第四章 连续函数习题解答

第4章 连续函数§4.1 连续函数的概念一 基本内容一、函数在一点的连续性设函数()y f x =在0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在0x 点连续．er ：函数()y f x =在0x 点处连续00lim ()()x x f x f x →⇔=．函数()y f x =在0x 点处连续0lim 0x y ∆→⇔∆=．二、单侧连续性1 左连续 函数()y f x =在0x 点左连续00lim ()()x x f x f x -→⇔=；2 右连续 函数()y f x =在0x 点右连续⇔00lim ()()x x f x f x +→=．定理： 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在点0x 既是左连续又是右连续．三、间断及其分类设函数()y f x =在00()U x 内有定义，若()y f x =在0x 点无定义，或()y f x =在0x 点有定义但不连续，则称函数()y f x =在点0x 处间断．0x 点称为函数()y f x =的间断点或不连续点．间断的分类．1 可去间断点若0lim ()x x f x A →=，而()y f x =在0x 点无定义，或0 ()f x A ≠，则0x 点称为函数()y f x =的可去间断点．2 跳跃间断点左、右极限存在，但不相等的间断点称为跳跃间断点． 而0lim ()lim ()x x x x l f x f x -+→→=-称为跃度．可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，非第一类间断点称为第二类间断点．实质：第一类间断点 —— 左、右极限都存在； 第二类间断点 —— 左、右极限至少有一个不存在．三、函数在区间上的连续性如果()y f x =在(,)a b 内的每一点都连续，则称()y f x =在(,)a b 上连续，如果()y f x =在(,)a b 上连续，且在x a =点右连续，在点x b =左连续，则称()y f x =在[,]a b 上连续．如果函数()y f x =在[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称函数()y f x =在[,]a b 上分段连续．二 习题解答1 按定义证明下列函数在其定义域内连续． (1) 1()f x x=．证：00x ∀≠，0011x x xx x x --=⋅，限制002x x x -<，则0002x x x x x >-->，于是12xx <，即2211x x xx x --=，所以0ε∀>，取200min ,22x x εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则0x x δ-<时，11xx ε-<，即011limx x xx →=，所以00x ∀≠，1()f x x=在0x x =点连续，故1()f x x=在其定义域内连续．(2) ()f x x =．证：0x R ∀∈，因为00()f x x x x x =-<-，所以0ε∀>，取δε=，则0x x δ-<时，00x x x x ε-<-<，所以0x R ∀∈，()f x x =在0x x =点连续，故()f x x =在其定义域内连续．2 指出下列函数的间断点并说明其类型． (1) 1()f x x x=+．解：间断点为0x =，而01lim x x x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭，所以0x =为第二类间断点． (2) s i n ()x f x x=．解：间断点为0x =，而0sin lim1x x x-→=-，0sin lim 1x x x+→=，所以0x =为第一类间断点．(3) ()c o s f x x ⎡⎤=⎣⎦．解：因为1()cos 0x n f x x x n ππ=⎧⎡⎤==⎨⎣⎦≠⎩，所以间断点为x n π=，而lim cos 0x n x π→⎡⎤=⎣⎦，所以x n π=为可去间断点．(4) ()s g n f x x =．解：因为0lim sgn 1x x -→=，0lim sgn 1x x +→=，而(0)0f =，所以0x =为间断点，且是可去间断点．(5) ()s g n (c o s f x x=． 解：因为12,222()sgn(cos )02312,222x k k f x x x k x k k ππππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪===+⎨⎪⎪⎛⎫-∈++⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以2x k ππ=+为间断点，且是第一类间断点．(6) () x x Q f x x x Q∈⎧=⎨-∈⎩．解：因为 0l i m ()0(0)x fx f→==，所以()f x 在00x =点连续，而当00x ≠时，0lim ()x x f x →不存在，故()f x 00x ≠处间断，且为第二类间断点．(7) 177()711(1)s i n 11x x f x xx x x x ⎧∞<<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<<+∞-⎩-． 解：因为 771lim ()lim7x x f x x --→-→-==∞+，所以7x =-为其第二类间断点．又11lim ()lim 1x x f x x --→→==，111lim ()lim (1)sin01x x f x x x ++→→=-=-，所以1x =为其第一类间断点．3 延拓下列函数，使其R 在上连续． (1) 38()2x f x x -=-．解：函数38()2x f x x -=-在2x =点没有定义，所以2x =为其间断点，又322228lim ()lim lim (24)122x x x x f x x x x →→→-==++=-，所以2x =为其可去间断点．故382()2122x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩为38()2x f x x -=-在R 上的连续延拓．