专题(4)全等三角形之角平分线截长补短
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.截长补短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
2020最新名校课堂小专题4：构造全等三角形的常用方法
小专题4：构造全等三角形的常用方法方法1 利用“角平分线”构造全等三角形模型构建已知点P是MON⊥于⊥于点A，可以过点P作PB ON ∠平分线上一点，若PA OM点B，则PB PA=.1.感知：如图，AD平分18090，，，易知：.∠∠+∠=︒∠=︒=BAC B C B DB DC探究：如图，AD平分18090∠∠+∠=︒∠<︒，，，求证：BAC ABD ACD ABD=.DB DC模型构建若AOP BOP=，∠=∠，且点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB OA 连接PB，构造OPB OPA≌.∆∆2.如图，//∠，点E在AD上，求证：AB CD，BE平分ABC∠，CE平分BCD=+.BC AB CD方法2 利用截长补短法构造全等三角形方法指导截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种方法适用于证明线段的和差、倍、分等题目.3.问题背景：如图，在四边形ABCD中，12090AB AD BAD B ADC=∠=︒∠=∠=︒，，.点E，F分别是BC，CD上的点，且60EAF︒∠=.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG BE=，连接AG.先证明ABE ADG∆∆≌，再证明AEF AGF∆∆≌，可得出结论，他的结论应是______; （2）如图，若在四边形ABCD中，180AB AD B D=∠+∠=︒，.E，F分别是BC，CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？并说明理由.方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形方法指导将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.4.如图，AB AE AB AE AD AC AD AC=⊥=⊥，，，，点M为BC的中点，求证：2DE AM=.方法4 利用“三垂直”构造全等三角形模型构建如图，若AB AC AB AC，，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线=⊥构造ABD CAE≌.在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴.∆∆5.已知在△ABC中，90，，将△ABC放在平面直角坐标系中，如BAC AB AC∠=︒=图所示.（1）如图，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；（2）如图，若A（1，3），B（10-，），求C点坐标；（3）如图3，若B（40，），求A点坐标.-，），C（01-参考答案1.证明：过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F . AD 平分90BAC DE AB DF AC DE DF F DEB ∠⊥⊥∴=∠=∠=︒，，，，. 180180EBD ACD ACD FCD EBD FCD ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，.在△DFC 和△DEB 中,,,,F DEB FCD EBD DF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DFC DEB ∴∆∆≌（AAS ）.DC DB ∴=.2.证明：在BC 上截取BF AB =，连接EF . BE 平分ABC ∠，CE BCD ∠平分，ABE FBE FCE DCE ∴∠=∠∠=∠，.在△ABE 和△FBE 中，,,,AB FB ABE FBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE FBE ∴∆∆≌（SAS ），A BFE ∴∠=∠.//180.180AB CD A D BFE D ∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒，. 180BFE CFE CFE D ∠+∠=︒∴∠=∠，.在△FCE 和△DCE 中，,,,CFE D FCE DCE CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FCE DCE ∴∆∆≌（AAS ）..CF CD BC BF CF AB CD ∴=∴=+=+.3.解：（1）EF BE FD =+（2）EF BE FD =+仍然成立.理由：延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，180180B ADC ADC ADG B ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，.在△ABE 和△ADG 中，,,,BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ADG ∴∆∆≌（SAS ）.AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，.12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠.在△AEF 和△AGF 中，,,,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEF AGF ∴∆∆≌（SAS ）.EF FG ∴=.FG DG DF BE DF EF BE DF =+=+∴=+，.4.证明：延长AM 至N ，使MN AM =，连接BN .点M 为BC 的中点，BM CM ∴=.在△AMC 和△NMB 中，,,,AM NM CMA BMN CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AMC NMB ∴∆∆≌（SAS ）.AC BN AD C NBM ∴==∠=∠，.180ABN ABC NBM ABC C BAC EAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=∠.在△ABN 和△EAD 中，,,,AB EA ABN EAD BN AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABN EAD ∴∆∆≌（SAS ）.2DE NA AM ∴==.5.解：（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D .则90CAD ACD ∠+∠=︒. 9090.BAC BAO CAD BAO ACD ∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=∠，.在△ABO 和△CAD 中，,,,AOB CDA BAO ACD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO CAD ∴∆∆≌（AAS ）.BO AD OA CD ∴==，.A （1，0），B （0，3）1 3.31OA OB AD CD ∴====，，，. 4.OD OA AD ∴=+=∴C （4，1）.（2）过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E .同（1）可证ACE BAD AE BD CE AD ∆∆∴==≌，，.A （1，3），B （10-，），2 3.3 1.BD AD CE DE AD AE ∴==∴==-=∴，，C （4，1）.（3）过点A AD x AE y ⊥⊥作轴，轴，垂足分别为D ，E .同（1）可证BAD CAE ∆∆≌，CE BD AE AD OE ∴===，. B （40-，），C （01-，），4 1.OB OC ∴==， 3.AE OB BD OB CE OB OC OE AE ∴=-=-=-+=-（）333(,)222AE A ∴=⋅∴-。
数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案
