高中数学第二章随机变量及其分布课时跟踪训练14离散型随机变量的均值新人教A版选修2_3
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3 离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[目标] 1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值.2.能记住离散型随机变量的均值的性质，能记住两点分布、二项分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．[重点] 离散型随机变量的均值的概念与计算；离散型随机变量的性质以及两点分布与二项分布的均值．[难点] 离散型随机变量的性质与应用．知识点一离散型随机变量的均值[填一填]1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n.(2)数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量，(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.[答一答]1．随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？提示：随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．2．离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量的哪些内容？提示：离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平．3．离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值的单位是否相同？提示：由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同．知识点二两点分布、二项分布的均值[填一填]1．两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.[答一答]4．若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一定会进8个球吗？提示：某人投篮的命中率为0.8，是通过大量重复的试验来推断出来的一个均值．由于每次试验是相互独立的，投一次可能成功，也可能失败．也就是说投篮10次可能一个球也没进，也可能进了几个球，但并不一定会是8个，只是从平均意义上讲10次投篮进8个球．1．正确理解离散型随机变量的均值(1)随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平．由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位．(2)离散型随机变量的分布列全面地刻画了它的取值规律，而随机变量的均值是从一个侧面刻画随机变量的取值特点．2．离散型随机变量数学期望的性质设ξ是离散型随机变量，则其数学期望具有如下性质： (1)E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b (a ，b ∈R )； (2)E (ξ1＋ξ2)＝E (ξ1)＋E (ξ2)． 3．求随机变量ξ的均值的一般步骤(1)写出ξ的分布列，在求ξ取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如分布列、古典概型、独立事件的概率等；(2)由分布列求E (ξ)；(3)如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布、超几何分布，那么根据它们的期望公式计算．类型一 求离散型随机变量的均值【例1】 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望．【解】 (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜”， B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜”，B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B 1·B 3)＝P (B 1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.E (X )＝0·P (X ＝0)＋1·P (X ＝1)＋2·P (X ＝2)＝98.求随机变量X 的均值的方法和步骤：①理解随机变量X 的意义，写出X 所有可能的取值；②求出X 取每个值的概率P (X ＝k )；③写出X 的分布列；④利用均值的定义求E (X ).某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x ＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018. (2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.ξ可能取0,1,2三个值，P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 19·C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122.ξ的分布列为：故E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.类型二 离散型随机变量的均值的性质【例2】 已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】 先由分布列的性质求出m ，从而可求E (ξ)，利用期望的性质E (η)＝aE (ξ)＋3求出a .【解析】 由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，∴m ＝16.∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2.【答案】 B若给出的随机变量ξ与X 的关系为ξ＝aX ＋b ，a ，b 为常数.一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (ξ).(1)设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)＝( A ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15解析：∵E (ξ)＝10，∴E (3ξ＋5)＝3E (ξ)＋5＝3×10＋5＝35. (2)设ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 P16161313，又设η＝2ξ＋5，则E (η)＝323. 解析：E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝16＋26＋66＋86＝176.∴E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.类型三 二项分布的均值【例3】 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列．(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望． 【分析】 由题目可获取以下主要信息：①该顾客共消费2 300元； ②得奖券4张，且每张中奖率为12；③求ξ的分布列及η的数学期望．解答本题中的(1)可利用独立重复试验求解． (2)可先求出E (ξ)，进而求出E (η)．【解】 (1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～B (4，12)．∴P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116， P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38， P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116， 其分布列为ξ 0 1 2 3 4 P116143814116(2)∵ξ～B (4，12)，∴E (ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E (ξ)＝2 300－100×2＝2 100. 即所求变量η的期望为2 100元．(1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率).(2)如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是910和13.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由．解：(1)设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95，则该选手在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则该选手在B区投篮得分的期望为3×1＝3.所以该选手应该选择在A 区投篮．因不理解二项分布导致错误【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为________．【错解】 2.4【错因分析】 二项分布的特征是事件的相互独立性，彼此之间无任何制约关系，而本例中条件“直到第一次命中为止”说明了随机变量并非服从二项分布．【正解】 X 的可能取值为3,2,1,0， P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 【答案】 2.376设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，则ξ的期望值E (ξ)＝12.解析：由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611，P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922，P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122，则根据期望公式可知ξ的期望值E (ξ)＝12.1．随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 3 P0.20.5m则ξ的数学期望是( B ) A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化解析：∵0.2＋0.5＋m ＝1，∴m ＝0.3， ∴E (ξ)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.2．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p ＝( D )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 解析：∵E (X )＝40×p ＝16，∴p ＝0.4.3．已知ξ的分布列如下，若η＝3ξ＋2，则E (η)＝152.解析：∵12＋t ＋13＝1，∴t ＝16.∴E (ξ)＝1×12＋2×16＋3×13＝116.E (η)＝E (3ξ＋2)＝3E (ξ)＋2＝3×116＋2＝152.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为代表参加演讲，若用随机变量ξ表示选出的演讲者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝47.(结果用最简分数表示)解析：ξ可取0,1,2，因此P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.5．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为ξ，求E (ξ)．解：记“甲解出该题”为事件A ，“乙解出该题”为事件B ，ξ可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝P (A )P (B )＝(1－23)×(1－45)＝115，P (ξ＝1)＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－45)＋(1－23)×45＝25，P (ξ＝2)＝P (A )P (B )＝23×45＝815.所以，ξ的分布列为故E (ξ)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.。
高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3
高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3
预习导航
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考1 随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化，对于简单
随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P；
(2)若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考2 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83C．3 D．2.4
提示：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.。
2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修2-3
