2009专升本高等数学二模拟试题两套
2009年浙江省普通高校专升本《高等数学（二）》试卷
2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷题 号 一 二 三 四 总 分 得 分考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1. 设()f x 的定义域为[]0,1,则函数1144f xf x æöæö++-ç÷ç÷èøèø的定义域是 ( ) .A []0,1 .B 15,44éù-êúëû.C 11,44éù-êúëû .D 13,44éùêúëû. 2. 下列极限存在的是 ( ) .A lim sin x x x ®¥ .B 1lim 2x x ®¥.C 21lim 1n n n ®¥æö+ç÷èø.D 01lim 21xx ®-. 3.()1cos d x -=ò （ ）.A 1cos x - .B sin x x c -+.C cos x c -+ .D sin x c +. 4.下列积分中不能直接使用牛顿-莱布尼兹公式的是 ( ) .A 4 0cot xdx p ò .B 1 011xdx e +ò C4 0tan xdx pò.D 12 01x dxx +ò. 5.下列级数中发散的是 ( ) .A ()1111n n n ¥-=-å .B ()111111n n n n ¥-=æö-+ç÷+èøå .C ()1111n n n ¥-=-å .D 11n n ¥=æö-ç÷èøå. 得分阅卷人得分阅卷人p2n f n æöç÷èø21x x +22xx y +得分阅卷人x.p 1得分阅卷人2。
2009年成人高考专升本高数二试题
2009年成人高考专升本高数二试题一、选择题:1～10小,每小题4分,共40分. 1. 2tan(1)lim 1x x x →-=-A . 0B . tan1C .4πD . 22. 设2sin ln 2y x x =++，则y '= A . 2sin x x -+B . 2cos x x +C . 12cos 2x x ++D . 2x3. 设函授()ln xf x e x =,则(1)f '= A . 0B .1C . eD . 2e4. 函授()f x 在[]0,2上连续,且在(0,2)内()f x '＞0，则下列不等式成立的是 A . (0)f ＞(1)f ＞(2)f B . (0)f ＜(1)f ＜(2)f C . (0)f ＜(2)f ＜(1)fD . (0)f ＞(2)f ＞(1)f5. (2)x x e dx +=⎰A . 2xx e C ++B . 22x x eC ++ C . 2xx xe C ++D .22x x xe C ++6.12011d dx dx x =+⎰ A . 21dx x+ B .211x+ C .4πD . 07. 若22()x x f x e dx e C =+⎰,则()f x =A . 2xB . 2xC . 2xeD . 18. 设函数tan()z xy =,则z x∂=∂ A . 2cos ()x xy -B . 2cos ()xxyC .2cos ()yxyD .2cos ()yxy -9. 设函数()z f u =,22u x y =+且()f u 二阶可导，则2zx y∂=∂∂A . 4()f u ''B . 4()xf u ''C . 4()yf u ''D .4()xyf u ''10. 任意三个随机事件A ，B ，C 中至少有一个发生的事件可表示为( ) A . A B C ⋃⋃ B . A B C ⋃⋂ C . A B C ⋂⋂ D .A B C ⋂⋃二、填空题:11～20小题,每小4分,共40分.11. 22343lim 3x x x x x→-+=- . 12. 1lim 13xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 13. 设函数223,1()2,11,1x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则0(lim ())x f f x →= .14. 已知3y ax =在1x =处的切线平行于直线21y x =-,则a = . 15. 函数sin y x x =,则y ''= .16. 曲线52108y x x =-+的拐点坐标00(,)x y = . 17.xdx ⎰= .18. 3x e dx =⎰ . 19.1ln exdx x=⎰. 20. 设函数2ln()z x y =+,则全微分dz = .三、解答题: 21～28题,共70分.解答应写出推理、演算步骤. 21. (本小题满分8分)求311ln lim1x x xx →-+-. 22. (本小题满分8分)设函数sin xy e =,求.dy23. (本小题满分8分)计算1ln xdx x +⎰.24. (本小题满分8分)计算arcsin xdx ⎰.25. (本小题满分8分)有10件产品,基中8件是正品,2件是次品,甲、乙两人先后各抽取一件产品,求甲先抽到正品的条件下,乙抽到正品的概率. 26. (本小题满分10分)求函数22()f x x x=-的单调区间、极值、凹凸区间和拐点. 27. (本小题满分10分) (1)求在区间[]0,π上的曲线sin y x =与x 轴所围成图形的面积.S （2）求（1）中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V . 28. (本小题满分10分)求函数222482z x y x y =++-+的极值.09年试题参考答案和评分参考一、选择题：每小题4分，共40分。
2009年浙江省普通高校专升本《高等数学一,二》解答
2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》参考答案及评分标准一. 选择题(每小题4分,共20分)1.D ,2.A ,3.B ,4.B ,5.C . 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.54, 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 6.0 , 7.()af a , 8.3 , 9.2 , 10.2 . 三. 计算题(每小题6分,共60分) 1. 解.0limlim1x xx xx x e ee ex--→→-+= 5分2.= 6分 2.解.()3221',11y xx ==++ 5分故 ()3221+dx dy x =. 6分3.解.原式=()11xxd e e++⎰3分()ln 1.xec =++ 6分4.解法1.dydydt dx dxdt = 3分222sin 2.sin t t t t-==- 6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-， 4分故2.dy t dx=- 6分5.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分 =()tan 1arc x +∞-∞+ 5分=.π 6分6.解. 由条件推得()()'00,1 1.f f == 2分于是()1220limlim 220n n f f n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分 （第1页，共3页）= 6分注：若按下述方法：原式()()112200'lim lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到c o t ,3dyxdx y=-+ 2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+ 或 ()3 .s i n c y c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 33.sin y x=- 6分 解法2.由()()(),p x dx p x dxy e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 其中()()13,tan tan p x q x xx==-，得到()3 .sin c y c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 3 3.sin y x=- 6分8.解.方程两边对x 求偏导数,得到224,z zx z x x∂∂+=∂∂ 4分 故.2z xx z∂=∂- 6分 9.解.