(2) 21c o s()x f x x-=．解：函数21cos ()xf x x-=在0x =点没有定义，所以0x =为其间断点，又21cos 1lim ()lim2x x xf x x→→-==，所以0x =为其可去间断点．故21cos 0()102xx x f x x -⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩为21cos ()xf x x-=在R 上的连续延拓．(3) 1()c o s f x x x=．解：函数1()cosf x x x=在0x =点没有定义，所以0x =为其间断点，又01lim ()lim cos0x x f x x x→→==，所以0x =为其可去间断点．故1sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩为1()cosf x x x=在R 上的连续延拓．4 单调函数()f x ，x R +∈能否有无穷多个间断点？解：有．例如()[],f x x x R +=∈，所有正整数都是其间断点．5 有界函数能否有第二类间断点？解：有．例如()()f x D x =，所有间断点都第二类间断点．6 设 0() 0x e x f x x b x ⎧≥=⎨+<⎩处处连续，试确定b 的值．解：因为0lim ()lim ()x x f x x b b --→→=+=，0lim ()lim 1x x x f x e ++→→==，所以1b =为所求．7 试给出()f x ，它处处不连续，但()f x 却处处连续． 解：设1()1x Q f x x Q∈⎧=⎨-∈⎩，则()f x 处处不连续，但()f x 却处处连续．8 证明：若()f x 在0x 点连续，则()f x 与2()f x 也在0x 点连续．又问()f x 或在I 上2()f x 连续，那么()f x 在I 上是否必连续?证：因为()f x 在0x 点连续，所以00lim ()()x x f x f x →=，即000,0,()()x x f x f x εδδε∀>∃>∍-<⇒-<“”，从而0x x δ-<时，00()()()()f x f x f x f x ε-≤-<，于是0lim ()()x x f x f x →=，又02200lim ()()lim ()()x x x x f x f x f x f x →→=⇒=，()f x 与2()f x 也在0x 点连续．反之不成立．例如1()1x Q f x x Q∈⎧=⎨-∈⎩，()f x 与2()f x 在R 上连续，但()f x 处处不连续．9 设当0x ≠时,()()f x g x ≡而(0)(0)f g ≠．证明f 与g 两者中至少有一个在0x =不连续． 证：假设f 与g 在0x =上都连续，则lim ()(0),lim ()(0)x x f x f g x g →→==，而()()f x g x ≡⇒0lim ()lim ()x x f x g x →→=，所以(0)(0)f g =，此与题设矛盾，故结论成立．10 设()f x 为区间I 上的单调函数，证明若0x I ∈为的()f x 间断点，则0x 必是()f x 的第一类间断点． 证：因为()f x 为区间I 上的单调函数，所以0x I ∀∈，00(0),(0)f x f x -+存在，故结论成立．11 设函数()f x 只有可去间断点，定义()lim ()y xg x f y →=，证明()g x 连续．证：因为()f x 只有可去间断点，设()f x 的定义域为D ，则x D ∀∈，lim ()y xf y →存在，定义()lim ()y xg x f y →=，则0x D ∀∈，00lim ()()y x f y g x →=于是1120200,()()0,0,()()y x f y g x y x f y g x δδεεδδε⎧∃>∍-<⇒-<⎪∀>⎨∃>∍-<⇒-<⎪⎩“”“”，取{}12min ,δδδ=，取y 介于0,x x 之间，则0x x δ-<时，102,y x y x δδ-<-<，从而00()()()()()()2g x g x f y g x f y g x ε-≤-+-<，故()g x 在D 上连续．12 设()f x 为R 上的单调函数，定义()(0)g x f x =+，证明()g x 在R 上的每一点都右连续． 证：不妨设在R 上()f x ，因为0x R ∀∈，00()(0)g x f x =+，所以0,0εδ∀>∃>，000()(0)x x x f x f x δε∍<<+⇒-+<“”．从而00(,)x x x δ∀∈+，取0(,)x x x δ'∈+，由单调性得0(0)(0)()f x f x f x '+≤+≤．于是00()()(0)(0)g x g x f x f x -=+-+0()(0)f x f x ε'≤-+<，故()g x 在R 上的每一点都右连续．13 举出定义在[0,1]上分别符合下述要求的函数． (1) 只在12、13和14三点不连续的函数．解：取1()(21)(31)(41)f x x x x =---即可．(2) 只在12、13和14三点连续的函数．解：取111()()234f x x x x D x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可，其中()D x 为狄立克雷函数． (3) 只在1n(1,2,)n = 上间断的函数．解：取11()(1)nk f x kx ==-∏即可．(4) 只在0x =右连续，而在其它点都不连续的函数．解：取10,()0,0x x Qf x xx x Q x Q<∈⎧⎪=≥∈⎨⎪∈⎩即可．§4.2 连续函数的性质一 基本内容一、连续函数的局部性质性质1 (局部有界性) 若函数()y f x =在0x 点连续，则()y f x =在0x 的某邻域0()U x 内有界． 性质2 (局部保号性) 若函数()y f x =在点0x 连续，且0()0f x >，则00,(,)x U x δδ∃>∍∈“()0f x ⇒>”． 性质3 (四则运算) 若函数()f x 、()g x 在0x 点连续，则()()()()f x g x f x g x ±⋅、、0() (()0)()f xg x g x ≠亦在0x 连续．