2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析
2019-2020学年浙江省宁波市余姚姚中书院高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分类变量和的列联表如下，则(A)越小，说明与的关系越弱(B)越大，说明与的关系越强(C)越大，说明与的关系越强(D)越接近，说明与关系越强参考答案：C2. 不等式log(–x ) < 2的解集是（）（A）[ - 1，) （B）( - 1，) （C）(，) （D）[ - 1，)参考答案：A2.下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知两个正数a，b满足，则的最小值是A. 23B. 24C. 25D. 26参考答案：C【分析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．【详解】根据题意，正数a，b满足，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是25．本题选择C选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6. 直线,当m变动时，所有直线都经过的定点坐标为（▲）A．(－2,1) B．(1,2) C．(1,－2) D．(2,1)参考答案：A7. 已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定参考答案：B由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.8. 在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，第6组为，故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．故选：C．9. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了一个容量为的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )．A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有________参考答案：576种略12. 在各棱长都等于1的正四面体中，若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案：略13. 将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案：4514. 坐标原点到直线4x+3y﹣15=0的距离为_________．参考答案：3略15. 已知偶函数的定义域为R,满足，若时，，则参考答案：3略16. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则= .参考答案：4略17. 设的夹角为;则等于______________.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题(PDF)答题卡
正确填涂
缺考标记
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余姚中学2019学年第二学期高二期中考试数学答题卷
姓名： 班级： 考场/座位号：
注意事项
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 答题区域书写无效。
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题列出的四个选项只有一个符合题目要求的，不 选、错选、多选均不得分。）
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
浙江省宁波市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
浙江省宁波市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某单位36名员工分为老年、中年、青年三组，人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至多有一人被抽到的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高二下·宁德期中) 若f（x）=2xf′（1）+x2 ，则f′（0）等于（）A . 2B . 0C . ﹣2D . ﹣43. （2分）在UNTIL语句的一般形式“LOOP UNTIL M”中，M表示（）A . 循环变量B . 循环体C . 终止条件D . 终止条件为真4. （2分）口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是（）A . 0.42B . 0.28C . 0.7D . 0.35. （2分）已知f（x）=logax（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=f（a+1）﹣f（a），C=f′（a+1）则（）A . A＞B＞CB . A＞C＞BC . B＞A＞CD . C＞B＞A6. （2分）(2017·南充模拟) 一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高二上·集宁期末) 若函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数y=f（x）的极值点的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2015高二下·会宁期中) 把x=﹣1输入程序框图可得（）A . ﹣1B . 0C . 不存在D . 19. （2分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为（）A . 25%B . 30%C . 35%D . 40%11. （2分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A .B .C .D .12. （2分） f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意的正数a ﹑b ，若a ＜ b，则必有（）A . a f (a)≤b f (b)B . a f (a)≥b f (b)C . a f (b)≤b f (a)D . a f (b)≥b f (a)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·双流期中) 若a，b在区间（0，1）内，则椭圆 =1（a＞b＞0）与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点的概率为________．14. （1分） (2015高二下·咸阳期中) 函数f（x）=sin（4x﹣2），则f′（x）=________．15. （1分）已知对任意的恒成立，则实数的最大值为________．16. （1分） (2017高二下·中山期末) 直线是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分） (2017高二上·汕头月考) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为 =105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．18. （10分）(2019·全国Ⅰ卷文) 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。
2020年浙江省宁波市余姚中学高二(下)期中数学试卷解析版
=480 种情况；
若甲乙两人都参加，有
=240 种情况，
其中甲乙相邻的有
=120 种情况；
则不同的发言顺序种数 480+240-120=600 种， 故选 C．
10.【答案】C
【解析】【分析】 本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压 轴题． 由新定义可得，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0 ，末项为 1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个 1，然后一一列举得答案． 【解答】 解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项 为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1；
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19. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2=14，且 an=（ + ）Sn-2n-1（n∈N*） （1）求 ， ， ； （2）由（1）猜想数列{ }的通项公式，并用数学归纳法证明．
