关于行列式计算方法的研究
浅析行列式的计算方法
５ 加 边 法
一
ｂ ０ ０ ． ． ． ０ ａ
般进行 行列式 的计算是 对该行 列式进 行降 阶 ．
解 将 此行 列 式 按 第 一 行 展 开 得 ：
ａ ｂ ０ … ０ ０
０ ａ ｂ ・ ・ ・ ０ ０
：
●
但 是 对 于 一 些 特 殊 的 行 列 式 ．我们 可 以尝 试 反 过来 思
的总 结 与探 讨 ．从 而 在 计 算 行 列 式 的过 程 中 更 具 有 针
对 性 和 技 巧 性
的项 只有 一 项 ． 这 个 行 列 式 的值 为 ：
（ 一 １ ） ‘ 趋 ａ １ ￣． ３ …０ ｌ （ １ （ 一 １ ） Ｉ １ ０ １ ｃ ｚ ２ …０ １ （
ａ ｂ ０ … ０ ０
０ ａ ｂ … ０ ０
综 上 所 述
ａ １ ＋ ６ １ ， ｎ ＝ｌ
＝
（ ａ １ ＋ ６ １ ） （ ６ ２ ＿ ＿ ６ １ ） ， ｎ ＝ ２
０－ ｎ≥ ３
例 计 算 ｎ阶行 列 式
０ ０ ０ … ａ ｂ
０ Ｏ
０ ０
＋
ａ ｂ
０ ａ
：
●
考 ．在 保 持 原 行 列 式 值 不 变 的 基 础 上 再 加 上 一 行 或 一 列． 把 ｎ阶行 列 式 转 化 为 叶 １ 阶行列式 ． 使 构 成 的新 行 列 式 能 够 更 容 易 计 算 出行 列 式 的 值 例 计 算 ｎ阶行 列 式
（ 内 蒙古 财经 大学 统计 与数 学 学 院 ， 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ５ １ ）
摘 要：
行列式不仅在数学领域 。 且 在包 含经济学在 内的很 多其他 学科都有广泛应用 ． 行 列式 的计算 又是学 习高 等数学 的基
关于行列式计算方法的探讨
关于行列式计算方法的探讨
行列式计算是数学中的一个重要而又复杂的定义，以下就行列式计
算的方法做一次探讨。
1. 首先，什么是行列式？
行列式是由多个矩阵相乘后得出的一个值，其中每个矩阵的尺寸必须
相同。
它可以用来表示数学方程中各个变量之间的关系，以及在矩阵
几何中计算面积或体积等。
2. 如何计算行列式？
计算行列式的具体过程，主要包括分解法、内角法和三角形法。
其中，分解法是将复杂的行列式展开、化简成简单的行列式才能计算。
分解
法又可分为拉格朗日分解法和主元分解法，二者的思想基本相同，具
体操作上有较大的区别。
内角法是将复杂的行列式用三角函数及其变
换角度后分解成简单行列式，从而转化为非常熟悉的三角形，最终将
复杂的行列式分解成一系列简单次数累加的行列式来计算。
3. 行列式计算的优势
由于行列式的应用广泛，计算效率高，可以极大的节省计算时间，这
是不可否认的。
此外，行列式计算法还有三个可取之处：首先，行列
式可以用来建模各种实际问题，由此确定解析解及其解析步骤，帮助
用户进行具体的解答；其次，该计算法有着更高的效率，即使是更复
杂的行列式也能获得高效的解法；最后，它能够使用更少的计算步骤
以及资源，从而更快得到更准确的结果。
综上，行列式计算是一项极其重要的数学知识，理解它的计算方法，不仅有助于更好的掌握数学原理，同时也可以节省大量的计算时间和资源。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。
行列式的计算方法有很多种，比较常见的有余子式展开法、性质法和拉普拉斯展开法。
在实际应用中，人们往往会选择不同的方法来计算行列式，以求得更加高效和准确的结果。
本文将对这些行列式不同计算方法进行比较研究，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、余子式展开法余子式展开法是计算行列式的一种常见方法。
这种方法的基本思想是将行列式按照其中的某一行或某一列进行展开，然后利用递推的思想计算子行列式的值，最终得到整个行列式的值。
余子式展开法的计算步骤如下：1. 选择一行或一列，记为i行或j列；2. 对于第i行第j列的元素a(i,j)，计算其代数余子式M(i,j)；3. 代数余子式M(i,j)乘以(-1)^(i+j)得到元素a(i,j)的代数余子式C(i,j)；4. 将代数余子式C(i,j)与对应元素a(i,j)相乘得到i行或j列的和；5. 将所有i行或j列的和相加得到行列式的值。
余子式展开法的优点是简单直观，容易理解和掌握。
但是在计算大型行列式时，需要进行比较复杂的递归计算，效率较低。
二、性质法性质法是计算行列式的另一种常见方法。
这种方法的基本思想是利用行列式的基本性质来简化其计算过程。
行列式的基本性质包括：1. 交换行列式的两行（列）位置，行列式变号；2. 行列式某一行（列）的元素都乘以同一个数k，行列式变为原来的k倍；3. 行列式某一行的元素是两个数的和，可以拆分为两个行列式相加；4. 行列式某一行（列）全为零，则行列式的值为0；5. 行列式主对角线两边的值相乘之和等于行列式的值。
性质法的计算步骤如下：1. 根据行列式的基本性质，对行列式进行适当的变换，使得行列式的某些行或列成为0，从而简化计算；2. 根据简化后的行列式，利用性质进行递归计算，最终得到行列式的值。
性质法的优点是能够利用行列式的性质来简化计算过程，尤其适用于具有一定规律性的行列式。
行列式计算方法研究毕业论文