性质4 (复合函数连续性) 若函数()u f x =在0x 点连续，()y g u =在0u 点连续，00()u f x =，则复合函数()()y g f x =在点0x 连续．实质：复合函数 y = g ( f (x ))在0x 点的连续性给出()00lim (())lim ()x x x x g f x g f x →→=()0lim x x g f x →⎛⎫= ⎪⎝⎭．二、闭区间上连续函数的基本性质性质 1 (有界性) 如果()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有界．即 > 0M ∃，[,]()x a b f x M ∍∈⇒≤“”． 性质2 (最值性) 如果()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值、最小值，即12,[,],x x a b ∃∈{}2[,]()max (),x a b f x f x ∈∍=“{}1[,]()min()x a b f x f x ∈=”．性质3 (零点存在性) 如果()f x 在[a , b ]上连续，且()()0f a f b ⋅<，则00(,),()0x a b f x ∃∈∍=“”． 性质4 (介值性) 如果()f x 在[a , b ]上连续，且()()f a f b ≠，则μ∀介于 f a f b (),()之间，00(,),()x a b f x μ∃∈∍=“”， 即()f a 与()f b 之间的任一数在f 下都有原象．介值性指出，函数()f x 的值域为[ m , M ]，其中[,]m in {()}x a b m f x ∈=，[,]m ax {()}x a b M f x ∈=．三、反函数的连续性定理1 若函数()y f x =在[,]a b 上严格单调并连续, 则其反函数1()x f y -=在函数()y f x =的值域上连续．四、一致连续性设()f x 在区间 I 上有定义，如果0,()0,εδε∀>∃>,,()()x x I x x f x f x δε'''''''''∍∀∈-<⇒-<“”， 则称()f x 在区间I 上一致连续．定理2 (康托定理) 若函数()y f x =在[,]a b 连续，则函数()y f x =在[,]a b 一致连续．二 习题解答1 讨论复合函数f g 与g f 的连续性，设(1) 2()s g n , ()1f x x g x x ==+； (2) 2()s g n , ()(1)f x xg x x x ==-． 解：(1) ()s g n f x x =在0x =点间断，2()1g x x =+在R 上连续，而 ()2()sgn(1)1f g x x =+= 在R 上连续．()210()1(sgn )2x g f x x x =⎧=+=⎨≠⎩ 在0x =点间断．(2) ()s g n f x x=在0x =点间断，2()(1)g x x x =-在R 上连续，而 ()()21(,1)(0,1)()sgn (1)01,0,11(1,0)(1,)x f g x x x x x -∈-∞-⎧⎪=-==-⎨⎪∈-+∞⎩在1,0,1x =-上间断．()()2()1(sgn )sgn 0g f x x x =-= 在R 上连续．2 设(),()f x g x 在点0x 连续，证明 (1) 若00()()f x g x >，则0(, )U x δ∃，0(,)()()x U x f x g x δ∍∈⇒>“”．证：设()()()F x f x g x =-，则因为(),()f x g x 在点0x 连续，所以()F x 在点0x 连续．又000()()()0f xg x F x >⇒>，由保号性知 00,(, )()0x U x F x δδ∃>∍∈⇒>“”．从而0(,)()()x U x f x g x δ∈⇒>．(2) 若在某0()U x 内有()()f x g x >，则00()()f x g x ≥．证：设()()()F x f x g x =-，则因为(),()f x g x 在点0x 连续，所以()F x 在点0x 连续．又0()x U x ∀∈，()()()0f x g x F x >⇒>，由保号性知0lim ()()0x x F x F x →=≥．从而00()()f x g x ≥．3 设(),()f x g x 在区间I 上连续，记()max{(),()}, ()min{(),()}F x f x g x G x f x g x ==，证明()F x 和()G x 也都在I 上连续．证：因为()()()()()max{(),()}2f xg x f x g x F x f x g x -++==， ()()()()()min{(),()}2f xg x f x g x G x f x g x +--==，所以由连续函数的性质知结论成立．4 设()f x 为R 上连续函数，常数0C >，记()()() () ()C f x C F x f x f x C C f x C-<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩若若若，证明()F x 在R 上连续．证：因为{}()m a x ,m i n {,()}F x C Cf x =-，由于()y f x =在R 上连续，y C =在R 上连续，所以()m i n {,()}g x C f x =在R 上连续，从而{}()max ,min{,()}F x C C f x =-在R 上连续．5 设,0()sin , (),0x x f x x g x x x ππ-≤⎧==⎨+>⎩，证明复合函数f g 在0x =点连续，但()g x 在0x =不连续．证：因为()()sin f g x x =- ，所以f g 在0x =点连续，而0lim ()x g x π-→=-，0lim ()x g x π+→=，所以()g x 在0x =不连续．6 设()f x 在[,)a +∞上连续,且lim ()x f x →+∞存在，证明()f x 在[,)a +∞上有界．又问()f x 在[,)a +∞上必有最大值或最小值吗？