1.1.2数学必修四

合集下载

人教B版高中数学必修四《1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算》_0

1.1.2弧度制的教学设计一、内容及其解析本节内容包括弧度制，其核心内容是角度制和弧度制的转化，理解它的关键是掌握公式。

、学生在上一节内容中已学习了任意角的概念，本节内容是在上节的基础上，是角的度量的一个延伸，对后面三角公式，三角函数的学习是个奠基。

二、目标及其解析（1）理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；(2）熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.2、目标解析：（1）我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．（2）角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．（3）(1);(2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.三、问题诊断分析在本节课中学生可能遇到的问题是把角度制转化成弧度制，产生问题的原因是“角度制”与“弧度制”间的区别与联系掌握不好，要解决问题关键是多做练习。

四、教学设计问题一：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．问题1：什么叫角度制？解析：规定把周角的作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．问题2：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？解析：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．问题3：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？①将角度化为弧度：；；；．②将弧度化为角度：；；；．°°°°°°°°°°°例题：课本上例1、例2设计意图：让学生进一步熟练角度与弧度进行互化。

高中数学必修四电子课本

高中数学必修四电子课本高中数学必修四电子课本一、数学基础1.1 数学中的符号和表示法1.2 数学中的基本概念1.2.1 数学中的基本运算1.2.2 数学中的集合和关系1.2.3 数学中的函数和图像1.3 数学中的解题方法1.3.1 数学中的证明方法1.3.2 数学中的数学归纳法1.3.3 数学中的逆向思维1.4 数学中的应用1.4.1 数学在自然科学中的应用1.4.2 数学在社会科学中的应用二、初等数学2.1 整式和分式2.1.1 整式和分式的基本概念2.1.2 整式和分式的运算2.1.3 整式和分式的因式分解2.2 代数式和方程式2.2.1 代数式的基本概念2.2.2 代数式的运算2.2.3 一元一次方程和二元一次方程2.3 平面几何2.3.1 平面几何的基本概念2.3.2 平面几何的运算2.3.3 圆的性质与应用三、立体几何3.1 立体几何的基本概念3.2 立体几何的运算3.3 立体几何的应用四、三角函数4.1 三角函数的基本概念4.2 三角函数的运算4.3 三角函数的应用4.4 三角恒等式和三角方程五、数列和数学归纳法5.1 数列的基本概念5.2 等差数列和等比数列5.3 数列的求和公式5.4 数学归纳法的应用六、导数和应用6.1 导数的基本概念6.2 导数的应用6.3 计算机在导数计算中的应用七、微积分7.1 微积分的基本概念7.2 微积分的运算7.3 微积分的应用七、概率与统计8.1 概率的基本概念8.2 统计的基本概念8.3 概率和统计的应用8.4 计算机在概率和统计中的应用结语：通过本电子教材的学习，同学们可以更好地掌握数学知识和解题方法，为今后的学习和工作打下良好的基础。

同时，对于计算机在数学教育中的应用也有深入了解，为提高自己的素质和竞争力打开一扇新的大门。

人教版高一数学必修一至必修五教材目录

必修一、二、四、五章节内容
必修一必修四
第一章集合与函数的概念第一章三角函数
1.1 集合 1.1任意角和弧度制
1.2 函数及其表示 1.2任意角的三角函数
1.3 函数的基本性质 1.3三角函数的诱导公式
第二章基本初等函数 1.4三角函数的图像与性质
2.1 指数函数 1.5函数y=Asin(ѡx+ѱ)
2.2对数函数 1.6 三角函数模型的简单应用
2.3 幂函数第二章平面向量
第三章函数的应用 2.1平面向量的实际背景及基本概念3.1函数与方程 2.2平面向量的线性运算
3.2 函数模型及其应用 2.3平面向量的基本定理及坐标表
必修五 2.4 平面向量的数量积
第一章解三角形 2.5 平面向量应用举例
1.1 正弦定理和余弦定理第三章三角恒等变换
1.2 应用举例 3.1 两角和与差的正弦、余弦
第二章数列 3.2 简单的三角恒等变换
2.1 数列的概念与简单表示方法必修二
2.2 等差数列第一章空间几何体
2.3等差数列的前n项和 1.1 空间几何体的结构
2.4 等比数列 1.2 空间几何体的三视图和直观图2.5 等比数列前n项和 1.3 空间体的表面积与体积
第三章不等式第二章点、直线、平面间的关系
3.1 不等关系与不等式 2.1空间点、直线、平面之间的位3.2一元一次不等式及其解法 2.2 直线、平面平行的判定及其性质3.3 二元一次不等式（组）及其解法 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质3.4基本不等式第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
3.2 直线的方程
3.3 直线的交点坐标与距离公式。