20. 若( ＋ )n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有 x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．
15. 计算 +2 +3 +…+n ，可以采用以下方法：构造等式： + x+ x2+…+ xn=
（1+x）n，两边对 x 求导，得 +2 x+3 x2+…+n xn-1=n（1+x）n-1，在上式中令 x=1
，得 +2 +3 +…+n =n•2n-1．类比上述计算方法，计算 +22 +32 +…+n2
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二(下)第一次质检数学试卷(3月份)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二（下）第一次质检数学试卷（3月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）若复数z= a+3i1+2i（a∈R）实部与虚部相等.则a的值等于（）A.-1B.3C.-9D.92.（单选题.4分）曲线y= 12x2 -2x在点（1.- 32）处切线的倾斜角为（）A.1B.45°C.-45°D.135°3.（单选题.4分）下列求导运算正确的是（）A.（cosx）′=sinxB. (ln2x)′=1xC.（3x）′=3x log3eD.（x2e x）′=2xe x4.（单选题.4分）下列推理正确的是（）A.把a（b+c）与log a（x+y）类比.则有：log a（x+y）=log a x+log a yB.把a（b+c）与sin（x+y）类比.则有：sin（x+y）=sinx+sinyC.把（ab）n与（a+b）n类比.则有：（x+y）n=x n+y nD.把（a+b）+c与（xy）z类比.则有：（xy）z=x（yz）5.（单选题.4分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时.假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度6.（单选题.4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）.下面四个图象中.y=f（x）的图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.4分）已知函数f（x）=asinx-x（a∈R）.则下列错误的是（）A.无论a取何值f（x）必有零点B.无论a取何值f（x）在R上单调递减C.无论a取何值f（x）的值域为RD.无论a取何值f（x）图象必关于原点对称8.（单选题.4分）桌面上有3枚正面朝上的硬币.如果每次用双手同时翻转2枚硬币.那么无论怎么翻转（）A.都不可能使3枚全部正面朝上B.可能使其中2枚正面朝上.1枚反面朝上C.都不可能使3枚全部反面朝上D.都不可能使其中1枚正面朝上.2枚反面朝上9.（单选题.4分）已知a.b∈（0.e）.且a＜b.则下列式子中正确的是（）A.alnb＜blnaB.alnb＞blnaC.alna＞blnbD.alna＜blnb10.（单选题.4分）函数f（x）=（x2-3）e x.当m在R上变化时.设关于x的方程f2（x）-mf （x）- 12e2=0的不同实数解的个数为n.则n的所有可能的值为（）A.3B.1或3C.3或5D.1或3或511.（填空题.6分）若复数z满足z（1-i）=1+2i（i为虚数单位）.则复数z在复平面上对应的点位于第___ 象限；|z|=___ ．12.（填空题.6分）若f(n)=1+12+13+⋯+13n−1(n∈N∗) .用数学归纳法验证关于f（n）的命题时.第一步计算f（1）=___ ；第二步“从n=k到n=k+1时”.f（k+1）=f（k）+___ ．13.（填空题.6分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0.则m=___ .n=___ ．14.（填空题.6分）已知函数f（x）=x3-ax+2.若函数f（x）的一个单调递增区间为（1.+∞）.则实数a的值为___ .若函数f（x）在（1.+∞）内单调递增.则实数a的取值范围是___ ．15.（填空题.4分）已知函数f（x）= 12x-sinx.x∈（0.π）.则f（x）的最小值为___ ．16.（填空题.4分）已知数列{a n}的前n项和为S n.首项a1=−23 .且S n+1S n+2=a n(n≥2) .则S2019=___ ．17.（填空题.4分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a.b]上的两个函数.若对任意的x∈[a.b].都有|f（x）-g（x）|≤k（k＞0）.则称f（x）与g（x）在[a.b]上是“k度和谐函数”.[a.b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）= mx−1x 在[ 1e.e]上是“e度和谐函数”.则m的取值范围是___ ．18.（问答题.14分）已知复数z=(1+i)2+3(1−i)（i为虚数单位）．2+i（1）求z；（2）若z2+az+b=1+i.求实数a.b的值．19.（问答题.15分）设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数.其图象在点（1.f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直.导函数f′（x）的最小值为-12．（1）求a.b.c的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间.并求函数f（x）在[-1.3]上的最大值和最小值．20.（问答题.15分）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）e x-x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点.求a的取值范围．21.（问答题.15分）已知数列{a n}满足.a1=2. a n+1=(√2−1)(a n+2)(n∈N∗)．（1）求{a n−√2}的通项公式；(n∈N∗) .求证：√2＜b n≤a4n−3(n∈N∗)．（2）在数列{b n}中.b1=2.b n+1= 3b n+42b n+322.（问答题.15分）已知函数f（x）=（x-3）e x-x2+4x.g（x）=xe x-5x+1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调减区间；（Ⅱ）证明：f（x）＜g（x）；（Ⅲ）当x∈（-∞.3）时.f（x）≤ax-3恒成立.求实数a的值．2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二（下）第一次质检数学试卷（3月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）若复数z= a+3i1+2i（a∈R）实部与虚部相等.则a的值等于（）A.-1B.3C.-9D.9【正确答案】：A【解析】：首先进行复数的除法运算.分子和分母同乘以分母的共轭复数.整理出最简形式.根据复数的实部和虚部相等.得到关于a的方程.解方程即可．【解答】：解：∵复数a+3i1+2i = (a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)= a+6+(3−2a)i5.复数的实部与虚部相等.∴a+6=3-2a.解得a=-1；故选：A．【点评】：本题考查复数的概念.本题解题的关键是写出复数的代数形式的标准形式.求出复数的实部和虚部.得到结果．2.（单选题.4分）曲线y= 12x2 -2x在点（1.- 32）处切线的倾斜角为（）A.1B.45°C.-45°D.135°【正确答案】：D【解析】：本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化.要求曲线y=12x2−2x在点（1. −32）处切线的倾斜角.我们可以先求出曲线方程的导函数.并计算出点（1. −32）的斜率即该点的导数值.然后再计算倾斜角．【解答】：解：∵ y=12x2−2x∴y'=x-2∴y'|x=1=1-2=-1即曲线y=12x2−2x在点（1. −32）处切线的斜率为：-1故曲线y=12x2−2x在点（1. −32）处切线的倾斜角为：135°故选：D．【点评】：要计算曲线切线的倾斜角.其步骤为：① 求出曲线方程的导函数② 求出切点处的导数.即切线的斜率③ 根据斜率与倾斜角的关系.求出直线的倾斜角．3.（单选题.4分）下列求导运算正确的是（）A.（cosx）′=sinxB. (ln2x)′=1xC.（3x）′=3x log3eD.（x2e x）′=2xe x【正确答案】：B【解析】：根据题意.依次分析选项.计算选项中函数的导数.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.