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第1章行列式的计算方法 (1)第1节利用行列式定义与性质计算 (1)第2节化三角形法 (3)第3节降阶法 (4)第4节递推公式法及数学归纳法 (5)第5节利用德蒙行列 (7)第6节行列式的特殊计算法 (8)第2章行列式的应用 (11)第1节行列式在代数中的应用 (11)第2节行列式在几何中的应用 (12)第3节行列式在多项式理论中的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)第１章 行列式的计算方法第1 节 利用行列式定义与性质计算定义1[1] 对任何n 阶方阵()ij nA a =，其行列式记为ij nA a = ．()()121212121n n n nt p p p ij p p p np p p A a a a a ==-∑ ．其中12n p p p 是数组1，2，…，n 的全排列，∑表示对关于这些全排列的项(共有!n项)全体求和．性质1 行列互换，行列式不变，即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=.性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立．性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号． 性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0．性质4 用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111************=. 推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0． 推论2 若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0． 性质5 行列式具有分行相加性，即nnn n n n na a a cbc b c b a a a21221111211+++=nn n n n n a a a b b b a a a212111211+nnn n n n a a a c c c a a a212111211. 性质6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不变， 即nnn n kn h k in i i nnn n n kn k k kn in k i k i na a a a a a a a a a a a a a a a a a ca a ca a ca a a a a212121112112121221111211=+++. 例1[1] 计算行列式0005004003002000=D . 解 展开式中项的一般形式是12341234j j j j a a a a .显然，如果51≠j ，那么011=j a ，从而这个项都等于零．因此只需考虑51=j 的那些项；同理，只需考虑24j =，33j =，42j =这些列指标的项．这就是说行列式不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)3421(=τ这一项前面的符号应该是正的，所以1205432=⋅⋅⋅=D .例2[2] 计算n 级行列式cdddd c d dd d c dd d d c d =.解 这个行列式的特点是每一行有一个元素是c ，其余1-n 个是d . 根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，直到第n 列也加到第一列，即得cddddn c d c d dn c dd c d n c dd d d n c d )1()1()1()1(-+-+-+-+= =[]11(1)11d d d d c d d d c n d d c d ddddc+-. 把第二行到第n 行都分别加上第一行的-1倍，就有[]dc dd c d d dc d d d d n c d ----+= 00001)1(.根据例1得[]1)()1(---+=n d c d n c d .把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质5将原行列式写成两行列式之和, 进而使行列式简化以便计算．例3 计算行列式332132213211λλλ+++=a a a a a a a a a D .解332322321332132213210λλλλλ+++++=a a a a a a a a a a a a a a a D=[]3233221321))((a a a a a -+++λλλλλ.第2节 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式．对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第n 行（或第n 列），然后再化简．例１ 计算行列式0112032120113110--=D . 解 4132310311020112423212-----=--↔r r r r r r D132014003110201123243----=+-r r r r 25132003110401143432-----=+↔r r r r =50. 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式．但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁，因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再化为三角形行列式．例2 计算行列式xa a a a x a a aa x a a a a x D =.解 它的特点是各列元素之和为)3(x a +，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出)3(x a +，得xaa a ax a a aa x a x a D 1111)3(+=．