2020年北师大版七年级下册数学《期末检测题》(含答案解析)

北师大版数学七年级下学期期末测试卷（时间：120 总分：120分）学校________ 班级________ 姓名________ 座号________一、选择题1.下列运算正确的是（）A. a2•a3＝a6B. 3a﹣a＝3C. （b3）2＝b9D. x6÷x2＝x42.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )A. 1,2,1B. 1,2,2C. 1,2,3D. 1,2,43.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图，字母B所代表的正方形的面积是()A. 12B. 144C. 13D. 1945.大肠杆菌的长度平均约为0.0000014米，把这个数用科学记数表示正确的是（）米．A. 1.4×106B. 1.4×10﹣5C. 14×10﹣7D. 1.4×10﹣66.下列整式运算正确的是（）A. （a+b）（a+b）＝a2+b2B. （﹣a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D. （+a+b）（﹣a﹣b）＝a2+2ab+b27.若x2﹣mx+14是完全平方式，则m的值是（）A. 4B. ﹣4C. ±1D. ±48.如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS9.如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝5cm，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE 的周长是（）A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm10.小明同学放学回家，从校门口步行一段时间到公交车站，在公交车站等一会儿才上了公交车，到终点站后再步行一段时间回到家中，下面几幅图最能刻画这一过程的是（）A. B. C. D. 二、填空题11.计算（2019﹣π）0＝_____．12.如图，AB∥CD，∠BEF＝110°，则∠CDF的度数为_____．13.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．14.如图，C 、D 点在BE 上，∠1=∠2，BD=EC ，请补充一个条件：____________，使△ABC ≌△FED.三．解答题15.（1）计算：233112102210-⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算：m （m ﹣4n ）﹣（m ﹣2n ）（m+2n ）16.先化简再求值：x[（x+y ）2﹣（x+y ）（x ﹣y ）﹣2y （2y ﹣x ）]÷（﹣2y ），其中x ＝﹣12，y ＝﹣2 17.已知：如图，BD ∥AF ∥CE ，∠ABD ＝50°，∠ACE ＝36°，AP 是∠BAF 的平分线，求∠PAC 的度数．18.某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置、25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少？（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是多少？（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额多少个？ 19.声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表（1）此表反映的是变量 随 变化的情况．（2）请直接写出y 与x的关系式为 ．（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离． 20.如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，过B 点作射线BE ，过C 点作射线CF ，使∠ABE ＝∠ACF ，且射线BE ，CF 交于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．（1）探究∠BDC 和∠CAB 的数量关系并说明理由；（2）求证：BM ＝DM+DC ；（3）如图2，将射线BE ，CF 分别绕点B 和点C 顺时针旋转至如图位置，若∠ABE ＝∠ACF 仍然成立，射线BE 交射线CF 的反向延长线于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM ，DM ，DC 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．四、填空题21.已知a m ＝3，a n ＝2，则m n a --＝_____．22.如果在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D ，那么这两个三角形全等，这个事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）23.将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=____°．24.已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．25.如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，则AE+CF 的最大值为_____，最小值为_____．五、解答题26.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC 全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．（1）若Rt△ABC的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN的边长为8，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．27.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，经过7min同时到达C点，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是m，甲机器人前2min的速度为m/min．