第8讲 函数和过程一

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高中数学第讲必修函数与方程

高中数学第讲必修函数与方程

(关12系)b是=logc>12 ba,>(b12
)c=log2c,则a、b、c的2大小 .
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考C察o函py数rigf(hxt)2=02x0与4-g2(0x1)=1lAogsp1 xo的se图P象ty 的Ltd交.
所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点,取区间 [1,1.5]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算列表如下:
端(中)点 中点函数值 零点所在区间 |an-bn|
坐标
符号
[1,1.5]
0.5
1,25
f(1.E25v)a<l0uation [o1n.2ly5.,1.5]
0.25
ted wi1th.3A75sposef(.1S.3li7d5e)s>0for .N[1E.2T53,1..537C5l]ient P0.r1o2f5ile 5.2 1.3C12o5pyrigf(h1t.32102054)<-0201[11.A31s2p5o,s1e.37P5t]y L0td.0.625
令f(-1)·f(1)<0,得a> 1 或a<-1,故选C.
5
4.已f(x知)=函0的数解f(,x)=且( 130)<xx-1l<ogx20x,,若则实f(x数1)x的0是值方为程( A ) A.恒为正值 B.等于0
C.恒为负值 EvaDlu.a不tio大n于on0ly. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函数的零 点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375] 内,故函数零点的近似值为1.3125.

第8讲 函数单调性与奇偶性的应用

第8讲  函数单调性与奇偶性的应用

第8讲 函数单调性与奇偶性的应用知识回顾】()()()()()()()12121212121 y=A I A ,y=I ;y=I .f x x x If x x x f x f x f x x x f x f x ⊆∀∈<⇔<<⇔>、函数的单调性:设函数的定义域为,区间, 若在区间上是增函数,则若在区间上是减函数,则()()()()()()()2 y=A ,f x x A f x f x y f x f x f x y f x ∀∈-=⇔=-=-⇔=、函数的奇偶性设函数的定义域为,对于都有函数是偶函数;函数是奇函数。

偶函数的图像关于y 轴对称;奇函数的图像关于原点对称。

典型例题】例1单调性、奇偶性的图像特征1. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数,且最小值是5,那么)(x f 在[]3,7--上是( )A .增函数,最小值是-5B .增函数,最大值是-5C .减函数,最小值是-5D .减函数,最大值是-52.若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数,在[)0,+∞上是减函数,(1)则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________.(2)则3()4f -和2(1)f a a -+的大小关系为 。

(3)若()20f =,则使得()0f x <的x 的取值范围是 。

3.设奇函数f (x )的定义域为[-5,5],当x ∈[0,5]时,函数y =f (x )的图象如图所示,则使函数值y <0的x 的取值集合为 .【规律总结】 1.奇函数在对称的区间上的单调性相同,偶函数相反.2.利用函数单调性比较大小,要在同一单调区间上进行。

3.若()f x 为偶函数,则有()()f x fx =例2利用函数的单调性、奇偶性解不等式1.定义在(1,1)-上的奇函数()f x 为减函数,且(1)(2)0f a f a -+<,求实数a 的取值范围。

第8讲 函数与方程

第8讲 函数与方程

第八讲《函数与方程》【学习目标】理解零点与方程实数解的关系,掌握函数的概念,性质,图像和方法的综合问题,熟悉导数与零点的结合,方程,不等式,数列与函数结合的问题。

【基础知识回顾】:1、2.用二分法求方程近似解的一般步骤:【基础知识自测】1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调,且)()(b f a f ∙<0,则方程0)(=x f 在区间⎣⎦b a ,上 ( ) (A ) 至少有一实根 ( B ) 至多有一实根 (C )没有实根 ( D )必有唯一的实根2、函数xx f x 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( )(A ) (1,2) ( B ) (2,3) ( C ) (e,3) ( D )(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点,则必有( )(A )、函数)(x f y =有且只有一个零点 (B )、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示,令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是① 有三个实根 ② 当x>1时,恰有一实根③当0<x<1时,恰有一实根 ④当-1<x<0时,恰有一实根 ⑤当-x<-1时,恰有一实根【典型例题剖析】一、确定函数的零点例1、判断方程0243=--x x 在区间[]0,2-内至少有几个实数解,并说明理由。

跟踪练习:已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x)对应填表:则函数在区间[]61,上的零点至少有( )A 2个B 3个C 4个D 5个 二、用二分法解决函数的零点问题例2、用二分法求函数f(x)=13--x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1内的一个零点。

第8讲---一次函数的图像及其性质

第8讲---一次函数的图像及其性质

第8讲—一次函数的图像及其性质 姓名:◆【要点1】---一次函数的图像1、一次函数通过列表、描点、连线画出来的图像是一条直线,常取两点A (kb-,0),B (0,b );因此我们也把一次函数y kx b =+(0k ≠)的图像叫做直线y kx b =+; 特例:(0)y kx k =≠的图像是经过坐标原点的一条直线。

