华师大版八年级下 反比例函数知识点与练习
华师大版八年级数学下册 第十七章 函数及其图像 17.4. 反比例函数.docx
华东师大版八年级下册 第十七章 函数及其图像 17．4. 反比例函数反比例函数的图象和性质 专题练习题1．已知矩形的面积为10，长和宽分别为x 和y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )2．反比例函数y ＝2x的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限3．若反比例函数y ＝kx的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限4．反比例函数y ＝m ＋1x在每个象限内的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( )A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．m ＜－15．反比例函数y ＝－3x的图象上有P 1(x 1，－2)，P 2(x 2，－3)两点，则x 1与x 2的大小关系是( )A ．x 1＞x 2B ．x 1＝x 2C ．x 1＜x 2D ．不确定6．已知函数y ＝mx的图象如图，以下结论：①m ＜0；②在每个分支上y 随x 的增大而增大；③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a ＜b ；④若点P(x ，y)在图象上，则点P 1(－x ，－y)也在图象上．其中正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．函数y ＝－x 与y ＝k x (k ≠0)的图象无交点，且y ＝kx的图象过点A(1，y 1)，B(2，y 2)，则( )A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1，y 2的大小无法确定8．定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b （b ＞0），－ab （b ＜0）.例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x ≠0)的图象大致是( )9．已知反比例函数的图象y ＝－2x上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若y 1＞y 2，则x 1－x 2的值是( )A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定10．反比例函数y＝2a－1x的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是________．11．已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点A(－2，8)．(1)求这个反比例函数的关系式；(2)若(2，y1)，(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小，并说明理由．12．已知反比例函数y＝1－2mx，当x＝3时，y＝2.(1)求m值；(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝kx经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB 恰好经过点O.(1)求点B的坐标和双曲线的表达式；(2)判断点C是否在双曲线上，并说明理由．答案：1---9 CBDCA CBCD10. a＞1 211. (1)y＝－16x(2)y1＜y2.理由略12. (1)由题意得，1－2m＝6，则m＝－52(2)∵k＝6＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝2，∴当1＜x＜3时，2＜y＜613. (1)∵AB∥x轴，∴∠ABO＝∠BOD，∵∠ABO＝∠CBD，∴∠BOD＝∠OBD，∵OB＝BD，∴∠BOD＝∠BDO，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴B(1，3)．∵双曲线y＝k x 经过点B，∴k＝1×3＝ 3.∴双曲线的表达式为y＝3x(2)点C在双曲线上．理由：∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，∴∠A＝30°，∴AB＝2OB，∵AB＝BC，∴BC＝2OB，∴OC＝OB，∴C(－1，－3)，∵(－1)×(－3)＝3，∴点C在双曲线上初中数学试卷桑水出品。
八年级数学下册 17.4 反比例函数 反比例函数及其图象
反比例函数及其图象考点例析考点1、考查反比例函数图象的位置 例1：函数 y ＝xm与y ＝mx －m (m ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图 象是( )分析：可以采取排除法，答案A 中由反比例函数的图象知m>0,在此条件下一次函数图象的位置不对，故不选A ；同理可排除B和D,故选C解：选C考点2、考查反比例函数种k 的几何意义：k 的几何意义为：若P(x ，y)是反比例函数的图象上的任一点，且PM⊥x 轴于点M,PN⊥y 轴于点N ，连结op ，则：S矩形OMPH=xy例2：如图，点A 是反比例函数图象上的一点，自点A 向y 轴作垂线，垂足为T ，已知4=∆ATO S ，则此函数的解析式为_______分析:要求反比例函数的解析式，只要求出k 的值即可，由k 的几何意义可知21AOT S k ∆=∴k =8，k=±8，又因为反比例函数的图象在二、四象限，∴k=-8,∴反比例函数的解析式为y=-x8解：y=-x8考点3、考查反比例函数图象的性质例3：已知111222333()()()P x y P x y P x y ，，，，，是反比例函数2y x=的图象上的三点，且1230x x x <<<，则123y y y ，，的大小关系是( )A ．321y y y <<B ．123y y y <<C ．213y y y <<D ．231y y y <<分析：由k=2>0知反比例函数的图象在一、三象限，在每一个象限内随着x 的增大而减小，∵x 1<x 2<0,∴y 2<y 1<0,∵x 3>0,∴y 3>0,∴ 213y y y <<故选Ck xy S S ONP OMP 2121===∆∆考点4、与日常生活相结合例4：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p (Pa)是它的受力面积S(m 2)的反比例函数，其图像如图所示(1) 求p 与S 之间的函数关系式 (2) 求当S ＝0.5 m 2时物体承受的压强p分析：本题意在考查反比例函数的意义，由条件容易求出反比例函数的解析式，而在实际问题中求函数的解析式时，要注意确定自变量的取值范围解：(1)设所求函数解析式为p=s k ，把(2.5,1000)代入解析式，得1000=5.2k 解得k=2500∴所求函数解析式为p=2500s (s>0)(2)当s=0.5m 2时，p=5000(pa) 考点5、与一次函数相结合 例5：如图，已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，，一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ，且与反比例函数的图象相交于另一点B ．