（cosx）′=-sinx.A错误；对于B.（ln2x）′=（2x）′× 12x = 1x.B正确；对于C.（3x）′=3x ln3.C错误；对于D.（x2e x）′=（x2）′e x+x2（e x）′=（2x+x2）e x.D错误；故选：B．【点评】：本题考查导数的计算.关键是掌握函数的导数计算公式．4.（单选题.4分）下列推理正确的是（）A.把a（b+c）与log a（x+y）类比.则有：log a（x+y）=log a x+log a yB.把a（b+c）与sin（x+y）类比.则有：sin（x+y）=sinx+sinyC.把（ab）n与（a+b）n类比.则有：（x+y）n=x n+y nD.把（a+b）+c与（xy）z类比.则有：（xy）z=x（yz）【正确答案】：D【解析】：分别利用运算的法则：A利用对数的运算性质；B利用两角和差的正弦公式；C利用二项式定理；D利用乘法结合律.逐个进行验证.判断每个小题的正误．【解答】：解：根据对数的运算性质可得log a（x+y）=log a x+log a y不正确.即A不正确．由两角和差的正弦公式可得 sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny.故B不正确．由二项式定理可得（x+y）n=x n+y n不正确.即C不正确．根据乘法结合律可得（xy）z=x（yz）.故D正确.故选：D．【点评】：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质.得出一个明确的命题（猜想）.其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．结论的正确与否.必须经过证明．5.（单选题.4分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时.假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度【正确答案】：B【解析】：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】：解：根据反证法的步骤.假设是对原命题结论的否定.“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．【点评】：本题考查反证法的概念.逻辑用语.否命题与命题的否定的概念.逻辑词语的否定．6.（单选题.4分）已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）.下面四个图象中.y=f（x）的图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：通过观察函数y=xf′（x）的图象即可判断f′（x）的符号以及对应的x的所在区间.从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间.所以观察选项中的图象.找出符合条件的即可．【解答】：解：由图象看出.-1＜x＜0.和x＞1时xf′（x）＞0；x≤-1.和0≤x≤1时xf′（x）≤0；∴-1＜x≤1时.f′（x）≤0；x＞1.或x≤-1时.f′（x）≥0；∴f（x）在（-1.1]上单调递减.在（-∞.-1].（1.+∞）上单调递增；∴f（x）的大致图象应是B．故选：B．【点评】：考查观察图象的能力.对于积的不等式xf′（x）≥0.（或xf′（x）≤0）的求解.函数导数符号和函数单调性的关系．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=asinx-x（a∈R）.则下列错误的是（）A.无论a取何值f（x）必有零点B.无论a取何值f（x）在R上单调递减C.无论a取何值f（x）的值域为RD.无论a取何值f（x）图象必关于原点对称【正确答案】：B【解析】：根据f（0）=0知函数有零点.判断A正确；根据-1≤a≤1时f′（x）＜0.f（x）单调递减.否则.f（x）单调增函数.判断B错误；根据f（x）是奇函数.且f（x）在R上是单调函数.判断C正确；根据f（x）是定义域R上的奇函数.判断D正确．【解答】：解：函数f（x）=asinx-x（a∈R）.且f（0）=0.∴无论a取何值f（x）必有零点.A正确；f′（x）=acosx-1.当-1≤a≤1时f′（x）＜0.f（x）在R上单调递减.否则.f（x）可能是单调增函数.B错误；-1≤a≤1时f′（x）＜0.f（x）在R上单调递减.值域是R；a＞1或a＜-1时.f′（x）＜0不恒成立.∴无论a为何值.f（x）=asinx-x在R上的值域是R.C正确；f（x）=asinx-x的定义域是R.且f（-x）=-f（x）.∴f（x）是定义域R上的奇函数.图象关于原点对称.D正确．故选：B．【点评】：本题利用命题的真假判断考查了函数的零点以及单调性和值域应用问题.是中档题．8.（单选题.4分）桌面上有3枚正面朝上的硬币.如果每次用双手同时翻转2枚硬币.那么无论怎么翻转（）A.都不可能使3枚全部正面朝上B.可能使其中2枚正面朝上.1枚反面朝上C.都不可能使3枚全部反面朝上D.都不可能使其中1枚正面朝上.2枚反面朝上【正确答案】：C【解析】：根据翻转时一个没有翻转.则不可能使3枚全部反面朝上．【解答】：解：因为翻转两个.另一个不翻转的是正面朝上.则都不可能使3枚全部反面朝上. 故选：C．【点评】：本题考查合情推理.属于基础题．9.（单选题.4分）已知a.b∈（0.e）.且a＜b.则下列式子中正确的是（）A.alnb＜blnaB.alnb＞blnaC.alna＞blnbD.alna＜blnb【正确答案】：B【解析】：先构造函数f(x)=lnxx.利用导数判断函数在（0.e）上的单调性.即可得到alnb＞blna.再构造函数g（x）=xlnx.判断函数的单调性.即可解决．【解答】：解：设f(x)=lnxx .则f′(x)=1−lnxx2.在（0.e）上.f'（x）＞0.f（x）单调递增.所以f（a）＜f（b）.即lnaa ＜lnbb，blna＜alnb；设g（x）=xlnx.则g'（x）=1+lnx.当x∈(0，1e)时.g'（x）＜0.g（x）单调递减.当x∈(1e，e)时.g'（x）＞0.g（x）单调递增.∴C.D均不正确.故选：B．【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系.以及导数的应用.属于中档题．10.（单选题.4分）函数f（x）=（x2-3）e x.当m在R上变化时.设关于x的方程f2（x）-mf（x）- 12e2=0的不同实数解的个数为n.则n的所有可能的值为（）A.3B.1或3C.3或5D.1或3或5【正确答案】：A【解析】：求f （x ）的导数.单调区间和极值.作出f （x ）的图象.令t=f （x ）.则t 2-mt- 12e 2 =0.由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根.结合图象可得原方程实根的个数．【解答】：解：函数f （x ）=（x 2-3）e x 的导数为f′（x ）=（x+3）（x-1）e x . 当x ＞1或x ＜-3时.f′（x ）＞0.f （x ）递增； 当-3＜x ＜1时.f′（x ）＜0.f （x ）递减．即有f （x ）在x=1处取得极小值-2e ；在x=-3处取得极大值6e -3. 作出f （x ）的图象.如图所示； 关于x 的方程f 2（x ）-mf （x ）- 12e 2 =0. 由判别式为m 2+ 48e 2 ＞0.方程有两个不等实根. 令t=f （x ）.则t 2-mt- 12e 2 =0.t 1t 2=- 12e 2 ＜0. 则原方程有一正一负实根．当t ＞6e -3.y=t 和y=f （x ）有一个交点. 当0＜t ＜6e -3.y=t 和y=f （x ）有三个交点. 当-2e ＜t ＜0时.y=t 和y=f （x ）有两个交点. 当t ＜-2e 时.y=t 和y=f （x ）没有交点.则x 的方程f 2（x ）-mf （x ）- 12e 2 =0的实根个数为3． 故选：A ．【点评】：本题考查方程的根的个数的判断.考查函数方程的转化思想.注意运用二次方程的判别式和韦达定理.考查数形结合的思想方法.是综合性题目．11.（填空题.6分）若复数z 满足z （1-i ）=1+2i （i 为虚数单位）.则复数z 在复平面上对应的点位于第___ 象限；|z|=___ ． 【正确答案】：[1]二; [2]√102【解析】：直接利用复数的运算的应用求出结果．【解答】：解：复数z满足z（1-i）=1+2i.整理得z= 1+2i1−i = (1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−1+3i2=- 12+32i .故该复数对应的点在第二象限.|z|= √(−12)2+(32)2=√102．故答案为：二；√102．【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算的应用.复数的几何意义和复数的模的求法.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．12.（填空题.6分）若f(n)=1+12+13+⋯+13n−1(n∈N∗) .用数学归纳法验证关于f（n）的命题时.