（2）若前3min甲机器人的速度不变，求出前3min，甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间r（min）之间的关系式．（3）求出两机器人出发多长时间相距28m．28.在△ABC中，AD是△ABC角平分线．（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD．（2）如图1，在（1）的条件下，若CD＝2BD，S△ABD＝10，求△BCE的面积．（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，猜想线段AB、AC、AN之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．答案与解析一、选择题1.下列运算正确的是（ ）A. a 2•a 3＝a 6B. 3a ﹣a ＝3C. （b 3）2＝b 9D. x 6÷x 2＝x 4【答案】D【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分别化简得出答案．【详解】A .235a a a ⋅＝，故此选项错误；B .32a a a -＝，故此选项错误；C .326()b b ＝，故此选项错误；D .624x x x ÷＝，正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的相关计算法则是解决本题的关键. 2.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )A. 1,2,1B. 1,2,2C. 1,2,3D. 1,2,4 【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．解：A 、1+1=2，不能组成三角形，故A 选项错误；B 、1+2＞2，能组成三角形，故B 选项正确；C 、1+2=3，不能组成三角形，故C 选项错误；D 、1+2＜4，不能组成三角形，故D 选项错误；故选B ．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．3.下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【详解】A、B、D都不是轴对称图形，故不符合题意；C是轴对称图形，故符合题意.故选C.【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.4.如图，字母B所代表的正方形的面积是()A. 12B. 144C. 13D. 194【答案】B【解析】【分析】外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【详解】如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2＝c2a2＝25，c2＝169，b2＝169﹣25＝144，因此B的面积是144．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用．只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了．5.大肠杆菌的长度平均约为0.0000014米，把这个数用科学记数表示正确的是（ ）米．A. 1.4×106 B. 1.4×10﹣5 C. 14×10﹣7 D. 1.4×10﹣6 【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10(110)n a a -⨯≤<(n 为整数)，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】60.0000014 1.410-⨯＝．故选：D ．【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，熟练掌握相关表示方法是解决本题的关键.6.下列整式运算正确的是（ ）A. （a+b ）（a+b ）＝a 2+b 2B. （﹣a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C. （a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D. （+a+b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2+2ab+b 2【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【详解】A .原式＝222a ab b ++，不符合题意；B .原式＝222a ab b -+-，不符合题意；C .原式＝22a b -，符合题意；D .原式＝222a ab b ---，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解决本题的关键.7.若x 2﹣mx +14是完全平方式，则m 的值是（ ） A. 4B. ﹣4C. ±1D. ±4【答案】C【解析】【分析】 根据完全平方式(a±b)2=a 2±2ab+b 2即可解题. 【详解】∵x 2﹣mx+14是完全平方式， ∴原式=（x 12）2 ∴m=±1． 故选C ．8.如图所示，利用尺规作∠AOB 的平分线，做法如下：①在OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ；②分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于一点C ；③画射线OC ，射线OC 就是∠AOB 的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）A. SSSB. ASAC. AASD. SAS【答案】A【解析】【分析】 利用基本作图得到OE OD ＝，CE CD ＝，加上公共边线段，则利用“SSS ”可证明△EOC ≌△DOC ，于是有∠EOC ＝∠DOC ．【详解】由作法得OE OD ＝，CE CD ＝，而OC ＝OC ，所以△EOC ≌△DOC (SSS )，所以∠EOC ＝∠DOC ，即射线OC 就是∠AOB 的角平分线，故选：A ．【点睛】本题属于角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的全等判定是解决本题的关键.9.