(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 分析：把(21)A -，代入1(0)my m x=≠易求m ，把(21)A -，、(0C 2(0)y kx b k =+≠能确定一次函数的解析式，求点B 和2(0)y kx b k =+≠组成的方程组解：(1)∵点(21)A -，在反比例函数1my x=的图象上 2m1=-∴ 即2m =- 又(21)A -，，(03)C ，在一次函数2y kx b =+图象上 213k b b -+=⎧⎨=⎩∴即13k b =⎧⎨=⎩ ∴反比例函数与一次函数解析式分别为：2y x=-与3y x =+(2)由32y xyx=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得23xx+=-，即2320x x++= 2x=-∴或1x=-于是21xy=-⎧⎨=⎩或12xy=-⎧⎨=⎩∴点B的坐标为(12)-，。
华师大版数学八年级下册_知识全解：反比例函数
17.4 反比例函数1.结合具体问题体会和理解反比例函数的意义，会画反比例函数的图象。
2.会根据图象和关系式探究并理解反比例函数的性质和在不同象限里图象的变化情况，会根据已知条件求反比例函数的关系式。
3.能用反比例函数解决实际问题，进一步体会函数时刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
重点1：反比例函数的概念重点2：用待定系数法求反比例函数表达式重点3：反比例函数中比例系数K的几何意义难点1：反比例函数的图象与性质1、注重新、旧知识的联系与类比。
先复习一次函数的图象及其画法，再从解析式分析反比例函数的图象可能经过哪些象限；在画双曲线时要提醒学生多描点，并适时提问，让学生思考“每两点之间的点”可能会在什么位置，最后问这些点所组成的图形是什么（双曲线），即要让学生经历图象的形成过程,体会“数”、“形”的对应思想。
这样既实现了旧知的复习（画函数图象的三步曲——列表、描点、连线），又较好地实现了对新知的理解（双曲线是怎样画出来的）。
一次函数的图象是直线，故只要描两个点就可以得一次函数的图象，而反比例函数的图象是双曲线，故要多描几个点（一般每个象限各取五个点）才能得到其大致图象。
2、让学生主动参与探索，给学生留有思考的余地。
对于反比例函数的性质探讨，教师要发挥导的作用，引领学生从哪些方面观察、思考；先看什么，想什么，再观察什么，想什么，这样有的放矢，才能提高课堂教学效率，收到好的效益。
在具体问题上要充分给学生观察思考的时间和空间，教师不要包办代替。
本节教学需由浅入深、循序渐进、逐步深入，学生探究的问题愈来愈有挑战性，教师适当点拨和学生充分讨论从而形成共识，教师利用对反比例函数的认识，设置一些由浅入深的练习题，加深对概念的理解与把握．通过例题的学习、习题的训练，归纳出求反比例函数的一般步骤．。
华师版八下数学反比例函数测试题-含答案
华东师大版八年级下册数学反比例函数测试题一．选择题（共8小题）1．（自贡）若反比例函数的图象上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那么（）A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＞y2＞0 选D．2．（株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）选CA．3 B．C．D．不能确定解：把x=t 分别代入，得y=，y=﹣，所以B（t ，）、C（t ，﹣），所以BC=﹣（﹣）=．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=××t=．3．（张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）选C．A．B．C．D．4．（岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）选C．A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大解：A 、，∵把①代入②得：x+1=，解得：x1=﹣2，x2=1，代入①得：y1=﹣1，y2=2，∴B（﹣2，﹣1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC =×1×2=1，S△BOD =×|﹣2|×|﹣1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．5．（孝感）若正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）选B．A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）6．（威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（）选C．A．B．C．D．解：A、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；B、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴S阴影=2；C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，则S阴影=S△OAM+S阴影梯形ABNM﹣S△OBN =×2+（2+1）×1﹣×2=；D、∵M、N两点均在反比例函数y=的图象上，∴×1×4=2．∵＜2，∴C中阴影部分的面积最小．故选C．7．（青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）选A．A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y38．（随州）如图，直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，交x轴于点C，若AB：BC=（m﹣1）：1（m＞1），则△OAB的面积（用m表示）为（）选B．A．B．C．D．