第一步计算f（1）=___ ；第二步“从n=k到n=k+1时”.f（k+1）=f（k）+___ ．【正确答案】：[1] 32 ; [2] 13k+ 13k+1+ 13k+2【解析】：当n=k时.f（k）=1+ 12+13+…+ 13k−1.当n=k+1时.f（k+1）的最后的项为13k+2.结合分母为连续的自然数得答案．【解答】：解：f（1）=1+ 12=32；假设当n=k时.f（k）=1+ 12+13+…+ 13k−1.那么.当n=k+1时.f（k+1）=1+ 12+13+…+ 13k−1+ 13k+13k+1+13k+2.f（k+1）=f（k）+ 13k +13k+1+13k+2.故答案为：32；13k+13k+1+13k+2．【点评】：本题考查数学归纳法.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是基础题．13.（填空题.6分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0.则m=___ .n=___ ．【正确答案】：[1]2; [2]9【解析】：对函数进行求导.根据函数f（x）在x=-1有极值0.可以得到f（-1）=0.f′（-1）=0.代入求解即可【解答】：解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得 {f (−1)=0f′(−1)=0 即 {−1+3m −n +m 2=03−6m +n =0解得 {m =2n =9 或 {m =1n =3当m=1.n=3时函数f （x ）=x 3+3x 2+3x+1.f′（x ）=3x 2+6x+3=3（x+1）2≥0 函数在R 上单调递增.函数无极值.舍 故答案为：2 9【点评】：本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值⇒f′（x 0）=0．反之结论不成立.即函数有f′（x 0）=0.函数在该点不一定是极值点.（还得加上在两侧有单调性的改变）.属基础题．14.（填空题.6分）已知函数f （x ）=x 3-ax+2.若函数f （x ）的一个单调递增区间为（1.+∞）.则实数a 的值为___ .若函数f （x ）在（1.+∞）内单调递增.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]3; [2]（-∞.3]【解析】：先求导.再求出函数的单调增区间.即可求出a 的.根据函数f （x ）在（1.+∞）内单调递增.可得f′（x ）=3x 2-a≥0.在（1.+∞）恒成立.求出a 的范围即可【解答】：解：∵f （x ）=x 3-ax+2. ∴f′（x ）=3x 2-a.（1） ① 当a≤0时.f′（x ）≥0恒成立.故f （x ）在R 上单调递增. ② 当a ＞0时.令f′（x ）=3x 2-a=0.解得x= √a 3或x=- √a 3. 当f′（x ）＞0时.解得x ＞ √a 3或x ＜- √a 3.函数单调递增. ∵函数f （x ）的一个单调递增区间为（1.+∞）. ∴ √a3 =1.解得a=3.（2）∵函数f （x ）在（1.+∞）内单调递增. ∴f′（x ）=3x 2-a≥0.在（1.+∞）恒成立. ∴a≤3x 2.在（1.+∞）恒成立. ∴a≤3.故答案为：3.（-∞.3]【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系.以及函数恒成立的问题.属于中档题 15.（填空题.4分）已知函数f （x ）= 12x-sinx.x∈（0.π）.则f （x ）的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π6 - √32【解析】：先求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间.从而求出函数的最小值．【解答】：解：f′（x ）= 12 -cosx.x∈（0.π）.令f′（x ）＜0.解得：0＜x ＜ π3 .令f′（x ）＞0.解得： π3 ＜x ＜π. ∴函数f （x ）在（0. π3 ）递减.在（ π3 .π）递增. ∴f （x ）min =f （ π3 ）= π6 -sin π3 = π6 - √32 . 故答案为： π6 - √32．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用.是一道基础题．16.（填空题.4分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .首项 a 1=−23 .且 S n +1S n+2=a n (n ≥2) .则S 2019=___ ．【正确答案】：[1] −20202021【解析】：直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和为S n .首项 a 1=−23 .且 S n +1S n+2=a n =S n −S n−1 .整理得 S n−1−1S n=−2 .由于 S 1=a 1=−23 .所以 S 1−1S 2=−2 .解得 S 2=−34 .S 3=−45 . S 4=−56 .故 S 2019=−20202021 ． 故答案为：- 20202021【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（填空题.4分）设函数f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a.b]上的两个函数.若对任意的x∈[a .b].都有|f （x ）-g （x ）|≤k （k ＞0）.则称f （x ）与g （x ）在[a.b]上是“k 度和谐函数”.[a.b]称为“k 度密切区间”．设函数f （x ）=lnx 与g （x ）= mx−1x 在[ 1e.e]上是“e 度和谐函数”.则m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]-1≤m≤1+e【解析】：由“e度和谐函数”.得到对任意的x∈[1e.e].都有|f（x）-g（x）|≤e.化简整理得m-e≤lnx+ 1x≤m+e.令h（x）=lnx+ 1x （1e≤x≤e）.求出h（x）的最值.只要m-e不大于最小值.且m+e不小于最大值即可．【解答】：解：∵函数f（x）=lnx与g（x）= mx−1x 在[ 1e.e]上是“e度和谐函数”.∴对任意的x∈[ 1e.e]上.都有|f（x）-g（x）|≤e.即有|lnx+ 1x -m|≤e.即m-e≤lnx+ 1x≤m+e.令h（x）=lnx+ 1x （1e≤x≤e）.h′（x）= 1x- 1x2= x−1x2.x＞1时.h′（x）＞0.x＜1时.h′（x）＜0.x=1时.h（x）取极小值1.也为最小值.故h（x）在[ 1e.e]上的最小值是1.最大值是e-1．∴m-e≤1且m+e≥e-1.∴-1≤m≤e+1．故答案为：-1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用.考查不等式的恒成立问题.转化为求函数的最值.注意运用导数求解.是一道中档题．18.（问答题.14分）已知复数z=(1+i)2+3(1−i)2+i（i为虚数单位）．（1）求z；（2）若z2+az+b=1+i.求实数a.b的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用分母实数化和复数的运算法则.将原式化简成代数形式即可．【解答】：解：（1）z=(1+i)2+3(1−i)2+i=2i+3−3i2+i=1−i .（2）∵将z=1-i代入z2+az+b=1+i整理得a+b-（2+a ）i=1+i ∴ {a +b =1−(2+a )=1 . ∴a=-3.b=4．【点评】：本题考查复数的概念和复数的运算.以及复数相等的充要条件等知识点．同时考查转化思想.方程思想在解题中的应用．属于基础题．19.（问答题.15分）设函数f （x ）=ax 3+bx+c （a≠0）为奇函数.其图象在点（1.f （1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直.导函数 f′（x ）的最小值为-12． （1）求a.b.c 的值；（2）求函数f （x ）的单调递增区间.并求函数f （x ）在[-1.3]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）先根据奇函数求出c 的值.再根据导函数f'（x ）的最小值求出b 的值.最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c 的值即可；（2）先求导数fˊ（x ）.在函数的定义域内解不等式fˊ（x ）＞0和fˊ（x ）＜0.求得区间即为单调区间.根据极值与最值的求解方法.将f （x ）的各极值与其端点的函数值比较.其中最大的一个就是最大值.最小的一个就是最小值．【解答】：解：（1）∵f （x ）为奇函数. ∴f （-x ）=-f （x ）.即-ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c.∴c=0． ∵f′（x ）=3ax 2+b 的最小值为-12.∴b=-12．又直线x-6y-7=0的斜率为 16 .