原式 2 2 0sin d r rdr πππθ=⎰⎰3分= 222cos cos r r rdr πππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 5分=26.π- 6分10.解.由121121321131limlim3n nn n n n n nx a x a x+++-→∞→∞==,可知收敛半径R =4分又当x =,对应数项级数的一般项为±级数均发散,故该级数的收敛域为(. 6分（第2页，共3页）四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域()(),00,-∞⋃+∞, ()34232',",x x y y x x++=-=令'0,y =得驻点12x =-, 5分 令"0,y =得3x =-, 6分 函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-及()0,,+∞ 在2x =-处,有极小值14-.其图形的凹区间为(),2-∞-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- 14分 2.证明.由于()f x 不恒等于x ,故存在()00,1,x ∈使得()00.f x x ≠ 2分 如果()00,f x x >根据拉格朗日定理,存在()00,,x ξ∈使得 ()()()0000'10fx f x f x xξ-=>=-， 5分若()00,f x x <根据拉格朗日定理,存在()0,1,x ξ∈使得 ()()()00011'111f fx x f x x ξ--=>=--. 8分注：在“ 2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在ξ，使得()'1f ξ>”者共得3分.3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x 轴的交于点()2,0A - 2分 曲线与x 轴的交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线P A 和A B 及曲线弧PB所围成. 4分 该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积() 02218292330V x x dx πππ-=--++=⎰. 8分 注：若计算由直线P A 与A C 及曲线弧 PC所围成 ，从而 () 22281362315V x x dx πππ=+-++=⎰者得6分.（第3页，共3页）2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》参考答案及评分标准一.选择题 (每小题4分,共20分)1.D ,2.B ,3.C ,4.A ,5.D . 二.填空题(每小题4分,共40分) 1.k , 2.1, 3.12, 4.2, 5.0,6.2ln 2x ,7.sin14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 8.0, 9.()af a , 10.()2sin x c x +. 三.计算题(每小题6分,共60分) 1.解.原式=0lim2xxx e e x -→- 3分 =0lim1.2xxx e e-→+= 6分2.解.由条件推得()()'00,11f f ==， 2分于是()1220limlim 220n n f f n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分= 6分注：若按下述方法：原式()()1122'lim lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分.3.解. ()3221'11y xx ==++， 5分()3221+dx dy x =. 6分4.解.取对数 ()221ln arctan2y x yx+=， 2分两边求导数2222122'1'21x y y y x y x yxy x +-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 5分整理得 '.x y y x y+=- 6分（第1页，共3页）5.解. 原式=()11xxd e e++⎰3分()ln 1.x e c =++ 6分6.解法1. 解法1.dydydt dx dxdt = 3分222sin 2.sin t t t t-==- 6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==- 4分故2.dy t dx=- 6分7.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分 =()tan 1arc x +∞-∞+ 5分=.π 6分8解. 当10x -≤<时,() 1;x t xx e dt e e ---Φ==-⎰2分当01x ≤≤时,()()()0 2101311.22xtx e dt t dtx e --Φ=++=++-⎰⎰ 5分故()()2,131,22x e e x x e -⎧-⎪Φ=⎨++-⎪⎩ 100 1.x x -≤<≤≤ 6分 9.解法1. 分离变量,得到c o t .3dyxdx y =-+ 2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+ 或 ()3 s i n c y c x=-∈R ， 4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 33.sin y x=- 6分 解法2. 解法2.由()()(),p x dx p x dxy e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰其中()()13,tan tan p x q x x x ==-，得到()3sin c y c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为3 3.sin y x =- 6分（第2页，共3页）10. 解.由121121321131limlim3n nn n n n n nx a x a x+++-→∞→∞==,可知收敛半径R = 4分又当x =,对应数项级数的一般项为±级数均发散,故该级数的收敛域为(. 6分四.综合题(第1小题14分,第2、3小题各8分, 共30分)1.解.定义域(),0-∞及()0,+∞ ()34232',",x x y y x x++=-=令'0,y =得驻点12x =-, 5分 令"0,y =得3x =-, 6分 10分函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-与()0,.+∞在2x =-处,有极小值14-.其图形的凹区间为()3,0-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- 14分2.证明.两边对x 求导,得() 0sin ,x f t dt x =⎰4分再对x 求导，得()c o s ,f x x = 6分从而证得()22cos 1.f t dt xdx ππ==⎰⎰8分3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x 轴的交于点()2,0A - 2分 曲线与x 轴交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线P A 和A B 及曲线弧PB所围成. 4分 该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积() 02218292330V x x dx πππ-=--++=⎰. 8分 注：若计算由直线P A 与A C 及曲线弧 PC所围成 ，从而 () 22281362315V xx dx πππ=+-++=⎰者得6分.（第3页，共3页）。
2009专升本之高等数学答案
2009年福建省高职高专升本科入学考试高等数学试卷答案一、单项选择题1.C;2.B;3.A;4.B;5.A;6.D;7.D;8.D;9.C; 10A 。
二、填空题 11.2; 12.12; 13.211x+; 14.13(3cos sin )d x e x x x --+; 15. 33±; 16.94; 17.212±; 18.4;19.6; 20.112212x xC e C e -+。