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝3cm ，BC ＝5cm ，边AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于D 、E ，则△ABE的周长是（）A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，进而可得AE+BE＝BC＝5，进而可得答案．【详解】∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，∴AE＝CE，∵BC＝5，∴BE+CE＝5，∵AB＝3，∴△ABE的周长为3+5＝8cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线性质的应用是解决本题的关键.10.小明同学放学回家，从校门口步行一段时间到公交车站，在公交车站等一会儿才上了公交车，到终点站后再步行一段时间回到家中，下面几幅图最能刻画这一过程的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意判断出离家距离随时间的变化趋势，然后再结合选项可得答案．【详解】小明从学校回家，从校门口步行一段时间到公交车站，因此离家距离随时间的增长而减小；在公交车站等一会儿才上了公交车，因此时间在增加，离家距离不变；坐上了公交车直至到终点站，因此离家距离随时间的增长而减小；到终点站后再步行一段时间回到家中，速度减小，所以离家距离随时间的增长而减小但此时图象倾斜度变小，故选：A ．【点睛】本题主要考查了时间距离图象，熟练掌握一次函数图象的应用是解决本题的关键.二、填空题11.计算（2019﹣π）0＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据零指数幂：a 0 =1（a≠0），求解即可．【详解】解：原式＝1．故答案为1．【点睛】此题考查零指数幂，解题关键在于掌握其定义.12.如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝110°，则∠CDF 的度数为_____．【答案】70°【解析】【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】∵//AB CD ，110BEF ∠︒＝，∴18070CDF AED DEB ∠∠︒-∠︒＝＝＝，故答案为：70︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键.13.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______．【答案】120°或20°【解析】试题分析：根据等腰三角形的特点，可分两种情况：顶角与底角的度数比是1：4或底角与顶角的度数比是1：4，根据三角形的内角和定理就可求解：当顶角与底角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×19=20°；当底角与顶角的度数比是1：4时，则等腰三角形的顶角是180°×46=120°． 即该等腰三角形的顶角为20°或180°．考点：等腰三角形14.如图，C 、D 点BE 上，∠1=∠2，BD=EC ，请补充一个条件：____________，使△ABC ≌△FED.【答案】AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E）【解析】∵BD=CE ，∴BD-CD=CE-CD ，∴BC=DE ，①条件是AC=DF 时，在△ABC 和△FED 中，12AC DF BC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△FED （SAS ）；②当∠A=∠F 时，12A F BC DE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△FED （AAS ）；③当∠B=∠E 时，12BC DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FED （ASA ）故答案为AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E）．三．解答题15.（1）计算：233112102210-⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算：m （m ﹣4n ）﹣（m ﹣2n ）（m+2n ）【答案】（1）4；（2）﹣4mn+4n 2【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂，绝对值，积的乘方进行计算，再求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可．【详解】（1）原式＝4224-+＝；（2）原式＝2222422444m mn m mn mn n mn n ---++-+＝．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键. 16.先化简再求值：x[（x+y ）2﹣（x+y ）（x ﹣y ）﹣2y （2y ﹣x ）]÷（﹣2y ），其中x ＝﹣12，y ＝﹣2 【答案】﹣2x 2+xy ，12 【解析】【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．【详解】2[()()()2(2)](2)x x y x y x y y y x y +-+---÷-＝22222[242](2)x x xy y x y y xy y ++-+-+÷-＝2[42](2)x xy y y -÷-＝22[42](2)x y xy y -÷-＝22x xy -+， 当12x ＝-，2y =-时，原式＝21112()()(2)222-⨯-+-⨯-=．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到整式的加减乘除混合运算，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.17.已知：如图，BD ∥AF ∥CE ，∠ABD ＝50°，∠ACE ＝36°，AP 是∠BAF 的平分线，求∠PAC 的度数．【答案】61°【解析】【分析】利用平行线的性质角平分线的定义求出∠P AF ，∠CAF 即可．【详解】∵////BD AF CE ，∴50ABD FAB ∠∠︒＝＝，36FAC ACE ∠∠︒＝＝，∵P A 平分∠BAF ， ∴1252PAF BAF ∠∠︒＝＝， ∴253661PAC PAF CAF ∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握相关定义及性质证明是解决本题的关键.18.