湖北省黄冈市黄梅县第二中学2020学年高二数学上学期期中试题 理

黄梅二中2020年秋季高二年级期中考试理科数学试题一、选择题（共12个小题，每小题5分，本题满分60分）1．命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，3210x x -+≤B ．0x R ∃∈，320010x x -+< C ．0x R ∃∈，320010x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3210x x -+>2．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．“若0a ≠或0b ≠，则0ab ≠”的否命题为:若0a =且0b =，则0ab =D ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题3.“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-5.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．()()22222x y -+-= B ．()()22222x y +++= C ．()()22222x y -++= D ． ()()22222x y ++-=6.已知双曲线()222107y x a a -=>的一个焦点与抛物线2116y x =的焦点重合，则实数a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2，则此双曲线方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2214y x -= D ．2212x y -=8．我们把由半椭圆()222210x y x a b +=>与半椭圆()222210y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆”（其中222,0a b c a b c =+>>>）．如图，设点012,,F F F 是相应椭圆的焦点，1A 、2A 和1B 、2B 是“果圆”与,x y 轴的交点，若012F F F ∆是腰长为1的等腰直角三角形，则,a b 的值分别为（ ） A ．5,4 B ．7,1 C ．21, D ．6,19.(),P x y 是圆()2211x y +-=上任意一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围是（ ）A ．[﹣1﹣2，2﹣1]B ．[2﹣1，+∞）C ．（﹣1﹣2，2﹣1）D ．（﹣∞，﹣2﹣1）10．已知经过椭圆1 ＝ ＋522y x 的焦点且与其对称轴成45︒的直线与椭圆交于,A B两点，则AB ＝( )． A ．352 B ．310C ．25D ．1011.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A 2B 1C 2D 1 12. 设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()2259x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 中点，则这样的直线l 有( )条。

A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数条二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆22:9O x y +=上到直线:l (4)0++=a x by （,a b 是实数）的距离为1的点有且仅有2个，则直线l 斜率的取值范围是 ．14．已知正三角形ABC ，若,M N 分别是,AB AC 的中点，则以,B C 为焦点，且过,M N 的椭圆与双曲线的离心率之积为 ．15. 过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆:C 2222x y a b+()10a b =>>相交于,A B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．16．已知12,F F 为椭圆()2221309x y b b+=>>的左右两个焦点，若存在过焦点12,F F 的圆与直线20x y ++=相切，则椭圆离心率的最大值为 ． 三、解答题17.（本小题满分10分）已知:p 2311≤--x ,:q ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝ 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知命题:p 方程22113x ym m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的方程22230x mx m +++=无实根， （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知圆M 过点()()1,1,1,1C D --且圆心M 在20x y +-=上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆M 的两条切线，,A B 为切点，求四边形PAMB 的面积的最小值．20. （本小题满分12分）已知,M N 是焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上两个不同的点且线段MN 中点A 的横坐标为42p -. （1）求MF NF +的值；（2）若2p =，直线MN 与X 轴交于点B ，求点B 的横坐标取值范围.21．（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆22:14x C y +=的左、右焦点．（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-u u u r u u u u r ，求点P 的坐标；（2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别是()()0,1,0,1-，且,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠．（1）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线；（2）当12m =-时，过点()1,0F 的直线l 交曲线E 于M 、N 两点，设N 关于x轴的对称点为Q （M 、Q 不重合），试问：直线MQ 与x 轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由。

黄梅二中2020年秋季高二年级期中考试 理科数学答案 ADABA CCDBA DC13.33,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.2 15.22 16. 17．解：由p ：2311≤--x .102≤≤-⇒x()().921101.,,11:,210:.110122≥⎩⎨⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以所以可得由18.【解答】解：（1）∵方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴，即，即﹣1＜m ＜1，∴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围是（﹣1，1）； （2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题， 则p ，q 为一个真命题，一个假命题， 若关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m 2﹣4（2m+3）＜0， 即m 2﹣2m ﹣3＜0，得﹣1＜m ＜3． 若p 真q 假，则，此时无解，柔p 假q 真，则，得1≤m ＜3，综上，实数m 的取值范围是[1，3）．19.解：(1)设圆M 的方程为 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2，根据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+--=--+-，，）（，）（02)1(1)1(1222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===，，，4112r b a 故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12｜AM ｜·｜PA ｜＋21｜BM ｜·｜PB ｜，又｜AM ｜＝｜BM ｜＝2，｜PA ｜＝｜PB ｜，所以S ＝2｜PA ｜，而｜PA ｜＝4222-=-PMAMPM，即S ＝242-PM.因此要求S 的最小值，只需求｜PM ｜的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得｜PM ｜的值最小，所以｜PM ｜min ＝224381413++⨯+⨯＝3，所以四边形PAMB 的面积的最小值为243242min2-=-PM＝25.20. （Ⅰ）证明：设1122(,),(,)M x y N x y 则12128,,22p p x x q MF x NF x +=-=+=+而 128MF NF x x p ∴+=++=（定值）……5分（Ⅱ）解：当2p =时，抛物线4C x =2：y ①若直线MN 斜率不存在，则(3,0)B ，……7分②若直线MN 斜率存在，设1122(3,t)(t 0)(,),(,)A M x y N x y ≠g ，则由21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2212124()y y x x -=- 1212122()4y y y y x x t-∴+=-，即kmn= 2:y t (x 3)MN t∴-=-B ∴点的横坐标为232t x =-由22(3)4y t x t y x ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩消去x 得：222221200012y ty t t -+-=><<V 由得：23(3,3)2t x ∴=-∈-又直线MN 斜率不存在时0t =综上，点B 的横坐标的取值范围为(3,3]-21.解：（1）因为椭圆方程为，知a=2，b=1，， 可得，，设P（x，y）（x＞0，y＞0），则，又，联立，解得，即为；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．，．又∠AOB为锐角，即为，即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，又，可得k2＜4．又，即为，解得．22.解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），得： =m，化简得：﹣mx2+y2=1（x≠0）．当m＜﹣1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；当m=﹣1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；当﹣1＜m ＜0时，轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；当m ＞0时，轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，﹣1）两点．（2）设11222212(,,)N(,),()(0)M x y x y x y x x θ-≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，可设:1x ty λ=+由221()21x y x v x ty ⎧+=≠⎪⎨⎪=+⎩得22(t 2)y 210ty ++-= 12122221,22t y y y y t t --+==++ 又M Q 、重合， 则1212,x x y y ≠≠-121112:(x x )y y MQ y y x x +∴-=-- 另0y = 121112(x x )y x x y y -=++121112(y y )ty ty y y -=++1212212ty y y y =+=+ 故M Q 、过定点20（，）。