三、计算题 21.解：2222222(arctan )11limlim()lim1().222421x x x x x x xxxπππ→+∞→+∞→+∞+==⋅=+⋅=+原式22.解：0ln(12)2(00)lim ()limlim 2x x x x x f f x xx+++→→→++====,01(00)lim ()lim (2sin)2x x f f x x x--→→-==+=,(0)2f =,(00)(00)(0)2f f f +=-== ,()f x ∴在点0x =处连续.23.解：211((ln ))ln 111; .1(ln ))2222ln t t dydyt t t dy t dt dx dx t t t dxt dt t=='+-====∴=='-⋅24.解：方程两边对x 求导：;y yy e xe y ''=+⋅ 整理得：;1yyey xe'=-222222223;(1)()(2)1.(1)(1)(1)(1)yyyy y y y yyyyyyyyy yee e d y dy e y xe e e xe y ee y exe xedxdxxe xe xe xe +⋅''''⋅--⋅--⋅+⋅--=====----25.解：令2sin ,()22x t t ππ=-<<，则2cos dx tdt =，∴原式=222111142cos csccot 4sin 2cos 444x tdt tdt t C C t tx-==-+=-⋅+⋅⎰⎰.26.解：1111222220213arccos arccos 11.66621x xxd x x dx x xπππ-=-=-⋅=--=+--⎰⎰原式27.解：1212(2,1,3),(1,3,1),213(8,1,5),131ij kn n s n n =-=-=⨯=-=--取方向向量 所以直线方程为211815x y z -+-==-.28.解：()tan , ()sec P x x Q x x ==，tan tan ln cos ln cos 21(sec )(sec )cos (sec )cos cos (sec )cos (tan )sin cos xdx xdx x xy e xe dx C e xe dx C x x dx C xx xdx C x x C x C x--⎰⎰∴=+=+=⋅+=+=+=+⎰⎰⎰⎰通解又由00x y==知0C =，所以特解sin y x =.四、应用题29.解：设围成圆形的铁丝长为x ，则另一段为a x -，总面积为S ， 2222()()()(),2444x a x xx a S x πππ--=+=+211()2(),44222x x a a S x x ππ-'=+⋅=+- 令()0S x '=得唯一驻点11, (),122a x S x πππ''==++且11()0,122a S πππ''=+>+∴总面积在1a x ππ=+处取得最小值，从而围成正方形的铁丝长为1aπ+，围成圆形的铁丝长为1a ππ+时，总面积最小。
西华2009数学专升本试题
（）
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西华大学《高等数学》专升本考试题（2009）
2、方程 ( y)3 4 y 5 y 0 是 6 阶微分方程。（ ）
3、曲线积分 (xy y)dx 1 x 2dy ，其中 L 是 x 2 y 2 1上从 A(1,0) 沿逆时针方向
L
2
2
到 B(1,0) ，再沿 x 轴回到 A 点。
）
A、 (3,3) B、[3,3) C、 (3,3]
D、 [3,3]
2、若(x) ( x2 sin t 2dt)3 ，则 (x) （ ） 0
A、2x sin x 4 B、3x 2 sin x 4 C、6x sin x 4 ( x2 sin t 2dt)2 0
3、极限 lim(x sin 1 1 sin x) 为（
x0
xx
A、 0
B、不存在
C、1
）
D、 2
D、6x cos x 4 ( x2 sin t 2dt)2 0
4、已知曲线积分 (axy 3 y 2 cos x)dx (1 by sin x 3x 2 y 2 )dy 与路径无关，则 a, b 的 L
值分别为（ ）
A、 a 2,b 2 B、 a 2,b 2 C、 a 3,b 3
（）
dx
4、反常积分 0
是发散的。
1 x2
（）
5、设 A 是一个 n 阶矩阵，则 A 可逆的充要条件是 r( A) n 。（ ）
三、求解下列各题（每小题 6 分，共 30 分）
1、 lim x sin x 。 x0
2、已知
x
tf
(t)dt
cos
x
1
，求
f
(x)
及c
2009年专升本高数二试卷及答案
------------------------2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷--------------------2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1. 设()f x 的定义域为[]0,1,则函数1144f x f x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是( ).A []0,1 .B 15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.C 11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.D 13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2. 下列极限存在的是 ( ).A limsin x xx →∞ .B 1lim 2x x →∞.C 21lim 1n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.D 01lim 21x x →-. 3.()1cos d x -=⎰ （ ） .A 1cos x - .B sin x x c -+.C cos x c -+ .D sin x c +.4.下列积分中不能直接使用牛顿-莱布尼兹公式的是 ( ).A 4 0cot xdx π⎰ .B 1 011x dx e +⎰.C 4 0tan xdx π⎰ .D 1201x dx x +⎰.5.下列级数中发散的是( ).A ()1111n n n ∞-=-∑ .B ()111111n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭∑.C ()11n n ∞-=-∑ .D 11n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分)1.若lim (n n a k k →∞=为常数),则2lim _______________.n n a →∞=2. 设函数(),,x e f x a x ⎧=⎨+⎩ 00x x ≤>在点0x =处连续,则________________a =.3.曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线斜率为_______________________.4. 设函数x y xe =,则()''0__________________y =.5. 函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________.6.若2x为()f x 的一个原函数，则()f x =__________________________. 7. sin 1_______________________.4dx π⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ 8.()() ____________________________.aax f x f x dx -+-=⎡⎤⎣⎦⎰9.设()() xa x F x f t dt x a=-⎰,其中()f t 是连续函数,则()lim _________________.x a F x +→=10.微分方程'cot 2sin y y x x x -=的通解是________________________________.三.计算题( 本题共有10个小题，每小题6分,共60分)1.计算202lim .x x x e e x-→+- 解.2.设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切,求n . 解.3.设函数y =求.dy解.4.设()y y x =arctany xe =确定的隐函数,求dy dx. 解.5.计算1xxe dx e+⎰. 解.6.