2、一次函数y kx b =+中的k 叫做直线的斜率,b 叫做直线在y 轴上的截距; 【例1】在同一坐标系中,分别画出下列函数的图象 (1);122+==x y x y 和 (2)3212--=+-=x y x y 和 和2y x =-◆【要点2】---一次函数的图像性质【例2】1、已知函数:①、0.26y x =+;②、172y x =-+;③、2y x =;④、y =; 其中y 随x 的增大而增大的函数是 ;y 随x 的增大而减小的函数是 ;2、若正比例函数1352)1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限,则这个正比例函数的解析式是 ;3、点A (1x ,1y )和点B (2x ,2y )在同一直线y kx b =+上,且0k <.若12x x >,则1y ,2y 的关系是( )6x +A 、12y y > B 、12y y < C 、12y y = D 、无法确定【例3】已知函数26y x =-+的图象如图所示,根据图象回答: (1)当______x =时,0y =,即方程260x -+=的解为思考:(2)当______x 时,0y >,即不等式260x -+>的解集为 ;(3)当______x 时,0y <,即不等式260x -+<的解集为 ; 总结:当0y =时,正好是图象与 轴的交点 当0y >时,图象位于 轴 方 当0y <时,图象位于 轴 方◆【要点3】---直线的平移:一次函数中,自变量x 增加或减少,图像就左、右平移,其法则是:左加右减;函数值y 增加或减少,图像就上、下平移,其法则是:上加下减,反之亦然。

第22章《二次函数》讲义 第8讲 二次函数与方程(有答案)

第22章《二次函数》讲义 第8讲  二次函数与方程(有答案)

第3讲 二次函数与方程、不等式1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.(1)、a+b+c 的符号:由x=1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方,则a+b+c 。

点在x 轴下方,则a+b+c 。

点在x 轴上,则a+b+c 。

(2)、a-b+c 的符号:由x=-1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方,则a -b+c 。

