点线面复习讲义

//a α
//a b
//a b 点线面位置关系
知识梳理
一、直线与平面平行 1.判定方法
（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理：
（3）其他方法：//a αβ
β⊂ 2.性质定理：//a a b
α
βαβ⊂⋂= 二、平面与平面平行 1.判定方法
（1）定义法：两平面无公共点。

（2）判定定理：////a b a b a b P
β
β
α
α⊂⊂⋂= //αβ
（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γ
βγ
//αβ
2.性质定理：//a b
αβ
γαγβ⋂=⋂=
三、直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法 ① 用定义.
② 判定定理:a b
a c
b c A b c αα
⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥
③ 推论:
//a a b
α
⊥ b α⊥ （3）性质 ①
a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b α
α
⊥⊥ 四、平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理a a α
β
⊂⊥ αβ⊥
（3）性质
①性质定理l a a l
αβ
αβα
⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥
② l P PA A
αβαβα
β⊥⋂=∈⊥垂足为
A l ∈
④ l P PA αβ
αβαβ
⊥⋂=∈⊥ PA α⊂
“转化思想”
面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 求二面角
1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.
2.在二面角
的棱上任取一点O ，在两半平面
内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角
的平面角
例1．如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 于D ，交SC 于E ，又SA=AB ，SB=BC ，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的度数。

解：
在RtΔSAC 中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30︒， 在RtΔDEC 中，∠DEC=90︒， ∴∠EDC=60︒， ∴ 所求的二面角为60︒。

//a b a b
αα
⊄⊂//a α//a b
求线面夹角
定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

例：在棱长都为1的正三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 与底面ABC 所成的角是________．
求线线距离
说明：求异面直线距离的方法有： (1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．
(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α，则b 与α距离就是a 、b 距离．（线面转化法）．
也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．
(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．
(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．
两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．
例：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离。

线面平行（包括线面距离）
例：已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明
证法1：连结CG 交DE 于点H ， ∵DE 是ABC ∆的中位线， ∴AB DE //．
在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //，
∴H 为CG 的中点．
∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //． 又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ， ∴//SG 平面DEF ．
证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线， ∴SB EF //．
∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ， ∴//EF 平面SAB ．
同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ， ∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ， ∴//SG 平面DEF ．
面面平行（包括面面距离） 例：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离． 解：根据正方体的性质，易证：
1
111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭
⎬⎫
连结
1AC ，分别交平面BD A 1和平面
11D CB 于M 和N
因为
1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥
由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥
∴
⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB
∴平面
BD A 1和平面11D CB 间的距离为线段MN 长度．
如图所示：
在对角面1AC 中，1O 为11C A 的中点，O 为AC 的中点 ∴
a AC NC MN AM 333111==
==．
∴BD 和C B 1的距离等于两平行平面BD A 1和1
1D CB 的距离为a 33．
面面垂直
例1：已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为垂足。

求证：平面PAC ⊥平面PBD 。

例2：
已知直线PA 垂直于⓪O 所在的平面，A 为垂足，AB 为⓪O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的一点。

求证：平面PAC ⊥平面PBC 。

点线面检测
一、选择题
1．互不同线l 、m 、n 和面α、β、γ的三个命题: ①若l 与m 为异面直线,l ⊂α,m ⊂β,则α∥β; ②若α∥β,l ⊂α,m ⊂β,则l ∥m;
③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l ∥γ,则m ∥n. 其中真命题的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0 2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个
不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,
B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//
C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,
D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 3．下列四个命题：
① 若//m α，//n β且//αβ，则//m n ；
② 若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥； ④ 若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n 。

其中真命题的序号式（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③ 4.如图，已知矩形ABCD 中，10=AB ，6=BC ,将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到
1A 点，且BCD O A 平面⊥1.（1）求证：D A BC 1⊥；
（2）求证：BD A BC A 11平面平面⊥；
（3）求三棱锥BCD A -1的体
积.A
B
C
D
A 1
O
⎫⇒⊥⎬⎭BC AC ⊥PA 平面ABC ⊂BC 平面ABC ⎫
⇒⊥⎬⎭BC PA ⊂⊂AC 平面PAC ，PA 平面PAC =AC PA A
⎫
⎪⎪⎬⎪⎪⎭⇒⊥BC 平面PAC ⊂BC 平面PBC
求角（线线角、线面角、二面角）。

例：如图，在三棱锥
P ABC -中，90APB ∠=，
60PAB ∠=，AB BC CA ==，平面PAB ⊥平面
ABC 。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值。

解：（1）作PQ ⊥AB 于Q ，连CQ 。

ABC PQ ABC PAB AB PQ 面面面⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥ （证明）
所以直线PC 与平面ABC 所成的角即为∠PCQ （定角）
令AB=2，在△PAB 中，PQ=
23，在△ABC 中，CQ=2
13，
所以sin ∠PCQ=
4
3
（计算） 2）取AB 中点O ，连CO 、PO 。

过O 作ORAP 于R ，连CR （作图）
CR AP COR AP AP OR AP CO PAB CO ABC PAB AB CO AB O CA BC AB ⊥⇒⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫⊥⊥⇒⊥⇒⎪
⎭⎪
⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫
==面面面中点为（证明）所以二面角B AP C --的平面角∠CRO ， （定角）
所以由CO=
3，OR=
23，得cos ∠CRO=5
5。

（计算。

P A C
B。