则f′（1）=3a+b=-6.得a=2. ∴a=2.b=-12.c=0；（2）由（1）知f （x ）=2x 3-12x.∴f′（x ）=6x 2-12=6（x+ √2 ）（x- √2 ）. 列表如下：所以函数f （x ）的单调增区间是（-∞.- √2 ）和（ √2 .+∞）． ∵f （-1）=10.f （ √2 ）=-8 √2 .f （3）=18.∴f （x ）在[-1.3]上的最大值是f （3）=18.最小值是f （ √2 ）=-8 √2 ．【点评】：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识.以及推理能力和运算能力．20.（问答题.15分）已知函数f （x ）=ae 2x +（a-2）e x -x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导.根据导数与函数单调性的关系.分类讨论.即可求得f （x ）单调性； （2）由（1）可知：当a ＞0时才有两个零点.根据函数的单调性求得f （x ）最小值.由f （x ）min ＜0.g （a ）=alna+a-1.a ＞0.求导.由g （a ）min =g （e -2）=e -2lne -2+e -2-1=- 1e 2 -1.g （1）=0.即可求得a 的取值范围．（1）求导.根据导数与函数单调性的关系.分类讨论.即可求得f （x ）单调性；（2）分类讨论.根据函数的单调性及函数零点的判断.分别求得函数的零点.即可求得a 的取值范围．【解答】：解：（1）由f （x ）=ae 2x +（a-2）e x -x.求导f′（x ）=2ae 2x +（a-2）e x -1. 当a=0时.f′（x ）=-2e x -1＜0. ∴当x∈R .f （x ）单调递减.当a ＞0时.f′（x ）=（2e x +1）（ae x -1）=2a （e x + 12 ）（e x - 1a ）. 令f′（x ）=0.解得：x=ln 1a . 当f′（x ）＞0.解得：x ＞ln 1a . 当f′（x ）＜0.解得：x ＜ln 1a .∴x∈（-∞.ln 1a ）时.f （x ）单调递减.x∈（ln 1a .+∞）单调递增； 当a ＜0时.f′（x ）=2a （e x + 12 ）（e x - 1a ）＜0.恒成立.∴当x∈R.f（x）单调递减.综上可知：当a≤0时.f（x）在R单调减函数.当a＞0时.f（x）在（-∞.ln 1a ）是减函数.在（ln 1a.+∞）是增函数；（2）① 若a≤0时.由（1）可知：f（x）最多有一个零点. 当a＞0时.f（x）=ae2x+（a-2）e x-x.当x→-∞时.e2x→0.e x→0.∴当x→-∞时.f（x）→+∞.当x→∞.e2x→+∞.且远远大于e x和x.∴当x→∞.f（x）→+∞.∴函数有两个零点.f（x）的最小值小于0即可.由f（x）在（-∞.ln 1a ）是减函数.在（ln 1a.+∞）是增函数.∴f（x）min=f（ln 1a ）=a×（1a2）+（a-2）× 1a-ln 1a＜0.∴1- 1a -ln 1a＜0.即ln 1a+ 1a-1＞0.设t= 1a.则g（t）=lnt+t-1.（t＞0）.求导g′（t）= 1t+1.由g（1）=0.∴t= 1a＞1.解得：0＜a＜1.∴a的取值范围（0.1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a-2）e x-x.求导f′（x）=2ae2x+（a-2）e x-1. 当a=0时.f′（x）=-2e x-1＜0.∴当x∈R.f（x）单调递减.当a＞0时.f′（x）=（2e x+1）（ae x-1）=2a（e x+ 12）（e x- 1a）.令f′（x）=0.解得：x=-lna.当f′（x）＞0.解得：x＞-lna.当f′（x）＜0.解得：x＜-lna.∴x∈（-∞.-lna）时.f（x）单调递减.x∈（-lna.+∞）单调递增；当a＜0时.f′（x）=2a（e x+ 12）（e x- 1a）＜0.恒成立.∴当x∈R.f（x）单调递减.综上可知：当a≤0时.f（x）在R单调减函数.当a＞0时.f（x）在（-∞.-lna）是减函数.在（-lna.+∞）是增函数；（2）① 若a≤0时.由（1）可知：f（x）最多有一个零点.② 当a＞0时.由（1）可知：当x=-lna时.f（x）取得最小值.f（x）min=f（-lna）=1- 1a -ln 1a.当a=1.时.f（-lna）=0.故f（x）只有一个零点.当a∈（1.+∞）时.由1- 1a -ln 1a＞0.即f（-lna）＞0.故f（x）没有零点.当a∈（0.1）时.1- 1a -ln 1a＜0.f（-lna）＜0.由f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2＞-2e-2+2＞0.故f（x）在（-∞.-lna）有一个零点.假设存在正整数n0.满足n0＞ln（3a-1）.则f（n0）= e n0（a e n0 +a-2）-n0＞e n0 -n0＞2n0 -n0＞0.由ln（3a-1）＞-lna.因此在（-lna.+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0.1）．【点评】：本题考查导数的综合应用.考查利用导数求函数单调性及最值.考查函数零点的判断.考查计算能力.考查分类讨论思想.属于中档题．21.（问答题.15分）已知数列{a n}满足.a1=2. a n+1=(√2−1)(a n+2)(n∈N∗)．（1）求{a n−√2}的通项公式；（2）在数列{b n}中.b1=2.b n+1= 3b n+42b n+3(n∈N∗) .求证：√2＜b n≤a4n−3(n∈N∗)．【正确答案】：【解析】：（1）推出数列是等比数列.求出通项公式．（2）直接利用数学归纳法的步骤.转化求解即可．【解答】：解：（1）由题设：a n+1=(√2−1)(a n+2)=(√2−1)(an−√2)+(√2−1)(2+√2) = (√2−1)(a n−√2)+√2．所以.数列{a n−√2}是首项为2−√2 .公比为2−√2的等比数列. a n−√2=√2(√2−1)n . （2）用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时.因√2＜2，b1=a1=2 .所以√2＜b1≤a1（ⅱ）假设当n=k 时.结论成立.即 √2＜b k ≤a 4k−3 .也即 0＜b k −√2≤a 4k−3−√2 ； 当n=k+1时. b k+1−√2=3b k+42b k +3−√2=(3−2√2)b k +(4−3√2)2b k +3=(3−2√2)(b k −√2)2b k +3＞0 . 又 12b k +32√2+3=3−2√2 .所以 b k+1−√2=(3−2√2)(b k −√2)2b k +3＜(3−2√2)2(b k −√2)≤(√2−1)4(a 4k−3−√2)=a 4k+1−√2 ． 也就是说.当n=k+1时.结论成立.根据（ⅰ）和（ⅱ）知 √2＜bn ≤a 4n−3，n ∈N ∗ ．【点评】：本题考查数列的递推关系式求解数列的通项公式.数学归纳法的应用.考查分析问题解决问题的能力.是中档题．22.（问答题.15分）已知函数f （x ）=（x-3）e x -x 2+4x.g （x ）=xe x -5x+1．（Ⅰ）求函数y=f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）证明：f （x ）＜g （x ）；（Ⅲ）当x∈（-∞.3）时.f （x ）≤ax -3恒成立.求实数a 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的递减区间即可；（Ⅱ）求出h （x ）的导数.根据函数的单调性求出h （x ）的最大值小于0.判断f （x ）与g （x ）的大小即可；（Ⅲ）得到e x ≥ x 2+(a−4)x−3x−3 .易证e x ≥x+1.当x=0时取到等号.得到x+1≥ x 2+(a−4)x−3x−3.根据函数的单调性求出a 的值即可．【解答】：解：（Ⅰ） 因为f′（x ）=（x-2）（e x -2）.由f′（x ）＜0.得ln2＜x ＜2.所以f （x ）的单调递减区间是（ln2.2）..……………………………………………（4分）（Ⅱ） 记h （x ）=f （x ）-g （x ）=-3e x -x 2+9x-1.h′（x ）=-3e x -2x+9.h″（x ）=-3e x -2＜0.所以h′（x ）在R 上为减函数因为h′（0）=6＞0.h′（1）=-3e+7＜0.所以存在唯一x0∈（0.1）.使h′（x0）=0.故-3 e x0 =2x0-9.当x∈（-∞.x0）时.h′（x）＞0；当x∈（x0.+∞）时.h′（x）＜0；所以h（x）max=h（x0）=-3 e x0 - x02 +9x0-1=-9+2x0- x02 +9x0-1=-（x0-1）（x0-10）＜0所以f（x）＜g（x）．………………………………………………………（9分）（Ⅲ）因为x＜3.所以e x≥ x2+(a−4)x−3x−3.易证e x≥x+1.当x=0时取到等号.由x+1≥ x 2+(a−4)x−3x−3得：（x+1）（x-3）≤x2+（a-4）x-3.（a-2）x≥0.所以a-2=0.即a=2．…………………………………………………（15分）【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用以及不等式的证明.考查转化思想.是一道综合题．。