2．3.1 离散型随机变量的均值1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2.理解离散型随机变量均值的性质．3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．1．离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．(2)意义：离散型随机变量X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X 为离散型随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋B ．随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近总体的均值． 2．两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p (p 为成功概率)． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化．( ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( )(3)若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12答案：B随机变量X 的分布列为X 1 2 3P0.20.5m则X 的均值是( ) A ．2 B ．2.1C ．2.3D ．随m 的变化而变化答案：B设X 的分布列为X 1 2 3 4 P16161313，Y ＝2X ＋5，则E 答案：323探究点1 求离散型随机变量的均值赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E (ξ1)－E (ξ2)＝________元． 【解析】 赌金的分布列为ξ1 1 2 3 4 5 P1515151515所以E (ξ1)＝5(1＋2＋3＋4＋5)＝3.奖金的分布列为ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6 P4C 25＝253C 25＝3102C 25＝151C 25＝110所以E (ξ2)＝1.4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5×1＋10×2＋5×3＋10×4＝2.8. E (ξ1)－E (ξ2)＝0.2.【答案】 0.2求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值． (2)求概率：求X 取每个值的概率． (3)写分布列：写出X 的分布列．(4)求均值：由均值的定义求出E (X )，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．1.(2018·广东广州模拟)已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ a 7 9 Pb0.10.4 A.4 C ．6D ．7解析：选A.根据随机变量ξ的分布列可知b ＋0.1＋0.4＝1，所以b ＝0.5.又E (ξ)＝ab ＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝4.2．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0 1 2 3 频数1595试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商店销售量为0件)＋P (当天商店销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知X 的可能取值为2，3，P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14，P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.故X 的分布列为X 2 3 P1434所以X 的数学期望为E (X )＝2×4＋3×4＝4.探究点2 离散型随机变量均值的性质已知随机变量X 的分布列为：X －2 －1 0 1 2 P141315m120(1)求E (X )；(2)若Y ＝2X －3，求E (Y )．【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得 14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16， 所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×(－1730)－3＝－6215.法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以E (Y )＝(－7)×4＋(－5)×3＋(－3)×5＋(－1)×6＋1×20＝－15.[变问法]本例条件不变，若ξ＝aX ＋3，且E (ξ)＝－112，求a 的值．解：E (ξ)＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－1730a ＋3＝－112，所以a ＝15.与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量ξ与X 的关系为ξ＝aX ＋b ，a ，b 为常数．一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (ξ)．也可以利用X 的分布列得到ξ的分布列，关键由X 的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E (ξ)．已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1P1213m若η＝aξ＋3，E (η)＝3，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，所以m ＝16，所以E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，法一：E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3 ＝－13a ＋3＝73.所以a ＝2.法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：η －a ＋3 3 a ＋3P12 1316E (η)＝(－a ＋3)×12＋3×3＋(a ＋3)×6＝3.所以a ＝2.探究点3 两点分布与二项分布的均值某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到抽奖券四张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X ，求随机变量X 的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y (元)，用X 表示Y ，并求随机变量Y 的均值. 【解】 (1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. 所以P (X ＝0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (X ＝1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14.P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (X ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.所以离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P116143814116(2)因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2，所以E (X )＝4×2＝2. 又由题意可知Y ＝2 300－100X ，所以E (Y )＝E (2 300－100X )＝2 300－100E (X )＝2 300－100×2＝2 100(元)． 即所求随机变量Y 的均值为2 100元．(1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)． (2)如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： (1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解：(1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2×(13)2＝827.(2)法一：ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k·(13)4－k (k ＝0，1，2，3，4)． 所以ξ的概率分布列为ξ 0 1 2 3 4 P181881248132811681所以E (ξ)＝0×81＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.法二：因为ξ服从二项分布，即ξ～B (4，23)，所以E (ξ)＝4×23＝83.探究点4 均值问题的实际应用(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X 的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？【解】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22 P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E (Y )＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n ＝19时所需费用的期望值小于当n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． (2)概率模型的解答步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”， 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115.所以这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知得X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，所以E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．1．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的均值为( ) A.13 B.23 C ．2D.83解析：选D.X 可能取值为2，3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.所以E (X )＝13×2＋23×3＝2＋23＝83.2．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________．解析：由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝4. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.答案：7123．某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是910和13.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由． 解：设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，910，故E (X )＝2×910＝95.则该选手在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6，设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13， 故E (Y )＝3×13＝1，则该选手在B 区投篮得分的期望为3×1＝3，因为3.6>3，所以该选手应选择在A 区投篮．知识结构深化拓展对离散型随机变量的均值的理解(1)均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的，分布列中随机变量X的一切可能值x i与对应的概率P(X＝x i)的乘积的和就叫做随机变量X的均值．(2)由于离散型随机变量X的每一种可能取值的概率满足i＝1np i＝1，因而离散型随机变量X的均值E(X)是以概率p i为权数的加权平均．(3)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的，但二者大有不同．分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值建立在分布列的基础之上，它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置., [A 基础达标]1．已知ξ～B(n，12)，η～B(n，13)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于( )A．5 B．10C．15 D．20解析：选B.因为E(ξ)＝12n＝15，所以n＝30，所以η～B(30，13)，所以E(η)＝30×13＝10.2．设ξ的分布列为ξ123 4P16161313又设η＝2ξ＋5A.76B.176C.173D.323解析：选D.E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.3．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的均值是( ) A.43 B.139 C.53D.137解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1，2，3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×(23＋13)＝19.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝1×23＋2×9＋3×9＝9.4．两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝( ) A.13 B.23 C.12D.34解析：选B.两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，共有32＝9(种)情况．则投入A 邮箱的信件数X 的概率P (X ＝2)＝C 229＝19，P (X ＝1)＝C 12C 129＝49，所以P (X ＝0)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝1)＝49.所以离散型随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0＋1×49＋2×9＝3.故选B.5．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下： 甲得分：乙得分：则甲、乙两人的射击技术是( A ．甲更好 B ．乙更好 C ．甲、乙一样好D ．不可比较解析：选B.因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙更好些．6．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖．有一个选手选对任一题的概率都是0.8，则该选手可能拿到________等奖．解析：选对题的个数X 服从二项分布，即X ～B (30，0.8)，所以E (X )＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可能拿到二等奖． 