点在x 轴下方,则a -b+c 。

点在x 轴上,则a -b+c 。

(3)、2a±b 的符号: 由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定. (4)、b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定:2个交点,b 2-4ac >0; 1个交点,b 2-4ac=0; 没有交点,b 2-4ac <0.1、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:①、当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-. ②、当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点;③、当0∆<时,图象与x 轴没有交点.(1)当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;(2)当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3、二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、已知点A(2,3)在函数y=ax2-x+1的图象上,则a等于()A.-1 B.1 C.2 D.-2例2、若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点,则m的值为()A.m=2 B.m=±2 C.m=D.m=±例3、已知抛物线顶点为(1,3),且与y轴交点的纵坐标为-1,则此抛物线解析式是.例4、已抛物线过点A(-1,0)和B(3,0),与y轴交于点C,且BC=,则这条抛物线的解析式为.例5、二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(2,3),且顶点在直线y=3x-2上,则二次函数的关系式为:.例6、已知二次函数的图象经过点(0,-1)、(1,-3)、(-1,3),求这个二次函数的解析式.并用配方法求出图象的顶点坐标.例7、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上,且这个顶点到原点的距离为又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1,求此抛物线的解析式.1、已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线的图象经过(3,0)点,则这条抛物线的解析式是()A.y=-x2-4x-3 B.y=-x2-4x+3 C.y=x2-4x-3 D.y=-x2+4x-32、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4,积是-5,且抛物线经过点(0,-5),则此抛物线的解析式为( C )A.y=x2-4x-5 B.y=-x2+4x-5 C.y=x2+4x-5 D.y=-x2-4x-53、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A(c,0),对称轴为直线x=3,则此二次函数解析式为.4、抛物线y=ax2+bx+c中,已知a:b:c=l:2:3,最小值为6,则此抛物线的解析式为.5、已知y与x2+2成正比例,且当x=1时,y=6.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若点(a,12)在函数图象上,求a的值.6、如图,抛物线y=2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)若将上述抛物线先向下平移3个单位,再向右平移2个单位,请直接写出平移后的抛物线的解析式.考点2、函数与方程例1、如果抛物线y=x2+(k-1)x+4与x轴有且只有一个交点,那么正数k的值是()A.3 B.4 C.5 D.6例2、二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则以下关于m的结论正确的是()A.m的最大值为2 B.m的最小值为-2C.m是负数D.m是非负数例3、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),则下列结论中,一定成立的是()A.x12+x22=17 B.x12+x22=8 C.x12+x22<17 D.x12+x22>8例4、已知抛物线y=x2-2ax+a+2的顶点在x轴上,则方程的实数根的积为.☆例5、已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根;(2)若m为整数,且抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴两交点间的距离为2,求抛物线的解析式;(3)若直线y=x+b与(2)中的抛物线没有交点,求b的取值范围.1、抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个2、如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E,且△ABE是等腰直角三角形,AE=BE,则下列关系式中不能成立的是()A.b=0 B.S△ABE=c2 C.ac=-1 D.a+c=03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是.4、已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A、B,与y轴交于点C,则△ABC的面积为.5、已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数)(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值;(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.考点3、二次函数与不等式(组)例1、如图,是二次函数和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象,写出y1>y2时x的取值范围是()A.-2<x<1 B.x<-2或x>1 C.x>-2 D.x<1例2、若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数,则m取值范围是()例3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(1,3)及部分图象(如图所示),其中图象与横轴的正半轴交点为(3,0),由图象可知:①当x 时,函数值随着x的增大而减小;②关于x的一元二次不等式ax2=bx+c>0的解是.例4、如图,已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于 A(-2,4)、B(8,2)两点,则能使关于x的不等式ax2+(b-k)x+c-m>0成立的x的取值范围是.例5、如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(2,0),B(5,3).(1)求m的值和抛物线的解析式;(2)求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集(直接写出答案);(3)若抛物线与y轴交于C,求△ABC的面积.1、抛物线y=ax2+bx+c(a>0)和直线y=mx+n(m≠0)相交于两点P(-1,2),Q(3,5),则不等式-ax2+mx+n>bx+c的解集是()A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>32、已知:二次函数y=x2-4x+a,下列说法中错误的个数是()①当x<1时,y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点,则a≤4③当a=3时,不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3④若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a=-3.A.1 B.2 C.3 D.43、直线y=-3x+2与抛物线y=x24、已知函数y=x2-2x-3的图象,根据图象回答下列问题.(1)当x取何值时y=0.(2)方程x2-2x-3=0的解是什么?(3)当x取何值时,y<0?当x取何值时,y>0?(4)不等式x2-2x-3<0的解集是什么?5、如图,二次函数的图象与x轴交于A、B 两点,与y轴交于点C,且点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,-3),一次函数y2=mx+n的图象过点A、C.