解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，如图，∵BE∥AD，∴△CAD∽△CBE，∴CB：CA=BE：AD，∵AB：BC=（m﹣1）：1（m＞1），∴AC：BC=m：1，∴AD：BE=m：1，设B点坐标为（a ，），则A 点的纵坐标为，∵点A在y=上，把y=代入得=，解得x=，∴A 点坐标为（，），S△OAB=S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE=S梯形ADEB=（+）（a ﹣）=（m+1）（1﹣）=．故选B．二．填空题（共8小题）9．（镇江）写出一个你喜欢的实数k 的值1（答案不唯一），使得反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．10．（益阳）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是y=．11．（潍坊）点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为y=．12．（黔东南州）设函数y=x﹣3与的图象的两个交点的横坐标为a，b，则=﹣．13．（2012•凉山州）如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为y=﹣．第13题图第14题图第16题图14．（连云港）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是﹣5＜x＜﹣1或x＞0．15．（荆州）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为y=或y=﹣．16．（黑龙江）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y=的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则S n的值为（n为正整数）．解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|=2．所以S1=2，S2=S1=1，S3=S1=，S4=S1=，S5=S1=．依此类推：S n的值为．故答案是：．反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．三．解答题（共7小题）17．（肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=﹣6时反比例函数y的值；②当时，求此时一次函数y的取值范围．解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k﹣1＞0，解得：k＞1；（2）①联立一次函数与反比例函数解析式得：，又一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，∴将y=4代入①得：4x=k﹣1，即x=，将y=4代入②得：2x+k=4，即x=，∴=，即k﹣1=2（4﹣k），解得：k=3，∴反比例解析式为y=，当x=﹣6时，y==﹣；②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即x=，∵0＜x＜，∴0＜＜，解得：3＜y＜4，则一次函数y的取值范围是3＜y＜4．18．（烟台）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°．（1）求线段AB的长；（2）求经过A，B两点的反比例函数的解析式．解：（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，由题意，知∠BAC=60°，AD=7﹣1=6，∴AB===12；（2）设过A，B两点的反比例函数解析式为y=，A点坐标为（m，7），∵BD=AD•tan60°=6，∴B点坐标为（m+6，1），∴，解得k=7，∴所求反比例函数的解析式为y=．19．（襄阳）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k2=2，∴双曲线的解析式为：y=．∵点B（m，﹣1）在双曲线y=上，∴m=﹣2，则B（﹣2，﹣1）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y=k1x+b上，得，解得，∴直线的解析式为：y=x+1．（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，又∵y3是正数，故y3＞0，∴y2＜y1＜y3．（3）由图可知x＞1或﹣2＜x＜0．20．（泉州）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数y=与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移5个单位，再向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′；（2）若点C在函数y=的图象上，△ABC是以AB为底的等腰三角形，请写出点C的坐标．解：（1）A（﹣1，﹣4、B（﹣4，﹣1）平移后的直线为A′B′；（2）C点的坐标为C1（﹣2，﹣2）或C2（2，2）．21．（茂名）阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．（1）求a、b、k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．解：（1）依题意得，解得，∴A（﹣3，1），B（1，3），∵点B在双曲线y=（x＞0）上，∴k=1×3=3，∵点C为线段AB的中点，∴点C坐标为（，），即为（﹣1，2）；（2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（﹣1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；将线段OC平移，使点C（﹣1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（﹣1，2），则点O（0，0）移到点D（﹣2，﹣1），此时四边形BODC是平行四边形．综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．22．（贵港）如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）．（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．解：（1）∵BC⊥x，C（﹣4，0），∴B的横坐标是﹣4，代入y=x得：y=﹣1，∴B的坐标是（﹣4，﹣1），∵把B的坐标代入y=得：k=4，∴y=，∵解方程组得：，，∴A的坐标是（4，1），即A（4，1），B（﹣4，﹣1），反比例函数的解析式是y=．（2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得：xy﹣y•1=10，x•4=10，解得：x=5，y=5，即OD=5，∵OC=|﹣4|=4，∴CD的值是4+5=9．。
