与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法

一元二次方程竞赛解题方法

一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。

除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。

以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。

我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。

进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法例如，考虑已知$\alpha。

\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。

我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。

S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。

我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。

奥林匹克数学题型一元二次方程

奥林匹克数学题型一元二次方程二次方程是数学中最常见且重要的方程之一，它的形式通常为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x是未知数。

在奥林匹克数学竞赛中，一元二次方程常常作为题目的出发点，要求解题者根据方程的性质和特点，运用巧妙的数学方法来解决问题。

本篇文章将探讨奥林匹克数学竞赛中涉及一元二次方程的几种常见题目类型。

一、求根公式的应用在解一元二次方程时，求根公式是最经典的方法之一。

对于任意一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)在使用求根公式时，需要注意方程的系数以及判别式的正负。

当判别式大于零时，方程有两个实根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式小于零时，方程无实根。

例如，考虑一道典型的奥林匹克数学竞赛题目：已知方程x^2 - 3x + 2 + √(x^2 - 3x + 2) = 4的解集为A，求A的并集与交集之和。

解题思路：首先，将方程整理为一般形式x^2 - 3x + (2 + √(x^2 - 3x + 2) - 4) = 0。

然后，观察方程可知，它等价于(x - 1)(x - 2) = 0。

因此，方程的解为x = 1或者x = 2。

根据解的性质，我们可以得出解集A = {1, 2}。

所以A的并集与交集之和即为{1, 2}。

二、二次方程的图像性质了解二次方程的图像性质对于解题非常有帮助。

一元二次方程的图像是一个抛物线，它的开口方向和性质与二次方程的系数有关。

1. 当a > 0时，抛物线开口向上，并且最低点（顶点）处在x轴的上方；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，并且最高点（顶点）处在x轴的下方。

利用这些性质，我们可以在奥林匹克数学竞赛中运用几何推理来解决问题。

例如，考虑以下题目：已知实数x满足x^2 - 2x - 15 < 0，求x的取值范围。

一元二次方程竞赛题解题七新招

一元二次方程竞赛题解题七新招一元二次方程是高中数学中最重要的概念之一，并且也是许多数学竞赛的主要解答方法。

解答一元二次方程，需要理解并熟悉一元二次方程的特性，以及解答方法。

本文旨在总结在一元二次方程竞赛中，新提出的解答几种策略，以便高中数学考试或竞赛中能更好地解答一元二次方程。

首先，要解答这类方程，必须理解一元二次方程的定义及特性。

一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a,b,c分别是常数，a不能为0。

一元二次方程的解可以用一元二次方程的根式及其组合进行求解。

其次，可以采用图像化解答一元二次方程。

无论是求竞赛题中一元二次方程的根，还是求其展开式的系数，都可以采用图像化办法，把一元二次方程描绘成一个函数图像，通过把函数图像的轴与参数的关系进行比较推算，从而解出方程的解。

再者，可以运用解析法解答一元二次方程。

若一元二次方程的解给定，可以用解析法的方法，逐步把方程转化成一个可以求解的形式，从而获得方程的解。

此外，还可以利用“快速检查”方法解答一元二次方程。

即，先把一元二次方程化为一元一次方程组，用“快速检查”方法求解，再将一元一次方程组的解代入原方程，判断是否满足。

再者，可以采用斜率法解答一元二次方程。

斜率法将一元二次函数中的给定直线看做斜率。

把斜率与x轴截距求出，再把这些系数放入一元二次方程中，即可得出方程的解。

此外，还可以运用求和法解答一元二次方程。

求和法是指求一元二次方程中a,b,c的和，然后将求得的结果作为约束，再把约束条件代入一元二次方程中求解。

最后，可以用乘积法解答一元二次方程。

乘积法指求一元二次方程中a,b,c的乘积，以此作为约束条件，再把约束条件代入一元二次方程中求解。

以上就是我在一元二次方程竞赛中新提出的七种解答策略，它们可以帮助大家在高中数学考试或竞赛中更好地解答一元二次方程。

它们也可以作为一个有效的学习工具，帮助大家更好地理解及掌握一元二次方程的解法。

今后，解答一元二次方程将会更容易，能够更有效地提高数学考试成绩。

初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)

初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。

首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。

求一元二次方程整数根的若干方法

= 24
经检验, m = 12, 24 均符合题意.
三、利用求根公式
例 4 ( 第四届 “祖冲之杯” 数学竞赛题) 已知方程
(a 2 - 1) x 2 + 2 ( 5a + 1) x + 24 = 0 有两个不等的负整
一、利用整数的性质
例 1 ( 希望杯数学竞赛题) 已知 p 为质数, 且方程
= 10 (m 2 - 2n ± 1) ± 2
又 ∵ ∃ ≥ 0, 即 b - 20c ≥ 0,
2
故 b2 ≥ 20c 由 ①、 ③、 ④ 得 100 > b2 ≥ 20c, c < 5.
2
④
若 c = 1, 则由 ②、 ④ 得 0 < b < 6 且 b ≥ 20, 得 b
= 5;
若 c = 2, 则 0 < b < 7 且 b2 ≥ 40, 无整数解; 若 c = 3, 则 0 < b < 8 且 b2 ≥ 60, 无整数解. 故所求 b, c 的值为 b = 5, c = 1.
当 a - 6 = 0 时, m = ± 1 时, 方程 x 2 - 8x + 15 =
0, x 1 = 3, x 2 = 5, ∴ a = 6;
∴ a = 6 或 7, 方程整数根分别为 x 1 = 3, x 2 = 5 或
x 1 = x 2 = 4.
七、利用韦达定理
例 8 ( 北京初二数学竞赛题) 方程 x 2 + p x + q =
解: 原方程可化为 (x - 8) 2 + ( 8 - a ) (x - 8) - 1
= 0
(x 1 + x 2 ) = 1992

求解一元二次方程的方法及答案

求解一元二次方程的方法及答案
一元二次方程是一种常见的数学问题，解决它可以采用以下几种方法：
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过因式分解法求解。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 找出使方程成立的两个数m和n，使得m * n = a * c，并且m + n = b
- 将方程因式分解为(x + m)(x + n) = 0
- 解得x = -m 或 x = -n，即为方程的解
2. 完全平方公式法：
当一元二次方程可以写成某个二次项的完全平方形式时，可以通过完全平方公式法求解。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 求出平方项的一半：p = b / 2a
- 将方程重新写成完全平方形式：(x + p)^2 = p^2 - c / a
- 再求开方，得到：x + p = ±√(p^2 - c / a)
- 最后解得x = -p ±√(p^2 - c / a)
3. 公式法：
一元二次方程的解可以通过求解一元二次方程的求根公式得到。

具体步骤如下：
- 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0
- 利用求根公式，解得x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
这些方法可以帮助我们求解一元二次方程，但需要注意的是，
方程的解可能有一组或两组，取决于方程中的系数和根的性质。

希望以上内容对您有所帮助。

初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）

初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。

首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；这个方法确实要简单些，不过却不容易想到将x替换为np，一般来说，谁能想到这个？老师提供的第二种方法也包含了部分这个方法中的一些设想，只不过路线不同罢了，所以同一道题方法有很多，有些只是我们还未发现而已，并不代表不存在。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程与方程组

第八章二次方程与方程组第一节一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab ba b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。