解斜三角形应用举例(二)
解斜三角形应用举例(中学课件201908)
5.7解斜三角形应用举例
高一平面向量7（解斜三角形应用举例）
1、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已到达的高度，李明在学校操场的某一直线上选择A 、B 、C 三点，60==BC AB 米，且在A 、B 、C 三点观察塔的最高点，测得仰角分别为45°，54.2°，60°．已知李明身高1.5米，试问建造中的电视塔已到达的高度（结果保留一位小数）．
2．在一个很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小
船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为 2.5km/h ．同时岸
上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度
为 4km/h ，在水中游的速度为 2km/h ．问此人能否追上小船？
若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50米．求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ．
4、某部队行军中遇到一条河，河的两岸平行．现有米尺和︒60、︒45测角仪．如何才能测量计算出河宽？
5．如图，某城市有一条公路从正西方OA 能过市中心O 后转向东北方OB L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段现要求市中心O 与AB 的距离为10公里，问把B A 、分别设在公路上距中心O 多远处才能使AB 最短，并求其最短距离（不要求作近似计
算） B
O A 45︒15︒A
B
D E C。
解斜三角形的应用题目
解斜三角形的应用题目1. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一个锐角的度数。
2. 已知直角三角形中，两个锐角分别为45度和45度，斜边长为5，求此三角形的两条直角边长。
3. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为5，求另一条直角边的长。
4. 已知直角三角形中，斜边长为10，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。
5. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
6. 已知直角三角形中，两条直角边长分别为3和4，求斜边长。
7. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。
8. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
9. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
10. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
11. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
12. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
13. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
14. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
15. 已知直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为12，求另一条直角边的长。
16. 已知直角三角形中，一个锐角为30度，斜边长为10，求另一条直角边的长。
17. 已知直角三角形中，一条直角边长为6，斜边长为8，求另一条直角边的长。
18. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
19. 已知直角三角形中，一条直角边长为3，斜边长为4，求另一条直角边的长。
20. 已知直角三角形中，一个锐角为60度，斜边长为8，求另一条直角边的长。
21. 已知直角三角形中，一条直角边长为4，斜边长为7，求另一条直角边的长。
22. 已知直角三角形中，一个锐角为45度，斜边长为5，求另一条直角边的长。
解斜三角形应用举例--江苏教育版
（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角A＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
A
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 21.951.40 cos6620 3.751 BC 1.89(m) 答：顶杆BC约长1.89m。
∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′
又由正弦定理：
AC AB sin B 340 sin8545 344.3(mm)
பைடு நூலகம்
sinC
0.9848
5.10 解斜三角形应用举例
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
单击图象动画演示
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
解斜三角形的实际应用
1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的
距离大约为 385400km
上海市崇明中学
朱健
珠穆朗玛峰，位于喜马拉雅山脉之上，终年积雪。为世界 第一高峰。
解斜三角形的实际应用
公式回顾
正弦定理：
a s in A b s in B c s in C
解决什么问题： 余弦弦定理： a b c 2 bc cos A
望角，测量角度 ， 的大小和两地之间距离 AB ，从
而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.
A
O S
B
附件2 如果从地球上A点看，月球S刚好在地平线上，从地球上B
点看，S刚好在天顶处（即S在地球半径OB的延长线上），那么
∠S就叫做月球S的地平视差。 ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A、B两点 的纬度算出。 月球S的地平视差（∠S），就是从月球S看来，垂 直于视线（SA）的地球半径（OA）所对的角。
已知地球半径R=6370千米，月球的地平视差是57ˊ，我们
就可以计算月球离我们的距离OS
OS OA sin S Nhomakorabea
6370 sin 5 7
'
6370 0 .0 1 6 5 8
3 8 4 0 0 0公 里
和A、B间的距离.请设计一个方案,测量两山顶M、N 间的距离。
课堂小结 1.明确题意，画出示意图; 2.根据所求，找出三角形; 3.根据条件，选择合适的公式; 4.实际问题, 应考虑方案的可行性.