某校某次外出游学活动分为三类，因资源有限，七年级2班分配到25个名额，其中甲类4个、乙类11个、丙类10个，已知该班有50名学生，班主任准备了50个签，其中甲类、乙类、丙类按名额设置、25个空签，采取抽签的方式来确定名额分配，请解决下列问题（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少？（2）该班小丽同学能有幸去参加游学活动的概率是多少？（3）后来，该班同学强烈呼吁名额太少，要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额多少个？【答案】（1）15；（2）12；（3）要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额6个 【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可得解；（2）直接利用概率公式计算即可得解；（3）设还要争取甲类名额x个，利用概率公式得到420% 50x+=，然后解方程求出x即可．【详解】（1）该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率101505P=＝；（2）该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率251502P=＝；（3）设还要争取甲类名额x个，根据题意得420%50x+=，解得x＝6，答：要求抽到甲类的概率要达到20%，则还要争取甲类名额6个．【点睛】本题主要考查了概率的求解，熟练掌握相关概率的求解方法是解决本题的关键.19.声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表（1）此表反映的是变量随变化的情况．（2）请直接写出y与x的关系式为．（3）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，求此人与烟花燃放所在地的距离．【答案】（1）音速、气温；（2）y＝35x+331；（3）此人与烟花燃放所在地的距离为1721米【解析】【分析】（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况；（2）先设函数解析式为y＝kx+b，根据题意取2组x，y的值代入利用待定系数法求解即可；（3）把x的值代入（2）中所求的代数式可求出对应的y值，从而判断此人与烟花燃放所在地的距离．【详解】（1）由已知可得出此表反映的是变量音速随气温变化的情况，故答案为：音速、气温；（2）设y＝kx+b，则331331.6bk b=⎧⎨+=⎩，解得：35331kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴y＝35x+331；（3）∵当x＝22时，312233134455y⨯+＝＝，∴距离为11344172155⨯=米， 答：此人与烟花燃放所在地的距离为1721米．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键. 20.如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，过B 点作射线BE ，过C 点作射线CF ，使∠ABE ＝∠ACF ，且射线BE ，CF 交于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．（1）探究∠BDC 和∠CAB 的数量关系并说明理由；（2）求证：BM ＝DM+DC ；（3）如图2，将射线BE ，CF 分别绕点B 和点C 顺时针旋转至如图位置，若∠ABE ＝∠ACF 仍然成立，射线BE 交射线CF 的反向延长线于点D ，过A 点作AM ⊥BD 于M ．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM ，DM ，DC 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）∠BDC ＝∠CAB ，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM ＝DM ﹣DC ，见解析【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理得出180CAB ABC ACB ∠︒-∠-∠＝，180180()()BDC DBC DCB ABC ABE ACB ACF ∠︒-∠-∠︒-∠-∠-∠+∠＝＝，又∠ABE ＝∠ACF ，则进行计算即可得解；（2）作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，易证90AMB ANC ∠∠︒＝＝，由AAS 证得△AMB ≌△ANC 得出BM ＝CN ＝DC +DN ，AM ＝AN ，由HL 证得Rt △AMD ≌Rt △AND 得出DM ＝DN ，即可得出结论；（3）作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，易证90AMB ANC ∠∠︒＝＝，由AAS 证得△AMB ≌△ANC 得出BM CN DN DC -＝＝，AM ＝AN ，由HL 证得Rt △AMD ≌Rt △AND 得出DM ＝DN ，即可得出结论．【详解】（1）解：∠BDC ＝∠CAB ；理由如下：∵180CAB ABC ACB ∠︒-∠-∠＝，180180()()BDC DBC DCB ABC ABE ACB ACF ∠︒-∠-∠︒-∠-∠-∠+∠＝＝，∠ABE ＝∠ACF ，∴180()()BDC ABC ABE ACD ACF ∠︒-∠-∠-∠+∠＝＝180ABC ACB ACF ABE ︒-∠-∠-∠+∠＝180ABC ACB CAB ︒-∠-∠∠＝∴BDC CAB ∠∠＝；（2）证明：作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，如图1所示：∵AM ⊥BD ，∴90AMB ANC ∠∠︒＝＝，在△AMB 和△ANC 中，ABM ACN AMB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ANC ()AAS ，∴BM ＝CN ＝DC +DN ，AM ＝AN ，在Rt △AMD 和Rt △AND 中，AM AN AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AMD ≌Rt △AND ()HL ，∴DM ＝DN ，∴BM ＝DM +DC ；（3）不成立，BM ＝DM ﹣DC ；理由如下：作AN ⊥CF 于N ，连接AD ，如图2所示：∵AM ⊥BD ，∴90AMB ANC ∠∠︒＝＝，在△AMB 和△ANC 中，ABM ACN AMB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ANC ()AAS ，∴BM CN DN DC -＝＝，AM ＝AN ，在Rt △AMD 与Rt △AND 中，AM AN AD AD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AMD ≌Rt △AND ()HL ，∴DM ＝DN ，∴BM DM DC -＝．