华东师大版数学八年级下册17.4知识梳理：反比例函数
知识梳理：反比例函数
知识框架
重点知识阐述与剖析
1．反比例函数
如果两个变量x、y之间的关系可以表示为y=k
x
（k为常数，k≠0）的形式，•那么y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量．
在反比例函数中，两个变量x、y和常数均不能为0，•另外要注意的是实际问题中自变量的取值范围；
变式：k=xy反比例函数中的常数是就是两个变量x、y的乘积，这一点在求反比例函数解析式时要经常运用．
2．反比例函数的图象和性质
图象
性质双曲线的两个分支分别位于一、三象限双曲线的两个分支分别位于二、四象限
在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大
3．灵活运用反比例函数的有关知识解决实际问题
运用反比例函数的有关知识去解决实际问题，首先要对实际问题进行观察、分析、抽象，从实际问题中寻找两个变量之间的关系，建立反比例函数模型，即把实际问题抽象成数学问题，再运用反比例函数的有关知识去解决这个数学问题．。
华东师大初中数学八年级下册反比例函数(基础)知识讲解(精选)
反比例函数（基础）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x =，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；（2）k y x = ()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x= ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x =中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：k y x= (0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k 的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x=中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？（1）5x y =； （2）3y x =； （3）23y x =； （4）12xy =； （5）21y x =-； （6）y x =-； （7）12y x -=； （8）5a y x -=（5a ≠，a 是常数） 【答案与解析】 解：根据反比例函数(0)k y k x=≠的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)． 【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x =(k 为常数，0k ≠)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意k y x=(k 为常数，0k ≠)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．(1)中y 是x 的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x =的图象都过点A(m ，1) ．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．【答案与解析】解： 因为3y x =的图象经过点A(m ，1)，则31m=，所以m ＝3． 把A(3，1)代入y kx =中，得13k =，所以13k =． 所以正比例函数关系式为13y x =． 由1,33,y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得3x =±． 当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为(－3，－1)．【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？【答案】 解：设k y x=，当6x =-时，4y =， 所以46k =-，则k ＝－24， 所以有24y x-=． 当2x =时，24122y -==-． 类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（ ）．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【答案】D ；【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数k y x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x=，当x ＝－1时，y ＝－2，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－1到1，函数值y 由－2到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x -=-的图象在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴ 1m =. (2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-． ∵ (－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴ 312y y y <<类型四、反比例函数综合4、（2015•邛崃市模拟）如图，已知A （﹣4，n ），B （1，﹣4）是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；（3）求不等式kx+b ﹣m x＜0的解集（请直接写出答案）．【思路点拨】（1）将B 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，即可确定出反比例解析式；将A 坐标代入反比例解析式求出n 的值，确定出A 的坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）对于直线AB ，令y=0求出x 的值，即可确定出C 坐标，三角形AOB 面积=三角形AOC 面积+三角形BOC 面积，求出即可；（3）由两函数交点A 与B 的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．