八年级数学下册 7.3 根号2是有理数吗 拓展资料 无理数素材 (新版)青岛版
青岛版(新)数学八年级下册 7.3根号2是有理数吗
青岛版（新）数学八年级下册 7.3 根号2是有理数吗引言在数学中，有两种主要的数的类型：有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能用有限的整数比值来表示。
根号2是一个经典的无理数，但在本文中，我们将探讨根号2是否也可以是有理数。
什么是有理数？有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数可以是正数、负数或零。
例如，1、-3、2/5都是有理数。
有理数的特点： 1. 有理数可以写成分数或整数的形式。
2. 有理数的十进制表示要么是有限的，要么是循环的。
什么是无理数？无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数不能用分数或整数的形式来表示，其十进制表示也是无限不循环的。
例如，pi（圆周率）和根号2都是无理数。
无理数的特点： 1. 无理数不能表示为分数或整数的形式。
2. 无理数的十进制表示是无限不循环的。
根号2是否是有理数？在探讨根号2是否是有理数之前，我们首先来看看根号2的性质。
根号2的十进制表示根号2的精确值是无法用有限小数表示的，但可以用无限循环小数来近似表示为1.4142135…。
这个无限循环小数的十进制表示并没有任何规律可循，因此我们可以初步猜测根号2是无理数。
反证法证明根号2是无理数为了证明根号2是无理数，我们将采用反证法的方法。
假设根号2是有理数，那么可以写成一个分数的形式：根号2 = a/b （a、b为整数，并且a和b互质）我们可以将上式平方，得到：2 = (a2)/(b2) （a^2表示a的平方）进一步变形得：a^2 = 2 * b^2这意味着，a的平方是2的倍数。
根据整数的性质，a的平方也必然是2的倍数。
那么，a本身也必然是2的倍数。
我们用a = 2c（c为整数）代入上式得：(2c)^2 = 2 * b^2化简：4c^2 = 2 * b^2可以继续化简得：2c^2 = b^2这意味着b的平方也是2的倍数。
同样地，b本身也必然是2的倍数。
我们可以继续这个过程，得出结论a和b都必然是无穷大的2的倍数。
[配套K12]八年级数学下册 7.3 根号2是有理数吗 课外资料 无理数e素材 (新版)青岛版
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无理数ee是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828……，是这样定义的：当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828……，不信你用计算器计算一下，分别取n=1,10,100,1000。
但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。
以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。
这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。
这个e究竟是何方神圣呢？在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。
教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。
课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个e，正是我们故事的主角。
不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢？这就要从古早时候说起了。
至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。
那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。
但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。
青岛版八下数学7.3根号2是有理数吗教学设计3
青岛版八下数学7.3根号2是有理数吗教学设计3一. 教材分析《青岛版八下数学》第7.3节介绍了无理数的概念，特别是根号2是一个无理数。
本节课的教学内容主要包括：理解无理数的概念，理解根号2是无理数，掌握无理数的表示方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的概念，对数学中的概念有了一定的理解能力。
但是，对于无理数的概念，学生可能比较陌生，需要通过实例来理解和掌握。
三. 教学目标1.理解无理数的概念，理解根号2是无理数。
2.掌握无理数的表示方法。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：理解无理数的概念，理解根号2是无理数，掌握无理数的表示方法。
2.教学难点：理解无理数的概念，通过实例让学生理解根号2是无理数。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握无理数的概念和表示方法。
六. 教学准备1.准备相关的实例，如根号2的近似值，以及其他无理数的实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示根号2的近似值，引导学生思考：为什么根号2不能表示为一个分数？通过这个问题，引出无理数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现无理数的定义，让学生阅读教材，理解无理数的概念。
然后，通过实例，让学生理解根号2是无理数。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个无理数的实例，并解释为什么这个数是无理数。
讨论结束后，每组汇报他们的讨论结果。
4.巩固（10分钟）让学生完成教材上的练习题，巩固无理数的概念和表示方法。
5.拓展（10分钟）让学生思考：无理数在实际生活中有什么应用？引导学生联系生活实际，理解无理数的重要性。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，教师进行点评。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的家庭作业，让学生进一步巩固无理数的概念和表示方法。
青岛版八下数学7.3根号2是有理数吗说课稿3
青岛版八下数学7.3根号2是有理数吗说课稿3一. 教材分析青岛版八下数学7.3节的内容是“根号2是有理数吗”。
本节内容是在学生学习了实数、无理数、有理数等概念的基础上，引导学生进一步探讨无理数的性质，通过推理、论证的方式，让学生理解并掌握根号2是无理数这一知识点。
教材通过实例分析，让学生感受无理数的实际存在，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基本概念，对无理数有了初步的认识。
但是，学生对无理数的理解仍停留在表面，对无理数的性质和特点不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入探讨无理数的性质，通过实例让学生感受无理数的实际存在，提高学生的理解能力和应用能力。