答案：二7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是________．解析：由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0，1)，可得p ∈(0，12)．答案：(0，12)8．某日A 、B 两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A 市或B 市受台风袭击的概率为0.36，若用X 表示这一天受台风袭击的城市个数，则E (X )＝________． 解析：设A 、B 两市受台风袭击的概率均为p ，则A 市和B 市均不受台风袭击的概率为(1－p )2＝1－0.36，解得p ＝0.2或p ＝1.8(舍去)，则P (X ＝0)＝1－0.36＝0.64，P (X ＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P (X ＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4. 答案：0.49．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为X 200 300 400 P110310610E (X )＝200×110＋300×10＋400×10＝350.10．(2018·陕西西安长安一中高二下学期期中)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与均值． 解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”(i ＝1，2，…，13)． 依据题意P (A i )＝113.(1)设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P (B )＝613.(2)离散型随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝513，P (X ＝1)＝413，P (X ＝2)＝413.所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的均值为E (X )＝0×13＋1×13＋2×13＝13.[B 能力提升]11．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：(1)从这40名学生中任选3率；(2)从这40名学生中任选2名，用X 表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P ＝1－C 15C 115C 120C 340＝419494.(2)由题意知X ＝0，1，2， P (X ＝0)＝C 25＋C 215＋C 220C 240＝61156， P (X ＝1)＝C 15C 115＋C 115C 120C 240＝2552， P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P611562552539所以X 的数学期望E (X )＝0×156＋1×52＋2×39＝156.12．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为12.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0，1，2，3，4，5)发，由题意知X ～B (5，12)，则由题意有P (X ＝5)＝C 55(12)5＝132. (2)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P13253210321032532132于是Y 的分布列为Y －2 0 40 P1316532132E (Y )＝(－2)×1316＋0×532＋40×132＝－38.13．(选做题)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入后，有L 1，L 2两条巷道通往作业区(如图)．L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B 1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35.(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若L 2巷道堵塞点的个数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )，并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，同时说明理由． 解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A ， 则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)根据题意，知X 的可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920.所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×110＋1×920＋2×20＝20.法一：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3.P (Y ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (Y ＝1)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (Y ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (Y ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以随机变量Y 的分布列为E (Y )＝0×18＋1×38＋2×8＋3×8＝2.因为E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线较好．法二：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32. 因为E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线较好．。
高中数学人教A版选修部分 课时跟踪检测 离散型随机变量的均值(含答案解析)
高中数学人教A 版选修部分 课时跟踪检测离散型随机变量的均值一、选择题1.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )A. B. C. D.118192099202.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X 的期望是( )A.0.2B.0.8C.1D.03.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的14学生数ξ～B ，则E(－ξ)的值为( )(5， 14)A. B.－ C. D.－141454544.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B. C. D.13581514155.已知随机变量ξ的分布列为若η=a ξ＋3，E(η)=，则a=( )73A.1B.2C.3D.46.已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ=|a －b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( )A. B. C. D.893525137.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则67口袋中白球的个数为( )A.3B.4C.5D.28.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定( )A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定二、填空题9.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________.10.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P(X=k)=ak ＋b(k=1,2,3).又X 的均值E(X)=3，则a ＋b=________.11.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________.12.设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E(X)的最大值为________.13.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题14.盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.求：(1)抽取次数X 的分布列；(2)平均抽取多少次可取到好电池.15.如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.16.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.答案解析1.答案为：C ；解析：根据概率和为1，可得x=，E(ξ)=0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x=40x=.1182092.答案为：B ；解析：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1×0.8＋0×0.2=0.8.3.答案为：D ；解析：∵E(ξ)=5×=，∴E(－ξ)=－E(ξ)=－，故选D.1454544.答案为：A ；解析：X 的可能取值为0,1,2，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.C 27C 210715C 17C 13C 210715C 23C 210115所以E(X)=1×＋2×=.715115355.答案为：B ；解析：由分布列的性质得＋＋m=1，∴m=.121316∴E(ξ)=－1×＋0×＋1×=－. 12131613∴E(η)=E(a ξ＋3)=aE(ξ)＋3=－a ＋3=，∴a=2.13736.答案为：A ；解析：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－<0，即>0，∴a 与b 同号.b 2a b a ∴ξ的分布列为∴E(ξ)=0×＋1×＋2×=.134929897.答案为：A ；解析：设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，8.答案为：A ；解析：E(ξ)=0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1=0.6，E(η)=0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0=0.7.∵E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好.9.答案为：2.376；解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P(X=3)=0.6；P(X=2)=0.4×0.6=0.24；P(X=1)=0.42×0.6=0.096；P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064=2.376.10.答案为：－；16解析：∵P(X=1)=a ＋b ，P(X=2)=2a ＋b ，P(X=3)=3a ＋b ，∴E(X)=1×(a ＋b)＋2×(2a ＋b)＋3×(3a ＋b)=3，∴14a ＋6b=3.①又∵(a ＋b)＋(2a ＋b)＋(3a ＋b)=1，∴6a ＋3b=1.②∴由①②可知a=，b=－，∴a ＋b=－.12231611.答案为：48；解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y=5X ，则X ～B(12,0.8)，E(X)=np=12×0.8=9.6，E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.12.答案为：；32解析：由表可得Error!从而得P ∈，期望值E(X)=0×＋1×p ＋2×=p ＋1，[0，12](12－p )12当且仅当p=时，E(X)最大值=.123213.答案为：706；解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)=200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15=340(束).设利润为η，则η=5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5=3.4ξ－450，所以E(η)=3.4E(ξ)－450=3.4×340－450=706(元).14.解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3.P(X=1)=；P(X=2)=×=；P(X=3)=×=.3525343102514110所以X 的分布列为(2)E(X)=1×＋2×＋3×=1.5，35310110即平均抽取1.5次可取到好电池.15.解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39=1，解得x=0.12.(2)由题意知，X ～B(3,0.1).因此P(X=0)=C ×0.93=0.729；03P(X=1)=C ×0.1×0.92=0.243；13P(X=2)=C ×0.12×0.9=0.027；23P(X=3)=C ×0.13=0.001.3故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E(X)=3×0.1=0.3.16.解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.C 12C 13C 15C 31014(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.C 38C 310715C 12C 28C 310715C 2C 18C 310115综上知，X 的分布列为故E(X)=0×＋1×＋2×=(个).71571511535。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值课件新人教A版选修2_3
类型二 两点分布及二项分布的均值 例2 某人投篮命中的概率为P＝0.4. (1)求投篮一次，命中次数X的均值； 解 投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
P 则E(X)＝0.4.