高一数学人教版(必修1~必修4)全套教案集(共4册)精品打包下载

(3)能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(7)方程的所有实数根；
(8)不等式的所有解；
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
(六)承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；

人教版高中数学必修目录

必修一（高一）必修三（高一）必修二（高二）必修四（高一）必修五（高一）高中数学选修教材目录1-1（高二文）第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆2.2双曲线探究与发现为什么的渐近线2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结1-2（文）第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与科学发现中的推理2.2直接证明与间接证明小结第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.2复数代数形式的四则运算小结第四章框图4.1流程图4.2结构图信息技术应用用word2002绘制流程图小结2-1（高二理）第一章常用逻辑语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词小结第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线2.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图像是抛物线2.4 直线与圆锥曲线的位置关系阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用2.5曲线与方程探究与发现圆锥曲线的离心率与统一方程小结第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结2-2（理）第一章导数及其应用1.1 变化率与导数 1.2导数的计算探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解1.3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质1.4 生活中的优化问题举例 1.5定积分的概念信息技术应用曲边梯形的面积1.6 微积分基本定理 1.7定积分的简单应用实习作业走进微积分第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理阅读与思考平面与空间中的余弦定理2.2 直接证明与间接证明 2.3数学归纳法小结第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算阅读与思考代数基本定理小结2-3（理）第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少 1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理小结第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4正态分布信息技术应用 µ,б对正态分布的影响小结第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定2 相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线 4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质2基本不等式3三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式2绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。

高中数学必修一必修四知识点总结

高中数学必修一必修四知识点总结高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R。

元素a与集合M的关系是a∈M或a∉M。

集合可以用自然语言法、列举法、描述法和图示法来表示。

集合可以分为有限集、无限集和空集。

1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等。

若A是B的子集，则A中的任一元素都属于B；若A是B的真子集，则A中至少有一个元素不属于B；若A是B的子集且B是A的子集，则A=B。

已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2^n个子集，2^n-1个真子集，2^n-1个非空子集和2^n-2个非空真子集。

1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。

若x∈A且x∈B，则x∈A∩B；若x∈A或x∈B，则x∈A∪B；集合A的补集是指在全集U中，不属于A的元素组成的集合，记作A'或U-A。

对于集合A和B，有(A∩B)=(A'∪B')'和(A∪B)=(A'∩B')'。

补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法对于含有绝对值的不等式，可以通过分段讨论的方法来求解。

对于一元二次不等式，可以将其化为标准形式后，利用判别式和一元二次函数的性质来求解。

1.不等式的解法1)一次不等式的解法对于|x|0)和|x|>a(a>0)，可以分别化为-xa的形式，然后解出x的范围。

对于|ax+b|c(c>0)，可以把ax+b看成一个整体，化为|ax+b|0)或|x|>a(a>0)的形式来求解。

2)一元二次不等式的解法对于ax^2+bx+c>0(a>0)，可以求出二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，然后找到函数图象在x轴上的两个交点x1和x2，解得xx2的解集。

必修4 数学最全知识点梳理(完整版)

高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =，变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、平面向量共线定理：向量()≠与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2
二求一．
(1)设扇形圆心角的弧度数为θ，(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，则
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
l＋2r＝10 r＝1 r＝4 ，解得或， 1 l· r＝4 l＝8 l＝2 2 l 代入弧长公式 l＝θ· r⇒θ＝， r 1 所以有 θ＝8 rad>2π rad(舍去)或 θ＝ rad. 2 (2)设扇形弧长为 l，因为圆心角 π 2π 72° ＝72× ＝ rad， 180 5 2π 所以扇形弧长 l＝|α|· r＝ ×20＝8π， 5 1 1 于是，扇形的面积 S＝ l· r＝ ×8π×20＝80π. 2 2