2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题 含答案
2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数(为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为()二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得 于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 相切于第二象限的一点,直线与椭圆E 交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C 的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2）设函数若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．y xD B O M NA ••当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。
浙江省宁波市2019届高二数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷选择题 :本大题共10 小题 ,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中, 金榜题名，高考必胜 ! 蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。
临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走 1 万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!只有一项是符合题目要求的．最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
成，金榜定题名。
1. 已知函数则的值为( )A. -20B. -10C. 10D. 20【答案】 D【解析】试题分析：因为，所以，，故选 D.考点：导数的定义及对数函数求导.2. 从一批产品中取出三件，设=“三件产品全不是次品”，=“三件产品全是次品”，=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.A 与 C互斥B.B与 C互斥C.任两个均互斥D.任两个均不互斥【答案】 B【解析】试题分析：事件 C 包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件 C 同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．解：由题意知事件 C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件 C 中不包含 B 事件，事件 C 和事件 B 不能同时发生，∴B与 C 互斥，故选 B．点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．3.二项式的展开式中的有理项共有（）A.4 项B.5项C.6项D.7项【答案】 C【解析】二项式的展开式中通项公式为，令为整数，可得r=0 ， 2， 4， 6， 8， 10，共计 6 项，本题选择C选项 .4. 2017年 4 月19 日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件“取到的两个都是豆沙馅”，则=“取到的两个为同一种馅”，事件（）=A. B. C. D.【答案】 A【解析】由题意，,，故选： A．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝其中 n(AB) 表示事件AB包含的基本事件个数，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数．，二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB) 的求法．5.设函数在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数图象可能为 ()A. B. C.D.【答案】 D【解析】函数的图象可知,x <0 时 , 函数是增函数 ,f′( )>0 ，x函数f (x) 有两个极值点，导函数的图象与x轴有 2个交点，排除，；A Cx >0 的极大值前是增函数，导函数为正值，排除.B本题选择D选项 .6.已知，若~,则和分别是（）A.6 和 2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6【答案】 B【解析】由已知随机变量X+Y=8，所以有 Y=8- X.因此， E( Y)=8- E( X)=8- 10×0.6=2，D( Y)=(-1)2D( X)=10×0.6×0.4=2.4.本题选择 B 选项 .7.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单 . 若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率是( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】五所学生自由录取五名学生, 共有 55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种， ... ... ...............则：则仅有两名学生录取到同一所大学( 其余三人在其他学校各选一所不同大学) 的概率：本题选择C选项 .8.已知可导函数满足，则当时，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】试题分析：所以函数为增函数考点：函数导数与单调性9.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 ()A. 360B. 520C. 600D. 720【答案】 C【解析】试题分析：分两种情况：一种是甲乙有一人参加共有, 一种是甲乙都参加共有综上共有600 种，选 C．考点：有条件的排列问题，不相邻问题．10.设函数，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】设 g(x)=e x(2x - 1) ， y=ax - a，由题意知存在唯一的整数x0使得 g(x 0) 在直线 y=ax - a 的下方，∵g′(x)=e x (2x - 1)+2e x =e x(2x+1) ，∴当时,g ′(x)<0, 当时,g ′(x)>0，∴当时 ,g(x)取最小值，当 x=0 时 ,g(0)= - 1, 当 x=1 时 ,g(1)=e>0 ，直线 y=ax - a 恒过定点 (1,0) 且斜率为 a，故-a>g(0)= - 1 且 g( - 1)= - 3e-1? - a- a, 解得本题选择D选项 .二．填空题 : 本大题共 7 小题 , 多空每空 3 分，单空每题 4 分, 共 36 分．把答案填在答题卷的相应位置．11.在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所抽取的 3 道题。
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2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） A ．0 B ．π6C ．π3D ．π2【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，所以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6π，故选B.【考点】利用导数研究函数在闭区间上的最值. 【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点. 2．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()0,∞+【答案】C【解析】求出函数21ln 2y x x =-的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解. 【详解】函数21ln 2y x x =-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x+--=-==′， ()()1100x x xx ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<， 所以函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为()0,1. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.3．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）．A ．假设()n k k N +=∈，证明1n k =+命题成立B ．假设n k =（k 是正奇数），证明1n k =+命题成立C ．假设()21n k k N +=+∈，证明1n k =+命题成立D ．假设n k =（k 是正奇数），证明2n k =+命题成立 【答案】D【解析】根据n 是正奇数的条件，依次判断选项中的假设是否满足正奇数，由此得到结果. 【详解】对于A ，当()n k k N +=∈时，1k +表示除1以外的所有正整数， A 错误； 对于B ，当n k =（k 是正奇数）时，1k +表示正偶数，B 错误；对于C ，当()21n k k N +=+∈时，不包含1，且1k +表示正偶数，C 错误； 对于D ，当n k =（k 是正奇数）时，2k +表示下一个正奇数，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题. 4．1180被9除的余数为（ ） A ．1-B ．1C ．8D ．8-【答案】C【解析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()2101101210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.5．6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为（ ） A ．288 B ．144 C ．360 D ．180【答案】A【解析】由题意可知，分三步完成：第一步先排甲，第二步在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，第三步将剩下4 人安排其余的位置上，再由分步原理可求得结果. 【详解】解：由题意知分三步：第一步，先安排甲，在6个位置中任选一个即，有166C =种选法；第二步，在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，有122C =种选法；第三步，将剩下4 人安排其余的位置上，有4424A =种安排方法由分步原理可知，甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为6224288⨯⨯=种 故选：A 【点睛】此题考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受限制的元素，属于基础题. 6．在341(2)x x x-+的展开式中常数项为（ ） A ．28 B ．28-C ．56-D ．56【答案】A【解析】()2242311212x x x x x x xx--+-+==，故可通过求()821x -展开式中的4x 的系数来求常数项. 【详解】因为()2242311212x x x x x x x x--+-+==，故()82434112xx x x x-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又()821x -的展开式中4x 的系数为()628128C -=，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数. 7．已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（ ）A ．没有一个小于1B ．至多有一个不小于1C ．都不小于1D ．至少有一个不小于1【答案】D【解析】通过反例可排除,,A B C ；采用反证法，利用()11f <和()21f <，结合不等式的性质可证得()31f >，由此知D 正确. 【详解】当2m =-，0n =时，()222f x x x =-，则()10f =，()24f =，()312f =，可知,A C 错误；当0m n ==时，()22f x x =，则()12f =，()28f =，()318f =，可知B 错误；假设()11f <，()21f <，()31f <，由()11f <得：21m n ++<，即31m n -<+<-…①， 由()21f <得：421m n ++<，即523m n -<+<-…②，由①得：13m n <--<…③，由②+③得：40m -<<，1230m ∴-<<， 由③得：2226m n <--<…④，由②+④得：33n -<-<，33n ∴-<<，1533m n ∴-<+<，318321m n ∴<++<()31831f m n ∴=++>，与()31f <矛盾，可知至少有一个不小于1，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论.8．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为．9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x'-<恒成立.则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．()()2,02,-+∞ B ．()()2,00,2- C ．()(),22,-∞-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】B【解析】根据当0x >时，()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦可知()f x x 在()0,∞+上单调递减，结合()20f =可确定()0f x x >在()0,∞+上的解集；根据奇偶性可确定()0f x x>在(),0-∞上的解集；由此可确定结果.【详解】()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴当0x >时，()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦， ()f x x∴在()0,∞+上单调递减， ()20f =，()202f ∴=，()0f x x∴>在()0,∞+上的解集为()0,2， 即()0xf x >在()0,∞+上的解集为()0,2； 又()f x 为R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x--∴==--， ()f x x ∴为()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，()0f x x∴>在(),0-∞上的解集为()2,0-， 即()0xf x >在(),0-∞上的解集为()2,0-； 当0x =时，()0xf x =，不合题意； 综上所述：()0xf x >的解集为()()2,00,2-.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集. 10．若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞【答案】A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()y x x x x -=-；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<． 又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--． 设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于1x 的函数，求出2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.二、填空题11．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【答案】2 ；-2【解析】((0))(4)2f f f ==；(1)2AB f k '==-．12．北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______. 【答案】2940【解析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解. 【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680C C C A A ⋅=种， 第二类：2，3，3三组，共有23338633221260C C C A A ⋅=种， 所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数168012602940+=.故答案为：2940 【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 13．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【答案】120【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求，最后利用分类加法计数原理得到结果. 