0
0.6
1
0.4
(2)求重复10次投篮时命中次数Y的数学期望.
解 由题意知，重复10次投篮，命中次数Y服从二项分布即Y～B(10,0.6)
3
4Байду номын сангаас
3.5 3.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为______.
解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ P 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
1 1 1 1 1 1 所以，E(ξ)＝1×6＋2×6＋3×6＋4×6＋5×6＋6×6
1 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×6＝3.5.
第二章 §2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随
机变量的均值.
2.理解离散型随机变量均值的性质.
3.掌握两点分布、二项分布的均值.
4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，
解决一些相关的实际问题.
反思与感悟 解析答案
E(Y)＝np＝10×0.4＝4.
跟踪训练2
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但
不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值. 解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6. (1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列课时训练 理 新人教A版选修2-
2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列课时训练理新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列课时训练理新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1离散型随机变量及其分布列1．随机变量在随机试验中,我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的__________表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η,…表示．注意：（1)一般地,如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．(2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，0X =表示反面向上，1X =表示正面向上．(3）若X 是随机变量，Y aX b =+，,a b 是常数，则Y 也是随机变量．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为__________．注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3．离散型随机变量的分布列的表示一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为1x ,2x ，…，i x ，…，n x ,X 取每一个值i x (1,2,,)i n =的概率()i P X x ==__________,以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了简单起见，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n =表示X 的分布列．4．离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1)0i p ≥，1,2,,i n =；(2）1ni i p ==∑__________．注意：分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． 5．两点分布若随机变量X 的分布列具有下表的形式,则称X 服从两点分布,并称(1)p P X ==为成功概率．注意：(1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称0—1分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 6．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件，其中恰有X 件次品，则()P X k ==__________，0,1,2,,k m =，即其中{min ,}m M n =,且n N ≤，M N ≤,,,n M N ∈*N ．如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．注意:m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中的次品件数,即当n M ≤时，此时k （抽取的样本中的次品件数）的最大值m n =;当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n M >时，此时k 的最大值m M =．参考答案： 1．数字2．离散型随机变量3．i p4．1 5．1p -6．C C C k n kM N MnN--重点 离散型随机变量的概念、分布列的性质、两点分布、超几何分布 难点 超几何分布的应用、离散型随机变量分布列的求解易错对离散型随机变量的取值及概率、分布列的性质、超几何分布理解不透彻随机变量的理解（1）分析随机变量的取值所表示的事件时，应先分清事件的结果是什么，是如何与随机变量的取值对应的．（2）随机变量的取值实质上是试验的不同结果对应的数值,这些数值是预先知道的可能取值，但不知道究竟是哪一个值，这是“随机”的意义．一个不透明的箱子中装有标号分别为1,2,3,4,4的五个大小和形状完全相同的红球,现从中任取一个，这是一个随机现象． （1)写出该随机现象所有可能出现的结果； （2）试用随机变量来描述上述结果．【解析】（1)箱子中有五个红球,标号分别为1，2，3，4,4．因此从中任取一个，所有可能出现的结果为“取到标号为1的红球"“取到标号为2的红球”“取到标号为3的红球"“取到标号为4的红球”． (2）令X 表示取到的红球的标号，则X 的所有可能取值为1，2，3，4，对应着任取一个红球所有可能出现的结果,即“1X =”表示“取到标号为1的红球”，“2X =”表示“取到标号为2的红球”， “3X =”表示“取到标号为3的红球”，“4X =”表示“取到标号为4的红球”．【名师点睛】引进随机变量后，随机现象中所有可能出现的结果都可以通过随机变量的取值表达出来．需要注意的是本题中取到“标号为4的红球”对应的结果有两个，但对应的是随机变量的一个值，不能误认为随机变量有5个值：1,2，3，4，4．求离散型随机变量的分布列(1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的点数之差的绝对值X 的分布列；（2)袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的同样大小的6个白球，现从袋中随机取3个球，设η表示取出的3个球中的最小号码，求η的分布列．【解析】（1)易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X 的可能取值为0，1，2，3,4，5，如下表: X 的值 出现的点数情况数（1，1),（2，2)，（3，3）,（4,4)，（5,5)，（6，6)61(1,2），（2，3),(3,4),（4，5），(5，6),（2，1)，（3，2）,(4，3),(5，4),（6，5)102 （1，3），(2，4)，(3,5),（4,6)，（3，1），(4，2），（5,3）,(6，4) 83 (1，4），(2,5），（3，6），(4，1)，(5，2)，（6，3) 64 （1，5)，（2，6)，（5，1）,(6,2） 4 5（1，6），（6，1)2由古典概型可知X 的分布列为X12345P16518291619118（2）根据题意，随机变量η的所有可能取值为1，2，3，4．①1η=，最小号码为1,其他2个球在2，3,4，5，6中任取，所以2536C 1(1)C 2P η===；②2η=,最小号码为2，其他2个球在3，4，5，6中任取，所以2436C 3(2)C 10P η===； ③3η=,最小号码为3，其他2个球在4，5，6中任取，所以2336C 3(3)C 20P η===；④4η=，最小号码为4，其他2个球只能取编号为5,6的2个球，所以2236C 1(1)C 20P η===． 所以，随机变量η的分布列为η1234P12310320120【名师点睛】(1）由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；（2）求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取值所对应的概率,应明确随机变量取每个值所表示的意义．离散型随机变量分布列性质的应用分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用:（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率;（3）可以根据性质判断所求的分布列是否正确．（1)设随机变量ξ的分布列为()6k P mk ξ==,1,2,3,4,5,6k =,求常数m 及1()2P ξ≥；(2）已知X 是离散型随机变量,其分布列如下,求n 的值及(0)P X >．