设 2 02sin cos tx u du y t⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,求.dy dx 解.7.计算2.22dxx x +∞-∞++⎰解.------------------------2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷--------------------8.设(),1,x e f x x -⎧=⎨+⎩1001x x -≤<≤≤ ， 求()() 1x x f t dt -Φ=⎰在[]1,1-上的表达式.解.9.求微分方程'tan 3y x y +=-满足初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭的特解. 解.10.求幂级数21113n n n x ∞-=∑的收敛域. 解.报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------四.综合题(本题有3个小题，共30分,其中第1题14分，第2题8分，第3题8分) 1.求函数21x y x+=的单调区间,极值及其图形的凹凸区间. (本题14分)2.已知()() 01cos xx t f t dt x -=-⎰,证明：()2 01f x dx π=⎰. (本题8分)3.设曲线22y x x =-++与y 轴交于点P ,过P 点作该曲线的切线,求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积. (本题8分)2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》参考答案及评分标准一.选择题 (每小题4分,共20分)1.D ,2.B ,3.C ,4.A ,5.D . 二.填空题(每小题4分,共40分) 1.k , 2.1, 3.12, 4.2, 5.0, 6.2ln 2x, 7.sin14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 8.0, 9.()af a , 10.()2sin x c x +. 三.计算题(每小题6分,共60分) 1.解.原式=0lim 2x x x e e x-→- 3分=0lim 1.2x x x e e -→+= 6分2.解.由条件推得()()'00,11f f ==，2分于是()1220lim lim 220n n f f n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分=6分注：若按下述方法：原式()()112200'lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分.3.解.()3221'1y x ==+，5分()3221+dx dy x =.6分4.解.取对数()221ln arctan 2y x y x+=，2分两边求导数2222122'1'21x y y y x yx y x y x +-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 5分整理得'.x yy x y+=- 6分（第1页，共3页）5.解.原式=()11x xd e e++⎰3分()ln 1.x e c =++6分6.解法1.解法1.dy dy dtdxdx dt=3分222sin 2.sin t t t t -==-6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-4分故2.dyt dx=- 6分7.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分=()tan 1arc x +∞-∞+5分=.π6分8解.当10x -≤<时,() 1;xt x x e dt e e ---Φ==-⎰2分当01x ≤≤时,()()() 0211311.22xt x e dt t dt x e --Φ=++=++-⎰⎰ 5分故()()2,131,22x e e x x e -⎧-⎪Φ=⎨++-⎪⎩100 1.x x -≤<≤≤6分9.解法1. 分离变量,得到c o t .3dyxdx y =-+ 2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+或()3 sin cy c x=-∈R ，4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 33.sin y x=- 6分解法 2. 解法 2.由()()(),p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰其中()()13,tan tan p x q x x x ==-，得到()3 sin cy c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为3 3.sin y x =- 6分（第2页，共3页）10. 解.由121121321131lim lim3n nn n n n n nx ax a x +++-→∞→∞==,可知 收敛半径R ,4分又当x =,对应数项级数的一般项为级数均发散, 故该级数的收敛域为(.6分四.综合题(第1小题14分,第2、3小题各8分, 共30分) 1.解.定义域(),0-∞及()0,+∞ ()34232',",x x y y x x ++=-= 令'0,y =得驻点12x =-,5分 令"0,y =得23x =-,10分函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-与()0,.+∞在2x =-处,有极小值14-.其图形的凹区间为()3,0-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- 14分2.证明.两边对x 求导,得() 0sin ,xf t dt x =⎰4分再对x求导，得()c o s ,f x x =6分从而证得()22 0cos 1.f t dt xdx ππ==⎰⎰8分3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x轴的交于点()2,0A -2分曲线与x 轴交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线PA 和AB 及曲线弧 PB 所围成. 4分该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积() 02218292330V x x dx πππ-=--++=⎰.8分注：若计算由直线PA 与AC 及曲线弧 PC所围成 ，从而 () 222 081362315V x x dx πππ=+-++=⎰者得6分.（第3页，共3页）。
[专升本类试卷]专升本高等数学二(向量代数与空间解析几何)模拟试卷2.doc
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[专升本类试卷]专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷2一、选择题1 设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于( )（A）（B）（C）1（D）a．