证：设lim ()x f x A →+∞=，则由局部有界性知11,0,()M X x X f x M ∃∃>∍>⇒≤“”，又()f x 在[,)a +∞上连续，从而()f x 在[,]a X 上有界，即22,[,]()M x a X f x M ∃∍∈⇒≤“”，取12max{,}M M M =，则[,)x a ∀∈+∞，()f x M ≤．故()f x 在[,)a +∞上有界．但()f x 在[,)a +∞上不一定有最大或最小，例如()arctan f x x =在[0,)+∞上连续，lim ()2x f x π→+∞=，而()f x 在[0,)+∞上无最大． 又如()arc cot f x x =在[0,)+∞上连续，lim ()0x f x →+∞=，而()f x 在[0,)+∞上无最小．7 若0ε∀>，()f x 在[, ]a b εε+-上连续，能否由此推出()f x 在(,)a b 内连续． 解：()f x 在(,)a b 内连续．实因：0(,)x a b ∀∈，00,[,]x a b εεε∃>∍∈+-“”，由()f x 在[, ]a b εε+-上连续知()f x 在0x x =点连续，从而()f x 在(,)a b 内连续．8 请看下列结论是否正确?(1) 若[,](,)a b αβ∀⊂,()f x 在[,]αβ内连续,则()f x 在(,)a b 内连续； (2) 若[,](,)a b αβ∀⊂,()f x 在[,]αβ内有界,则()f x 在(,)a b 内有界；(3) 若[,](,)a b αβ∀⊂，()f x 在[,]αβ有最大值，则()f x 在(,)a b 内有最大值． 解：(1) 结论成立．实因：0(,)x a b ∀∈，0[,](,),[,]a b x αβαβ∃⊂∍∈“”，由()f x 在0x x =点连续知()f x 在(,)a b 内连续．(2) 结论不成立．例如1(),(0,1)f x x x=∈，[,](0,1)αβ∀⊂，[,]x αβ∀∈，10()f x α<≤，所以1()f x x=在[,]αβ上有界，但1()f x x=在(0,1)内无界．(3) 结论不成立．例如1(),(0,1)f x x x=∈[,](0,1)αβ∀⊂，[,]x αβ∀∈，10()f x α<≤，所以1()f x x=在[,]αβ上有最大值1α，但1()f x x=在(0,1)内最大值．9 求极限． (1) 4l i m ()t a n x xx ππ→-．解：因为()()tan f x x x π=-在4x π=处连续，所以43lim ()tan tan 444x x x ππππππ→⎛⎫-=-=⎪⎝⎭．(2) 1lim1x x +→+．解：因为()1f x x =+在1x =点右连续，所以1lim 12x x +→=+10 证明()f x 若在[,]a b 上连续，且[,], ()0x a b f x ∀∈≠，则()f x 在[,]a b 上恒正或恒负．证：假设1212,[,],()()0x x a b f x f x ∃∈∍⋅<“”，则由零点存在定理，ξ∃介于12,x x 之间，()0f ξ∍=“”，此与[,], ()0x a b f x ∀∈≠矛盾，故结论成立．11 证明任一实系数奇次方程至少有一个实根．证：设()0f x =为实系数奇次方程，则lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，从而1212,,()()0x x R f x f x ∃∈∍⋅<“”，由零点存在定理知,()0R f ξξ∃∈∍=“”．故任一实系数奇次方程至少有一个实根．12 试用一致连续的定义证明若(),()f x g x 都在区间I 上一致连续，则()()f x g x +也在I 上一致连续． 证：因为(),()f x g x 都在区间I 上一致连续，所以0ε∀>，()()()0,,,()()f x f x x x I x x g x g x εδεδε'''⎧-<⎪''''''∃>∍∀∈-<⇒⎨'''-<⎪⎩“”，于是,,x x I x x δ''''''∀∈-<时，()()()()()()f x g x f x g x ''''''+-+()()()()2f x f x g x g x ε''''''≤-+-<．故()()f x g x +在I 上一致连续．13证明()f x =[0,)+∞上一致连续．提示：[0,)[0,1][1,)+∞=+∞ ． 证：0,(0,1]x x ∀∈，因为=<，所以0ε∀>，取δ=，则0x x δ-<ε-<，故()f x =(0,1]上连续．又0ε∀>，取2δε=，当0x δ-<0ε<，故()f x =在0x =点连续，从而()f x =在[0,1]上连续，于是()f x =在[0,1]上一致连续．再0,[1,)x x ∀∈+∞，因为0x x =<<-，所以0ε∀>，取δε=，则0x x δ-<时，ε-<，故()f x =[1,)+∞上一致连续．综上可知，()f x =[0,)+∞上一致连续．14 证明2()f x x =在任意[,]a b 上一致连续，但在(,)-∞+∞上非一致连续． 证：0,[,]x x a b ∀∈，220000()()f x f x x x x x x x -=-=+⋅-02max{,}a b x x ≤⋅-，所以0ε∀>，取2m ax{,}a b εδ=，则0,[,]x x a b ∀∈，00()()x x f x f x δε-<⇒-<，故2()f x x =在任意[,]a b 上一致连续．而在(,)-∞+∞上，取01ε=，0δ∀>，取1x δδ'=+，12x δδ''=+，则2x x δδ'''-=<，而22222113()()1124x x δδδδδ⎛⎫⎛⎫'''-=+-+=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()f x x =在(,)-∞+∞上非一致连续．15 设函数()f x 在区间I 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即0L ∃>，,()()()x x I f x f x L x x '''''''''∍∀∈⇒-≤-“”．证明()f x 在I 上一致连续．证：因为()f x 在区间I 上，0L ∃>，,()()()x x I f x f x L x x '''''''''∍∀∈⇒-≤-“”，所以0ε∀>，取Lεδ=，则,x x I '''∀∈，x x δ'''-<时，()()()f x f x L x x ε''''''-≤-<，故()f x 在I 上一致连续．