三. 说教学目标1.让学生理解无理数的概念，掌握无理数的特点。
2.引导学生通过推理、论证的方式，证明根号2是无理数。
3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：引导学生理解无理数的概念，掌握无理数的特点；证明根号2是无理数。
2.教学难点：引导学生运用逻辑推理的方式，证明根号2是无理数。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究无理数的性质。
2.运用实例分析，让学生感受无理数的实际存在。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体课件，辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习实数、有理数、无理数的概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探讨无理数的性质：教师提出问题，引导学生探讨无理数的性质，学生通过小组合作、讨论交流，总结出无理数的特点。
3.证明根号2是无理数：教师引导学生运用逻辑推理的方式，证明根号2是无理数。
学生在教师的引导下，通过举例、分析、推理，得出结论。
4.实例分析：教师给出实例，让学生运用所学知识，判断实例中的数是有理数还是无理数，从而加深学生对无理数概念的理解。
八年级数学下册732根号2是有理数吗课件新版青岛版
7.3.2 根号2是有理数吗
课前准备
1.在数0,1，0.1235， 2， 5， 7， 25 中无理数的 个数为（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.边长为1的正方形的对角线是（ ）
A.整数 B.有理数 C.分数 D.无理数
3、求出下列图形中线段 c的长度
c
c
1
┌
1
1
┌
2
c= __2_
c=___5_
c1
1 c=___2_
c
1
2 c=__5__
学习目标
1.用不同的方法理解无理数 2，3，5 等的几何解释. 2.会利用勾股定理在数轴上或方格纸上表示 2，3，5 等无理数，感悟数形结合的思想 .
自主学习
一、自学教材第52页-53页内容，完成下列题目：
1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩 形对角线）
（3）请你作出长度分别为 7 和 10 的线段。
1
0
1 2 32 5
观察数轴，数轴上的点表示了哪些数？它们分别 是什么数？因此，你能得出什么结论？与同学交流。
数轴上的并不都表示有理数，无理数也可以用 数轴上的点表示。
想一想：你能在数轴上标出表示5 的点吗？
例题精讲
例1、如图 方格纸上每个小正方形的边长都是1。
边的长可为
较为简单.
3、任何一个无理数都可以用
的点来
表示，数轴上除去表示有理数的点以外，其他
的点表示的数都是
.
合作释疑
已知：单位长度为1的线段
1
（1）你能作出长度为 2 的线段吗？ 5 呢？
1
5
5
1┐
八级数学下册 7.3 根号2是有理数吗导学案2(无答案)(新版)青岛版
7.3 2是有理数吗【学习目标】1.理解并能对无理数2、3、5、7作出几何解释；2.能在数轴上标出2、3等无理数。
【课前预习】任务一：阅读教材第52－55页内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面的横线上：任务二：阅读课本52－53页的内容，尝试解决下列问题。
1.给出单位长度为1的线段，的线段吗？试一试你能有几种方法？2.在数轴上标出2、3等无理数。
我们已经知道有理数可以在数轴上表示，那么数轴上只能表示有理数吗？能在数轴上标出2、3等无理数吗？开动脑筋试一试吧？3.你能作出长度为10的线段吗？任务三：阅读课本53页例题2，不看课本的解答自己在下面独立做一遍。
任务四：尝试在数轴上找出表示π的点【课中探究】问题一：怎样利用勾股定理作出长度为2、310……的线段1.画出图7－9，并说出所得线段长度。
2.画出图7－10，并说出所得线段长度。
3.怎样画长度为13的线段？问题二：在数轴上找到表示2、310……的点4.请你画出一条数轴，并在数轴上找到表示2的点5.利用同样的方法找出表示310……的点问题三：利用方格纸中的格点求线段的长度6.请独立完成例2.问题四：知识应用7.独立完成课后练习1、2题【当堂检测】一、选择题（每题4分，共8分）1.下列命题中正确的是（）A BC A.有限小数是有理数 B.数轴上的点与有理数一一对应C.无限小数是无理数D.数轴上的点与实数一一对应2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（每题3分，共15分）3.无理数是指 。
4.数轴上的点并不都表示 ， 也可以用数轴上的点表示。
5.直角三角形有两边长为3和4，则第三边长为 。
6.把下列各数0、12、227、π、0.3、35-、2有理数集合：{…} 无理数集合：{ …}7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.三、解答题（7分）8.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出1352===EF CD AB 、、这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.【课后巩固】1.如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（ ）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.b＜a＜c2．（2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．3.下图由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度．4.△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高为12，求BC的长度。
青岛版八年级数学下册7.3根号2是有理数吗(2)
1.判断正误： （1）所有的无理数都能在数轴上表示.（对） （2）数轴上的点都表示无理数.（ 错 ） (3)数轴上除去表示有理数的点以外，其他 的点表示的数都是无理数.( 对 ) 2.已知A(4,0), B(0,1),则A,B两点的距离为 （ 17 ）
学以致用：
例1、如图 方格纸上每个小正方形的边长都是1。 （1）分别求出A到B、 C、D、E、F各点的距离。 （2）以A、B、C、D、E、F中的任意三个点为 顶点作三角形，其中有没有等腰三角形？如果 A 有，写出这些三角形。
步骤 1、在数轴上找到点A,使OA=2;
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=1; 3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧 与数轴交于C点，则点C即为表示 5 的点。
观察数轴，数轴上的点表示了哪些数？ 因此，你能得出什么结论？
0
1
2
32 5
任何一个无理数都可以用 数轴上的点来表示，数轴 上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都 是 无理数 .