b2 设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为 ( )（A）（B）i+j—k（C）（D）i－j+k3 在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为 ( )（A）30°（B）45°（C）60°（D）60°或120°4 若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则 ( ) （A）a与b平行（B）a与b垂直（C）a与b平行且同向（D）a与b平行且反向5 直线 ( )（A）过原点且与y轴垂直（B）不过原点但与y轴垂直（C）过原点且与y轴平行（D）不过原点但与y轴平行6 平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是 ( ) （A）相交且垂直（B）相交但不重合，不垂直（C）平行（D）重合7 已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，则必有 ( )（A）π1与π2平行（B）π1与π2垂直（C）π2与π3平行（D）π1与π3垂直8 平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为 ( )9 设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为 ( ) （A）(一1，2，一3)，2（B）(一1，2，一3)，4（C）(1，一2，3)，2（D）(1，一2，3)，410 方程一=z在空间解析几何中表示 ( )（A）双曲抛物面（B）双叶双曲面（C）单叶双曲面（D）旋转抛物面11 方程(z－a)2=x2+y2表示 ( )（A）xOz面内曲线(z－a)2=x2绕y轴旋转而成（B）xOz面内直线z－a=x绕z轴旋转而成（C）yOz面内直线z－a=y绕y轴旋转而成（D）yOz面内曲线(z－a)2=y2绕x轴旋转而成12 下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是 ( ) （A）=y2（B）z2—1=（C）（D）x2＋y2一2x=0二、填空题13 向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．14 在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为________．15 (a×b)2＋(a．b)2=________．16 过点P(4，1，一1)且与点P和原点的连线垂直的平面方程为_________．17 通过Oz轴，且与已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程为________．18 直线=z与平面x+2y+2z=5的交点坐标是________．19 点P(3，7，5)关于平面π：2x一6y+3z+42=0对称的点P'的坐标为________．20 求垂直于向量a=｛2，2，1｝与b=｛4，5，3｝的单位向量．21 若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．22 设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．23 求过点A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又与直线L0：相交的直线方程．24 求直线与平面x—y+z=0的夹角．25 求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y一3z+5=0的平面方程．26 求点(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影点坐标．27 求直线L：绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．。
2009河南 专升本 高数 试卷
2009专升本 高数 试卷一、选择题（每小题2分，共计60分）1.下列函数相等的是A.2x y x=，y x = B. y =y x = C.x y =，2y = D. y x=，y =2.下列函数中为奇函数的是A.e e ()2x xf x -+=B.()tan f x x x = C. ()ln(f x x = D. ()1x f x x=- 3．极限11lim 1x x x →--的值是 A.1 B.1- C.0 D.不存在4.当0x→时，下列无穷小量中与x等价是A.22x x - C. ln(1)x + D. 2sin x5.设e 1()xf x x-=，则0=x 是()f x 的 A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '=A. 2B. -1C.1D. -27.设()f x 具有四阶导数且()f x ''(4)()fx = A．1 D ．3214x --8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程A.2x=B.1y = C.1y x =+ D.1y x =-9.已知d e ()e d xxf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =A.2ee xx + B.2e e x x - C.2e e x x -+ D.2e e x x --10.函数在某点处连续是其在该点处可导的 A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为A.(2,2)-B.(,0)-∞C.(0,)+∞D.(,)-∞+∞12. 设e xy x=A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线13.下列说法正确的是 A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b 内A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C. 既有极大值又有极小值D. 至少存在一点ξ，使()0f ξ'=15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '= A. 1xB.21x -C. ln xD. ln x x16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰A. 222(1)xC --+ B. 222(1)x C -+ C. 221(1)2x C --+ D. 221(1)2x C -+17.下列不等式不成立的是（ ） A.22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B.220sin xdx xdx ππ<⎰⎰ C.2200ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D.2200(1)xe dx x dx <+⎰⎰18.1ln ee xdx ⎰=A.111ln ln eexdx xdx +⎰⎰ B. 111ln ln eexdx xdx -⎰⎰ C. 111ln ln eexdx xdx -+⎰⎰ D. 111ln ln eexdx xdx --⎰⎰19．下列广义积分收敛的是A.lnex dx x +∞⎰B. 1ln e dx x x +∞⎰C. 21(ln )e dx x x +∞⎰ D. e +∞⎰ 20.方程220xy z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是A.球面B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面 21. 设{}1,1,2a=-，{}2,0,1b =，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．0 B ．6πC ．4π D ．2π22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 A. 平行但直线不在平面内 B. 直线在平面内 C. 垂直 D. 相交但不垂直23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C. (,)x f a b 'D. (,)y f a b '24.函数x y zx y +=-的全微dz = A 22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y -- C ．22()()ydx xdy x y -- D ．22()()xdy ydx x y --25．(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 00(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰A.-8B.0 C 8 D.2027.下列微分方程中，可分离变量的是A ．tan dy y y dx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx edy y++= D ． 2x dy y e dx += 28.若级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数收敛的是A ．