(1)求二次函数的解析式;(2)求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标;(3)根据图象写出y2<y1时,x的取值范围.1、一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为()A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-(2x+1)2+3C.y=-2(x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+32、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是1,-1,给出下列结论:①a+b+c=0;②b=0;③a=1.c=-1.其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③3、已知:二次函数y=x2-4x-a,下列说法中错误的个数是()①若图象与x轴有交点,则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上,则a的值为-8③当a=3时,不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3④若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a=-1⑤若抛物线与x轴有两个交点,横坐标分别为x1、x2,则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等.A.1 B.2 C.3 D.44、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则这个二次函数的关系式为,5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1.若抛物线与x轴一个交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c≥0的解集是:.6、若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2,另一根小于2,则m的取值范围是.7、如图,已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(-2,4),B(8,2),则能使y1<y2成立的x的取值范围是.8、已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴是.9、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,直线y=mx+n经过A(-4,0)、C(0,3)两点.(1)写出方程ax2+bx+c=0的解;(2)若ax2+bx+c>mx+n,写出x的取值范围.10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C.(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标.11、如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).(1)求直线AB的解析式;(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点,求此二次函数的解析式;(3)结合(1)(2)及图象,直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围.1、若x1,x2(x1<x2)是方程(x-a)(x-b)=1(a<b)的两个根,则实数x1,x2,a,b的大小关系为()A.x1<x2<a<b B.x1<a<x2<bC.x1<a<b<x2 D.a<x1<b<x22、已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是x轴上一点,如果∠ABC=∠ACB,求:(1)点C的坐标;(2)图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式.3、在直角坐标平面内,二次函数图象的经过A(-1,0)、B(3,0),且过点C(0,3).(1)求该二次函数的解析式;(2)若P是该抛物线上一点,且△ABC与△ABP面积相同,求P的坐标.1、抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是()A.无交点B.一个交点C.两个交点D.无法确定2、已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示,那么函数解析式为()A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-33、如图,已知直线y=kx+b(k>0)与抛物线y=x2交于A、B两点(A、B两点分别位于第二和第一象限),且A、B两点的纵坐标分别是1和9,则不等式x2-kx-b>0的解集为()A.-1<x<3 B.x<-1或x>3C.1<x<9 D.x<1或x>9(2)(3)4、已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两个不同的点,则关于x的一元二次方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定5、已知一条抛物线经过E(0,10),F(2,2),G(4,2),H(3,1)四点,选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为()A.E,F B.E,G C.E,H D.F,G6、已知抛物线y=(m-1)x2+x+1与x轴有交点,则m范围是.7、已知二次函数的图象关于直线x=3对称,最大值是0,在y轴上的截距是-1,这个二次函数解析式为.8、如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;⑤8a+c>0.其中正确的命题是.9、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点.(1)观察图象,写出A、B、C三点的坐标,并求出抛物线解析式;(2)观察图象,当x取何值时,y<0?y=0?y>0?10、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,试根据图象回答下列问题:(1)求出函数的解析式;(2)写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标?(3)当x取何值时y随x的增大而减小?(4)方程ax2+bx+c=0的解是什么?(5)不等式ax2+bx+c>0的解集是什么?11、如图,抛物线y=-x2+3x-n经过点C(0,4),与x轴交于两点A、B.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点,求△ABP面积的最大值.12、如图,△AOB是边长为2的等边三角形,过点A的直线y=点E.(1)求点E的坐标;(2)求过A、O、E三点的抛物线的解析式.参考答案第8讲二次函数与方程、不等式考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、B例2、D例3、例4、例5、例6、例7、1、D2、C3、4、5、6、考点2、函数与方程例1、C例2、A例3、D例4、例5、解:(1)证明:分两种情况讨论.①当m=0时,方程为x-2=0,∴x=2,方程有实数根;②当m≠0,则一元二次方程的根的判别式△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=(m+1)2∴不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根;综合①、②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.(2)设x1,x2为抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.令y=0,则mx2-(3m-1)x+2m-2=0∴抛物线y=mx2-(3m-1)x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点(2,0).∵|x1-x2|=2,∴|2-x2|=2,当m=1时,y=x2-2x,把(2,0)代入,左边=右边,m=1符合题意,∴抛物线解析式为y=x2-2x答:抛物线解析式为y=x2-2x;1、D2、D3、4、5、考点3、二次函数与不等式(组)例1、B例2、C例3、例4、例5、1、C2、A3、4、5、1、C2、A3、B4、5、6、7、8、9、10、11、1、C2、3、1、C2、A3、B4、B5、C6、7、8、9、10、11、12、31。

