巧用极值不等式 定和求积觅极值
行测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题
⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题 做了许多⾏测模拟题还是没有有效的提升⾃⼰的分数？那是你没有掌握⼀些技巧和重点，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题 极值问题在⾏测数学运算中被考察的⼏率很⼤，这类题⽬的解答⽅法⽐较多，对这类知识的考查也有可能会成为近⼏年的重点。
下⾯就讲解⼀下均值不等式解极值问题的应⽤。
⼀、什么是均值不等式 ⼆、均值不等式的应⽤ 1、和⼀定，求积最⼤。
由上述推论可知，当正实数a、b的和为定值时，a与b的乘积可取到最⼤值，当且仅当a=b时取到。
【试题再现】某苗⽊公司准备出售⼀批苗⽊，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗⽊单价每提⾼0.4元，就会少卖10000株。
问在最佳定价的情况下，该公司最⼤收⼊是多少万元?A.60B.80C.90D.100 【答案】C。
解析：总收⼊=售价×销量。
设最佳定价在4元每株的基础上提⾼0.4x元，则销量会在20万株的基础上少卖x万株故。
收⼊=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)。
求收⼊的最⼤值，即求(10+x)×(20-x)的最⼤值。
因为(10+x)+(20-x)=30，即(10+x)与(20-x)的和⼀定，当且仅当10+x=20-x，x=5时，(10+x)×(20-x)取到最⼤值(10+5)×(20-5)=225，故公司最⼤收⼊为0.4×225=90万元，选C。
2、积⼀定，求和最⼩。
由上述推论可知，当正实数a、b的乘积为定值时，a与b的和可取到最⼩值，当且仅当a=b时取到。
【试题再现】某村民要在屋顶建造⼀个长⽅体⽆盖贮⽔池，如果池底每平⽅⽶的造价为150元，池壁每平⽅⽶的造价为120元，那么要造⼀个深为3⽶容积为48⽴⽅⽶的⽆盖贮⽔池最低造价是多少元?A.6460B.7200C.8160D.9600 【答案】C。
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常见的一种不等式形式，可以用于求解各种最值问题。
该不等式提供了一种有效的方法来估算函数的最大值和最小值。
均值不等式最常见的形式是算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意一组非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$其中，算术平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的和除以$n$，而几何平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的乘积开$n$次方。
均值不等式的证明可以通过数学归纳法和对数函数的单调性来完成，具体证明过程超出本文篇幅，不过可以查阅相关数学教材进行学习。
步骤1：确定题目要求求解的最值问题，明确自变量和因变量。
一般来说，最值问题都是求解一些函数的最大值或最小值。
步骤2：将问题转化为均值不等式的形式。
利用均值不等式，可以将函数中的一些项转化为均值的形式，进而简化问题求解过程。
步骤3：确定均值的形式。
根据函数中的项，可以选择合适的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。
步骤4：利用均值不等式进行变换。
将问题中的需要求解的部分，利用均值不等式进行变换，得到简化后的表达式。
步骤5：求解均值不等式中的最值问题。
根据均值不等式，可以得到简化后的表达式的最值。
具体求解方法，根据实际问题采取不同的手段，如求导法、取等法等。
步骤6：将最值结果回代到原始问题中。
将得到的最值结果回代到原始问题中，得到最终的结果。
下面通过一个简单的例子来说明利用均值不等式求最值的方法。
例题：已知$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，求$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。
解答：步骤1：确定题目要求求解的最值问题。
题目要求求解函数$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。
它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。
使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。
1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。
不同的均值不等式适用于不同的情况。
在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。
通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。
2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。