110n n u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑ C ．110n nu ∞=∑ D ． 1(10)n n u ∞=-∑29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为A ．23,1123x x x x +++-<≤ B ．23,1123x x x x -+--<≤C ．23,1123x x x x -----≤< D ． 23,1123x x x x -+-+-≤<30.级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x=-处收敛，则此级数在2x =处A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定 二、填空题（每小题2分，共30分） 31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 32.当0x→时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=.33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =. 34.设函数sin ,0(),0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则_______a =. 35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=.37.函数()f x x = _________.38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰.39.设向量b 与}{1,2,3a =-共线，且56a b ⋅=,则b =_________.40.设22x y ze+=，则22zx∂=∂_______. 41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.42．区域D 为229xy +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.43.交换积分次序后,10(,)_____________xdx f x y dy =⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.45.已知级数1nn u∞=∑的部分和3nS n =，则当2n ≥时，_______n u =.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy.48.已知2()xxf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.50.已知22xxy y z e +-= 求全微分dz .x y →=2y x51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.52.求微分方程22xy xy xe -'-=的通解.53.求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）.四、应用题（每小题7分，共14分）54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为642m 的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小.55.设D 由曲线()y f x =与直线0,3y y ==围成的，其中2,026,2x x y x x ⎧≤≤=⎨->⎩，求D 绕y 轴旋转形成的旋转体的体积.五、证明题（6分）6x y=-x56.设1()()()x xabF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续且()0f x >，证明在开区间(,)a b 内,方程()0F x =有唯一实根.2009答案1.注意函数的定义范围、解析式，应选D.2.()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-++==()()f x f x -=-，选C. 3． 11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D.4.由等价无穷小量公式，应选C.5. 00e 1lim ()lim1x x x f x x →→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6.D 0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-. 7.D 1(3)21()2f x x -=，(4)()f x =3214x --8.0d 2cos 20d sin 2y t k x x x t =⇒=⇒==切，选A. 9.B 由d e()e d xxf x x -⎡⎤=⎣⎦得2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x x f x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦，把(0)0f =代入得1C =-,所2()e e x xf x =-, 10根据可导与连续的关系知，选A. 11.34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，选A.12. e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，选B. 13. 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，选D. 14.根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,选A.15()1()ln f x x x '==⇒ 21()f x x '=-,选B.162221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,选C.17.根据定积分的保序性定理，应有22(1)xe dx x dx ≥+⎰⎰，选D.18.因1ln ,1|ln |ln ,1x x x e x x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有1111ln ln ln e e e e xdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，选C.19．由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,选C.20.根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,选C. 21. 0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,选D.22.因{}2,7,3s=--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.23.原式00(,)(,)(,)(,)limlim h h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=-选B. 24． 22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx zdz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D 25．积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰200(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,选D.26.由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰，选A.27.根据可分离变量微分的特点,220x y xdx e dy y++=可化为22y x ye dy xe dx -=-知,选C. 28.由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,选A. 29.