2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第二篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性

第3讲 函数的奇偶性与周期性A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1* f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 126)等于( )*A * －5B * －6C * －56D * －12解析 f (log 126)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)* ∵log 26－2＝log 232∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝12，∴f (log 126)＝－12* 答案 D2* (·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )*A * －3B * －1C * 1D * 3解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3* 答案 A3* 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )*A * f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 B * f (sin 1)<f (cos 1)C * f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6 D * f (cos 2)>f (sin 2)解析 当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3* 答案 A4* (·连云港一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )*A * 偶函数，且单调递增B * 偶函数，且单调递减C * 奇函数，且单调递增D * 奇函数，且单调递减解析 当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )* 当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数* 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5* (·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________*解析 由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0* 答案 06* (·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1* 若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________*解析 因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1* 答案 －1 三、解答题(共25分)7* (12分)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )* (1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性*解 (1)因为对定义域内任意x ，y ，f (x )满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )，所以令x ＝y ＝1，得f (1)＝0，令x ＝y ＝－1，得f (－1)＝0*(2)令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)，代入f (－1)＝0得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数*8* (13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围*解 由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2*因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2*B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1* 函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )*A * f (x )是偶函数B * f (x )是奇函数C * f (x )＝f (x ＋2)D * f (x ＋3)是奇函数解析 由已知条件，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)* 由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，得f (－x ＋2)＝－f (x )；由f (－x －1)＝－f (x －1)，得f (－x －2)＝－f (x )* 则f (－x ＋2)＝f (－x －2)，即f (x ＋2)＝f (x －2)，由此可得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即函数f (x ＋3)也是奇函数* 答案 D2* (·福建)设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )*A * D (x )的值域为{0,1}B * D (x )是偶函数C *D (x )不是周期函数D * D (x )不是单调函数解析 显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确* 若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数* ∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )* 则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误* 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3* f (x )＝2x ＋sin x 为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f (1－a )＋f (1－2a )<0的解集是 ________*解析 f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (x )为奇函数* 于是原不等式为f (1－a )<f (2a－1)等价于⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a <2a －1.解得23<a <1* 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14* 若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝－f (x )，则下列结论：①f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称；②f (x )的图象关于直线x ＝12对称；③f (x )是周期函数，且2是它的一个周期；④f (x )在区间(－1,1)上是单调函数* 其中所有正确的序号是________*解析 由函数为奇函数且满足f (1＋x )＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以②③正确*答案 ②③ 三、解答题(共25分)5* (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )*(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数* 求实数a 的取值范围* 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2，(x ≠0)显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ， 因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f(x)＝x2＋ax既不是奇函数，也不是偶函数*(2)f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，当a>0时，由f′(x)＝2x3－ax2>0，解得x> 3a2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a2≤2* 解得0<a≤16*综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]*6* (13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)*(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数*(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数*(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x*∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x*故f(x)＝12x(－1≤x≤1)*又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)*又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)， ∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)* ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1* ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )* 令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154* 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12*。