条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。
只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。
3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。
如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。
变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。
4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。
找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。
例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。
5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。
例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。
这样可以提高问题的求解效率和准确性。
综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。
同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
用均值不等式求最值的若干技巧
用均值不等式求最值的若干技巧均值不等式当且仅当a＝b时等号成立)是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，用均值不等式求最大值，和一定是固定值或者乘积一定是固定值。
这是两个公式乘积的形式，但和不是固定值。
通知是一个固定值，所以只需给它加上一个系数。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
总结:这个问题不能直接用均值不等式来解决，但是系数集合后可以得到和为定值，所以用均值不等式可以得到最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
总结:本题需要调整项的符号，匹配项的系数，使其乘积为定值。
3. 分离例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离。
当，即(当且仅当x＝1时取“＝”号)。
当，即时(当且仅当x＝－3时取“＝”号)。
∴的值域为。
小结：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为解法2：将分子中的1用代换。
小结：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的乘积是一个固定值，即平均不等式得到的最小值。
三、换元例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号。
故。
总结:本题目通过换元法将问题简化，化为求大家熟悉的分式函数的最大值问题，从而为结构积为定值创造了有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
小结：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
均值不等式在解物理极值中的应用
均值不等式在解物理极值中的应用均值不等式：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即（a 1+a 2+…+a n ）/n ≥(a 1a 2…a n )1/n 当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。
一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。
常用的正数为两个和三个：如果a ，b 为正数，那么有：ab b a 2≥+ ，当且仅当a=b 时，上式取“=”号。
若两个正数的积一定，则两数相等时和最小；若两个正数的和一定，则两数相等时积最大。
如果a ，b ，c 为正数，则有33abc c b a ≥++，当且仅当a=b=c 时，上式取“=”号。
若三个正数的积则当三数相等时和最小；若三个正数的和一定则三数相等时积最大。
下面举例来说明利用均值不等式解决一些物理极值问题例1.某点电荷Q 分成q 和（Q-q ）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库仑力为最大值的条件是（ ）两电荷间库仑力F=k q （Q-q ）/r 2, q+（Q-q ）的和一定，当q=（Q-q ）时，库仑力F 才有最大值，例2.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。
假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（ ） a.地球与月球间的万有引力将变大 b.地球与月球间的万有引力将变小 c.月球绕地球做圆周运动的周期将变长d.月球绕地球做圆周运动的周期将变短地月间万有引力F=GMm/r 2，M+m 和一定，长时间地搬运，导致M 、m 的差值变大，即M 、m 的乘积变小，选b 。
