2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2

，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．

A ．{1,4}

B ．{2,3}

C ．{9,16}

D ．{1,2} 【答案】A

【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2

，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．

2．(2013课标全国Ⅰ，文2)

2

12i

1i +(-)＝( )．

A. −1−1

2i B ．11+

i 2

- C ．1+12i D ．1−12i 【答案】B

【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】

2

12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1

1+i 2

-.

3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．

A ．12

B ．13

C ．14

D ．16

【答案】B

【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为

13

. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b

-(a ＞0，b ＞0)

C 的渐近线方程

为( )．

A ． y =±1

4x B ．y =±1

3

x C ．1

2

y x =± D ．y =±x

【答案】C

【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵2e =

2c a =，即2254

c a =.

∵c 2

＝a 2

＋b 2

，∴2214b a =.∴1

2

b a =.

∵双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，

∴渐近线方程为1

2

y x =±.故选C.

5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2

，则下列命题中为真命题的是( )．

A ．p ∧q

B ．⌝p ∧q

C ．p ∧⌝q

D ．⌝p ∧⌝q 【答案】B

【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。 【解析】由20

＝30

知，p 为假命题．令h (x )＝x 3

－1＋x 2

， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3

－1＋x 2

＝0在(0,1)内有解．

∴∃x ∈R ，x 3

＝1－x 2

，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.

6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为

2

3

的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ． S n =2a n −1 B ．S n =3a n −2 C ．S n =4−3a n D ．S n =3−2a n 【答案】D

【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。

【解析】11211321113

n

n

n n a a a q a q S q q --(-)===

---＝3－2a n ，故选D.

7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )．

A ．[－3,4]

B ．[－5,2]

C ．[－4,3]

D ．[－2,5] 【答案】A

【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。 【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2

. ∵该函数的对称轴为t ＝2，

∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．

综上知s ∈[－3,4]．故选A.

8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2

＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，

则△POF 的面积为( )．

A ．2

B ．．．4 【答案】C

【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。

【解析】利用|PF |＝P x =x P ＝

∴y P ＝±∴S △POF ＝

1

2

|OF |·|y P |＝故选C.

9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．

【答案】C

【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。

【解析】由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

时，f (x )＞0，排除A.

当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2

x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3

x =. 故极值点为2

π3

x =

，可排除D ，故选C.

10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2

A ＋cos 2A ＝0，

a ＝7，c ＝6，则

b ＝( )．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5 【答案】D

【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。 【解析】由23cos 2

A ＋cos 2A ＝0，得cos 2

A ＝

125.∵A ∈π0,2⎛⎫

⎪⎝⎭

，∴cos A ＝15.

∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或13

5

b =-(舍)．

故选D.

11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π