第8讲 必修1第二章 函数的图像(教师版)

第8讲 必修1第二章 函数的图像(教师版)

教学课题 第8讲人教版必修1第二章 函数的图像教学目标 知识目标:1、掌握描点作图;2、理解图像的变换规律;能力目标:通过函数的图像培养学生数形结合的能力,锻炼学生数学理性思维。

教学重点与难点重点:图像的平移和变换难点:对图像的平移和变换的基本技巧教学过程 课堂导学 知识点梳理1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y =f (x )――――――――→关于x 轴对称y =-f (x ); ②y =f (x )―――――――――→关于y 轴对称y =f (-x ); ③y =f (x )―――――――――→关于原点对称y =-f (-x );④y =a x (a >0且a ≠1)――――――――→关于y =x 对称y =log a x (a >0且a ≠1). ⑤y =f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y =|f (x )|. ⑥y =f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称的图象y =f (|x |). (3)伸缩变换①y=f (x ) ――――――――――――――――――――→a>1,横坐标伸长为原来的a 倍,纵坐标不变0<a<1,横坐标缩短为原来的a 倍,纵坐标不变 y =f (ax ). ②y =f (x )――――――――――――――→a >1,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变0<a <1,纵坐标缩短为原来的a 倍,横坐标不变 y =af (x ).答案 C5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0),2x (x ≤0),且关于x 的方程f (x )-a =0有两个实根,则实数a 的范围是 .答案 (0,1]解析 当x ≤0时,0<2x ≤1,所以由图象可知要使方程f (x )-a =0有两个实根,即函数y =f (x )与y =a 的图象有两个交点,所以由图象可知0<a ≤1. 考题分类【考点1】作函数图像★例1 作出下列函数的图象: (1)y =|lg x |; (2)y =x +2x -1;(3)y =x 2-2|x |-1.解 (1)y =|lg x |=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x ≥1,-lg x ,0<x <1,作出图象如图1.(2)因y =1+3x -1,先作出y =3x 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y =x +2x -1的图象,如图2.(3)y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1 (x ≥0),x 2+2x -1 (x <0).图象如图3.引申探究作函数y =|x 2-2x -1|的图象.解 y =⎩⎨⎧x 2-2x -1 (x ≥1+2或x ≤1-2)-x 2+2x +1 (1-2<x <1+2)如下图点评 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y =x +mx (m >0)的函数是图象变换的基础;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换规律,可以帮助我们简化作图过程.式训练1 作出下列函数的图象.(1)y =|x -2|·(x +1); (2)y =x +2x +3.解 (1)当x ≥2,即x -2≥0时,y =(x -2)(x +1)=x 2-x -2=(x -12)2-94;当x <2,即x -2<0时,y =-(x -2)(x +1)=-x 2+x +2=-(x -12)2+94.∴y =⎩⎨⎧(x -12)2-94,x ≥2,-(x -12)2+94,x <2.这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).(2)y =x +2x +3=1-1x +3,该函数图象可由函数y =-1x 向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如下图所示. 【考点2】识图与辨图例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x .将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()式训练3 已知函数f (x )=x |m -x |(x ∈R ),且f (4)=0.(1)求实数m 的值; (2)作出函数f (x )的图象;(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集; (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域.解 (1)∵f (4)=0,∴4|m -4|=0,即m =4. (2)f (x )=x |4-x |=⎩⎪⎨⎪⎧x (x -4)=(x -2)2-4,x ≥4,-x (x -4)=-(x -2)2+4,x <4. f (x )的图象如图所示. (3)f (x )的单调递减区间是[2,4].(4)由图象可知,f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}. (5)∵f (5)=5>4,∴由图象知,函数在[1,5)上的值域为[0,5). 典型例题分析3.高考中的函数图象及应用问题一、已知函数解析式确定函数图象典例 (2015·北京海淀区期中测试)函数f (x )=2x +sin x 的部分图象可能是( )思维点拨 从y =f (x )的图象可先得到y =-f (x )的图象,再得y =-f (x +1)的图象.解析 要想由y =f (x )的图象得到y =-f (x +1)的图象,需要先将y =f (x )的图象关于x 轴对称得到y =-f (x )的图象,然后再向左平移一个单位得到y =-f (x +1)的图象,根据上述步骤可知C 正确. 答案 C温馨提醒 (1)对图象的变换问题,从f (x )到f (ax +b ),可以先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别.(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、函数图象的应用典例:(1)已知函数f (x )=x |x |-2x ,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞) B .f (x )是偶函数,递减区间是(-∞,1) C .f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1) D .f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)(2)设函数f (x )=|x +a |,g (x )=x -1,对于任意的x ∈R ,不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是________. 思维点拨 (1)画出函数f (x )的图象观察.(2)利用函数f (x ),g (x )图象的位置确定a 的范围. 解析 (1)将函数f (x )=x |x |-2x 去掉绝对值得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,画出函数f (x )的图象,如图,观察得到,f (x )为奇函数,递减区间是(-1,1). (2)如图,作出函数f (x )=|x +a |与g (x )=x -1的图象,观察图象可知:当且仅当-a ≤1,即a ≥-1时,不等式f (x )≥g (x )恒成立,因此a 的取值范围是[-1,+∞).答案 (1)C (2)[-1,+∞)温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思A .{x |-1<x ≤0}B .{x |-1≤x ≤1}C .{x |-1<x ≤1}D .{x |-1<x ≤2} 答案 C解析 令g (x )=y =log 2(x +1),作出函数g (x )的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,y =log 2(x +1), 得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}. 6.已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=log 2f (x )的定义域是.答案 (2,8]解析 当f (x )>0时,函数g (x )=log 2f (x )有意义,由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8].7.用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值.设f (x )=min{2x ,x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为 . 答案 6解析 f (x )=min{2x ,x +2,10-x }(x ≥0)的图象如图.令x +2=10-x ,得x =4. 当x =4时,f (x )取最大值, f (4)=6.8.已知定义在R 上的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |, x ≠0,1, x =0,关于x 的方程f (x )=c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3= . 答案 0解析 方程f (x )=c 有三个不同的实数根等价于y =f (x )与y =c 的图象有三个交点,画出函数f (x )的图象(图略),易知c =1,且方程f (x )=c 的一根为0,令lg|x |=1,解得x =-10或10,故方程f (x )=c 的另两根为-10和10,∴x 1+x 2+x 3=0.B 组 专项能力提升 (时间:15分钟)9.函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =log 12f (x )的图象大致是( )答案 C解析由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以log12f(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y=log12f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各选项知,选C.10.(2015·安徽)函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示,则下列结论成立的是() A.a>0,b>0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0答案 C。

