试卷17

数学竞赛训练试卷17
1. 求∑=∞→++++n
k n k k k k 1
23)!3(5
116lim .
2.求x
x n
x x
x n a
a a 1210lim ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+++→ . n i a i ,,2,1,0 =>，n 为正整数.
3. 设()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，且
()0,f x ''>li m ()0,li m ()0x x f x f x αβ→+∞
→-∞
''=>=<
且
存在一点0x ，使得0()0f x <，证明方程()0f x =在
(,)-∞+∞恰有两个根.
4. ()f x 具有连续的二阶导数，且
(0)(0)0,
f f '==(0)0f ''>，求()0
00
()lim
()u x x
x f t dt
f t dt
+
→⎰⎰
，
其中函数()u x 是曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线在x 轴上的截距.
5. 设)(x f 在]1,0[上有连续的导数.证明：对于
]1,0[∈x ，有⎰'+≤1
))()(()(dt t f t f x f .
6. )(x f 在],[b a 上单调增加，0)(>''x f ，证明：
⎰+-<<-b
a
a f
b f a b dx x f a f a b 2
)
()()
()()()(.
7. 设微分方程0)(1
=+'-
''y x q y x
y 有两个满足121=y y 的特解,求该微分方程的通解.
8. 设),(C x y y =是微分方程
6
44
42x y dx dy y x =+的通解,求32),(lim x
C x y C +∞→. 9. 设向量
()c ,2,1=β及直线L 的方向向量
()n m l s ,,=，0>n ，其中L 国点()3,1,2-M ,与直
线1
2
111:1+=-=-z y x l 相交，与平面0523:=++-z y x π的夹角为0α，求使得β与s
的夹角为最小的c 的值，其中0α是使二元函数
()()
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0
,00,,2
22262
25
y x y x x x y x y x f 的方向导数
()
[))2,0),sin ,(cos (,00,0παααττ
∈=≠d df
的α最
大值.
10. 设()()22,0,0,,y y z x x z y x y
x z
==+=∂∂∂，
求曲面()y x z z S ,:=上的点P ，使曲面S 在点P 处的切平面P π与平面1:=-+z y x π平行，并求适合上述条件的所有点P 中距离原点最近的点0P 到π与平面0=x 的交线l 的距离. 11. 计算
222
21
()x y z ax by dV ++≤+⎰⎰⎰
.
12. 设()u x 在[0,1]连续，且
1
()1()()x
u x u y u y x dx λ=+-⎰，证明：1
2
λ≤
. 13. 证明：
()
⎰⎰Ω
≥+
++53
1083a dS a z y x π，
()0>a ，()()()2222:a a z a y a x =-+-+-Ω.
14. 设曲面1:2
2
2
=++z y x S ，向量场F
的分量
在球域1:2
22≤++Ωz y x 上具有连续偏导，证明
0=⋅⎰⎰
S
ds n F rot ，其中n
为曲面S 的外法向. 15. 设k
n a n
k n 121
∑
=-
=，证明：(1).}{n a 收
敛；(2).2lim 1≤≤∞
→n n a .
16． 设11,3)(<≤-+=x x x f ，试将)(x f 展为2为周期的Fourier 级数，并求出
∑∞
=12
1
n n
的和.。