数学全全等三角形截长补短知识点及练习题含答案一、全等三角形截长补短1．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．2．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．3．如图，△ABC 中，，AD 是BC 边上的高，如果，我们就称△ABC 为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题： （1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）； （2）一般地，如果△ABC 是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论4．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．5．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ． （1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．6．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．7．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．8．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．9．如图，在正方形ABCD中，点F是CD的中点，点E是BC边上的一点，且AF平分DAE∠，求证：AE EC CD=+．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 2．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得； ②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．3．（1）是（2）；见解析【解析】【分析】（1）在BC上截取，根据，可得△ABE为等边三角形，，问题得解；（2）在△ABC中，在DC上截取，由AD是BC边上的高且，进而证明，△ABD≌△AED（SAS）就可以得到结论.【详解】解：（1）如图，Rt△ABC中，，，，在BC上截取，则△ABE为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴∵，且△ABE为等边三角形，∴∴，∴是高和三角形．（2）;证明：如上图，在△ABC中，在DC上截取．∵，∴，∵AD是BC边上的高且，∴，△ABD≌△AED（SAS），∴，，∴.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解“高和三角形”的定义是解题关键.4．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析． 【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论． 【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．5．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ． （2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1．∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．与（2）同理可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，∴NC-BM=MN．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．6．（1）3；（2）见解析【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM ＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝12AB＝3，BH＝3AH＝33，∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×33＝183；（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，∵∠BED＝2∠A＝120°，∴∠BEM＝60°，又∵BE＝ME，∴△BEM是等边三角形，∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠EBC，∴△MBD≌△EBC（SAS），∴MD＝EC，∴CE＝BE+DE．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．7．（1）见解析；（2）①2BD CD=+，见解析，②c a BD CD ADb b=+【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法 证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ，AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法 证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+； 证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ，BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=．BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+． 如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=， 又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．8．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题； （2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒， 1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中， ,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．9．见解析【分析】过F 作FH ⊥AE 于H ，得出FH=FD ，然后证明△FHE ≌△FCE ，再通过等价转换可证得AE=EC+CD ．【详解】证明：过F 作FH ⊥AE 于H ，如图，∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE=CE ．∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，∴AE=EC+CD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE边上取点H，使BH=AE ∵AB=AD∴△ABH≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE∽△ACB∴EB AE CB AB=∴CB=2AB；（3）连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K ∵AD=AB∴12 DK BD=∠AKD=90°∵12AB AD BC ==∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。
初二上学期全等三角形专题之角平分线四大模型教案(有答案)
角平分线四大模型互动精讲【知识梳理】模型一、角平分线+两垂线如图1，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型二、角平分线+截长补短如图2，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图1 图2模型三、角平分线+垂线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
模型四、角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。
结论：△POQ 是等腰三角形。
图3 图4NM OABPPONM BA PONM BAQPONM【例题精讲】模型一、角平分线+两垂线例1、（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 2 ；（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
例2、如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2图4321ACP BDABC图1ABDC模型二、角平分线+截长补短例3、已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
例4、（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
ABCD图2DPA BCDC1图PBA模型三、角平分线+垂线例5、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E 。
全等三角形-截长补短法
“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。
师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