根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知, 23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,选C.30. 令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1nn n a t∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32. 2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim limsin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============.33.因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa ax a x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有 38a e =ln 2a ⇒=. 34.函数在(,)-∞+∞内处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为00sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===，所以0lim()(0)1x f x f a →=⇒=.35.因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 38.222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-.40. 22222222222(12)xy x y x y zz ze xe x e xx +++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41．40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dxyd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y yx y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.当2n≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分，共40分）46．20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 0011limlim 222x x x e x x x →→-===.47方程两边对x 求导得 ()ln 2cos 2xyyexy y x x x''++= 即 ()ln 2cos2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos2xyxyx e x x y x x e xy y '+=--所以 dy dx =22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x--'=+.48.方程2()xxf x dx eC -=+⎰两边对x 求导得 2()2xxf x e-=-，即22()xe f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49解：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰1441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰014322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭641164118843323332=++-+--+=. 50.解：因222222()(2)x xy y x xy y x z e x xy y e x y x +-+-∂'=+-=+∂,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22x xy y z e+-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.解：积分区域D 如图所示：把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有202(2)(2y y Dx y d dy x σ+=+⎰⎰⎰⎰222225()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=设原方程的解为2()xy C x e =代入方程得22()x xC x exe -'=,即有 22()xC x xe -'=， 所以 222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+. 53.解：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数212nn n n x ∞=∑， 因221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=,x y →=2yx当212x l =<，即||x 212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的； 当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的； 当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。
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2008年成人高考专升本高等数学模拟试题一高等数学（二）一. 选择题（1-10小题，每题4分，共40分）1. 设0lim →x sinaxx =7,则a 的值是（ ）A 17 B 1 C 5 D 7 2. 已知函数f(x)在点x 0处可等，且f ′(x 0)=3,则0lim→h f(x 0+2h )-f(x 0)h等于（ ） A 3 B 0 C 2 D 63. 当x 0时，sin(x 2+5x 3)与x 2比较是（ ）A 较高阶无穷小量B 较低阶的无穷小量C 等价无穷小量D 同阶但不等价无穷小量 4. 设y=x -5+sinx ，则y ′等于（ ）A -5x -6+cosxB -5x -4+cosxC -5x -4-cosxD -5x -6-cosx 5. 设y=4-3x 2 ，则f ′(1)等于（ ） A 0 B -1 C -3 D 36. ⎠⎛(2e x -3sinx)dx 等于（ ）A 2e x +3cosx+cB 2e x +3cosxC 2e x -3cosxD 17. ⎠⎜⎛01dx 1-x 2 dx 等于（ ）A 0B 1 C2πD π8. 设函数 z=arctan y x ，则x z ∂∂等于（ ）yx z∂∂∂2A-y x 2+y 2 B y x 2+y 2 C x x 2+y 2 D -xx 2+y 29. 设y=e 2x+y则yx z ∂∂∂2=（ ）A 2ye 2x+yB 2e 2x+yC e 2x+yD –e 2x+y10. 若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5 P （AUB ）＝0.8,则P （B ）等于（ ） A 0.3 B 0.4 C 0.2 D 0.1二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分）11. ∞→x lim (1-1x )2x =12. 设函数f(x)= 在x=0处连续，则 k ＝ Ke 2x x<0 Hcosx x ≥014. 函数y=x-e x 的极值点x= 15. 设函数y=cos2x ， 求y ″=16. 曲线y=3x 2-x+1在点（0,1）处的切线方程y= 17. ⎠⎜⎛1x-1 dx ＝ 18. ⎠⎛(2e x -3sinx)dx =19.x d x x s i n c o s 23⎰π=20. 设z=e xy ,则全微分dz= 三、计算题（21-28小题，共70分）1. 1lim →x x 2-12x 2-x-12. 设函数 y=x 3e 2x , 求dy3. 计算 ⎠⎛xsin(x 2+1)dx4. 计算⎰+1)12l n (dx x5. 设随机变量x 的分布列为(1) 求a 的值，并求P(x<1) (2) 求D(x)6. 