附件1 在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与 月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好
2 2 2
解斜三角形(余弦定理)
余弦定理
赵臻
回顾
正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两 类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及 一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已 知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中 ， (1 ) 已 知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1， 求 B ; ( 2 ) 已 知 a 2， b 2， c
2 2
3 1， 求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a
2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别 表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角； 余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理
s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
斜三角形是数学当中一个重要的概念，也是数学应用中最重要的基本形式之一，有着重要的实际意义。
斜三角形的求解是数学中的一个重要问题，可以按其力学性质分为内角和外角的求解，也可以根据对斜边的不同求解包括斜边长、角度、面积等。
首先，根据对斜边的求解，我们可以分为两种情况：斜边长的求解和角度的求解。
斜边长的求解可以利用直角三角形的勾股定理（三角形两条直角边的平方和等于最后一边的平方），利用已知两条直角边及夹角角度，可以求得斜边长。
角度的求解可以利用余弦定理（三角形两边夹角的余弦值等于其对边除以斜边），利用已知两条直角边及夹角的余弦值，可以求得夹角角度。
其次，我们还可以针对斜边面积的求解。
斜三角形的面积的求解，利用的是斜
三角形面积公式，利用已知三条边可以计算出其面积大小。
最后，还有内角和外角的求解。
内角的求解可以利用三角形内角和定理（所有
三角形内角的总和等于180度），利用已知三个角的大小可以求得其剩余角的大小。
而外角的求解，利用的是外角伸展公式（被伸展的角度和正角的和等于与正閉路），利用已知的外角只需求出全部正角的和，就可以求出剩余的正角的大小。
总的来说，斜三角形的求解可以分为斜边长、角度、面积、内角和外角的求解，求解方法也有不同，但是利用三角形的勾股定理、余弦定理、内角和定理以及外角伸展公式都可以解决我们的实际问题。
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解三角形（二）一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．设△ABC 满足tan A ·sin B ＝tan B sin A ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形2．在△ABC 中，A ＝105°，B ＝30°，a ＝26，则B 的平分线的长是( )A ．23B ．22C ．1D ．23．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0＜C ≤6πB ．0＜C ＜2πC ．6π＜C ＜2πD ．6π＜C ≤3π4．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°5．直角三角形的周长为6＋23，斜边上的中线长为2，则三角形的面积为( ) A ．83 B ．2＋23 C ．43D ．23二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则C ＝________．2．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝7，BC 边上的中线AD ＝27，那么BC ＝________．3．在△ABC 中，若C B A sin 13sin 8sin 7==，则C ＝________． 4．在△ABC 中，)cos cos cos (222c Cb B a Ac b a abc ++++＝________．5．在△ABC 中，A ＝120°，a ＋c ＝21，a ＋b ＝20，则a ＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，已知b ＝4cos 2A ，c ＝4sin 2A，求△ABC 的面积的最大值及a 边的最小值．2．已知△ABC 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，求证：2Rr ＝c b a abc++．3．在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长．4．某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31 km 的公路有一人正沿此公路向A 走去，走20 km 到达D ，此时测得CD ＝21 km ，求此人在D 处距A 还有多少千米．5．有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，工人师傅须从扇形中切割下一个内接矩形，求内接矩形的最大面积． 参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．