高二数学导数的几何意义
高二数学《导数与微分》知识点概述
高二数学《导数与微分》知识点概述导数与微分是高二数学学科中的重要内容，对于学生来说，掌握这些知识点不仅能够帮助他们理解数学的基本概念，还能够为后续学习奠定坚实的基础。
第一部分：导数的概念及性质导数作为微积分的重要概念之一，其本质是函数在某点处的变化率。
导数的定义是通过极限的方法得到的，即函数在一点处的导数等于函数在该点附近变化最快的直线的斜率。
导数的性质主要有如下几个方面：1. 导数的存在性和唯一性：对于任意一个函数，只要它在某一点上可导，那么它在该点上的导数就是唯一确定的。
2. 导数的几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，因此导数的大小与斜率的大小成正比。
3. 导数与函数的关系：如果一个函数在某点处可导，则该函数在该点的导数可以作为函数的局部性质的判断标准，如函数的增减性、极值点等。
第二部分：导数的计算方法为了更好地应用导数的概念解决实际问题，在计算导数时，我们可以根据导数的定义以及一些基本的导数性质来进行计算。
下面是一些常见的导数计算方法：1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即导数与自变量无关。
2. 幂函数的导数：对于幂函数$x^n$，它的导数为$nx^{n-1}$。
3. 反比例函数的导数：反比例函数$y=\frac{1}{x}$的导数为$y'=-\frac{1}{x^2}$。
4. 指数函数的导数：自然对数函数$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。
5. 对数函数的导数：自然对数函数的逆函数$y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$。
第三部分：微分的概念及应用微分是导数的一个重要应用，它包含了更多的几何和物理背景。
微分的概念是函数在某点局部的线性近似，同时也可以理解为函数值的微小变化量。
微分的性质和计算方法与导数类似。
微分的应用广泛，尤其在物理学和工程学中有着重要的地位。
比如在速度和加速度的分析中，微分可以帮助我们计算物体在某一瞬间的速度和加速度。
高中导数知识点总结大全
高中导数知识点总结大全追逐高考，我们向往成功，我们希望激发潜能，我们就需要在心中铸造一座高高矗立的、坚固无比的灯塔，它的名字叫信念。
那么接下来给大家分享一些关于高中导数知识点总结大全，希望对大家有所帮助。
高中导数知识点总结1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
5.1.2导数的概念及其几何意义高二下学期数学人教版选择性必修第二册
三、点拨精讲22’：
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 则 : MP x, MQ y,
y tan .
x
y
y=f(x)
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方 程.
yQ
解 : k lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y = x 2+1
(1 x)2 1 (1 1)
lim
Q
Pβ Δx
O
Δy
M x
请问：y 是割线PQ的什么? x
斜率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ的运
动趋势。
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
x
3
P
2
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 . 3 x0
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
1
-2 -1 O -1 -2
x 12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
导数的概念及其几何意义(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
例3 :服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min) 的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和 c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解 :c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度 为1.5 μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中 药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL. c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度 为 0. 6 μg/(mL ▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液 中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
P(x,x²)
T
P0(1,1)
1
2x
y
请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
o
P
y=f(x) Q
割 线
T 切线
x
割线斜率与切线斜率
1.割线的斜率
k f (x0 x) f (x0 ) x
2.切线的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率
k0
lim
x
y y 1 x3
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .
2
3 x0
1 x
y |x2 22 4.
-2 -1 O 1 2
-1
即点P处的切线的斜率等于4. -2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
高二数学选修3-1-2导数的几何意义
(2) 根 据 直 线 的 点 斜 式 方 程 ， 得 切 线 方 程 为 y － y0 ＝
人 教 A
f′(x0)(x－x0)；
版 数 学
(3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数不存在，就是
切线与y轴平行或不存在；f′(x0)>0，切线与x轴正向夹角为
锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切
b) 内 的 导 数 ， 记 作 f′(x) 或 y′ ， 即 f′(x) ＝ y′ ＝
f(x＋Δx)－f(x)
liΔmx→0
Δx
.
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
[例1] 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋
Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
人 教 A
(3) 根 据 直 线 的 点 斜 式 方 程 ， 得 切 线 方 程 为 y － y0 ＝
版 数 学
f′(x0)(x－x0)．
第三章 导数及其应用
人 教 A 版 数 学
第三章 导数及其应用
1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率
处的 切线 ．于是，当 Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限
人 教
A
趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 k＝ f′(x0)＝
版 数 学
Δlixm→0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
.
第三章 导数及其应用
②导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在
点P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 ．也就是说，曲线y＝f(x)在
导数的几何意义及常用函数的导数
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数
= ;
解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′
=
;
′
=
′
=
−
()＝log.
解
′ = ′ =
;
=
;
跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：
= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见 谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于
∴ = = ,即 = ,
所以切点为
,
.
∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函 数 () 在 点 处 的 导 数 ” 是 一 个 数 值 , 不 是 变
5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
)
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区
间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区
间[a,b]上的大致图象可能是(
)
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
y
(+Δ)2 +(+Δ)-2-( 2 +-2)
解:(1)y'= lim =
=2x+1.
Δ
Δ→0 x x→0
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.
Δ
x→0
= lim (4x+2Δx)=4x.
Δ→0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
设切点的坐标为(x0,y0),则 y'|= =4x0=1,解得
0
∴该切点的坐标为
1 9
,
4 8
.
1
x0= ,
4
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
则切线的斜率 k=2x0.
切线方程为 y-x02 =2x0(x-x0),将点(-1,0)的坐标代入,
得-x02 =2x0(-1-x0),解得 x0=0 或 x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;
5.1.2导数的概念及其几何意义课件高二上学期数学人教A版选择性
提示 不一定.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线l与曲线y=f(x)的交点不一
定只有一个,如图所示.
自主诊断
1.[苏教版教材习题]已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是
1
y=2x+2
,求f(1)+f'(1)的值.
解 由已知点 M(1,f(1))在切线上,所以
应该是
( 0 +Δ)-( 0 )
mΔx,要注意公式的变形.求解时要注意应用 lim
Δ
Δ→0
( 0 +Δ)-( 0 )
m
的应用,这里的
Δ
x→0
m 不等于 0.
=
变式训练 3 若
f(x 0 +3x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
等于(
x
Δ→0
切点处的导数为切线斜率,所以
1
5
f(1)= +2= ,
2
2
1
f'(1)= ,即
2
f(1)+f'(1)=3.
2.[人教B版教材例题]已知函数
1
f(x)=x
,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的方
程.
1 -1
(2+Δ)-(2)
解 f'(2)= lim
= 2+Δ 2 = lim
Δ→0
lim
x
= Δ→0
.
y
'(x0)= x
x→0
导数 (也
2.函数y=f(x)的导函数
对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数,当x变化时,y=f'(x)就是x的
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