通过本节课的学Βιβλιοθήκη ，你有什么收获？FE
D
C B
解（1）由图可知：AB=3 由勾股定理，得：AC= 42 12 17 2 2 AD= 4 2 20 AE= 42 32 5
2 2 AF= 2 3 13
（2）△BEF是等腰三角形，这是因为 BE= BF=
32 12 10
32 12 10
此外，△CEF与△BDF也是等腰三角形。
自主学习：
自学教材第52页-53页内容，完成学 案上自主学习部分。
交流展示：
线段 （1）你能作出长度为
3
1
2
的线段吗？ 3 呢？ 5 呢？ 1┐
5
八年级数学下册7.3.2根号2是有理数吗同步练习青岛版
7。
3.2根号2是有理数吗1、估计的值在（)之间．A. 1与2之间 B。
2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间2、判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（)A．22、23 B．23、24 C．24、25 D．25、263。
11的整数部分为a，小数部分为b，则b2为（ )A．2 B．20 C．20－611 D．20+6114、估计76的大小应在( )A.7~8之间B.8.0～8。
5之间 C。
8.5～9。
0之间 D. 9。
0~9。
5之间5、大于且小于的整数是 2 ．6、比较大小，填＞或＜号:119 11；22．337、满足3-x的整数是．2<<参考答案1。
C 2。
C 3。
C 4.C 5. 2 6。
＜；＞ 7. －1 0 1.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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无理数
500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1∶x =x ∶2，那么x 叫1和2的比例中项)，他怎么也想不出这个比例中项值.后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，于是由毕达哥拉斯定理x 2=12+12=2,他想x 代表对角线的长，而x 2=2，
那么x 必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x 是整数吗？为什么不是？
（2）x 可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？
亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
31
1．因为363125<<,315与6之间,等于5加上一个纯小数.
2．设315a =+,平方得2312510a a =++,由于a 是纯小数,所以2a 就更小了,在估算31312510,a =+解得0.6a =31一个近似值5.6 .
3 5.6b =+，平方得223131.3611.2,b b b =++可忽略不计.求
出0.03,b =-得到第2个估计值5.60.03 5.57-=，照此下去,点后面第三位,第四位,……的近似值.
.
拓展训练
设半径为a 的圆面积为20π．
（1）a 是有理数吗？说说你的理由．
（2）估计a 的值（精确到十分位，并利用计算器验证你的估计）．
（3）如果精确到百分位呢？
解：∵πa 2=20π
∴a2=20
（1）a不是有理数，因为a既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数．
（2）估计a≈4.4
（3）a≈4.47
请你算一算
在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划Array线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你
算一算：
（1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？
（2）如果精确到百分位呢？
答案（1）1.7米（2）1.73米
课后探究：读一读，你有何收获?
24=25吗?
小明自豪地对同学说:“我可以证明24=25.”同学们都觉得是天方夜谭.
小明取一张方格纸如下图(1),如图将它剪开,然后拼成图(2)的正方形.同学们数了一下,
?
图(1) 有24个方格,图(2)变成了25个方格.这把同学们都搞闷了,你能揭穿他的骗术吗Array你想出来了吗？
事实上，3，4两块并不密切合缝，拼成的正方形缺少了图中的阴影部分。
2
开卷有益：
是谁最早使用符号π表示圆周率?
无理数π表示圆周率.是从什么时候开始用π表示圆周率的呢？为什么用字母π呢?
1600年英国的威廉.奥托兰特（Willian Oughtred）首先使用π
∂
表示圆周率，他的理由
是，因为π是希腊文圆周的第一个字母，奥托兰特用它表示圆周长，而δ是希腊文直径的
第一个字母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率=圆周长
直径
，
π
∂
理解为圆周率,但在推求
圆周率的过程中,人们常选用直径为1的圆,即设δ=1,于是就等于π了.
1706年英国的数学家威廉.琼斯(WillianJones,1675~1749)首先改用π表示圆周率,后来被数学家们所接受,一直沿用至今.。