【点睛】本题主要考查了角的和差倍分及三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键.四、填空题21.已知a m ＝3，a n ＝2，则m n a --＝_____． 【答案】16【解析】【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵3m a ＝，2n a ＝， ∴原式＝116m n a a =， 故答案为：16. 【点睛】本题主要考查了整式的幂运算，熟练掌握相关幂运算公式是解决本题的关键.22.如果在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D ，那么这两个三角形全等，这个事件是_____事件．（填“随机”“不可能”或“必然”）【答案】随机【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】如果在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠D ，那么这两个三角形全等，这个事件是随机事件．故答案为：随机.【点睛】本题主要考查了事件的定义，熟练掌握事件的区分方法是解决本题的关键.23.将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=____°．【答案】110．【解析】【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，∵∠4=∠5，∴∠4=∠5=12=70°， ∴∠2=110°，故答案为110°．【点睛】本题考查平行线及折叠的性质，掌握相关性质正确推理论证是解题关键．24.已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．【答案】21 nn++．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=131221-4211+⎛⎫⨯==⎪+⎝⎭，b2=2(1-a1)(1-a2)=314221-29321+⎛⎫⨯==⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n=21nn++．解：根据以上分析b n=2（1-a1）（1-a2）…（1-a n）=21 nn++．“点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b值时要先算出a的值，要注意a中n的取值．25.如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C 作直线BD的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为_____，最小值为_____．【答案】(1). 15 (2). 12【解析】【分析】设AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面积，根据S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB＝13，BC＝14，所以当BD＝BC＝14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值.【详解】设BD＝x，AE+CF＝y，AE＝m，CF＝n，则m+n＝y，∵由三角形面积公式，得1122ABDS BD AE xm⋅V＝＝，1122CBDS BD CF xn⋅V＝＝，∴22CBDABDSSm nx x∆∆==，，∴222168CBD ABCABDS SSy m nx x x x∆∆∆++==＝＝，即168yx＝．∵△ABC 中AC 边上的高为216856155ABC S AC ∆==， ∴x 的取值范围为56145x ≤≤． ∵m +n 随x 的增大而减小，∴当565x =时，y 的最大值为15，当x ＝14时，y 的最小值为12． 故答案为：15，12．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握相关等量关系并转化为反比例函数解析式是解决本题的关键.五、解答题26.如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ．如图②，现将与Rt △ABC 全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN ． （1）若Rt △ABC 的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？（2）若正方形EFMN 的边长为8，Rt △ABC 的周长为18，求Rt △ABC 的面积．【答案】（1）1213；（2）9 【解析】【分析】 （1）根据勾股定理得到c ，根据概率公式即可得到结论；（2）根据题意求出c ，得到a +b 的值，根据三角形的面积公式、完全平方公式计算，得到答案．【详解】（1）∵Rt △ABC 的两直角边之比均为23：，∴设23b k a k ＝，＝，由勾股定理得，222a b c +＝，∴13c k =，∴针尖落在四个直角三角形区域的概率是214231221313k k k ⨯⨯⨯=；（2）∵正方形EFMN 的边长为8，即c ＝8，∵Rt △ABC 的周长为18，∴a +b +c ＝18，∴a +b ＝10，则Rt △ABC 的面积＝22211[()()]924ab a b a b =+-+=． 【点睛】本题主要考查了概率的求解及乘法公式求几何图形面积，熟练掌握几何方法求概率及乘法公式的运用是解决本题的关键.27.