C 分析：∵ tan A ·sin B ＝tan B ·sin A∴ A A cos sin ·sin B ＝B Bcos sin ·sin A∴ sin A sin B cos B ＝sin B sin A cos A ∵ sin A ·sin B ≠0 ∴ cos B ＝cos A ∴ A ＝B2．C 分析：设B 的平分线长为x ，则在△BCD 中，︒=︒120sin 2645sin x∴ x ＝13．A 分析：由正弦定理得A BCC AB sin sin =，又AB ＝1，BC ＝2 ∴ A C sin 2sin 1=∴ sin C ＝21sin A∵ 0＜sin A ≤1，AB ＜BC∴ C ＜A ，sin C ≤21∴ 0＜C ≤6π4．B 分析：设边长为7的边对应的角为B ，则cos B ＝21852785222=⨯⨯-+，∴ B ＝60°． ∴ A ＋C ＝120°．5．D 分析：∵ 斜边上的中线长为2 ∴ 斜边长为4∴ 两直角边的长之和为2＋23 设两直角边分别是x 、y ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+1632222y x y x由①得x 2＋y 2＋2xy ＝16＋83∴ 2xy ＝83∴ 21xy ＝23∴ S ＝23．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．120° 分析：∵ cos C ＝ab c b a 2222-+又a 2＋b 2＜c 2， ∴ cos C ＜0， ∴ C 为钝角又sin C ＝23，∴ C ＝120°2．9 分析：如图，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，DC ＝x ，∵ ∠ADB ＝-∠ADC∴ cos ADB ＝-cos ADC 由余弦定理，得227)27(224)27(222222⋅⋅-+-=⋅⋅-+x x x x 解得x ＝29，∴ BC ＝9．3．120° 分析：设三边长分别为a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k ，则cos C ＝k k k k k 872)13()8()7(222⋅⋅-+21112561121696449-=-=-+=∴ cos C ＝-21，∴ C ＝120°．4．21 分析：)cos cos cos (222c Cb B a Ac b a abc ++++212)222(222222222222222222=++⋅++=-++-++-+++=abc c b a c b a abc abc c b a abc b c a abc a c b c b a abc5．13 分析：∵ a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A∴ a 2＝(20-a )2＋(21-a )2-2(20-a )(21-a )·(-21)∴ a 2＝202-40a ＋a 2＋212-42a ＋a 2＋a 2-41a ＋20×21 ∴ 2a 2-123a ＋1261＝0 解得a ＝13或a ＝97(舍去)三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：S △ABC ＝21bc sin A＝21·4cos 2A ·4sin 2A·sin A ＝4sin 2A当sin A ＝1，即当A ＝90°时，S △ABC 有最大值4 ∵ a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝16-8sin2A ∴ 8≤a 2≤24， ∴ 22≤a ≤26 ∴ a 边的最小值为22．2．证明：∵ S △ABC ＝21r (a ＋b ＋c )，又S △ABC ＝abc R R c ab C ab ⋅=⋅=41221sin 21， ∴ 21r (a ＋b ＋c )＝R 41·abc ，∴ 2rR ＝c b a abc++．3．解：设三角形的三边长分别为x ，x ＋1，x ＋2(x ∈N *)，又设最小角为α，则由正弦定理，可得αααααc o s s i n 22s i n ,2s i n 2s i n +=∴+=x x x x ， ∴x x 22cos +=α① 又x 2＝(x ＋1)2＋(x ＋2)2-2(x ＋1)(x ＋2)cos②将①代入②得x 2-3x -4＝0 ∴ x ＝4或x ＝-1(舍去) ∴ x ＋1＝5，x ＋2＝6， ∴ 三边长为4，5，64．解：如图，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，BC ＝31，BD ＝20，CD ＝21， 由余弦定理得cos B ＝3123203122120312222222=⨯⨯-+=⋅-+BD BC CD BD BC31312cos 1sin 2=-=∴B B又在△ABC 中，由正弦定理得AC ＝24233131231sin sin =⨯=⋅ABBC由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2-2AC ·AB cos A 得312＝AB 2＋242-2×AB ×24cos60° ∴ AB 2-24AB -385＝0 解得AB ＝35或AB ＝-11(舍去) ∴ AD ＝AB -BD ＝35-20＝15(km)5．解：(1)切割方案甲如图(甲)所示，设PQ ＝x ，MP ＝y ，则矩形PQ N M 的面积S PQNM ＝xy ，连结ON ，设∠AON ＝则y ＝R sin在△OMN 中，由正弦定理，得)60sin(120sin θ-︒=︒xR∴ x ＝3)60sin(2θ-︒R∴ S PQNM ＝)60sin(sin 322θθ-︒⋅⋅R]21)602[cos(332-︒-=θR当2-60°＝0°，＝30°时，矩形面积最大，其值为263R ．(2)切割方案乙如图(乙)所示，可仿上求得 S PNMQ ＝4R 2sinsin(30°-)＝2R 2［cos(-15°)-23］当＝15°时，S PNMQ 最大为(2-3)R 2此时可比较(2-3)R 2与63R 2的大小可知，所求最大面积为63R 2，选择甲方案进行切割，内接矩形的面积最大。