16 证明sin x 在(,)-∞+∞上一致连续． 证：因为,(,)x x '''∀∈-∞+∞，sin sin 2sincos22x x x x x x x x ''''''-+''''''-=<-，所以0ε∀>，取δε=，则,(,)x x '''∀∈-∞+∞，当x x δ'''-<，sin sin x x ε'''-<，故sin x 在(,)-∞+∞上一致连续．17 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞存在，证明()f x 在[,)a +∞上一致连续．证：因为lim ()x f x →+∞存在，所以由柯西收敛准则知0ε∀>，0X ∃>，,()()x x X f x f x ε''''''∍>⇒-<“”，从而()f x 在[,)X +∞上一致连续．又()f x 在[,)a +∞上连续，所以()f x 在[,]a X 上一致连续， 故()f x 在[,)a +∞上一致连续．18 设函数()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，证明0[0,]x a ∃∈，00()()f x f x a ∍=+“”．证：作函数()()()F x f x f x a =-+，则(0)(0)()F f f a =-，()()(2)()(0)F a f a f a f a f =-=-，从而当(0)()f f a =时，取00x =即，当(0)()f f a ≠时，因(0)()0F F a <，所以由零点存在定理知0[0,]x a ∃∈，0()0F x ∍=“”，即00()()f x f x a =+，故结论成立．19 设()f x 为[,]a b 上的增函数，其值域为[](),()f a f b ，证明()f x 在[,]a b 上连续．证：假设0[,],()x a b f x ∃∈∍“在0x x =点间断”，则因()f x 为[,]a b 上的增函数知0(0)f x -，0(0)f x +存在，且00()(0)(0)()f a f x f x f b ≤-<+≤，从而()00(0),(0)f x f x ξ∀∈-+，ξ无原象，此与值域为[](),()f a f b 矛盾，故()f x 在[,]a b 上连续．20 设()f x 在[,]a b 上连续，12,,,[,]n x x x a b ∈ ，证明[,]a b ξ∃∈，[]121()()()()n f f x f x f x nξ∍=+++“” ．证：作函数[]12()()()()()n F x nf x f x f x f x =-+++ ，不妨设12()()()n f x f x f x ≤≤≤ ，则1()0F x <，()0n F x >，由零点存在定理知[,]a b ξ∃∈，()0F ξ∍=“”，即[]121()()()()n f f x f x f x nξ=+++ ，故结论成立．21证明()cosf x=在[0,)+∞上一致连续．提示：[0,)[0,1][1,)+∞=+∞，在[0,)+∞上成立不等式cos x x'''-≤-≤-．证：因为()f x=在[0,1]上连续，所以在[0,1]上一致连续．又,[1,)x x'''∀∈+∞，cos x x'''-≤-≤-，所以0ε∀>，取δε=，则,[1,)x x'''∀∈+∞，x xδ'''-<时，cosε-<，故()f x=在[1,)+∞上一致连续．从而()f x=在[0,)+∞上一致连续．§4.3 初等函数的连续性一基本内容所有初等函数在其定义域内连续．利用连续性求极限准则：()00lim()lim()x x x xf x f x f x→→==．二习题解答1 求下列极限．(1)2c o s5l i m1l n(1)xxe xx x→+++-．解：因为2cos5()1ln(1)xe xf xx x+=++-在0x=点连续，所以2cos5lim61ln(1)xxe xx x→+=++-．(2) limx→+∞．解：lim limx x→+∞→=1lim2x→+∞==．(3)01l i m x x +→⎛⎝．解：0lim x +→⎛⎝lim x +→=lim 1x +→==．(4)l i x →+∞．解：limlim1x x →+∞→+∞==．(5) c o tl i m (1s i n )x x x →+．解：cot 0lim (1sin )xx x →+1cos 1sin sin 0lim (1sin )lim (1sin )x xxx x x x e -→→=++=．(6) 11l i m 2xx x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解：11(2)(2)111lim lim 122x xx x x x x e x x ++-+⋅-+-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．(7) 4121121lim 2x x x x x +-→+⎛⎫⎪-⎝⎭． 解：414122212121122121lim lim 122x x xxx x x x x x e x x ++----→→⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦．(8) ()10l i m c os s i x x x x →+． 解：()1lim cos sin x x x x →+ ()1cos sin 1cos sin 1lim 1cos sin 1x x x x xx x x +-+-→=++-，而20cos sin 1sin 1cos limlim 1x x x x xx x xx x →→+--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以 ()1lim cos sin x x x x e →+=．(9) ()1c o s 24l i m t a n x x x π→．