X1-12P1313n 2n49【解析】（1）随机变量ξ的分布列为ξ16 131223561Pm2m 3m4m 5m 6m由234561m m m m m m +++++=,解得121m =． 故11256()()()()(1)1822367P P P P P m ξξξξξ≥==+=+=+===．（或：1116()1()()132637P P m ξξξ≥=-=-==-=）（2）由21143391n n +++=，解得13n =（负值舍去),故245(0)(1)(2)99P X P X P X n >==+=+==．两点分布的应用在两点分布中，只有两个对立的结果,知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率．（1）不透明的袋中装有大小、形状完全相同的5个白球和4个红球，从中随机摸出两个球，记X =0,1,⎧⎨⎩两球颜色相同两球颜色不同，求随机变量X 的分布列;（2)已知一批200件的待出厂产品中有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量Y 表示抽取的2件产品中的次品数，求Y 的分布列．【解析】由题意知,X 服从两点分布，225429C C 4(0)C 9P X +===，115429C C 5(1)C 9P X ===， 所以随机变量X 的分布列为X0 1P49 59(2）由题意知,Y 服从两点分布,21992200C 99(0)C 100P Y ===，11992200C 1(1)C 100P Y ===，所以随机变量Y 的分布列为Y1P991001100超几何分布的应用生产方提供的某批产品共50箱，其中有2箱不合格品,采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？【思路分析】将50箱产品看作50件“产品"，2箱不合格品看作2件“次品"，任取5箱中不合格品的箱数可以看作是任取5件“产品”中所含的次品数，根据公式可求概率． 【解析】从中随机抽取5箱,用X 表示“5箱中不合格品的箱数”， 则X 服从参数为50N =,2M =，5n =的超几何分布．该批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品， 所以被接收的概率为(1)P X ≤,故0514248248555050C C C C 243(1)(0)(1)C C 245P X P X P X ≤==+==+=，所以该批产品被接收的概率为243245．（或23248550C C 243(1)1(2)1C 245P X P X ≤=-==-=)【名师点睛】解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．求相关变量的分布列若随机变量Y 的分布列不易求，可以根据题意找出与随机变量Y 有关的随机变量X ，确定二者对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量Y 的分布列转化为求随机变量X 的分布列．已知随机变量ξ的分布列如下表所示,分别求出随机变量112ηξ=,22ηξ=的分布列．ξ2-1-0 1 2 4P11015115 130 12 110 【解析】由题易得1η的可能取值为1-，12-,0，12，1，2,且11(1)(2)10P P ηξ=-==-=，111()(1)25P P ηξ=-==-=,11(0)(0)15P P ηξ====， 111()(1)230P P ηξ====,11(1)(2)2P P ηξ====，11(2)(4)10P P ηξ====,所以1η的分布列为1η1-12-12 1 2P1101511513012110由题易得2η的可能取值为0，1，4，16， 且21(0)(0)15P P ηξ====,27(1)(1)(1)30P P P ηξξ===-+==， 23(4)(2)(2)5P P P ηξξ===-+==，21(16)(4)10P P ηξ====，所以2η的分布列为2η1416P11573035110某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ1234 5 P0.120.240.180.210.25商场经销一件该商品,采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款，其利润为300元．若η表示经销一件该商品的利润，求η的分布列． 【解析】由题易得η的可能取值为200，250，300,则(200)(1)0.12P P ηξ====,(250)(2)(3)0.240.180.42P P P ηξξ===+==+=, (300)(4)(5)0.210.250.46P P P ηξξ===+==+=，所以η的分布列为η200250 300P0.120.420.46【名师点睛】求随机变量分布列的重要基础是计算概率．就本题而言,是两个关联变量的分布列问题，可以看到解决问题的关键是利用互斥事件的概率计算公式．未找准随机变量的取值而致错现有10张奖券，其中8张2元的,2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【错解】记所得金额为ξ元,则ξ的可能取值为6,12，且38310C 7(6)C 15P ξ===，8(12)1(6)15P P ξξ==-==，所以ξ的分布列为ξ612P715815【错因分析】产生错解的原因是没能找准随机变量ξ的可能取值，事实上任取3张的结果有3种:3张2元,2张2元、1张5元，1张2元、2张5元，可得ξ的可能取值有3个,分别为6，9，12．【正解】记所得金额为ξ元，则ξ的可能取值为6，9，12，且38310C 7(6)C 15P ξ===，2182310C C 7(9)C 15P ξ===,1282310C C 1(12)C 15P ξ===，所以ξ的分布列为ξ6 9 12P715 715 115错解随机变量的取值概率而致错从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为X ．（1）求X 的分布列;（2）求所选女生的人数至多为1的概率．【错解】(1）由题设可得X 的可能取值为0，1，2,且3436A 1(0)A 5P X ===，214236A A 1(1)A 5P X ===，3(2)1(0)(1)5P X P X P X ==-=-==,所以X 的分布列为X 012P151535（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X ≤,其概率为2(1)(0)(1)5P X P X P X ≤==+==． 【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误,事实上随机变量X 服从参数为6N =，2M =,3n =的超几何分布．【正解】（1）由题设可得X 的可能取值为0，1，2，且3436C 1(0)C 5P X ===，122436C C 3(1)C 5P X ===，212436C C 1(2)C 5P X ===， 所以X 的分布列为X 012P153515（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为1X ≤，其概率为4(1)(0)(1)5P X P X P X ≤==+==．未掌握离散型随机变量分布列的性质而致错已知X 是一个离散型随机变量,其分布列如下,则常数a =______________．X12P38a -29a a -【错解】由离散型随机变量分布列的性质可得2(38)(9)1a a a -+-=，解得13a =或23，故填13或23． 【错因分析】错解中仅注意到随机变量X 的分布列满足概率和为121p p +=,但忽略了01i p ≤≤(1,2)i =．【正解】由离散型随机变量分布列的性质可得22(38)(9)10381091a a a a a a -+-=≤-⎧≤≤-≤⎪⎨⎪⎩，解得13a =，故填13．未弄清随机变量取值概率的实质而致错已知随机变量X 的分布列如下，求随机变量12Y X =的分布列． X 4- 2- 0 2 6 P0.10.2 0.30.10.3【错解】由12Y X =可得Y 的可能取值为2-，1-，0，1，3,所以Y 的分布列为 Y2- 1- 0 1 3 P 0.05 0.10.150.050.15【错因分析】错解中误认为12Y X =的取值概率变为原来的12，没有弄清随机变量取值概率的实质． 【正解】由12Y X =可得Y 的可能取值为2-,1-，0，1，3，相应的概率不变，所以Y 的分布列为Y 2- 1- 0 1 3 P0.10.2 0.30.10.3对超几何分布的概念理解不透彻而致错盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个,若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列． 【错解】由题意可知，X 服从超几何分布,其中12N =，3M =，3n =，所以在取得正品之前已取出次品数X 的分布列为339312C C (0,1,2,3)C ()k k P X k k -===，所以已取出次品数X 的分布列为 X123P21552755272201220【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“1X =”表示“第一次取到次品,第二次取到正品”，“2X =”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品"，属于排列问题．而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题． 【正解】由题易得X 的可能取值为0，1，2，3．19112()C 30C 4P X ===,1139212C C 9()1A 44P X ===，2139312A C 92A 2()20P X ===，3139412A C 13A 2()20P X ===，所以已取出次品数X 的分布列为X123P3494492201220【名师点睛】求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识,求出随机变量每个取值的概率,注意概率的取值范围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．