【答案与解析】解：（1）∵反比例函数y=m x（m≠0）过点B （1，﹣4）， ∴m=1×（﹣4）=﹣4， ∴y=﹣，将x=﹣4，y=n代入反比例解析式得：n=1，∴A（﹣4，1），∴将A与B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴y=﹣x﹣3；（2）在直线y=﹣x﹣3中，当y=0时，x=﹣3，∴C（﹣3，0），即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（3×1+3×4）=；（3）不等式kx+b﹣mx＜0的解集是﹣4＜x＜0或x＞1．【总结升华】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．举一反三：【变式】（2016•黄冈模拟）如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C（1，3），过点C的直线y=kx+b〔k＜0〕与x轴交于点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求△COD的面积．【答案】解：（1）∵点C（1，3）在反比例函数图象上，∴k=1×3=3，∴3yx ；（2）当x=3时，y=1，∴D（3，1）．∵C（1，3）、D（3，1）在直线y=k2x+b上，∴，∴．∴y=﹣x+4．令y=0，则x=4，∴A（4，0），∴S△COA=12×4×3=6，S△DOA=12×4×1=2，∴△COD的面积=S△COA﹣S△DOA=6﹣2=4．。
专题05 反比例函数的概念及图象与性质【知识梳理】 (解析版)八年级数学下学期期中专项复习(华东师大
2020-2021学年八年级数学下学期期中专项复习（华东师大版）专题05 反比例函数的概念及图象与性质【考点一】反比例函数的概念一般地，函数xky =(ｋ是常数，k ≠0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 或xy =ｋ的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.【典型例题】1．（2021·广西钦州市·九年级期末）下列函数中是反比例函数的是（ ）A ．2xy =B ．y ＝2xC ．y ＝﹣7x 2D ．y ＝11x + 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义即可作出判断． 【详解】 解：A 、2xy =是一次函数，故选项错误；B 、y ＝2x是反比例函数，故选项正确； C 、y ＝﹣7x 2，是二次函数函数，故选项错误； D 、y ＝11x +不符合反比例函数定义，故选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式(0)ky k x=≠，也可转化为y =kx -1（k ≠0）的形式，特别注意不要忽略k ≠0这个条件． 【变式训练】1．（2021·全国九年级专题练习）已知函数()43m y m x -=+是反比例函数，则m =______．【答案】3． 【分析】根据反比例函数定义，得到相关参数取值即可． 【详解】解：∵||4(3)m y m x -=+是反比例函数，∵41{30m m -=-+≠解得：3m =m ∴的值为3．故答案为：3． 【点睛】本意主要考查反比例函数定义，掌握反比例函数解析式中相关参数的取值是解题关键．【考点二】反比例函数的图像和性质反比例函数)0(≠=k xky 的图像是双曲线.它既是中心对称图形,关于原点对称.又是轴对称图形，关于直线y =x 和直线y =-x 对称.【典型例题】1．（2021·安徽合肥市·九年级期末）若反比例函数y ＝1k x+的图象位于第一、三象限，则k 的取值可以是（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．0【答案】D【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数y ＝1k x+的图象位于第一、三象限， ∵k +1＞0，解得k ＞－1， ∵k 的值可以是0． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．【变式训练】1．（2021·陕西咸阳市实验中学九年级月考）已知反比例函数k 1y x-=（k 为常数，k ≠1）． （1）若点A （1，2）在这个函数的图象上，求k 的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围． 【答案】（1）3k =；（2）1k >． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k -1=1×2，然后解方程即可； （2）根据反比例函数的性质得k -1＞0，然后解不等式即可． 【详解】（1）根据题意得112k -=⨯， 解得：3k =；（2）因为反比例函数k 1y x-=， 在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小， 所以10k ->， 解得：1k >． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．也考查了反比例函数的性质．【考点三】反比例函数中k 的几何意义：过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线P A ,PB ，则所得的矩形ＰA ＯB 的面积S =P A •PB =xy x y =•.k S k xy xk y ==∴=，， .【典型例题】1．（2021·北京九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数3(0)y x x=>的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据反比例函数k的几何意义，直接求出即可．【详解】解：点B在反比例函数3(0)y xx=>的图象上，∴矩形OABC的面积||3S k==，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，理解反比例函数k的几何意义并熟练运用是解题关键．【变式训练】1．