解：()()11tan 1cos 2tan 1cos 244lim tan lim 1tan 1x xx xx x x x ππ-⋅-→→=+-，而2244tan 1sin cos limlimcos 2cos (cos sin )x x x x x xx x x ππ→→--=-41lim1cos (cos sin )x x x x π→==+，所以()1cos 24lim tan x x x e π→=．(10) 11lim sincosxx xx →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解：1111lim sin cos lim 1sin cos 1xxx x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos 11111sin cos 111lim 1sin cos 1x x xx xx x x +-⋅+-→∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，而11sincos 1lim11x xxx→∞+-=，所以11lim sin cos xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(11) 1s i nl i m s i n x a x a x a -→⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：1sin sin sin sin sin sin ()sin sin sin lim lim 1sin sin ax ax ax a a x a x ax a x x a a a ----→→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而sin sin sin sin limlimcot sin ()()sin x ax ax a x aa a x a x a a →→--==--，所以1cot sin lim sin x aax a x ea -→⎛⎫= ⎪⎝⎭．2 设lim 0,lim n n n n a a b b →∞→∞=>=．证明lim nb b n n a a →∞=．提示：ln n n nb b a n a e=．证：因为ln nnnb b a n a e =，而lim 0,lim n n n n a a b b →∞→∞=>=，所以ln ln lim lim nn nb b a b abnn n a eea →∞→∞===．3 试证方程ln (0)x x αα=<在R +上仅有一实根． 证：设()ln , (0)f x x x αα=-<，则lim ()lim (ln )x x f x x x α→+∞→+∞=-=-∞，从而11,()0x f x ∃∍<“”，0lim ()lim (ln )x x f x x x α++→→=-=+∞，于是22,()0x f x ∃∍>“”，由零点存在定理知ξ∃介于12,x x 之间，()0f ξ∍=“”，故方程ln (0)x x αα=<在R +上有实根． 又在R +上，y x α= ，ln y x =- ，从而在R +上，()y f x = ， 所以方程ln ,(0)x x αα=<在R +上只有一个实根．4 试证方程57160123x x x ++=---在区间(1,2)与(2,3)中各有一个实根．证：设5716()123f x x x x =++---，则1lim ()x f x +→=+∞，2lim ()x f x -→=-∞，且在(1,2)上，y =，y =，y =，所以在(1,2)上，716()23f x x x =+-- ，故57160123x x x ++=---在区间(1,2)内有一个实根．同理可证，57160123x x x ++=---在区间内(2,3)有一个实根．故结论成立．总练习题41 设函数()f x 在(,)a b 内连续，且(0)f a +与(0)f a -为有限值，证明若(,)a b ξ∃∈，{}()max (0),(0)f f a f a ξ∍≥+-“”，则()f x 在(,)a b 内能取到最大值．证：因为(,)a b ξ∃∈，{}()max (0),(0)f f a f a ξ∍≥+-“”，所以由保号性知12,(,)x x a b ∃∈，12x x ξ∍<<“且12(,)(,),()()x a x x b f x f ξ∀∈≤”又()f x 在12[,]x x 内连续，由闭区间上连续函数的性质知，012012[,],()max{():[,]}x x x f x f x x x x ∃∈∍=∈“”，从而0()()f x f ξ≥，于是(,)x a b ∀∈，0()()f x f x ≥，故结论成立．2 若()f x 在(,)U a δ内有定义，且[]0lim ()()0h f a h f a h →+--=，试问()f x 在x a =是否连续？解：否．例如sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，而[]00sin sin(lim (0)(0)lim 0h h hh)f h f h hh →→-⎡⎤+--=--=⎢⎥-⎣⎦，但()f x 在0x =不连续．3 若()f x 在(,)U a δ内有定义，且[][]{}0lim ()()()()0h f a h f a f a h f a →+-+--=.试问()f x 在x a =点是否连续？解：否．例如()sgn f x x =，而{}0lim [(0)()][(0)()]0h f h f a f h f a →+-+--=，但()f x 在0x =不连续．4 设函数()f x 在区间I 上连续，证明(1) 若x Q I ∀∈ ,()0f x =，则x I ∀∈，()0f x =； (2) 若12,x x Q I ∀∈ ,1212()()x x f x f x <⇒<,则()f x ．证：(1) 假设0x I ∃∈，0()0f x ∍≠“”，不妨设0()0f x >，因函数()f x 在区间I 上连续，所以由保号性知0()U x ∃，0()()0x U x I f x ∍∈⇒>“” ，此与x Q I ∀∈ ,()0f x =矛盾，故x I ∀∈，()0f x =．