将第一行乘以)(a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则ax a x a x x a D ---+=00000001111)3(=3))(3(a x x a -+.第3节 降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用行列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开．例1 计算行列式4122743221010113-=D . 解221132214)1(21211432010021143223134--=---+--=c c c c D213767)1(22137067013423132-=----=---+-+=r r r r .第4节 递推公式法及数学归纳法应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，1n -阶或1n -阶与2n -阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．使用递推方法首先要利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般直是用来证明行列式等式．例1 计算n 阶行列式4314314314=n D ． 解 按第一列展开2113443143143140134----=-=n n n n D D D D ．于是有32211333------=-=-n n n n n n D D D D D D =1312=-=D D ，及)(3)(3322211------=-=-n n n n n n D D D D D D =n n D D 3)(3122=-=- ．从上两式削去1-n D ，得)13(211-=+n n D ． 对于形如 的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式21--+=n n n D D D βα，然后采用如下方法求解．方法1 如果n 较小，则直接递推计算．方法2 用第二数学归纳法：即验证1=n 时结论成立，设k n ≤结论成立，若可证明出1+=k n 时结论也成立，则对任意自然数结论也成立．方法3 将21--+=n n n D D D βα变形为)(211----=-n n n n pD D q pD D ，其中α=+q p ，β=-pq ．由韦达定理知p 和q 是一元二次方程02=--βαx x 的两个根．确定p 和q 后，令1)(--=n n pD D x f ，利用)1()(-=n qf n f 递推求出)(n f ，再由)(1n f pD D n n +=-递推求出n D ．方法4 设n n D x =，代入021=----n n n D D D βα，得021=----n n n x x x βα，因此有02=--βαx x （称为特征方程），求出根1x 和2x （假设21x x ≠），则1122n n n D k x k x =+这里1k ,2k 可通过取1n =和2n =来确定．例2 求n 阶行列式的值0110110110110=n D .解 按第一行展开得2--=n n D D ，即.02=+-n n D D 作特征方程012=+x 解得i x i x -==21,，则n n n i b i a D )(-⋅+⋅= )1(当1=n 时，01=D ，代入)1(式得;0=-ib ia 当2=n 时，12-=D ，代入)1(得1-=--b a 联立求解得21==b a ，故1()2n nn D i i ⎡⎤=+-⎣⎦． 例3 计算n 阶行列式xa a a a a x x xD n n nn +---=--12211000010001． 解 用数学归纳法 当2=n 时21122)(1a a x x a x a x D ++=+-==212a x a x ++.假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211 .则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11+++=k k k D xD D=1111)(+--+++++k k k k k a a x a x a x x =12111+-++++++k k k k k a x a x a x a x .第5节 利用德蒙行列式德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点，因次遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或者递减的行列式时，可以考虑将其转化为德蒙行列式并利用相应的结果求值．定义 1 德蒙行列式()1232222123111111231111n n ijnj i nn n n n na a a a D ab a a a a a a a a ≤≤----==-∏．例1 计算行列式2122122111222212121111111------+++++++++=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D． 解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得德蒙行列式112112222121111---=n nn n n n x x x x x x x x x D=1()i j j i nx x ≤<≤-∏，其中“∏”表示连乘号．