有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A 、B 、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A 、B 两点同时同向出发，经过7min 同时到达C 点，乙机器人始终以60m/min 的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y （m ）与他们的行走时间x （min ）之间的图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A 、B 两点之间的距离是 m ，甲机器人前2min 的速度为 m/min ．（2）若前3min 甲机器人的速度不变，求出前3min ，甲、乙两机器人之间的距离y （m ）与他们的行走时间r （min ）之间的关系式．（3）求出两机器人出发多长时间相距28m ．【答案】（1）70，95；（2）y ＝35r ﹣70；（3）两机器人出发1.2或2.8或4.6min 时相距28m【解析】【分析】（1）根据图象结合题意，即可得出A 、B 两点之间的距离是70m ．设甲机器人前2min 的速度为xm /min ，根据2分钟甲追上乙列出方程，即可求解；（2）先求出F 点的坐标，再设线段EF 所在直线的函数解析式为y ＝k r +b ，将E 、F 两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解；（3）设(070)(70)D H ，，，，根据图象可知两机器人相距28m 时有三个时刻(0～2，2～3，4～7)分别求出DE 所在直线的解析式、GH 所在直线的解析式，再令y ＝28，列出方程求解即可．【详解】（1）由题意，可得A 、B 两点之间的距离是70m ．设甲机器人前2min 的速度为xm /min ，根据题意，得2(60)70x -＝，解得x ＝95．故答案为70，95；（2）若前3min 甲机器人的速度不变，由（1）可知，前3min 甲机器人的速度为95m /min ，则F 点纵坐标为：(32)(9560)35-⨯-＝，即(335)F ，． 设线段EF 所在直线的函数解析式为y kr b +＝，将(20)(335)E F ，，，代入， 20335k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 35b 70=⎧⎨=-⎩， 则线段EF 所在直线的函数解析式为3570y r -＝；（3）如图，设(070)(70)D H ，，，． ∵(070)(20)D E ，，，， ∴线段DE 所在直线的函数解析式为3570y x -+＝，∵(435)(70)G H ，，，， ∴线段GH 所在直线的函数解析式为3524533y x =-+， 设两机器人出发tmin 时相距28m ，由题意，可得357028x -+＝，或357028x -＝，或352452833x -+=， 解得t ＝1.2，或t ＝2.8，或t ＝4.6，即两机器人出发1.2或2.8或4.6min 时相距28m ．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握函数图象的分析及函数解析式的确定是解决本题的关键.28.在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连接AF ，求证：AF ⊥AD ． （2）如图1，在（1）的条件下，若CD ＝2BD ，S △ABD ＝10，求△BCE 的面积．（3）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，猜想线段AB 、AC 、AN 之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【答案】（1）见解析；（2）90；（3）AC ＝AB+2AN ，见解析【解析】【分析】（1）角平分线的定义得出∠BAD ＝∠CAD ，由平行线的性质得出∠BAD ＝∠E ，∠CAD ＝∠ACE ，则∠E ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质得出AC ＝AE ，AF ⊥EC ，推出90AFE FAD ∠∠︒＝＝，即可得出结论； （2）求出BC ＝3BD ，证出△ABD ∽△EBC ，则ABD EBC S S =V V 21()9BD BC =，即可得出结果； （3）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F ，则∠MBF ＝∠C ，∠F ＝∠MNC ，由中点得出BM ＝CM ，由AAS 证得△BFM ≌△CNM 得出BF ＝CN ，由MN ∥AD ，得出∠BAD ＝∠E ，∠CAD ＝∠MNC ＝∠ANE ，则∠E ＝∠ANE ＝∠F ，得出AE ＝AN ，BE ＝BF ，推出BF ＝AB +AN ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ∥AD ，∴∠BAD ＝∠E ，∠CAD ＝∠ACE ，∴∠E ＝∠ACE ，∴AC ＝AE ，∵F 为EC 的中点，∴AF ⊥EC ，∵AD ∥EC ，∴90AFE FAD ∠∠︒＝＝，∴AF⊥AD；（2）解：∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，∴AD∥CE，∴△ABD∽△EBC，∴221139ABDEBCS BDS BC⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭VV，∴991090BCE ABDS S⨯V V＝＝＝；（3）解：AC＝AB+2AN；理由如下：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，如图2所示：∴∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，在△BFM和△CNM中，F MNCMNF CBM CM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFM≌△CNM(AAS)，∴BF＝CN，∵MN∥AD，∴BAD E∠∠＝，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，∴∠E＝∠ANE＝∠F，∴AE＝AN，BE＝BF，∴BF＝AB+AN，∴2AC AN CN AN BF AB AN+++＝＝＝．【点睛】本题主要考查了角平分线，三角形相似的判定及性质，三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形相关综合问题的求解是解决本题的关键.。