返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案基础梳理一、弧度制的概念
◆人教A版•数学•必修4◆
1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做________的角． 2．正角、零角、负角的弧度数 (1)正角的弧度数是一个________；
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案用弧度制表示角
◆人教A版•数学•必修4◆
用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．
解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为 {α|45°＋k· 180°≤α≤90°＋k· 180°，k∈Z}，
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
3. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？多少弧度？分针转了多少度？多少弧度？解析：钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，为正角．
π 360° ＝15°，表示15°，弧度； 12 12×60 分针转了30× 360°，表示180°，π弧度． 60
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案弧长与扇形面积公式的应用
◆人教A版•数学•必修4◆
(1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积；
(3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解析：由l＝|α|· R及S＝ 1 l· R单独应用或联立，可做到知
.
点评：本题实际上是第一节相关区域角表示方法在弧度制下的具体应用，目的是使同学们进一步熟悉用弧度制，并体会弧度制表示区域角的优点．
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案跟踪训练
◆人教A版•数学•必修4◆
3．在坐标平面内，画出下列角的终边： 11 23 8 11 (1) π；(2) π；(3)－ π；(4)－ π. 4 6 3 3
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
1．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化． 2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算．
惠通图书策划工作室•制作
1 π · · R2，解得R＝2. 2 R 1 2 1 2
2
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案自测自评 1．下列说法正确的是( )
◆人教A版•数学•必修4◆
A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角解析： ∵1 rad＝180°＝57.3°＝57°18′，其大
弧度
0
π 6
π 4
π 3
π 2
120° 135°
270°
5π 6
2π 3
3π 4
π
3π 2
2π
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案思考应用
◆人教A版•数学•必修4◆
2．如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系？解析：在角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角．由于角度值是六十进位制，而弧度制是十进位制，
π
小与圆的半径无关．答案：A
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
2．某扇形的面积为1 cm2，周长为4 cm，那么该扇形圆心角的弧度数为( A．2° ) B．2 C．4° D．4
4 解析：∵4＝|α|· R＋2R⇒R＝， 2＋|α| 1 且 1＝ |α|· R2， 2 1 4 2 ∴1＝ |α|·|α|＋2 ，解得|α|＝2，故选 B. 2 答案： B
解析：由弧度定义，一定大小的圆心角α所对应的弧
长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关．
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案二、角度值与弧度制的互化
◆人教A版•数学•必修4◆
角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2π·r，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于 360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，故得：1°＝________，1 rad＝________≈________ ＝________. π 180 二、 ° 57.3° 57° 18′ 180 π 附：完成常用角的弧度角度换算表：度 0° 30° 60°
故在弧度制下，研究问题更加方便．
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
三、弧长公式与扇形面积公式
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为： nπ·R nπ·R2 l＝弧长l＝ ________ 180 ，扇形的面积S＝________. 360 2．弧度制：半径为R，圆心角为α rad的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为： 1 1 2 l · R | α | · R |α|R ，扇形的面积S＝_____ 弧长l＝______ ＝________. 2 2
11 分析：把这些角化成 2kπ＋α，k∈Z 的形式，如 π＝ 4 8＋3 3π 23 24－1 π π＝2π＋， π＝ π＝4π－ . 4 4 6 6 6 11 3π 11 3π 解析：(1)∵ π＝2π＋，∴ π 与的终边相同． 4 4 4 4 23π π 23π π (2)∵ ＝4π－ .∴ 与－的终边相同． 6 6 6 6 8π 2π 8π 2π (3)∵－＝－2π－，∴－与－的终边相同． 3 3 3 3
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
11π π (4)∵－＝－4π＋， 3 3 11π π ∴－与终边相同． 3 3 ∴以原点为圆心，逆时针旋转 x 轴的非负半轴，旋转量 3π π 分别为和时可得(1)(4)；顺时针方向旋转 x 轴的非负半轴， 4 3 π 2π 旋转量分别是和时可得(2)(3)，如下图． 6 3
(2)零角的弧度数是________；
(3)负角的弧度数是一个________．一、1. 1弧度 2.(1)正数 (2)零 (3)负数
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案思考应用
◆人教A版•数学•必修4◆
1．一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是
否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
kπ π kπ α ≤α≤ ＋，k∈Z 2 4 2
；
(3)图(3)中的阴影部分表示为
{α|－120°＋k· 360°≤α≤150°＋k· 360°，k∈Z}，
2π 5π －＋ 2 k ·π ≤ ＋ 2 k ·π ， k ∈ Z 化为弧度制为 α 3 6
答案：D
惠通图书策划工作室•制作
返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
弧度制与角度制的换算将下列各角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，并指出是第几象限角？ 31 19 (1)1140° ；(2)－ π；(3) π；(4)－315° . 6 6
19 π 19 π 解析：(1)1140° ＝ π＝6π＋， π 与的终边相同， 3 3 3 3 19 故 π 是第一象限角； 3 31 5π 31 5π (2)－ π＝－6π＋，－ π 与的终边相同，是第 6 6 6 6 二象限角； 19 7π 3π (3) π＝2π＋，是第三象限角；(与 π 及比较) 6 6 2 π (4)－315° ＝－360° ＋45° ＝－2π＋，是第一象限角． 4
2．(1)把－1480°角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式； (2)若β∈[－4π，0]，且β与－1480°角的终边相同，求β .
74π 16π 解析： (1)－1480° ＝－＝－10π＋ 9 9 16π ＝2×(－5)π＋； 9 (2)β 与－1480° 角的终边相同， 16π ∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋， 9 又∵β∈[－4π，0]， 16π 2π 16π 20π ∴β1＝－2π＋＝－，β2＝－4π＋＝－ . 9 9 9 9
时针转了30×
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案
◆人教A版•数学•必修4◆
惠通图书策划工作室•制作

返回
金牌学案弧度制的概念下列说法正确的是( A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧
◆人教A版•数学•必修4◆
)