（2021·浙江九年级专题练习）如图，点A在反比例函数y＝4x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上，AB∵x轴，点C在x轴上，∵ABC的面积为3，则k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】D【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S∵OAB＝S∵ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到142⨯+12|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【详解】解：连结OA，OB，如图，∵AB∵y轴，∵OC∵AB，∵S∵OAB＝S∵ABC＝3，∵142⨯+12|k|＝3，∵k＜0，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（2021·浙江九年级专题练习）如图，点A在反比例函数y＝4x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上，AB∵x轴，点C在x轴上，∵ABC的面积为3，则k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【答案】D【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S∵OAB＝S∵ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到142⨯+12|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【详解】解：连结OA，OB，如图，∵AB∵y轴，∵OC∵AB，∵S∵OAB＝S∵ABC＝3，∵142⨯+12|k|＝3，∵k＜0，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．。
华师大版八年级下反比例函数知识点与练习
反比例函数知识点1、反比例函数的定义：一般地，形如xky =(k 是常数，≠k 0)的函数叫做反比例函数.反比例函数中，自变量的取值范围是0≠x ，其函数图象为双曲线。
2、反比例函数的常见三种形式：____________________3、反比例函数的图象与性质反比例函数 xk y =k 的符号 0>k0<k图象取值范围 0,0≠≠y x性质函数图象的两支分别在第___________象限 在每个象限内，y 随x 的增大而________函数图象的两支分别在第___________象限 在每个象限内，y 随x 的增大而________ 对称性中心对称关于原点中心对称4、反比例函数中k 的几何意义 如图，过反比例函数x ky =)0(≠k 的图象上任意一点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积k xy x y PN PM S ==⋅=⋅=，k S S PON POM 21==∆∆ 自我检测一、反比例函数的图象与性质1.若反比例函数xy 8=的图象经过点(-2,m)，则m 的值是( ) A.41 B.41- C.-4 D.4 2.双曲线xk y 1+=所在象限内，y 的值随x 值的增大而减小，则满足条件的一个数值k 为_3.点(2,-4)在反比例函数xky =的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )A.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)4.若函数xm y 2+=的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是___________5.已知点),2(),,1(21y B y A 是反比例函数xy 2=图象上的两点，则1y ____2y (填>或<或=)6.已知反比例函数xky =)0(>k 图象经过点),(),,(222111y x P y x P ，如果021<<x x ，则1y ____2y ；如果021<<y y ，则1x ____2x .(填“>”或“<”或=) 7.已知点),4(),,1(21y m y m --是反比例函数)0(<=m xmy 图象上的两点，则1y ____2y (填“>”或“<”或“=”)8.在反比例函数xmy 31-=的图象上有两点),(),,(2211y x B y x A ，且满足2121,0y y x x <<<，则m 的取值范围是( )A.31>mB.31<mC.31≥mD.31≤m9.已知反比例函数xy 2-=下列结论不正确的是（ ）A. 图象必经过点（-1，2）B. y 随x 的增大而增大C. 图象在第二、四象限内D. 若x ＞1，则-2<y<010.在同一直角坐标系中，函数k kx y +=与kxy -= 的图象大致为( )11.当k ＞0时，反比例函数xky =和一次函数y=kx+2的图象大致是( )12.函数a ax y -=与)0(≠=a xay 在同一直角坐标系中图象可能是下图中( )13.(2017福建中考第16题)已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数xy 1=的图象上，且点A 的横坐标为2，则矩形ABCD 的面积为____________二、反比例函数中k 的几何意义1.反比例函数x ky =)0(≠k k 为常数，的图象如图所示，点M 是该函数图象上的一点，MN 垂直于x 轴，垂足为N.若2=∆MON S ，则k 的值为（ ）A.2B.-2C.4D.-4第1题 第2题 第3题 第4题2.以正方形ABCD 的两条对角线的交点O 为坐标原点，如图建立直角坐标系，双曲线xy 3=经过点D ，则正方形ABCD 的面积是________3.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P(3a,a)是反比例函数xky =)0(>k 的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为___________4.如图，点A 在反比例函数)0(4>=x xy 的图象上，且OA=4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则ABO ∆的周长为____________5.如图，在反比例函数)0(2>=x x y 的图象上有A,B,C,三点，经过此三点分别向x 轴印垂线，分别交x 轴于111,,C B A 三点，连接OA ，OB ，OC ，设C OC B OB A OA 111,,∆∆∆的面积分别为321,,S S S ，则有（ ）A.321S S S ==B.321S S S <<C.213S S S <<D.321S S S >>6.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0(>=x xky 的图象交矩形OABC 的边AB 于点D ，边BC 于点E ，且BE=2EC.若四边形ODBE 的面积为6，则k=________三、反比例函数与一次函数综合应用1.如图，平面直角坐标系xoy 中，一次函数)0,(1≠+=a b a b ax y 为常数，且与反比例函数)0(2≠=m m xmy 为常数，且的图象交于点A(-2,1),B(1,n). (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；(3)直接写出当021<<y y 时，自变量x 的取值范围.2.如图，一次函数4+-=x y 的图象与反比例函数)0(≠=k k xky 为常数，且的图象交于A(1,a)，B 两点.(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在x 轴上一点P ，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积.。