1．下列随机变量中是离散型随机变量的为 A ．某人早晨在车站等出租车的时间XB ．以测量仪的最小单位计数,测量的舍入误差XC ．连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数XD ．沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置X2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2,3,4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值的个数是 A ．5B ．9C ．10D ．253．随机变量X 所有可能取值的集合是{2,0,3,5}-，1(5)12P X ==,则(0)P X =的值为 A ．0BC4．已知随机变量X 的分布列为，1,2,3,4,5k =，则A BC 5．某地区15个村庄中有7个村庄交通不便,现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中A ．()6P ξ=B ．(6)P ξ≤C ．(4)P ξ=D ．(4)P ξ≤6．已知X 是一个离散型随机变量,其分布列为则常数q 等于 A ．1B C D 7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量η去描述1次试验的成功次数，则(0)P η==______________．8．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球,取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则(7)P ξ≤=______________．9．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（1）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 发生的概率； (2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列．10．已知随机变量X 的分布列如下，则(|2|1)P X -==A D 11．若随机变量η的分布列如下：则当()0.8P x η<=时，实数x 的取值范围是 A ．(,2]-∞B ．(1,2)C ．[1,2]D ．(1,2]12．一盒子中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X ==A B C D 13．随机变量X 的概率分布列为()(1)aP X n n n =+=（n =1，2，3，4)，其中a 是常数,则P (12X <<52)的值为 A ．23 B ．34C ．45D ．5614．已知随机变量ξ的所有可能取值为1x ，2x ，3123()x x x x <<,若1()1P x ξα==-，2()1P x ξβ==-，33()4P x ξ==，则αβ的最大值为______________． 15．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量（单位:克）,重量的分组区间为(490,495]，（495,500］，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如下图所示:（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．16．为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如下表所示：（1)从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；（2）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X，求随机变量X的分布列．17．【2016新课标全国I理节选】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1）求X 的分布列;（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值．1．C 【解析】选项A 、B 、D 中的随机变量X 可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故选C ．2．B 【解析】号码之和可能为2,3，4，5，6，7,8，9,10，共9个．故选B ．3．C 【解析】因为随机变量X 所有可能取值的集合是{2,0,3,5}-，且1(2)4P X =-=，1(3)2P X ==1(5)12P X ==，所以1(0)1(2)(3)(5)6P X P X P X P X ==-=--=-==,故选C ． 4．D 【解析】由题易得15()22P X <<511521)2()1(=+==+==x P x P ,故选D ．5．C 【解析】由超几何分布的概率计算公式可得()4P ξ=C ．6．CC ．7．13【解析】本题符合两点分布，先求η的出分布列，再根据分布列的性质可求(0)P η=．设失败率为p ，则成功率为2p ,所以η的分布列为则“0η=”表示试验失败,“1η=”表示试验成功，由21p p +=可得13p =，故1(0)3P η==．8,若得分不大于7，则4个球都是红球，此时4ξ=，或3个红球、1个黑球，此时6ξ=．又4447C 1(4)C 35P ξ===，314347C C 12(6)C 35P ξ===,故13(7)(4)(6)35P P P ξξξ≤==+==． 9．（1(2）分布列见解析． 【思路分析】（1）“至少有一件通过检测”的反面是“没有一件通过检测"，即三件都不通过，利用互斥事件的概率可得；（2)求X 的分布列,首先要确定变量X 的取值，由于10件中有6件一等品，因此X的所有可能取值为0,1,2,3,由古典概型概率公式可得各概率,从而得分布列．【解析】（1所以随机选取3件产品, （2）由题可知X 的所有可能取值为0,1,2,3．3046310C C 1(0)C 30P X ===，2146310C C 3(1)C 10P X ===，1246310C C 1(2)C 2P X ===,0346310C C 1(3)C 6P X ===．则随机变量X 的分布列为X123P130310121610．C 【解析】由分布列的性质可得1643m +++=，解得14m =．又(|2|1)(1)P X P X -===+115(3)6412P X ==+=．故选C ． 11．D 【解析】由题中所给分布列，可得(2)(1)(0)(1)0.8P P P P =-+=-+=+==ηηηη，(2)P η=-+(1)(0)(1)(2)0.9P P P P ηηηη=-+=+=+==，故12x <≤．故选D ．12．C 【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为4X =时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球,即取出的3个球中有2个旧球、1个新球,所以2139312C C 27(4)C 220P X ===,故选C ．13．D 【解析】由题意可得，2a ＋6a ＋12a ＋120a =,解得54a =,故P (12X <<52)1()P X ==+()2P X =2a =＋6a =23a =56，故选D ．14．4964【解析】由题可得33()1(1)(1)14P x ξαβαβ==----=+-=,所以74αβ+=,且314α≤<，314β≤<，所以249()264αβαβ+≤=，当且仅当78αβ==时取等号．15．（1）12;(2)分布列见解析．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为400.0550.015()⨯⨯+⨯=400.312⨯=．（2）Y 的可能取值为0,1，2,且Y 服从参数为40N =,12M =,2n =的超几何分布， 故021228240C C 630C 1()30P Y ===，111228240(C C 281C )65P Y ===，201228240C C 112C 1()30P Y ===， 所以Y 的分布列为16．(12)分布列见解析． 【思路分析】（1）利用组合知识得到有关事件的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式进行求解;（2）先写出随机变量的所有可能取值，再利用超几何分布的概率公式求出每个变量发生的概率,列表可得分布列．【解析】(1）从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为260C 1770=，且这2人在同一班级的基本事件个数为222220151510CC C C 445+++=，（2）由题意可得X 的所有可能的取值为0，1，2，所以X 的分布列为17．（1）分布列见解析；（2）19．【解析】(1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9,10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ;2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ;08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P ．所以X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0（2）由（1)知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19．老师：“楚向阳同学，你认为太阳和月亮哪个更重要？”楚阳向：“月亮更重要."老师:“为什么呢?”楚阳向：“月亮能给黑夜带来光明，而太阳好像没什么用，总是在大白天出来．”。
