稳定解与不稳定解
常微分方程的稳定解与不稳定解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中重要的一门分支，研究函数的导数或微分在各种条件下的变化规律，广泛应用于物理、生物、工程等领域。
在解常微分方程的过程中，存在着两种重要的解：稳定解和不稳定解。
本文将对这两种解进行详细的介绍和分析。
1. 稳定解稳定解是指在一定条件下，系统的解向该解趋近，即当初始条件发生微小变化时，解会收敛到该解附近。
在常微分方程中，稳定解对应着系统的平衡点或稳定点，其解析形式通常为一组常数。
稳定解的性质可通过线性稳定性判据进行分析。
对于一阶常微分方程，即形如dy/dt = f(y)的方程，设y = c为方程的一个平衡解，则只需考虑f(c)的符号即可判断平衡解的稳定性：1.1 当f(c) < 0时，平衡解c是局部稳定解。
1.2 当f(c) > 0时，平衡解c是不稳定解。
例如，考虑一阶线性常微分方程dy/dt = -ky，其中k为正常数。
解析解为y = ce^(-kt)，其中c为常数。
当k > 0时，f(c) = -kc < 0，即平衡解y = 0是稳定解。
2. 不稳定解不稳定解指的是在一定条件下，系统的解远离该解，即当初始条件发生微小变化时，解会远离该解。
与稳定解相对应的，不稳定解对应着系统的不稳定点。
不稳定解的性质与稳定解相反，也可通过线性稳定性判据进行判断：2.1 当f(c) < 0时，平衡解c是不稳定解。
2.2 当f(c) > 0时，平衡解c是局部稳定解。
以二阶微分方程为例进行说明。
考虑二阶线性常微分方程d^2y/dt^2 + c1 * dy/dt + c2 * y = 0，其中c1和c2为常数。
该方程的解形式为y = Ae^(m1t) + Be^(m2t)，其中A和B为常数，m1和m2为方程的特征根。
根据特征根的性质，可判断解的稳定性：2.3 当特征根m1和m2的实部大于零时，平衡解是不稳定解。
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带有时滞的动力系统的运动稳定性分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。
以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。
直接法的基本定理一、Понтрягин定理要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。
对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程110n n n P P λλ-+++=。
在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。
如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。
但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统1()()ni ij j ij j j x a x t b x t τ=⎡⎤=+-⎣⎦∑，1()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑，1,2,,i n =0τ>的零解是渐进稳定的。
不论是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=还是0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=，都把它们放在复平面上来考虑零点分布。
记λ为z ，一般地，考虑方程()(,)z H z h z e =的全部零点的分布状况，特别是零点全在左半平面的判断准则。
下面记r 为(,)h z t 关于z 的次数（这里z t e =），s 为(,)h z t 关于t 的次数，称形如r s az t 的项为主项（a 为常数）。
Понтрягин解决了两个问题：（i ）如果多项式(,)h z t 没有主项，则函数()H z 必有无限个零点，且这些零点可取任意大的正实部。
（系统不稳定）（ii ）如果多项式(,)h z t 有主项，为了解决前面提出的问题，必须研究函数()H z 在虚轴上的性态，也就是在z iy =时的性态，这里y 是实变元。
显然函数()H yi 此时可分解成实部和虚部，即()()()H yi F y iG y =+，其中：()(,cos ,sin )F y f y y y =，()(,cos ,sin )G y g y y y =，且(,,)f y u v 与(,,)g y u v 是多项式。
要使函数()H z 所有根都是负实部，充要条件是使函数()F y 和()G y 的根都是实的，而且在这当中至少对某一个y 值有不等式()()()()0G y F y F y G y ''->。
关于判定形如()F y 的函数，它的全部根都是实的这样一个问题，可以按照下列两个原则去解决：（1）要使函数()F y 的所有根都是实的，充要条件是从充分大的k 开始，函数()F y 在区间22k y k ππ-≤≤上有4sk r +个根，这里所有的根都是实的。
（2）从充分大的开始，保证没有复根而只有实根。
定义1：设(,)h z t 是两个变量z 和t 的具有实的或复的常系数的多项式,(,)m n mn m nh z t a z t =∑，当0rs a ≠且指数r 与s 同时取它们的极大值时，称项r s rs a z t 为上述多项式的主项。
即若在上述多项式中取出任何另外的一项m n mn a z t ，0mn a ≠则有（i ）r m >，s n >；（ii ）r m =，s n >；（iii ）r m >，s n =中之一。
（i ）、（ii ）、（iii ）都是在保证r 与s 最大，且出现在同一项中。
显然，不是所有的多项式都有主项。
1、缺主项时(,)z h z e （也就是(,)h z t ）的零点分布定理1 在,(,)m n mn m nh z t a z t =∑缺少主项的情况下，函数(,)z h z e 必定有无穷多个具有任意大正实部的零点集合。