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反比例函数
知识点
1、反比例函数的定义：一般地，形如x
k
y =
(k 是常数，≠k 0)的函数叫做反比例函数.反比例函数中，自变量的取值范围是0≠x ，其函数图象为双曲线。
2、反比例函数的常见三种形式：____________________
3、反比例函数的图象与性质
反比例函数 x
k y =
k 的符号 0>k 0<k 图象
取值范围 0,0≠≠y x
性质
函数图象的两支分别在第
___________象限 在每个象限内，y 随x 的增大而________
函数图象的两支分别在第
___________象限 在每个象限内，y 随x 的增大
而________ 对称性
中心对称
关于原点中心对称
4、反比例函数中k 的几何意义 如图，过反比例函数x k
y =)0(≠k 的图象上任意一点P 作PM ⊥x 轴于点
M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积k xy x y PN PM S ==⋅=⋅=，
k S S PON POM 2
1
=
=∆∆ 自我检测
一、反比例函数的图象与性质
1.若反比例函数x
y 8
=
的图象经过点(-2,m)，则m 的值是( ) A.41 B.4
1
- C.-4 D.4 2.双曲线x
k y 1
+=所在象限内，y 的值随x 值的增大而减小，则满足条件的一个数值k 为_
3.点(2,-4)在反比例函数x
k
y =的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A.(2,4)
B.(-1,-8)
C.(-2,-4)
D.(4,-2)
4.若函数x
m y 2
+=
的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是___________
5.已知点),2(),,1(21y B y A 是反比例函数x
y 2
=图象上的两点，则1y ____2y (填>或<或=)
6.已知反比例函数x
k
y =)0(>k 图象经过点),(),,(222111y x P y x P ，如果021<<x x ，则
1y ____2y ；如果021<<y y ，则1x ____2x .(填“>”或“<”或=)
7.已知点),4(),,1(21y m y m --是反比例函数)0(<=
m x
m
y 图象上的两点，则1y ____2y (填“>”或“<”或“=”)
8.在反比例函数x
m
y 31-=的图象上有两点),(),,(2211y x B y x A ，且满足2121,0y y x x <<<，
则m 的取值范围是( )
A.31>m
B.31<m
C.31≥m
D.3
1≤m
9.已知反比例函数x
y 2
-=下列结论不正确的是（ ）
A. 图象必经过点（-1，2）
B. y 随x 的增大而增大
C. 图象在第二、四象限内
D. 若x ＞1，则-2<y<0
10.在同一直角坐标系中，函数k kx y +=与k
x
y -= 的图象大致为( )
11.当k ＞0时，反比例函数x
k
y =和一次函数y=kx+2的图象大致是( )
12.函数a ax y -=与)0(≠=
a x
a
y 在同一直角坐标系中图象可能是下图中( )
13.(2017福建中考第16题)已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数x
y 1
=的图象上，且点A 的横坐标为2，则矩形ABCD 的面积为____________
二、反比例函数中k 的几何意义
1.反比例函数x k
y =)0(≠k k 为常数，的图象如图所示，点M 是该函数图象上的一点，MN 垂
直于x 轴，垂足为N.若2=∆MON S ，则k 的值为（ ）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
第1题 第2题 第3题 第4题
2.以正方形ABCD 的两条对角线的交点O 为坐标原点，如图建立直角坐标系，双曲线x
y 3=经过点D ，则正方形ABCD 的面积是________
3.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点
P(3a,a)是反比例函数x
k
y =)0(>k 的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积
等于9，则这个反比例函数的解析式为___________
4.如图，点A 在反比例函数)0(4
>=x x
y 的图象上，且OA=4，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则
ABO ∆的周长为____________
5.如图，在反比例函数)0(2
>=x x y 的图象上有A,B,C,三点，经过此三点
分别向x 轴印垂线，分别交x 轴于111,,C B A 三点，连接OA ，OB ，OC ，设
C OC B OB A OA 111,,∆∆∆的面积分别为321,,S S S ，则有（ ）
A.321S S S ==
B.321S S S <<
C.213S S S <<
D.321S S S >>
6.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0(>=
x x
k
y 的图象交矩形OABC 的边AB 于点D ，边BC 于点E ，且BE=2EC.若四边
形ODBE 的面积为6，则k=________
三、反比例函数与一次函数综合应用
1.如图，平面直角坐标系xoy 中，一次函数)0,(1≠+=a b a b ax y 为常数，且与反比例函数
)0(2≠=
m m x
m
y 为常数，且的图象交于点A(-2,1),B(1,n). (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；
(3)直接写出当021<<y y 时，自变量x 的取值范围.
2.如图，一次函数4+-=x y 的图象与反比例函数)0(≠=k k x
k
y 为常数，且的图象交于A(1,a)，B 两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)在x 轴上一点P ，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积.。