第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)

第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)

第8讲 抽象函数7种导函数构造【知识点梳理】类型一 导数和差,构造和差型函数:()[()]f x c f x cx ''+=+;()()[()()]f x g x f x g x '''+=+;()()[()()]f x g x f x g x '''-=-;和与积联系,构造乘积型函数; 差与商联系,构造分式型函数: ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=;2()()()()()[]()()f xg x f x g x f x g x g x ''-'=.类型二 幂函数及其抽象构造定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>;()()()0[]0f x xf x f x x''->⇔> 证明:因为()()[()]xf x f x xf x ''+=;2()()()[]xf x f x f x x x'-'=,所以()()0xf x f x '+>,则函数()y xf x =单调递增;()()0xf x f x '->,则()f x y x=单调递增. 定理2 当0x >时,()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>;()()()0[]0n f x xf x nf x x''->⇔> 证明 因为1()()[()]nn nx f x nxf x x f x -''+=;12()()()[]n n n nx f x nx f x f x x x -'-'=,所以()()0xf x nf x '+>,则函数()n y x f x =单调递增;()()0xf x nf x '->,则()nf x y x =单调递减. 类型三 指数函数与抽象构造定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>;()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔<()()()0[]0x f x f x f x e ''->⇔>;()()()0[]0xf x f x f x e''-<⇔< 证明: 因为[]()()+()x xf x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦,()()()[]xx f x f x ef x e '-'=,所以()()0f x f x '+>,则()x y f x e =单调递增;反之()x y f x e =单调递减;()()0f x f x '->,则()xf x y e =单调递增;反之()x f x y e=单调递减. 定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->;(())()()[]0xf x a f x f x a e+''->⇔>. 证明: 因为[(())]()()x xe f x a f x f x a e '-'+-=;2(())()()[]x xf x a f x f x a e e +''--=,所以()()f x f x a '+>,则(())x y e f x a =-单调递增;()()f x f x a '+<,(())x y e f x a =-单调递减;若()()f x f x a '->,则()xf x a y e +=单调递增,若()()f x f x a '-<,则()xf x a y e +=单调递减.定理5 正弦同号,余弦反号定理()sin ()cos 0[()sin ]0f x x f x x f x x ''+>⇔>,当()22x ππ∈-,,()tan ()0[()sin ]0f x x f x f x x ''+>⇔>; ()()sin ()cos 0[]0sin f x f x x f x x x ''->⇔>, 当()22x ππ∈-,,()()tan ()0[]0sin f x f x x f x x''->⇔>;cos ()()sin 0[()cos ]0xf x f x x f x x ''->⇔>,当(,)22x ππ∈-,()()tan 0[()cos ]0f x f x x f x x ''->⇔>;()()cos ()sin 0[]0cos f x f x x f x x x ''+>⇔>, 当()22x ππ∈-,,()()()tan 0[]0cos f x f x f x x x''+>⇔>.遇正切时化切为弦,请自己证明相关结论.【典例例题】题型一:具体函数抽象化解不等式【例1】(2022·广东·南海中学高二阶段练习)已知()2cos ,R f x x x x =+∈,若()()1120f t f t ---≥成立,则实数t 的取值范围是( )A .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B .20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D .()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数,利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数,由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-,利用单调性得出112t t -≥-,从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】解:函数()y f x =的定义域为R ,关于原点对称,()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=,∴函数()y f x =为偶函数,当0x ≥时,()2cos f x x x =+,()2sin 0f x x '=->, 则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数, 由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-,由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-,由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数,则112t t -≥-,即()()22112t t -≥-,整理得2320t t -≤,解得203t ≤≤,因此,实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选:B. 【题型专练】1.(2022·贵州遵义·高二期末(理))已知函数()ln e xxf x x =-,设()3log 2a f =,()0.2log 0.5b f =,()ln 4c f =,则a ,b ,c 的大小为( ) A .c a b >> B .a c b >>C .b c a >>D .c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用函数解析式求导数,判断导数大于零恒成立,故确定函数单调性,比较自变量大小确定函数值a ,b ,c 的大小即可. 【详解】解:因为()ln ex x f x x =-,则,()0x ∈+∞,所以()2211e 11e e e ()4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=- 又,()0x ∈+∞时,21111,()24e 4xx >--≥-,所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增; 又30log 21<<,0.215351log 0.5log log 2log 22==<,ln 41> 所以30.2ln 4log 2log 0.5>>,则c a b >>. 故选:A.2.(2022·上海·复旦附中高二期末)设()2sin f x x x =+,若()()20221120210f x f x ++-≥,则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥- 【解析】 【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性,利用导数研究()f x 的单调性,再应用奇偶、单调性求x 的范围. 【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈,易知:()f x 为奇函数,所以(20221)(20211)f x f x +≥-,又()2cos 0f x x =+>',故()f x 在R x ∈上递增, 所以2022120211x x +≥-,可得2x ≥-. 故答案为:2x ≥-题型二:构造幂函数型解不等式【例1】(2022·黑龙江·哈师大附中高二期末)已知定义在(0,+∞)上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<,其中()f x '是函数()f x 的导函数,若()()()202220221f m m f ->-,则实数m 的取值范围为( ) A .(0,2022) B .(2022,+∞)C .(2023,+∞)D .(2022,2023)【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()g x ,使得()()2()0xf x f x g x x'-=<,然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可. 【详解】 由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x '-'=⇒=<,所以()g x 在()0,∞+上单调递减,又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-,即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<,又函数()f x 的定义域为()0,∞+,所以202202022m m ->⇒>,综上可得:20222023m <<.故选:D.【例2】(2022·四川雅安·高二期末(理))设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x ',且()20f -=,当0x >时,()()20xf x f x '-<,则不等式()0f x <的解集为______.【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】 设()()2f xg x x =,利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数,进而得到函数()g x 为奇函数,且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数,结合函数()g x 的单调性,即可求解. 【详解】 设()()2f x g x x =,可得()()()32xf x f x g x x'-'=,因为当0x >时,()()20xf x f x '-<,可得()0g x '<, 所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数,又因为函数()f x 为奇函数,且()20f -=,可得()20f =, 则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--,所以函数()g x 也为奇函数, 所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数,且()()220g g -==,当0x >时,由()0f x <,即()0g x <,即()()2g x g <,可得2x >; 当0x <时,由()0f x <,即()0g x <,即()()2g x g <-,可得20x -<<; 所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞.故答案为:()()2,02,-+∞.【例3】(2022·河南信阳·高二期中(理))已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>(()f x '为函数()f x 的导函数),则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为( )A .()0,∞+B .(]0,1C .(],1-∞D .