第6节 计算行列式杂例计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法．当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算．要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分别为1-n 个元素的倍数的情况．例1[3] 计算行列式db aD +++=111111111．解 给原行列式加边dba D +++=1110111011101111=+->ir r i 11db a 0010010011111---=+++121313111c c a c c dc c b db a d b a 000000001111111+++=abd d b a )1111(+++．例2[3]计算行列式229132413232213211x x D --=．解 由行列式定义知D 为x 的4次多项式,当1±=x 时，1，2行相同，有0=D ，所以1±=x 为D 的根；当2±=x 时，3，4行相同，有0=D , 所以2±=x 为0D =的根．故0D =有4个1次因式：1x +，1x -，2x +，2x -．设)2)(2)(1)(1(-+-+=x x x x a D ，令0=x ，则129132513232213211-==D ，即，12)2)(1(1-=--⋅⋅a ，所以3-=a ．所以)2)(2)(1)(1(3-+-+-=x x x x D ．当行列式各行(列)和相等，且除对角线外其余元素都相同可采用如下步骤． (1)在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ,使新行列式D *除主对角线外,其余元素均为0；(2)计算D *的主对角线各元素的代数余子式()ij 1,2,,A i n =；(3) ∑=*-=nj i ij A x D D 1．例 3[3] 求行列式的值n 111211212111n n D n --=-．解 在n D 上的各个元素上加上（-1）后()()1(1)2001-n 001-n 0D1(1)1-n 0n n n n n -*==--．又12)1(11,21)1()1(-----====n n n n n n n A A A ，其它的是零，所以()()()()()()()()()1211211111)1(1121n -----*--=--+--=+=-∑n n n n n n nnij ij n n n n n A D D n ．以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于具有不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式．当某行或某列含有较多的零元素，可采用降阶的方法每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义．第2章 行列式的应用第1节 行列式在代数中的应用2.1 用行列式解线性方程组如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* ，的系数行列式0≠D , 那么，这个方程组有解，并且解是唯一的，可表示为DD x D Dx D D x n n ===,,,2211 ． 例1[4] 求一个二次多项式()f x ，使(1)1f =-，(1)9f -=，(2)3f =-． 解 设所求的二次多项式为，2012()f x a x a x a =++，则有012012012(1)1(1)9(2)423f a a a f a a a f a a a =++=-⎧⎪-=-+=⎨⎪=++=-⎩ ，可求得系数行列式11111160421D =-=≠，所以可用克拉默法则求解，又11119116321D -=-=-， 211119130431D -==--， 311111918423D -=-=-． 解得101D a D ==,215D a D ==-,323Da D==． 于是所求的二次多项式为2()53f x x x =-+．2.2 用行列式证明恒等式我们知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变；如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零，利用行列式的这些性质，我们可以构造行列式来证明等式．例2 已知0a b c ++=，求证abc c b a 3333=++． 证明 令abc c b a D 3333-++=，则0111)(=++=++++++==acb b ac c b a acbb ac c b a c b a c b a ac bb a cc b a D ，命题得证．第2节 行列式在几何中的应用利用行列式我们可以解决集合中的一些问题，例如求平面三角形面积，在解析几何中用行列式表示直线的方程，以及三线共点和三点共线的几何问题，接下来我们就来讨论一下行列式在这几方面的应用．1[5]用行列式表示三角形的面积以平面三点),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x R 为顶点的PQR ∆的面积S 是11121332211y x y x y x ． 证明 将平面),(11y x P ,),(22y x Q ,),(33y x R 三点扩充到三维空间，其坐标分别为),,(11k y x ，),,(22k y x ，),,(33k y x ，其中k 为任意常数, 由此可得)0,,(1212y y x x PQ --=，)0,,(1313y y x x PR --=．),0,0(13131212y y x x y y x x PR PQ ----=⨯．