§24.4相似三角形的判定(1)

C
B
C
△AFE∽△BCE
△AFE∽△DFC
由相似传递性可得： △DFC∽△BCE
课堂练习：
3、已知：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点， 且 AED B ．求证：AE AC AD AB ．
A
由∠AED=∠B, 公共角∠A 由判定定理1， 得△AED∽△ABC
B D E C
A
E A D
D B
E C
B
C
适时小结：
掌握了证明三角形相似的两种方法：
一是定义法； 还有其他的 证明方法吗？ 二是预备定理．
能类比全等三角形的判定定理得到相 似三角形的判定定理吗？
思考：在 ABC 与 A1B1C1 中，A A1
B B1
，能证明 ABC 与 A1B1C1
预备定理
A
符号语言：
在ABC和A1 B1C1中 A A1 , B B1
B A1 C
ABC ∽ A1 B1C1
B
（两角对应相等，两个三角形相似）．
1
C1
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、 AB、AC上，∠EDF=∠B， A ∠ B= ∠ C 求证：BED ∽ CDF ．
A
E A1 C
ADE B1.
ADE A1 B1C1 .
B1 C1
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC (相似三角形的预备定理)． ∴ ABC∽ A (相似三角形的传递性)． 1B 1C1
相似三角形判定定理1：
如果一个三角形的两角与另一个三角形的 两角对应相等，那么这两个三角形相似． （两角对应相等，两个三角形相似）
相似吗?
怎 点D的位置？ 样 E 添 加 C A1 辅 助 线 ， 才 B1 C1 能 △ABC≌△A1B1C构 1 造
在 ABC 与 A1B1C1 中， A A1 ，B B1 求证： ABC ∽ A1B1C1 证明：在AB截取AD=A1B1 ，过D作DE∥BC 交AC于E. D 在ADE和A1 B1C1中 ∵DE∥BC， B A A1 , ADE B AD A1 B1 , B B1. ADE B , 1
在ABC和A1 B1C1中 A A1 , B B1
A
E C
D
C
A A1
ABC ∽ A1 B1C1
B1
B
C1 C
布置作业：练习册24.4(1)
AB AC BC A1 B1 A1C1 B1C1
A A 1, B B1 , C C1