()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-,由题意可知()g x 在R 上单调递增,再对x 分情况讨论,利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+,(1)当1x <时,可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-, 即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-, 即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----, 构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->, 所以函数()g x 单调递增,则211x x ->-,此时01x <<,即01x <<满足;(2)当1x >时,可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----, 由函数()g x 递增,则211x x -<-,此时0x <或1x >,即1x >满足; (3)当1x =时,2(0)(0)1f f >+,即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>. 综上,,()0x ∈+∞. 故选:A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ,其导函数为()'f x ,当0x ≥时,恒有())03(xf f x x '+>.则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为( ). A .{|31}x x -<<- B .1{|1}3x x -<<-C .{|3x x <-或1}x >-D .{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数,再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =,则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>,所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数;由3x 为奇函数,()f x 为奇函数,所以()()33x f x g x =为偶函数;又33()(12)(12)0x f x x f x -++<,即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+,解得1x <-或13x >-故选:D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目. 【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数,其导函数为()f x ',且满足()()20xf x f x '+>,则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A .{}|2017x x >-B .{}|2017x x <-C .{}|20200x x -<<D .{}|20202017x x -<<-【答案】D【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>,根据导数的运算和题设条件,求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数,把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<,即()()20203g x g +<,利用单调性,即可求解. 【详解】由题意,设函数()()()20g x x f x x =>,则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+,因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数,且满足()()20xf x f x '+>, 所以()0g x '>,所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数, 又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+,即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<,即()()20203g x g +<,所以020203x <+<,解得20202017x -<<-, 即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-. 故选:D . 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用,其中解答中根据题设条件,构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与计算能力.【题型专练】1.(2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习(理))定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x ',且当0x >时,()()20xf x f x '+<.则( ) A .()()2e 24ef f > B .()()931f f >C .()()2e 39ef f -<D .()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】 【分析】由题构造函数()()2g x x f x =,利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0,+∞)上为减函数,且为偶函数,再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =,则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦,又当0x >时,()()20xf x f x '+<,∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦,则函数()()2g x x f x =在(0,+∞)上为减函数,∴()f x 是定义在R 上的偶函数, ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==, 即g (x )为偶函数, 所以()()e 2g g <,即()()2e 24e f f <,故A 错误;()()31g g <,即()()931f f <,故B 错误;()()e 3g g >,即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数,所以()()33f f -=, 所以()()2e 39ef f ->,故C 错误,D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的关键是构造函数()()2g x x f x =,结合条件可判断函数的单调性及奇偶性,即得.2.(2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末)已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数,当0x >时,()()0f x xf x '+>且()122f =,则不等式()1f x x>的解集是______. 【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数,利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解. 【详解】设()()g x xf x =,则()()()g x f x xf x ''=+ 因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数,所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==, 所以()g x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数,当0x >时,()()()0g x f x xf x ''=+>,所以()g x 在()0,+∞上单调递增, 所以()g x 在(),0-∞上单调递减.因为()122f =,所以()()1222212g f ==⨯=, 所以()()221g g -==. 对于不等式()1f x x>, 当0x >时,()1xf x >,即()()2g x g >,解得2x >; 当0x <时,()1xf x <,即()()2g x g <-,解得20x -<<, 所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞.故答案为:()()2,02,-+∞【点睛】解决此题的关键是构造函数,进而讨论新函数的单调性与奇偶性,根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数,其导函数为()'f x ,且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为( )A .()20192017--,B .20211()209--, C .()20192018--, D .(2020,2019)--【答案】B 【解析】 【分析】令()()2F x x f x =,确定()F x 在(,0)-∞上是减函数,不等式等价为()()201920F x F +--<,根据单调性解得答案. 【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><,得()()232'xf x x f x x +<, 即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<,令()()2F x x f x =, 则当0x <时,得()F'0x <,即()F x 在(,0)-∞上是减函数,()()()2201920192019f F x x x +∴+=+,()()242F f -=-, 即不等式等价为()()201920F x F +--<,()F x 在(),0-∞是减函数,∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-,即2021x >-,又20190x +<,解得2019x <-,故 20212019x -<<-. 故选::B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式,构造函数()()2F x x f x =,确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数,且0x >时,()()20f x f x x'+<,又()10f =,则()0f x >的解集为( )A .()()1,00,1-⋃B .()(),11,-∞-⋃+∞C .()(),10,1-∞-D .()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =,则()[()2()]g x x xf x f x ''=+,由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<,且()g x 在()(),00,-∞+∞上是奇函数,即()g x 在0x >、0x <都单调递减,同时可知(1)(1)0=-=g g ,利用单调性求()0>g x 的解集,即为()0f x >的解集. 【详解】令2()()g x x f x =,则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+, 由0x >时,()()20f x f x x'+<知:()2()0xf x f x '+<, ∴在0x >上,()0g x '<,()g x 单调递减,又()(),00,-∞+∞上()f x 为奇函数,∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-,故()g x 也是奇函数, ∴()g x 在0x <上单调递减,又()10f =,即有(1)(1)0=-=g g , ∴()0f x >的解集,即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞-. 故选:C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数,()10f -=,当0x >时,()()0xf x f x '-<,则使得()0f x <成立的x 的取值范围是( ) A .()(),10,1-∞-⋃ B .()()1,01,-⋃+∞ C .()(),11,0-∞-- D .()()0,11,+∞【答案】B 【解析】 【分析】 设()()f x F x x=,求其导数结合条件得出()F x 单调性,再结合()F x 的奇偶性,得出()F x 的函数值的符号情况,从而得出答案. 【详解】 设()()f x F x x =,则()()()2xf x f x F x x '-'=, ∵ 当0x >时,()()0xf x f x '-<,当0x >时,()0F x '<,即()F x 在()0,∞+上单调递减. 由于()f x 是奇函数,所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数,所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=,所以当1x <-或1x >时,()()0=<f x F x x; 当10x -<<或01x <<时,()()0f x F x x=>. 所以当10x -<<或1x >时,()0f x <. 故选:B.