PQR ∆面积为><=PR PQ S ,21313121221yyxxyyxx----==1313121221yyxxyyxx----=11121332211yxyxyx.例1 （2001年全国高考试题）设抛物线pxy22=（0p>）的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线交于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且xBC//轴，求证AC 经过原点．证明设A、B两点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，由于点C在抛物线的准线上，且xBC//轴，则),2(2ypC-，由抛物线焦点弦性质221pyy-=，得122ypy-=，故ccccaaaayxyxyxyxyxyx+-ccccyxyxyxyx01111+-=22)22(112211221=-=+=ypyppyypypy，所以AC经过原点．2[5]用行列式表示直线方程直线通过两点),(11yxP和),(22yxQ的直线方程为11221101x yx yx y=)1(证明由两点式，直线PQ方程为221212x x y yx x y y--=--．将上式展开并化简，得2122121=+-+--xyyxyxyxxyxy，此式可进一步变形为0111122112121=+-y x y x x x yy y x，此式为行列式)1(按第三行展开所得结果，原式得证．3[6] 三线共点 平面三条互不平行的直线,0,0,333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是1112223330a b c a b c a b c =． 4[6] 三点共线平面三点),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x R 在一直线的充要条件是1122331101x y x y x y =． 第3节 行列式在多项式理论中的应用实系数二元二次多项式F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22在复数域是否可以分解因式，是初等数学的一个重要问题，它不仅关系到因式分解，而且关系到判别方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示曲线的类型及解二元二次方程，能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性．例1[7] 求证)()()()(222cz by ax cy bx az cx bz ay cz by ax ++-++++++++))(())(()(cy bx az cz by ax cy bx az cx bz ay cx bz ay ++++-++++-++ ))((222222xz yz xy z y x ac bc ab c b a ---++---++=．证明 左边cxbz ay cz by ax cy bx az cy bx az cx bz ay cz by ax ++++++++++++=111xb a y ac z c b z a c y c b x b a cy bx az z a c y c b x b a z c b y b a x a c cz by ax )()()()()()()()()()()()(01-------+-+-++-------+-+-++= xb a y ac z c b z a c y c b x b a z a c y c b x b a z c b y b a x a c )()()()()()()()()()()()(-------+-+--------+-+-=⎝⎛------+------+------+------=)()()()()()()()(222a c b a c b a c z b a a c a c c b y a c c b c b b a x c b b a b a a c ⎝⎛------+⎪⎪⎭⎫------+ ⎝⎛------+⎪⎪⎭⎫------+)()()()()()()()(b a b a a c a c yz a c a c c b c b b a c b a c b a xy c b c b b a b a xz c b a c b a c b ⎪⎪⎭⎫------+)()(xy b a b a c b a c z b a a c a c c b y a c c b c b b a x c b b a b a a c )()()()()()()()(222------+------+------+------=xz c b a c b a c b yz b a c b a c b a )()()()(------+------+))((222222xz yz xy z y x ac bc ab c b a ---++---++=．结论本文对行列式的计算方法进行了概括和总结，主要从n阶行列式的特点出发，通过例题的形式列举了行列式的几种主要计算方法．不仅较完满地解决了一些较难的求解问题，而且解决了代数，解析几何等方面的问题，从数形结合方面又开辟了新的思考途径，使得行列式的作用不仅限于对方程组的研究，在初等数学的各个方面也看到了行列式的妙用．