例3：在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在离水面多高处，才能使得从小孔中喷出的水射程最远？解析：从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中水面离桌面高H ，小孔离水面为h ，如图1由机械能守恒定律易得从小孔射出的水流初速度为：gh 2v =从小孔喷出的水在空中运动时间为：g)h H (2t -=， 图1所以水的水平射程为：)h H (h 2g)h H (2gh 2vt x -=-⋅==， 因H )h H (h =-+是一定值，所以当h H h -=，即：2Hh =时，水平射程s 有极大值，其值为：H x max =例4. 如图2所示，为一稳压电路，电源电动势为E ，内阻为r ，负载电阻为R ，求当R 取何值时电源的输出功率为最大值，并求出最大值？图2解析：设电源的输出功率为P ，则有P E r R R E rRR r =+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++2222 因为(/)r R R r 22·=（定值），故当r R R 2/=时，即R r =时，r R R 2/+有最小值2r ，这时P 为最大值P max ，即P E rmax=24 例5、一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图3所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ…………①小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：221cos mv mgL =θ……………②解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θB)sin sin cos 2(21)sin cos 2(21sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅===y2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又由基本不等式abc c b a 3≥++知：当且仅当θθ22sin cos2=，y 有最大值33cos cos 1cos 222=-=θθθ：得由 ∴当33cos =θ时，y 及功率P 有最大值。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式2 . 2®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时，号成立:2S + ZP)注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：②熟悉一个重要的不等式链：-A-<v^<—<丄+丄2a b一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升慕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点, 均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例1⑴当0 <4时，求y = x(8-2x)的最大值。
(2)已知0vxvl,求函数y = -疋一/+兀+1的最大值。
解:y = -x2(x + l) + (x + l) = (x + l)(l-x2) = (x + l)2(l-x)当且仅当¥ = l — x，即x = |时，上式取“二”。
故儿琢°评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。
例2 求函数y = x2>J\-x2 (0<x<\)的最大值。
27当且仅当斗=(1 —/),即x = £时，上式取“二”。
故儿瘁=半。
2 3 9② a + b> 2y[cib <=> ab <(a、beRJ当且仅当&二b时，“日号成立:③ / + + c' »3abc 0 abc < -_"十"3/ d+/? + C、< 3 >(A)a + b + c>3y/abc <^> abc<(a、b、cer),当且仅当a二b二c时，“才号成立:(a、b、cwRT•当且仅当a = b = c时，“〜‘号成立.一“正”、二“定”、三“等”;=4•凹・斗1_归2 2x+i A+i 厶x y〒+〒+(宀)33227评注：将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件例3已知0vx<2,求函数y = 6x（4-x2）的最大值。
运用均值不等式的八类配凑方法
运用均值不等式的八类配凑方法(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y x x x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
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（ ２ ）小球从 Ａ点 自由释放滑到 Ｂ点的过程 中，机械能 守
恒，小球 离开 Ｂ点时的 速度 为ｖ ＝ ｘ ／ ２ ｇ Ｒ； 小 球 离 开 Ｂ点 毫 后
： 丝 ｇ ： 盟！． ： ： 垄 ： 苎