高中数学人教A版高二选修2-3：课时跟踪检测(十四)_离散型随机变量的均值
课时跟踪检测（十四） 离散型随机变量的均值层级一 学业水平达标1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X )D ．2E (X )解析：选B ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数，∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0． 2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E (ξ)的值为( )A ．118B ．19C ．209D ．920 解析：选C 根据概率和为1，可得x ＝118，E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x＝209． 3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0．8，则射击一次得分X 的期望是( )A ．0．2B ．0．8C ．1D ．0解析：选B 因为P (X ＝1)＝0．8，P (X ＝0)＝0．2，所以E (X )＝1×0．8＋0×0．2＝0．8． 4．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B ⎝⎛⎭⎫5， 14，则E (－ξ)的值为( ) A ．14B ．－14C ．54D ．－54解析：选D ∵E (ξ)＝5×14＝54，∴E (－ξ)＝－E (ξ)＝－54，故选D ．5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( ) A ．35B ．815C ．1415D ．1解析：选A X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115．所以E (X )＝1×715＋2×115＝35．6．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0．6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0．6；P (X ＝2)＝0．4×0．6＝0．24； P (X ＝1)＝0．42×0．6＝0．096； P (X ＝0)＝0．43＝0．064．所以E (X )＝3×0．6＋2×0．24＋1×0．096＋0×0．064 ＝2．376． 答案：2．3767．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________．解析：∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ， ∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3．①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1．②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16．答案：－168．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0．8，则其第一大题得分的均值为________．解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ， 则X ～B (12,0．8)，E (X )＝np ＝12×0．8＝9．6， E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9．6＝48． 答案：489．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X 的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3． P (X ＝1)＝35；P (X ＝2)＝25×34＝310；P (X ＝3)＝25×14＝110．所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1．5，即平均抽取1．5次可取到好电池．10．如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解：(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0．1＋x ＋0．37＋0．39＝1，解得x ＝0．12． (2)由题意知，X ～B (3,0．1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0．93＝0．729； P (X ＝1)＝C 13×0．1×0．92＝0．243； P (X ＝2)＝C 23×0．12×0．9＝0．027； P (X ＝3)＝C 33×0．13＝0．001．故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E (X )层级二 应试能力达标1．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，∴m ＝16．∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13．∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2．2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13解析：选A ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－b 2a<0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89．3．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P (ξ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21， P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，解得x ＝3．4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定( ) A ．甲比乙质量好 B ．乙比甲质量好 C ．甲与乙质量相同D ．无法判定解析：选A E (ξ)＝0×0．7＋1×0．1＋2×0．1＋3×0．1＝0．6，E (η)＝0×0．5＋1×0．3＋2×0．2＋3×0＝0．7． ∵E (η)>E (ξ)，故甲比乙质量好．5．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E (X )的最大值为________．解析：由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得P ∈⎣⎡⎦⎤0，12，期望值E (X )＝0×⎝⎛⎭⎫12－p ＋1×p ＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E (X )最大值＝32．答案：326．节日期间，某种鲜花的进价是每束2．5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1．6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E (ξ)＝200×0．20＋300×0．35＋400×0．30＋500×0．15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1．6×(500－ξ)－500×2．5＝3．4ξ－450， 所以E (η)＝3．4E (ξ)－450＝3．4×340－450＝706(元)． 答案：7067．(重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14．(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115．综上知，X 的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．8．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0．999104．(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解：各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0．999104，故p＝0．001．(2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：104ξ＋5×104，盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－105－5×104．由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值习题新人教A版选修2-3(2021年整
2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1 离散型随机变量的均值习题新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1 离散型随机变量的均值习题新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章2。