参考文献[1] 大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等代数(第三版) [M],: 高等教育出社,(2003)：27-38[2] 乔林，关于行列式的定义及其计算方法 [J],科技信息,2007(25)：[3] 万广龙，行列式的计算方法与技巧 [J]，China's Foreign Trade ，2011(04)[4] 梁波，例谈行列式的几个应用 [J]，学院学报，2006，(4)：27-28[5] 汤茂林，行列式在初等代数中的巧用 [J]，师学院学报，2008，(3)：9-10[6] 周立仁，行列式在初等数学中的几个应用 [J]，理工学院学报，2008，(4)：17-18[7] 彭丽清，行列式的应用 [J]，师学院学报，2005，(5)：40-41致谢在论文工作中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问题，一直得到付丽老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文可以又快又好的完成，向她表示衷心的感谢！我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成．感谢师长，同学，朋友们给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们！。
行列式的计算方法文献综述
行列式的计算方法文献综述行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域的数学问题中。
在计算行列式的过程中，有多种方法可供选择，本综述将对其中几种主要的计算方法进行介绍和比较。
一、初等变换法：初等变换法是最早也是最基础的行列式计算方法之一、该方法通过对行列式进行一系列的初等行变换，将行列式转化为上(下)三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。
初等变换法的计算过程较为简单，易于操作。
然而，初等变换法需要进行多次的计算操作，当行列式的规模较大时，计算效率会较低。
二、按行（列）展开法：按行（列）展开法是另一种常用的行列式计算方法。
该方法通过选择行或列，将行列式展开为多个较小规模的子行列式，并使用递归的方法计算子行列式的值，最终将这些子行列式的值代入求和得到行列式的值。
按行（列）展开法可以用于计算任意规模的行列式，计算过程相对简单明了。
然而，按行（列）展开法需要进行多次的递归计算，这在计算较大规模的行列式时可能会导致计算时间过长。
三、特征值法：特征值法是一种较为高级的行列式计算方法。
该方法通过求解行列式与特征值之间的关系式，将行列式的计算转化为特征值的计算。
具体而言，首先求解特征值，然后根据特征值求解特征向量，最后代入特征向量计算行列式的值。
特征值法相对于初等变换法和按行（列）展开法而言，计算过程更为复杂，但其思想更加深入和抽象，适用于解决较为复杂的行列式计算问题。
四、Laplace定理：Laplace定理，也称为拉普拉斯展开定理，是另一种重要的行列式计算方法。
该定理通过选择行或列，将行列式展开为多个较小规模的子行列式，然后使用归纳的方法计算子行列式的值，最终将这些子行列式的值代入求和得到行列式的值。
Laplace定理可以看作是按行（列）展开法的一种推广和总结，通过较为规则的计算步骤，使得计算过程更加简洁和高效。
综上所述，行列式的计算方法有初等变换法、按行（列）展开法、特征值法和Laplace定理等。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究行列式是线性代数中的重要概念，它可以用来描述矩阵的性质、求解方程组以及计算变换的效果。
在数学的学习和实际应用中，行列式的计算是一个非常常见的问题。
不同的行列式计算方法有着各自的特点和适用范围，本文将从代数余子式展开、三角形行列式和拉普拉斯展开等几种常见的行列式计算方法进行比较研究，以帮助读者更好地理解行列式计算方法的差异和适用情况。
一、代数余子式展开代数余子式展开是计算行列式的一种常见方法，它利用代数余子式和行列式的性质来逐步简化行列式的计算过程。
对于一个n阶行列式而言，代数余子式展开的公式可以表示为：|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + \cdots + a_{1n}A_{1n}a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，A_ij表示相应元素的代数余子式，它的计算公式为：A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}M_ij表示去掉第i行第j列的剩余元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式。
由此可见，代数余子式展开的计算过程是逐步将行列式转化为更小阶的行列式，并利用其性质简化计算。
代数余子式展开的优点在于其计算过程相对直观，容易理解和掌握。
但当行列式的阶数较大时，代数余子式展开的计算过程会相当复杂，需要大量的计算步骤和耐心。
代数余子式展开不适用于特殊的行列式，比如对称矩阵、三对角矩阵等形式特殊的矩阵，此时需要采用其他更适合的方法来计算行列式。
二、三角形行列式三角形行列式是一种通过行变换将矩阵转化为上（下）三角形矩阵后直接计算行列式的方法。
对于一个n阶行列式而言，通过一系列的行变换，可以将矩阵A转化为一个上三角形矩阵U，此时行列式的计算变得十分简单，可以直接通过对角元素的乘积来得到行列式的值。
三、拉普拉斯展开在计算行列式的值时，拉普拉斯展开需要将行列式展开为一系列的子行列式，并根据它们的性质逐步简化计算过程。