【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花， 若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法. 故答案为：120【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属于中档题.14．已知a R ∈，函数()1,0{,0x a x f x x e x -+>=<，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(,-∞-【解析】若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()123123f x f x f x e x x x ===-成立，则方程()ex f x =-存在三个不相等的实根，当0x <时，x e ex -=-解得1x =-，所以当0x >时，1a ex x +=-有两个不等的实根，即1a ex x =-- 令()1g x ex x=--在0,e e ⎛⎫⎛⎫↑+∞↓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x e =时，()g x =-所以要有两个交点则a <-故答案为(,-∞-点睛：本题考查了分段函数零点问题，考查了转化思想，函数与方程思想，转化为函数图像的交点，参数分离是常用的处理方法,属于中档题.三、双空题15．在二项式()61x -的展开式中，含3x 项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答） 【答案】20- 0【解析】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rrT C x =-，可得含3x 项的系数，令1x =可得各项系数之和. 【详解】二项式()61x -的展开式中的通项公式为()r+16rr T C x =- 所以含3x 项的系数为()336120C -=-设()62601261x a a x a x a x -=++++令1x =得()60126110a a a a -=++++=所以各项系数之和为0 故答案为：(1). 20- (2). 0 【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题.16．某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有______种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用ξ示他遇到红灯的次数，则()E ξ=______.（用数字作答） 【答案】10 53【解析】先用组合数表示出所有的分布情况，计算出结果即可；随机变量1(5,)3B ξ，再利用二项分布求数学期望的方法求解即可. 【详解】解：经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有2510C =种；因为随机变量1(5,)3B ξ，所以()15533E ξ=⨯=故答案为：10；53【点睛】此题考查了组合数的应用和二项分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题. 17．已知()()()()()4250125212111x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则4a =______；123452345a a a a a ++++=______．（用数字作答）【答案】16 81 【解析】将()()4212x x --转化为()()()441211211x x x --+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再利用二项式定理，即可求得4a ；将已知等式两边分别求导，令2x =，即可求出1225235a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【详解】()()()()()()()4444212211111211211x x x x x x x --=-+--=--+--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，展开后含有()41x -的项为()()()()()()34444104412121321161161x x x x x x C C -⋅⋅--⋅-=---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以416a =；()()()()()4250125212111x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，等号两边分别求导，得()()()()()()342412254212221213151x x x a a x a x a x -⨯⨯-+-=+-+-+⋅⋅⋅+-，令2x =，得()41225221235a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，即122523581a a a a +++⋅⋅⋅+=. 故答案为：16；81. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中涉及到导数问题，属于中档题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的常用方法，根据题意给变量合理赋值是本题的解题关键.四、解答题18．设数列{}n a 满足13a =，2122n n n a a na +=-+，1,2,3,n =⋅⋅⋅（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）25a =，37a =，49a =，猜想21n a n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）根据递推公式即可得2a ，3a ，4a 的值，根据2a ，3a ，4a 的值可猜想n a 的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】解:（1）由题可得；25a =，37a =，49a =，猜想21n a n =+． （2）下面用数学归纳法证明21n a n =+． ①当1n =时，13211a ==⨯+猜想成立； ②假设n k =时，等式也成立，即21k a k =+．则1n k =+时()()()2212221221211k k k a a ka k k k k +=-+=+-⋅-+=++．即1n k =+时也猜想成立.由①②知等式21n a n =+成立. 【点睛】本题主要考查用数学归纳法证明等式成立，考查学生对数学归纳法的掌握程度，属于基础题.19．已知a 是实数，函数()()2f x xx a =-.（1）若()13f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）求()f x 在区间[]0,2上的最大值.【答案】（1）0a =；320x y --=（2）max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩【解析】（1）求函数()f x 的导数，由()13f '=，计算可得a 和()1f ，根据点斜式即得在点()()1,1f 处的切线方程；（2）由导数()232f x x ax '=-，令()0f x '=，可得10x =，223ax =，讨论a 的取值范围，利用函数单调性即得. 【详解】（1）()232f x x ax '=-.因为()1323f a '=-=，所以0a =.又当0a =时，()11f =，()13f '=，则切点坐标()1,1，斜率为3，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()131y x -=-化简得320x y --=.（2）()232f x x ax '=-，令()0f x '=，解得10x =，223a x =. 当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[]0,2上单调递增，从而()max 284f f a ==-. 当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，从而()max 00f f ==. 当2023a <<，即0<<3a ，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，从而max84,020,23a a f a -<≤⎧=⎨<<⎩. 综上所述，max 84,20,2a a f a -≤⎧=⎨>⎩.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，以及研究含参数的函数的最大值，属于中档题. 20．(12分) 由0，1，2，3，4，5这六个数字。