2、函数(,cos ,sin )f z z z 的零点设(,,)f z u v 为z ，u ，v 的时常系数多项式，则(,cos ,sin )()f z z z F z =。
它是变量z 的整超越函数（将变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数称为整超越函数），并且在变量z 取实数值时，()F z 就取实值。
研究()F z 只有实根的充要条件，(,,)f z u v 的展式为(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑，其中()(,)n m u v ϕ是u ，v 的n 次齐次式。
后面将设cos u z =，sin v z =，由于1u ≤，1v ≤及221u v +=，故可假定()(,)n m u v ϕ不能被22u v +除尽。
若()(,)n m u v ϕ能被22u v +除尽，则220u v +=1,u v i ⇒==±。
所以可以把对(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑中的()(,)n m u v ϕ所做的假设改写成()(1,)0n m i ϕ±≠，这是对(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑中的所有这种项而言的。
记(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑中的首相为()(,)r s r z u v ϕ，此时r 与s 均为最大。
定理2 如果多项式(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑没有主项，则函数()F z 必有无限多个非实的根。
对(),(,,,)(,)m n m m nf z u v z u v ϕ=∑存在首项的情形，将首项取出，则有()()*(,,)(,)(,)r s m n m m r n sf z u v z u v z u v ϕϕ<≤=+∑其中()*(,)s u v ϕ中不仅含有u ，v 的齐次式的最高次项，而且也可能含有u ，v 的齐次式的较低次项，因此()*(,)s u v ϕ已不是u ，v 的s 次齐次多项式，可以写成()()*(,)(,)s n r n su v u v ϕϕ≤=∑。
此时函数()()**()(cos ,sin )s s z z z ϕΦ=显然有周期2π。
下面来证明在2()a x a z x iy π≤≤+=+中函数()*()s z Φ只有有限个根，也就是有2s 个根。
这样的话就可知必存在无限点集{}()a a ε=，使得对任何y 都有()*()0s iy εΦ+≠，在较多的情况下ε可取成零。
定理3 设(,,)f z u v 的首项为()(,)r s r z u v ϕ，又设ε使()*()0s iy εΦ+≠对所有实的y 都成立，则在带形域22k x k πεπε-+≤≤+中（这里z x iy =+），()F z 由某个大的k 起将有4sk r +个根。
因此，为了要使()F z 只有实根，充要条件是由某个大的k 起在22k x k πεπε-+≤≤+（z x iy =+）中函数()*()s z Φ有2s 个根。
定理2与定理3给出了函数(,cos ,sin )f z z z 只有实根的充要条件，当(,,)f z u v 无主项时，知(,cos ,sin )f z z z 有无限多个非实的根。
当有主项时，函数(,,)f z u v 是否有无限多个非实的根？定理4 ()()*(,,)(,)(,)r s m n mm r n s f z u v z u v z u v ϕϕ<≤=+∑有主项()()*(,)(,)s n r n su v u v ϕϕ≤=∑。
（1）如果()()**()(cos ,sin )s s z z z ϕΦ=有非实的根，则函数()(,cos ,sin )F z f z z z =有无限多个非实的根。
（2）如果()*()s z Φ只有实根，而且是单根，则函数()F z 有有限个非实的根。
3、(,)z h z e 有主项时的零点分布,(,)m n mn m n h z t a z t =∑，又r s rs a z t 为,(,)m n mn m nh z t a z t =∑的首项。
将,(,)m n mn m n h z t a z t =∑中的r z 的系数取出，得()*,(,)()r s m n mn m r n s h z t z x t a z t <≤=+∑。
函数()*()s z x e 显然是z 的以2i π为周期的函数。
又在2b y b π≤<+中又不多于s 个根，因此存在实数0ε>，使得对任何x 有()*()0s x i x e ε+≠。
定理5 有上述条件，以k N 记(,)z h z e 在22(0,)k y k x z x iy πεπε-+≤≤+>=+中根的个数。
设(,)z h z e 在虚轴上无根，即(,)0iy h iy e ≠。
当y 由2k πε-+变到2k πε+时，向量(,)iy W h iy e =所转的角度记做k V ，则12(2)2k k k V s k N r πδ=-++，其中当k →∞时0k δ→。
定理5表明研究()(,)z H z h z e =在虚轴上的情形是很重要的，()H z 在虚轴上可表示成()()()(,cos ,sin )(,cos ,sin )H iy F y iG y f y y y ig y y y =+=+，(,,)f y u v ，(,,)g y u v 为多项式。
考虑(,)h z t 与f ，g 之间的关系，令()()(,)(,)()n n n u v i u v u iv αβ+=+，这里()(,)n u v α与()(,)n u v β是实系数多项式，则有 ()1(,)()()2n n n u v u iv u iv α⎡⎤=++-⎣⎦，()1(,)()()2n n n u v u iv u iv iβ⎡⎤=+--⎣⎦。