这种方法的优点在于能够通过行列式的性质来简化计算，特别是对于特殊形式的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等，拉普拉斯展开可以通过行列式的性质来减少计算步骤和简化计算过程。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究1. 引言1.1 研究背景行列式是线性代数中一个十分重要的概念，它是矩阵的一个属性，可以帮助我们判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。
在数学和工程领域中，对行列式的研究有着重要的意义。
对于不同的行列式计算方法，在实际应用中常常存在着计算速度、精度和稳定性等方面的差异，因此有必要对不同的计算方法进行比较研究。
随着计算机技术的不断发展，人们对行列式计算方法的要求也越来越高。
研究行列式的不同计算方法，探索其优缺点，并提出改进和优化方案，对于提高计算效率、降低计算误差，具有重要的理论和实际意义。
本研究旨在比较分析不同的行列式计算方法，包括传统行列式计算方法、基于展开定理的计算方法、基于矩阵的计算方法和基于特征值的计算方法。
通过对这些方法的比较研究，探讨其优缺点，为行列式计算方法的选择和优化提供参考。
1.2 研究意义行列式是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
行列式的计算方法不仅在理论研究中起着关键作用，而且在实际问题的求解中也有着重要的意义。
研究不同的行列式计算方法，可以帮助我们深入理解行列式的性质和特点，提高我们对行列式计算的效率和准确性。
传统的行列式计算方法虽然能够准确地求解行列式的值，但在处理较大规模的行列式时往往计算量较大，耗时较长。
基于展开定理的行列式计算方法通过将行列式按行或列展开，可以减少计算量，提高计算效率。
基于矩阵的行列式计算方法利用矩阵的性质简化行列式的计算过程，降低计算难度。
而基于特征值的行列式计算方法则通过求解矩阵的特征值和特征向量，进一步简化了行列式的计算过程。
1.3 研究目的研究目的是为了比较不同的行列式计算方法，分析它们在实际应用中的优劣势，并找到最有效的计算方法。
通过研究不同方法的特点和适用场景，可以为数学领域的相关研究和应用提供有益参考。
深入研究行列式的计算方法，对于提高数学学习者对行列式概念的理解和掌握也具有重要意义。
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三、行列式的计算方法
利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算. 因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可. 1
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项. 当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
则 D1 D x Aij
i , j 1
其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式.
a1
x a2 x
... ...
x x
例2
计算行列式
Dn
x ... x
... ... ... ... a n
a1 x 0 ... 0 0 ... 0 0 ...
解：把Dn 的所有元素都加上-x，得 D
例1.计算行列式
0 0 Dn ... 0 0 0 1 0 ... 0. 0 0 1 1 0 1 1 1 ... ... ... ... 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... 0 ... 1 1 0 ... 0 ... 0 ... ... 1 0 1 1 1 1
将按第1列展开得： Dn Dn1 Dn2 ① 此行列式序列是斐波那契 数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和. Dn Dn1 Dn2 0 (n 3,4,5...) ①式变形为， 设 F ( x) D1 x D2 x 2 D3 x3 ... Dn x n ... ② 解：D
1
D CA 1 B
D AA BD1CA NhomakorabeaBD 1C
。
6. 用幂级数变换计算行列式 把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变 换求解差分方程，即可求出行列式的值. 任给一个数列 {an } ,则可相应地作出一个幂级数 F ( x) a x ,将 F ( x ) 叫做数列 {a } 的幂级数变换.给定一个幂级 n 数 F ( x) a x 唯一确定数列 {an } 数列与幂级数有对应关系.
=
x x1 1 ( 2 ) 1 ( x2 x1 ) 1 x2 x 1 x1 x
=
1 [ x2 . (1) n x2n x n x1 . (1) x1n x n ] 1 = ( x2 x1 ) n0 n 0
n 1 (1) n ( x2 x1n1 ) n x x2 x1 n 1
⑤
比较②式与⑤式的系数，得
n 1 (1) n ( x2 x1n1 ) (1) n 1 5 n1 1 5 n1 Dn [( ) ( ) ] x2 x1 2 2 5
=
1
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数 改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余 子式容易计算的情形，它基于下面的定理. 定理4 设
5.