(2) ,x x I '''∀∈，x x '''<，则{},2n x x r Q x '''+⎛⎫''∃⊂ ⎪⎝⎭，{}n r '∍“ ，且1n r x '→”，{},2n x x r Q x '''+⎛⎫''''∃⊂ ⎪⎝⎭，{}n r ''∍“ ，且2n r x ''→”，于是由连续性知()n f r ' 且1lim ()()n n f r f x →∞'=，()n f r '' 且2lim ()()n n f r f x →∞''=，从而12()()f x f x <，故()f x ．5 设有正数123,,a a a ，数123λλλ<<，证明方程3121230a a a x x x λλλ++=---在区间12(,)λλ与23(,)λλ内各有一根．证：设123231()()()()()f x a x x a x x λλλλ=--+--312()()a x x λλ+--，则()f x 在R 上连续，因为123,,0a a a >，123λλλ<<，所以1123()()()0f a x x λλλ=-->， 2231()()()0f a x x λλλ=--<， 3312()()()0f a x x λλλ=-->．从而()f x 在区间12(,)λλ与23(,)λλ内有根．由于()f x 至多有两个根，所以()f x 在区间12(,)λλ与23(,)λλ内各有一根．设()f x 的两个根为12,x x ，令312123()a a a g x x x x λλλ=++---则11123()()0()()()f x g x x x x λλλ==---，22123()()0()()()f xg x x x x λλλ==---，故方程3121230a a a x x x λλλ++=---在区间12(,)λλ与23(,)λλ内各有一根．6 设()f x 在[,]a b 上连续，且1[,],[,],()()2x a b y a b f y f x ∀∈∃∈∍=“”．证明[,],()0a b f ξξ∃∈∍=“”．证：因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上连续，从而()f x 在[,]a b 上可取到最小值．设{}()min ():[,]m f f x x a b ξ==∈，如果0m =，则结论成立．若0m ≠，则由题设知1[,],()()22m y a b f y f m ξ∃∈∍==<“”，此与{}()min ():[,]m f f x x a b ξ==∈矛盾，故结论成立．7 设()f x 在[,]a b 上连续，12,,,[,]n x x x a b ∈ ，正数12,,,n λλλ ，121n λλλ∍+++=“” ，证明[,]a b ξ∃∈，∍“1122()()()()n n f f x f x f x ξλλλ=+++” ．证：设1122()()()()()n n F x f x f x f x f x λλλ⎡⎤=-+++⎣⎦ ，不妨设12()()()n f x f x f x <<< ，则111122()()()()()n n F x f x f x f x f x λλλ⎡⎤=-+++⎣⎦111211()()()()0n f x f x f x f x λλλ⎡⎤<-+++=⎣⎦ ，1122()()()()()n n n n F x f x f x f x f x λλλ⎡⎤=-+++⎣⎦12()()()()0n n n n n f x f x f x f x λλλ⎡⎤>-+++=⎣⎦ ，从而由零点存在定理知[,]a b ξ∃∈，()0F ξ∍=“”，故[,]a b ξ∃∈，∍“1122()()()()n n f f x f x f x ξλλλ=+++” ．8 设()f x 在[0,)+∞上连续，且满足[0,),0()x f x x ∀∈+∞≤≤，取10a >，1(),1,2,n n a f a n +== ，证明(1) 数列{}n a 收敛； (2) 设lim n n a t →∞=，则()f t t =；(3) 若[0,),0()x f x x ∀∈+∞≤<，则0t =．证：(1) 因为1,()n n n n a f a a +∀=≤，所以{}n a ，且有下界0，故数列{}n a 收敛． (2) 因为lim n n a t →∞=，所以在1()n n a f a +=两边取极限则得()f t t =．(3) 假设0t ≠，则由lim n n a t →∞=知0t >，且()f t t =，此与[0,)x ∀∈+∞，0()f x x ≤<矛盾，故0t =．9 设()f x 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =，证明,[0,1],n N ξ+∀∈∃∈∍“1()f f n ξξ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”． 证：当1n =时，取0ξ=即知结论成立．当1n >时，作函数1()()F x f x f x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则1(0)(0)F f f n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121F f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111n n F f f n n --⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而121(0)(1)(0)0n F F F F f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若 121(0),,,,n F F F F n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭全为零，则结论成立．若121(0),,,,n F F F F n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭不全为零，则至少有两项异号，于是由零点存在定理知[0,1],()0F ξξ∃∈∍=“”．故,[0,1],n N ξ+∀∈∃∈∍“1()f f n ξξ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”．