3 2.3。
1 离散型随机变量的均值A级基础巩固一、选择题1．若X是一个随机变量，则E(X－E（X）)的值为( B ）A．无法求B．0C．E(X）D．2E(X）［解析］只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E（aX＋b）＝aE（X）＋b，而E（X)为常数，∴E（X－E（X））＝E（X）－E（X）＝0．2．已知离散型随机变量X的分布列如下：X135P0。
5m0.2则其数学期望E（X）等于（ D )A．1 B．0.6C．2＋3m D．2.4[解析］由0。
5＋m＋0.2＝1得，m＝0.3,∴E(X）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4．3．有N件产品,其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是（ C )A．n B．（n－1）错误!C．错误!D．（n＋1）错误![解析］设抽到的次品数为X,∵共有N件产品，其中有M件次品,从中不放回地抽取n 件产品,∴抽到的次品数X服从参数为N、M、n的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值E （X）＝错误!．4．今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X）＝（ B ）A．0。
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课时跟踪训练(十四) 离散型随机变量的均值(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 离散型随机变量的均值1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0[解析] 因为P (ξ＝1)＝0.8，P (ξ＝0)＝0.2，所以E (ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.[答案] B2．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝________. [解析] 因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，所以E (X )＝n 2.又E (X )＝15，则n ＝30.所以Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫30，13.故E (Y )＝30×13＝10.[答案] 103．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X 表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及均值E (X )．[解] (1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P ＝1－C 15C 115C 120C 340＝419494. (2)由题意知X ＝0,1,2， P (X ＝0)＝C 25＋C 215＋C 220C 240＝61156， P (X ＝1)＝C 15C 115＋C 115C 120C 240＝2552， P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝0×156＋1×52＋2×39＝156.题组二 离散型随机变量均值的性质4．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16 B ．[解析] 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.[答案] A5．若ξ是一个随机变量，则E (ξ－E (ξ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (ξ) D ．2E (ξ)[解析] 因为E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b (a ，b 为常数)，而E (ξ)为常数，所以E (ξ－E (ξ))＝E (ξ)－E (ξ)＝0.故选B.[答案] B6．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[解析] 设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ，则X ～B (12,0.8)，E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6，E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48.[答案] 48题组三 均值的实际应用7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125 D.75[解析] 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝27125×0＋54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.[答案] B8．交5元钱，可以参加一次摸奖．一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有“1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖金是所抽2个球上标的钱数之和．求抽奖人获利的均值．[解] 设X 为抽到的2个球上标的钱数之和， 则X 的可能取值如下：X ＝2，抽到两个标有“1元钱”的球；X ＝6，抽到一个标有“1元钱”的球，一个标有“5元钱”的球； X ＝10，抽到两个标有“5元钱”的球．由题意可知 P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝10)＝C 22C 210＝145.因此E (X )＝2×2845＋6×1645＋10×145＝16245＝185.若用Y 表示抽奖人获利的可能值，则Y ＝X －5，故获利的均值E (Y )＝E (X )－5＝185－5＝－75＝－1.4.9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与均值．[解] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×15＋1×15＋2×15＝5.综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如表，则m 的值为( )A.13B.14C.6D.8[解析] 由Y ＝12X ＋7得E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，所以E (X )＝1×14＋2×m＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13.故选A.[答案] A2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )等于( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22[解析] P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. [答案] B3．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的均值是( )A.43B.139C.53D.137[解析] 试验次数ξ的可能取值为1,2,3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋13＝19.所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×23＋2×9＋3×9＝9.[答案] B 二、填空题4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________．[解析] 由已知可得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124.当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124. [答案]1245．一盒子中有10个筹码，其中5个标有2元，5个标有5元，某人从此盒子中随机有放回地抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金数X的均值为________．[解析] 由于有放回地抽取，所以每次取到2元和5元筹码的概率一样，均为12，则获得奖金数X 的分布列如下：∴E (X )＝6×8＋9×8＋12×8＋15×8＝8＝2.[答案]212三、解答题6．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解] (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则 P (A )＝C 13·C 27＋C 03C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×6＋1×2＋2×10＋3×30＝5.7．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1 2，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．[解] (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×8＋2×16＋4×16＋6×16＋8×16＝2.。