用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在 一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化. 设
A B P ,其中A为年n阶，D为m阶方阵。 C D
P A D CA 1 B
定理2
（1）若A可逆， 则
（2）若D可逆， 证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
C1 D2 D1 D D1 , C2 2
,其中
和
为特征方程
x 2 ax b 0 的两根。
4. 用升阶法计算行列式 升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列， 使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的 值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的 比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所 添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零” 的话，则升阶后有利于计算行列式的值. 凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是： 除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任 两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列） 由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行 列式的特点作适当的选择.
a11 a12 ... a1n
a11 x a12 x ... a1n x
1 5 n1 1 5 n1 [( ) ( ) ] 2 2 5
D
n
a 21 ... a n1
a 22 ... an2
... a 2 n ... ... ... a nn
D1
a 21 x a 22 x ... a 2 n x ... ... ... ... a n1 x a n 2 x ... a nn x
1 2
n
其中 ( j1 j2 ... jn ) 为排列
j1 j2 ... jn
的逆序数.
2
(1) (2) (3) (4)
性质 行列互换，行列式不变. 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
F ( x)(1 x x 2 ) D1 x (D2 D1 ) x 2 (D3 D2 D1 ) x 3 ... (Dn Dn1 Dn2 ) x n ...
又 Dn Dn1 Dn2 0.(n 3,4,5...)
D1 1, D2
（法二）求出非零元素乘积 a1 j a2 j ...anj 的列下标
1 2 n
j1 , j2 ,..., jn
的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1
0 ... 0 0 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 0 0 ... n ... 1 0 ... 0
1 1 1 1 x (ai x)( ... ) i 1 x a1 x a2 x an x
n
n
i 1
8. 用拉普拉斯定理计算行列式
定理5 在行列式D中任选k行（或k列），由这 k行（或k列）元 k 素组成的一切k阶子式（共可组成C n 个k阶子式）与它的代数余 子式的乘积之和等于行列式D.
a 2 x ... ... ... 0
... a n x
D的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元 素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，所以
Dn (a1 x)( a2 x) (an x) x (a1 x) (ai 1 x)( ai 1 x) (an x)
二、行列式的定义及性质
a11 a 21 ... a n1
a12 a 22 ... an2
... ...
a1n ...
1
定义：n阶行列式
Dn a ij
... a 2 n ... a nn
( 1) ( j j
j1 j 2 ... j n
1 2
... j n )
a1 j a2 j ...anj
由于
P
所以两边取行列式，
A B C D
A D CA 1 B
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则
A B P 证明：设 ,由定理2 C D A B P A D CA 1 B D C D
D 故，D CA B A A BD 1C
关于行列式计算方法的研究
作者单位： 专 业： 班 级： 指导老师： 作者姓名： 数学与信息科学学院 信息与计算科学 2001级4班 李志慧（副教授） 程 国
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.
E CA 1 0 A B E A 1 B A 0 1 E E 0 D CA B C D 0 E 0 E A 1 B 1 ， 1 CA E 0 E
1 . P D A BD C 则
1
...
1
0
...
0
=
0 2 ... ... ... ... ... 0
=
2 ... 0 ... ... ... ... ... n
... ... n
... 1 0 ... 0
=
12 ...n
0
0
0 ... 2 ... ... ...
=
... 2 ... ... ...
1
1, D2
1
1
1 1
2
用-x乘②式得: 2 ( x ) 用 乘②式得: ②+③+④，得:
③ ④ x 2 F ( x) D1 x 3 D2 x 4 D3 x 5 ... Dn x n2 ...
xF( x) D1 x 2 D2 x 3 D3 x 4 ... Dn x n1 ...
n n 0 n
n 0
n
n
数列之间的运算关系同幂级数变换之间的运 算关系是对应的.差分方程的结构是由数列项之间 的递推关系而确定的，把行列式转化为差分方程， 引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出 1 1 0 0 0 ... ... 0 行列式的值. 1 1 1 0 0 ... ... 0