10 设()f x 在0x =点连续，且,,()()()x y R f x y f x f y ∀∈+=+，证明(1) ()f x 在R 点连续； (2) ()(1)f x f x =．证：(1) 0x R ∀∈，因为()f x 在0x =点连续，所以0l i m ()(0)x f x f→=，从而[]0000lim ()lim()()()x x x x f x f x x f x f x →→=-+=，故()f x 在R 点连续．(2) 显然0x =时结论成立．由于(2)(1)(1)2(1)f f f f =+=，所以由归纳法知,()(1)n N f n f n +∀∈=，又111(1)2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)22f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而由归纳法亦有11,(1)m N f f m m +⎛⎫∀∈=⋅⎪⎝⎭，于是 1111(1)n n f f n f f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++==⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 再(1)(1)()(1)(1)()f f n f n n f f n =++-=++-，所以()(1)f n n f -=-．综上可知，,()(1)r Q f r f r ∀∈=．于是由连续性与稠密性知,()(1)x R f x f x ∀∈=．11 设定义在R 上的函数()f x 在0,1两点连续，且2,()()x R f x f x ∀∈=，证明,()x R f x C ∀∈≡．提示：易见()f x 为偶函数，12,()()(1)nx R f x f x f +∀∈=→，从而得0x ≠时，()(1)f x f =，又(0)l i m ()(1)x f f x f →==．证：因为2,()()()x R f x f x f x ∀∈-==，所以()f x 为偶函数，故只须证明,()x R f x C +∀∈≡即可．由2()()f x f x =得2()()nf x f x =，从而12()()nf x f x =，于是12,()lim ()(1)nn x R f x f x f +→∞∀∈==．又当01x <<时，2()lim ()(0)nn f x f x f →∞==，故 ,()x R f x C ∀∈≡．12 设2122()lim1n nn xax bx f x x-→∞++=+是连续函数，求,a b 的值．解：当1x <时，2()f x ax bx =+．当1x >时，1()f x x=，当1x =时，1(1)(1)2f a b =++，1(1)(1)2f a b -=--由()f x 连续得1(1)21(1)2a b a b a b a b ⎧+=++⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，即11a b a b +=⎧⎨-=-⎩，所以01a b =⎧⎨=⎩为所求．13 设sin sin sin ()lim sin xt xt x t f x x -→⎛⎫=⎪⎝⎭，求()f x ，讨论其间断点并指出其类型． 解：sin sin sin ()lim sin x t xt xt f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭sin sin sin sin sin sin lim 1sin x xt x xt x t x x ⋅-→-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin xxe=．所以0x =是其可去间断点．14 研究下列函数的连续性．(1) 设2,1()2,1x x y f x x x ⎧≤==⎨->⎩，,1()4,1x x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，研究[()]f g x 的连续性．解：2,1[()]2,1x x f g x x x ⎧≤=⎨-->⎩，所以[()]f g x 在1x =点间断．(2) 设1,1()0,1x y f x x ≤⎧==⎨>⎩，,1()5,1x x g x x ≤⎧=⎨>⎩，研究[()]f g x 的连续性．解：1,1[()]0,1x f g x x ≤⎧=⎨>⎩，所以[()]f g x 在1x =点间断．15 (选择题)设21,10(),012,12x x f x x x x x ⎧--≤<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩，则结论( )正确． (A) 在0x =，1x =处间断 (B) 在0x =，1x =处连续 (C) 在0x =间断，1x =处连续 (D) 在0x =连续，1x =处间断 答：Ｃ16 设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，证明：(,)a b ξ∃∈，()()()()pf c qf d p q f ξ∍+=+“”，其中,p q 为任意正常数．证：如果()()f c f d =，则取c ξ=即知结论成立．如果()()f c f d ≠，不妨设()()f c f d <，则()()()()()p f c q f d f d f c f d p q+<<+，而()f x 在[,]a b 上连续知()f x 在[(),()]f c f d 上连续，故由介值性定理知结论成立．17 设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，且12,,,(,)n x x x a b ∈ ，证明：(,)a b ξ∃∈，121()[()()()]n f f x f x f x nξ∍=+++“” ．证：设12min{(),(),,()}n m f x f x f x = ， 12max{(),(),,()}n M f x f x f x = ，于是121[()()()]n m f x f x f x M n≤+++≤ ，故由介值性定理知结论成立．。