A1 B1 AC BC 1 1 1 1 A2 B2 A2C2 B2C2
A1 A2 , B1 B2 , C1 C 2

相似三角形的定义
等量代换得
AB AC BC A2 B2 A2C2 B2C2
D B E C
ADE B, AED C
在ADE和ABC中,
DE AD AE , BC AB AC ADE B, AED C
DAE BAC ， ADE ∽ ABC
由平行得对应线 段成比例，同位 角相等. 再加公共角，得 对应角相等，对 应线段成比例， 得三角形相似.
证明： AB AC, B C
EDC B 1, EDC 3 2, 且3 B, 1 2. 在BED和CDF中
B C , 1 2, BED ∽ CDF
B
D
C
F E 1 B 3 2 D C
（两角对应相等，两个三角形相似）．
（两角对应相等，两个三角形相似）．
D E C B
AD AE AC AB
AE AC AD AB 即：
课堂小结：
本节课主要学习了什么，有何收获？
1、相似三角形的定义． 对应角相等，对应线段成比例 2、相似三角形的性质：
课堂小结：
3、相似三角形的判定方法： A ①相似三角形的传递性； ∵ ABC ∽ A1 B1C1 , A1 B1C1 ∽ A2 B2 C 2 ∴ ABC ∽ A2 B2C2 ②相似三角形的预备定理； D ∵ DE∥BC B ADE ∽ ABC ③相似三角形判定定理1． E B
根据四条线段的位置，可 知应寻找比例关系
AD AE AC AB
课堂练习：
3、已知：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点， 且 AED B ．求证：AE AC AD AB ．
A
证明： 在BED和CDF中 A A, AED B AED ∽ ABC
的对应边．
相似三角形的表示方法：
ABC，A1B1C1是相似三角形 (如图）
B
A A'
C B'
C'
记作： △ABC ∽△A'B'C'
读作： ABC 相似于 △A’B’C’
对应顶点的字 母分别写在相 对应位置上
探究
相似三角形的性质
如图，DE是△ABC的中位线，请问△ABC与△ADE 有何关系？为什么？
k与k’有何数量 关系？
AD 1 如图， AB 2
两个相似三角形的对应边的比k，叫做这 两个相似三角形的相似比（或相似系数）
A
AD 1 ABC 与 ADE的相似比 k AB 2 AB 1 的相似比 k 与 2 此时k= 2 吗 AD
k 1 或 k
D
E
k k 1
用哪种方法来证明 △BED∽△CDF呢？
B E
4 3
D
F
1 2
C
相似三角形 判定定理1
F
再需找出哪对角相等？ ∠1=∠2还是∠3=∠4？
E
1 B 3 2 D 5
4
观察图形可得，∠EDC是 △EBD的外角，同时又是 ∠5与∠2的和，因此可得 C 2=∠1 ∠
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在 BC、AB、AC上，∠EDF=∠B， A 求证：BED ∽ CDF 有一对角相等， F 找另一对角相等E
符号语言：
∵ ABC ∽ A1 B1C1 , A1 B1C1 ∽ A2 B2 C 2
∴ ABC ∽ A2 B2C2
(相似三角形的传递性)
思考
如图，如果DE∥BC，那么 ADE 与 相似三角 ABC 相似吗？为什么? 形的定义
现有的证明两个三角形 相似的方法是什么？
A
对应角相等， 对应边成比例
A A2 , B B2 , C C2
×可得：
AB A1 B1 AC A1C1 BC B1C1 A1 B1 A2 B2 A1C1 A2 C 2 B1C1 B2 C 2
△ABC∽△A2B2C2
相似三角形具有传递性（判定方法）
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么 这两个三角形也相似．
A
40°
由三角形内角和可得： C=60°，即∠C=∠F
D
∠B=∠E
80° 80° 60°
B
CE
F
△ABC∽△DEF
课堂练习：
AB∥CD，AD∥BC
2、如图：E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的 一点，CE交AD于点F．图中有那几对相似三角形？ AD∥BC
E
AB∥CD
E
E
A
F
D
A
F
F A C
D
B
A
已有两个角对应相 等，用定义还是预 由∠A=∠A1，可 备定理证相似？ 知将两个三角形 DE∥BC 的∠A和∠A1叠 D 作相似 合时，B1在AB 证全等 AD=A1B1 B 上，C1在AC上。 此时就能构造出 辅助线写法：在△ 预备定理的基本ABC边AB（或延长线）上， 截取 AD=A1B1 ，过D作DE∥BC交AC于E. 图形 △ADE∽△ABC △ADE≌△A1B1C1
AD AE DE 1 AB AC BC 2
DE∥BC
AD AE DE 1 ADE B, AB AC BC 2 AED C
ADE B, AED C
D
A
E
A A
B
C
由相似三角形的定义可得: △ADE∽△ABC
相似三角形的性质：
相似比
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例．
B
C
注意：两个相似三角形的相似比与表述 这两个三角形相似的顺序有关．
思考
对应边相等
当两个相似三角形的相似比k=1，这两个 相似三角形有怎样的关系？
全等三角形
想想全等三角形与相似三角形是何关系？ 全等三角形一定是相似三角形， 全等三角形是相似三角形的特例．
新知探索 同一个三角形 A1 B1C1∽ A2 B2 C 2 如果 ABC ∽ A1 B1C1 ， 那么 ABC 与 A2 B2C2 相似吗？为什么？ △ABC∽△A1B1C1 △A1B1C1∽△A2B2C2
§24.4相似三角形的判定（1）
一、复习引入 什么是相似形? 形状相同的两个图形
今天我们来研究其中比较特殊的情况
相似三角形
相似三角形定义： 如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例， 那么这两个三角形叫做相似三角形．
对应相等的角 及其பைடு நூலகம்点
以对应顶点 为端点的边
是相似三角形 是相似三角形
的对应角和 对应顶点，
，那 探究 如果DE交直线AB、AC所形成 ADE
么 ADE与ABC 还相似吗？为什么? 与思考题区别在哪？
∠BAC=∠DAE ∠ADE=∠B,∠AED=∠C DE∥BC
A
AD AE DE AB AC BC
D
E
仍可得： ADE ∽ ABC
B
C