2015高考数学(理)一轮题组训练：5-1平面向量的概念及其线性运算

第五篇 平面向量
第1讲 平面向量的概念及其线性运算
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则EF →可用OF →与OE →
表示为________． 解析 由图可知EF →＝OF →－OE →
.
答案 EF →＝OF →－OE →
2.(2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于________．
解析 因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 CF →
3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．
解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案 充分不必要
4．(2013·大连联考)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →
＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则a 、b 、c 、d 四个向量满足的关系为________．
解析 依题意得，AB →＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →
＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →
＝0，则a －b ＋c －d ＝0. 答案 a －b ＋c －d ＝0
5．(2014·宿迁质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →
，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．
解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →
，也就是 △ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.
答案 3
5
6．(2014·湖州月考)给出下列命题： ①向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等；
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB →与向量CD →
是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB →与BA →
为相反向量，
∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤
7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝________.(用a ，b 表示)
解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋1
2b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .
答案 －14a ＋14b
8．(2014·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →
＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧
2＝2λ，
p ＝－λ，∴p ＝－1.
答案 －1 二、解答题
9．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1
3(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？
解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝1
3(a ＋b )，
∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋1
3b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →
. 即－23a ＋1
3b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa . 又∵a 与b 为不共线的非零向量， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，1
3＝λt
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2
3，t ＝1
2.
∴当t ＝1
2时，三向量终点在同一直线上．
10．如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →
.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →
.
解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM →＝13BC →
＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ， MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1.如图所示，在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD →＝2DB →，CD →＝13CA →
＋λCB ，则λ＝________.
解析 因为CD →＝CA →＋AD →
＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →) ＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23. 答案 2
3
2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →
＋(1－x )AC →
，则实数x 的取值范围是________．
解析 设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →
，又AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →
.所以λ＝1－x ＞1，得x ＜0. 答案 (－∞，0)
3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →
|，则△ABC 的形状为________．
解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →
， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．
答案 直角三角形 二、解答题
4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →
＝a ， AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.
解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →
＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)
＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ
2b .
又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →) ＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m
2a ＋(1－m )b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－λ＝m 2，1－m ＝λ
2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋1
3b .。