７
将数据 代入 ，整理 得 ：
学，将他们的龛垛任务演示或讲解一遍 ，最后 由教师来点评。有 些题 目有多种绘制方法， 哪些小组使用的方法最优也就一 目了然。 这样的小组式教学方式，一是能尽量使学生一个都不掉队。二是 能让学生灵活运用 Ｃ Ａ Ｄ命令 ， 促进学生的学习效果！ 在教学过程 中， 教学方法根据教学内容的不同可以灵活多样。 教 师可以充分运用现代教 学手段 ，丰富教学内容 。启发和诱导学 生进行拓展思维，调动学生各种感官参与教学活动 ，提高学 生学 习的积极 ｝ 生 ，提 高教 学效率。
李 栋
极值 问题是物理应用中常见 问题之一，解决这类问题的方法 在 水 平 方 向 上 Ｘ ＝ Ｖ ｃ ｔ ， 在 竖 直 Ａ －向 上 ２ Ｒ＝ ： ｇ ｔ ２ ／ ２ ， 可 得： 有几种，如 ． 次函数配方法、二次方程判别法、三角函数法、几 ｖ ｃ＝ 何 作 图法 ，对 于 同一 问题采 取方 法不 同 ，其 效果往往 并 一样 。 数学中有两个重要极值不等式，它们是 ： 榔 ： （ １ ）均值 不等式 为 ：
到成就感。这种学习的 自 信会激发求知的欲望和创造的冲动， 从
而发掘 出每 个人 本 已存在 的潜 能。 四、结束语
高职教育要培养出符合 市场需求的高技能、高素质人才，教 师 是教育 教学 任务的主力军，学生是课堂学习的主角。教师不仅 要精心对待每一节课 ，努力进行高职教学方法创新，尤其要关爱 每一位学生，让学生对学习有信心， 有兴 趣， 教学才有效，高效
厂 二 了
要使 力 Ｆ 做 的 功 最 少 ， 只 需
ａ ： ＋ ６ ： ＞ ２ ａ ｂ （ 可变 形 为ａ ｂ 、 ／ ！ — 一 ， 当ａ ＝ ｂ 时 取 等号）
在物理极值问题的讨论计算中恰当连用以上结论 ，是必简便
快捷 ，现举 几例 。
质点 在ｃ点 速度最小 ， 设质点 恰好通 过Ｃ 点的 连瘩为ｖ ，由 牛
顿 第 二 定 律 得 Ｉ ｎ ｇ ｍ ￣ ／ Ｒ ， 则 ： ， 则 有 ｖ ｃ ＝ Ｊ 姜 √ ， 可 得
ｘ ； ２ Ｐ ， 时， 力Ｆ 做 的功 最少， ＝ 懈
【 例１ 】 一正方形木块边长为 Ｈ， 在其右上方做成一个 １ ／ ４ 圆形光滑轨道 ， 半径为 Ｒ，让质量为 Ｍ 的小球从 Ａ点 自由释放
课 程 教 育 研究
Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
２ ０ １ ６ 年１ １ 月
下 旬 刊
考索 ・ 探微
ｆ ｌ ｏ 实操结束后， 还有一项重要环节， 就是每个小组推选一位同 老师的关爱。面对高职的学生，老师要尊重、理解和接纳他４
在教学过程中， 老师要给予每一位学生平等参与的机会， 要允许、 接受学生向老师提出质疑和挑战，也有必要向学生学习，倾听他 们的意见。使学生信任老师。师生感情上的交融必会使学生接受 老师的严格要求、严厉而善意的批评，从 而形成良性循环 ，对老 师布置的学习任务能欣然接受、努 力完成，在学习过程中渐渐找
空气柱，大气压强为 Ｐ ＝ ７ ５ 厘米汞柱，现使空气柱温度逐渐升高， 问欲使 管内水银全部溢出，温度至少升到 多高？ 析与解：设管内空气柱温度升 高到 Ｔ（ 开 ）。管内尚有水银 ，由此得：支持 柱 厘米，管的横截面积为 Ｓ ，则有
周运动 ，所受支持 力 Ｆ 与 Ｇ应满足Ｆ — Ｇ
’ ： ｇ
做平 抛 运动 ， 落 地时 间 为ｆ ＝ ． ／ ２ ， 由 此 得： 小 球水 平 射 Ｖ ｇ
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，最小的力为 Ｆ ＝ ｍｇ 。
到 Ｂ点的过程中，只有重力做功，小球的机
械 能 守恒 ，： ＝ ｍ ， 而小球 在 Ｂ点做 圆
【 例３ 】 如图， 粗细均匀的 玻璃管长 Ｌ ＝ １ ０ ０ 厘米，开口向上 坚直放置时，上 端齐管口有一段 ｈ ＝ ２ ５ 厘米的水银柱封闭着 ２ ７ ℃
（ ３ ）关爱学 生 孔子 《 学记》言—— “ 亲其师，信其道”：是说一个人 只有 在亲近、尊敬 自己的师长时，才会相信、学习师长所传授的知识 和道理。然，学生亲其师 ，师必先爱其生。 高职学！ 蔓 在初、高中阶段大多不是老师的宠儿，有的甚至和 老师很对立 但任何一个孩子的内心都希望 自已成绩好，能得到
课 堂就 一
（ 甘肃临泽一 中 ７ ３ ４ ２ ０ ０ ）
【 中图 ＼ 口 ｌ 类号 】 Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码 】 Ａ 【 文章编号 】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９（ ２ ０ １ ６ ） １ １ — ０ ２ ０ ５ — ０ ２
Ｊ 妻 ， 对 质 点 从 Ａ 到 ｃ 由 动 能 定 理 有 ： 一 愕 ． ２ Ｒ ＝ ，
（ ２ ）由 ｗ ， － 愕． ２ Ｒ ｊ １ ｍ 知
，
ｑ ＋ ｂ ≥ ０ ， （ 可 变 形 为 口 ６ ≤ ｌ ｌ ， 当 ａ ＝ ｂ 时 取 等 号 ）
（ ２ ）重要不等式为：
离开 Ｂ点做 平抛 运动 ， 问：
（ ３ ） 由 ＝
ｌ ６
一
＝ Ｆ ｘ ， 得， ＝ １ ” ｚ ｇ ｔ ． １ ６ Ｒ ＋ 妄 ） ， 由
（ １ ） 小球在 Ｂ点 时对轨道 的 压力 多大？ （ ２ ） 要 使 小球 平抛 运 动 的 水 平射 程 最 大 ，轨道 半径 Ｒ 与 Ｈ 应满足 怎样 的关 系？ 析 与解 ： （ １ ）小球从 Ａ点 自由释 放 滑