求函数y=e x1+x的单调区间和极值7. 设函数z=(x,y)是由方程x 2+y 2+2x-2yz=e z 所确定的隐函数，求dz8. 求曲线y=e x ,y=e -x 与直线x=1所围成的平面图形面积 x y -2 0.1 a -1 0 0.2 0.1 1 2 0.32007年成人高考专升本高等数学模拟试题一答案一、（1-10小题，每题4分，共40分）1. D2. D3. C4. A5. C6. A7. C8.A9. B 10. A 二、（11-20小题，每小题4分，共40分）11. e -2 12. 2 13. e -x 14. 0 15.-4cos2x 16. y=-x+1 17. 1ln -x +c 18. 2e x +3cosx+c 19. 1420. dz=e xy (ydx+xdy)三、（21-28小题，共70分）1. 1lim →x x 2-12x 2-x-1 =(x-1)(x-1)(x-1)(2x+1) =232. y ′=(x 3)′e 2x +(e 2x )′x 3=3x 2e 2x +2e 2x x 3 =x 2e 2x (3+2x) dy=x 2e 2x dx3. ⎠⎛xsin(x 2+1)dx =12 ⎠⎛sin(x 2+1)d(x 2+1) =12cos(x 2+1)+c4. ⎠⎛01ln(2x+1)dx =xln(2x+1) 10-⎠⎜⎛1 2x (2x+1) dx =ln3-{x-12 ln(2x+1)} 1=-1+32ln35. (1) 0.1+a+0.2+0.1+0.3=1 得出a=0.3P(x<1),就是将x<1各点的概率相加即可，即：0.1+0.3+0.2＝0.6 (2) E(x)=0.1×(-2)+0.3×(-1)+0.2×0+0.1×1+0.3×2=0.2D(x)=E{xi-E(x)}2=(-2-0.2)2×0.1+(-1-0.2)2×0.3+(0-0.2)2×0.2+(1-0.2)2×0.1+(2-0.2)2×0.3=1.966. 1) 定义域 x ≠-12) y ′=e x(1+x)-e x(1+x)2 =xex(1+x)23）令y ′＝0,得出x=0(注意x=1这一点也应该作为我们考虑单调区间的点)↓↓↑函数在（-∞，1）U （-1,0）区间内单调递减 x y y ′（-∞，1）--+-1（-1，0）（0，+∞）无意义 无意义F(0)=1为小极小值7.xf ∂∂ =2x+2,yf ∂∂ =2y-2z zf ∂∂ =-2y-e zxz ∂∂=-xf ∂∂ ÷zf ∂∂ =2(x+1)2y+e zaz ay ==-yf ∂∂÷z f ∂∂=2y-2z -(2y+e z ) =2y-2z 2y+e z dz=2(x+1)2y+e z dx+2y-2z 2y+e zdy 8.如下图：曲线y=e x ,y=e -x ,与直线x=1的交点分别为-1 S=dx e e x x )(10--⎰= (e x +e -x )10=e+e -1-2数学试题（二）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1.设)(lim 3)(13x f x x x f x →-+=，则)(x f 等于 （ ）A. 433-+x x B. 333-+x xC. 233-+x xD. 133-+x x2. 已知a 为常数，ax f 2)(=，则hx f h x f h )()(lim-+→等于 （ ） A.h 2B.12-⋅a aC.2ln 2aD. 03. 已知222e x y x++=，则y '等于 （ ）A.222e x x++ B. e x x x22ln 2++ C. x x 22ln 2+D. xx x 221+⋅-4. 已知x e x g x x x f =+=)(,ln )(，则)]([x g f dxd 等于（ ）A. xe11+B. x e +1C. xx ee 1+ D. xx ee 1-5. 已知2sin)(x x f =，则⎪⎭⎫⎝⎛'3πf 等于 （ ） A.43 B.41 C. 21 D. 36. 设)(x f 的一个原函数为)1ln(+x x ，则下列等式成立的是 （ ）A.C x x dx x f ++=⎰)1ln()( B.C x x dx x f +'+=⎰])1ln([)( C.C x f dxx x +=+⎰)()1ln(D. C x f dx x x +='+⎰)(])1ln([7. 设)(x f 为连续函数，则dx x f ⎰⎪⎭⎫⎝⎛'12等于 （ ） A. )0(21f f -⎪⎭⎫⎝⎛B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛)0(212f fC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛)0(2121f f D.)0()2(f f -8.广义积分dx xx f ⎰∞++121)(arctan 等于 （ ）A.du u f ⎰+∞4)(π B.du u f ⎰24)(ππC.du u f ⎰ππ4)(D.du u f ⎰ππ3)(9. 设xye z =，则yx z ∂∂∂2等于 （ ）A.xyexy )1(+ B. xyey x )1(+ C. xyex y )1(+ D. xyxye10. 若事件A 与B 为互斥事件，且8.0)(,3.0)(=+=B A P A P ，则)(B P 等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D.0.6二、填空题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在题中横线上。
11.设421lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ex kxx ，则=k .12.=-+x x x 224lim.13.设)ln(22x a y +=，则=dy . 14.函数)1ln(x x y +-=的驻点为=x .15.设()xx x f1+=，则()=''=1x x f .16.⎰=x xd cos . 17.设dt t x f x⎰=0arctan)()0(>x ，则=')1(f .18.若32)sin (24=+⎰-dx x x x aa，则=a .19.已知y x z =，则=∂∂)1,1(yz .20.已知),(2x xy f z =，且vfu f∂∂∂∂,都存在，则=dz .三、解答题：本大题共8个小题，共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
21.（本题满分8分）计算2cos 1lim xxx -∞→.22. （本题满分8分）设函数xey xsin =，求dy .23. （本题满分8分）计算dx xx ⎰+2cossin 1.24. （本题满分8分）甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为0.6.和0.8，求此密码被破译的概率.25. （本题满分8分）计算dx xx x e⎰+13ln .26.（本题满分10分）设函数c bx ax y ++=3在点1=x 处取得极小值－1，且点（0，1）为该函数曲线的拐点，试求常数c b a ,,.27.（本题满分10分）设函数)(x y y =是由方程y x xy +=)cos(所确定的隐函数，求函数曲线)(x y y =，过点（0，1）的切线方程.28.（本题满分10分）求函数22yx z +=在条件52=+y x 下的极值.数学试题（二）参考答案一、选择题1.C2. D3. C4. B5. A6.A7. B二、填空题11. －2 12.0 13.dx xax 222+14. 015. 416.C x x x +-sin cos17. 4π三、解答题22.解：因为xx e x e y xx2sin)(sin sin )('-⋅'='xxe x e x x2sincos sin -=，所以 dx xex x dy x2sin)cos (sin -=24.解：设=A “甲破译密码”，=B “乙破译密码”，=C “密码被破译”则 B A C +=， 所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+=+=92.08.06.08.06.0)()()()(=⨯-+=-+=B P A P B P A P26.解：由1)1(-=y 得1-=++c b a . 由拐点1)0(=y 得1=c .函数在点1=x 处取得极值必有：031=+='=b a y x .联立①②③，可解得1,3,1=-==c b a .。