典题解析（ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，∠C=2 ∠B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法：“ 截长” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“ 补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
三．典题解析例 1、思路点拨：延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。
追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。
CDB证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD 平分∠ BAC∴ ∠ EAD=∠ CADAE=AC ，∠EAD= ∠ CAD AD=AD ；∴△ AED ≌△ ACD （ SAS）∴∠ AED= ∠ C=2∠ BED=CD例 2、已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。
三角形全等(旋转与截长补短专题)
向量与矩阵是高等数学中的重要概念，它们在解决几何问 题，特别是涉及旋转、平移等变换的问题时具有广泛的应 用。
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全等三角形的性质
对应边相等
对应角相等 面积相等
周长相等
判定三角形全等条件
01
02
03
04
SSS（边边边）
三边分别相等的两个三角形全 等。
SAS（边角边）
两边和它们之间的夹角分别相 等的两个三角形全等。
ASA（角边角）
两角和它们之间的夹边分别相 等的两个三角形全等。
AAS（角角边）
两角和一角的对边分别相等的 两个三角形全等。
04 复杂图形中三角形全等问 题解决方法
分析复杂图形中隐藏信息
观察图形特点
挖掘隐藏条件
注意图形的对称性、角的度数、边的 长度等，这些可能是解决问题的关键。
根据已知信息和图形特点，挖掘出可 能对解决问题有帮助的隐藏条件。
寻找潜在的全等三角形
通过观察和分析，尝试找出可能的全 等三角形，以便利用全等三角形的性 质解决问题。
应注意准确理解和运用各种判定定理。
02
旋转操作中的误区
在运用旋转证明三角形全等时，学生可能忽略旋转前后的图形关系，导
致证明失败。应注意保持旋转前后的图形对应关系。
03
截长补短法的使用不当
学生可能在不适当的场合使用截长补短法，或者在使用时未能正确构造
出全等三角形。应注意分析问题的具体条件，合理运用截长补短法。
截取法
通过截取线段，使得两个三角形在对应边上相等。例如，在证明两三角形全等 时，可以截取其中一个三角形的一条边，使得这条边与另一个三角形的一条边 相等。
截长补短法全等三角形
截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。
而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。
它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。
为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。
根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。
2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。
通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。
2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。
3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。
根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。
除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。
例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。
截长补短法在几何学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。
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图形专题（4）全等三角形的证明
例题分析
1、如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .
（1）求证BC =AB +AD ；
（2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；
（3）试探究线段EC 、AF 、FD 之间的数量关系，并证明你的结论.
2、如图1，在平面直角坐标系中，A （0，a ），C （-a ，a ），△ABO 是等边三角形，直线CB
交x 轴于点D .
（1）求BDO ∠的度数； （2）求证：CB =BD ；
A
B C
D 图 A
B C
D F
E 图
（3）如图2，作BE⊥CD交OA于E，试探究线段DO、AE、BO之间的数量关系，并给出证明.
3．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于
D点，∠CAO＝90°－∠BDO．（1）求证：AC＝BC；
图 1
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC＋EC
的长；
图 2
（3）在（1）中，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，当H 在FC 上移动、点G 点在OC 上移动时，始终满足∠GDH ＝∠GDO ＋∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，并证明．
图 3
4.已知4y -与x 成正比例，当1x =-时，6y =。
（1）求y 与x 的函数关系式。
（2）对于直线4125
k
y kx -=+
是否存在k 值使其与坐标轴围成三角形与（1）中函数图象与坐标轴围成三角形全等，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。
（3）如图，设（1）中函数图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，并以线段AB 为边在第一象限内作△ABC ，使AB ＝BC ＝CA ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠C ＝60°，再分别过A 、B 作PA ⊥AC ，PB ⊥BC 交于点P ，现有一个含60°角的三角板的60°角顶点放在点P 处，当其绕点P 旋转过程中分别与线段AC 、BC 交于点M 、N ，连MN ，在三角板旋转的过程中，等式1
AM BN
MN
+=是否成立。
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
强化训练
1．如图，点P 是正方形ABCD 的边CD 上一点，DF ⊥AP 于点F ，在AP 的延长线上取一点G ，使AF=FG ，连结DG 。
（1）求证：DG=DC ；
（2）∠CDG 的平分线交AG 于点H ，过点B 作BE ⊥AG 于点E ，试问线段BE 、DF 和AH 之间有何数量关系？为什么？
2．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4） （1）求B 点坐标；
（2）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD
，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；
（3）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OF
FM
AM =1
是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由
.
3．如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（0，a ），B 点的坐标为（b,0），且a 、b
满足
220a b -+=。
（1）求证∠OAB ＝∠OBA ；
（2）点C 为OB 的延长线上一点，连结AC ，过B 作B D ⊥AC ，连结OD 。
求证：OD 平分∠
ADB ；
（3）点E,是点A 关于x 轴的对称点，点F 是点B 关于y 轴的对称点，P 为AF 的延长线上一动点，G 为BA 的延长线上一点，连结PG ，且满足BG ＝PG ＋PF ，当P 在AF 的延长线上运动的过程中，∠PEG 的度数是否会发生变化，若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由。