题型三:构造指数函数型解不等式【例1】(2022·四川省资阳中学高二期末(理))已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()()(),41f x f x f '>=,则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2- 【解析】 【分析】 令()()xf xg x =e,利用导数说明函数的单调性,则原不等式等价于()()24g x g >,再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,解得即可; 【详解】 解:令()()x f x g x =e ,R x ∈,则()()()exf x f xg x '-'=,因为()()f x f x '>,即()()0f x f x '-<, 所以()0g x '<,即()g x 在R 上单调递减,又()41f =,所以()()4444e ef g -==,所以不等式()224ex f x->,即()242eex f x ->,即()()24g xg >,即24x <,解得22x -<<,所以原不等式的解集为()2,2-. 故答案为:()2,2-【例2】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()f x 的导函数为()f x ',若对任意的R x ∈,都有()()2f x f x >'+,且()12022f =,则不等式()12020e 2x f x --<的解集为( )A .()0,∞+B .1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .()1,+∞D .(),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】 设函数()()2e xf xg x -=,根据题意可判断()g x 在R 上单调递减,再求出()01202eg =,不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020eexf x -<,所以()()1g x g <,利用()g x 单调性解抽象不等式即可. 【详解】 设函数()()2e xf xg x -=,所以()()()()()2e 2e2eex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==,因为()()2f x f x >'+,所以()()20f x f x '-+<,即()0g x '<,所以()g x 在R 上单调递减,因为()12022f =, 所以()()122020e1e f g -==,因为()12020e 2x f x --<,整理得()22020e ex f x -<, 所以()()1g x g <,因为()g x 在R 上单调递减,所以1x >. 故选:C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.【例3】(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ,满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数,(1)f x +为奇函数,若(9)(8)1f f +=,则不等式()exf x <的解集为( ) A .()3,-+∞ B .()1,+∞C .(0,)+∞D .()6,+∞【答案】C 【解析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数,把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ,利用导数判断出()g x 在R 上单调递减,把原不等式转化为()()0g x g <,即可求解. 【详解】因为()3f x +为偶函数,(1)f x +为奇函数, 所以()()33f x f x +=-+,(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+,()(2)0f x f x +-+=,所以(6)(2)0f x f x -++-+=. 令2t x =-+,则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4,则()(4)0f t f t +-=,所以(4)(4)f t f t +=-. 令t 取t +4,则()(8)f t f t =+,所以()(8)f x f x =+. 所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数,所以(1)(1)0f x f x ++-+=,令0x =,得:(1)(1)0f f +=,所以(1)0f =,所以(9)(8)1f f +=,即为(1)(0)1f f +=,所以(0)1f =.记()()x f x g x =e ,所以()()()e xf x f xg x '-'=. 因为()()f x f x '<,所以()0g x '<,所以()()xf xg x =e 在R 上单调递减. 不等式()xf x e <可化为()1exf x <,即为()()0g x g <. 所以0x >. 故选:C 【点睛】解不等式的常见类型:(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法;(2)指对数型不等式化为同底的结构,利用单调性解不等式; (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】(2022·山西省长治市第二中学校高二期末)已知可导函数f (x )的导函数为()'f x ,f (0)=2022,若对任意的x ∈R ,都有()()f x f x '<,则不等式()2022e x f x <的解集为( )A .()0,∞+B .22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C .22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(),0∞-【答案】D 【解析】根据题意,构造函数()()xf xg x =e ,求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增,利用单调性求解即可. 【详解】 令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ,都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>',()g x ∴在x ∈R 上单调递增,又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<,0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-,故选:D.【例5】(2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知奇函数()f x 的定义域为R ,当0x >讨,()()20f x f x '+>,且()20f =,则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞ 【解析】 【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增,得到当x >2时()0g x >,从而()0f x >;当02x <<时,()0g x <,从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ,则当0x >时,[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>,所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0,所以()()42e 20g f ==,所以当x >2时()0g x >,从而()0f x >.当02x <<时,()0g x <,从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称,所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.(2022·陕西榆林·三模(理))已知()f x 是定义在R 上的函数,()'f x 是()f x 的导函数,且()()1f x f x '+>,(1)2f =,则下列结论一定成立的是( )A .12(2)f +<eeB .1(2)f +<eeC .12(2)f +>eeD .1(2)f +>ee【答案】D 【解析】 【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性,即可得()()21g g >,进而可得答案.【详解】令()()e e x xg x f x =-,则()()()e 10x g x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦'',则()g x 是增函数,故()()21g g >,即22e (2)e e (1)e e f f >--=,可得()1e2ef +>. 故选:D2.(2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习(理))定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<(e 为自然对数的底数),其中()'f x 为()f x 的导函数,若3(3)3e f =,则()e x f x x >的解集为( )A .(,2)-∞B .(2,)+∞C .(3),-∞D .(3,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】构造新函数,并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决. 【详解】 设()()e x f x g x x =-,则3(3)(3)30ef g =-=,所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=, 由()()e 0x f x f x '-+<,可得()()e 0x f x f x '->> 则()()()10exf x f xg x '-'=->, 所以()g x 在R 上单调递增,所以由()(3)g x g >,得3x >. 故选:D3.(2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试)已知可导函数()f x 的导函数为()f x ',若对任意的x ∈R ,都有()()1f x f x '-<,且()02021f =,则不等式()12022e xf x +>的解集为( ) A .(),0∞- B .()0,∞+ C .1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .(),1-∞【解析】 【分析】 构造函数()()1exf x F x +=,通过导函数研究其单调性,利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=,则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==,因为()()1f x f x '-<,所以()0F x '<恒成立,故()()1e xf x F x +=单调递减,()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>,又()02021f =,所以()()00102022e f F +==,所以()()0F x F >,解得:0x <,故答案为:(),0∞-. 故选:A4.若()f x 在R 上可导且()00f =,其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<,则()0f x <的解集是_________________ 【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =,利用导数判断出()g x 单调递减,利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =,则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+,因为()()0f x f x '+<,所以()0g x '<在R 上恒成立,所以()g x 单调递减, 又()00f =得()00g =,由()0f x <等价于()0g x <, 所以0x >,即()0f x <的解集是()0,∞+. 故答案为:()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>,()04f =,则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为( ) A .(0,)+∞ B .(,0)(3,)-∞⋃+∞ C .(,0)(0,)-∞+∞ D .(3,)+∞【答案】A 【解析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+,构造函数令()()3x x F x e f x e =--,利用导数求得函数()F x 的单调性,结合单调性,即可求解. 【详解】由题意,不等式()31x f x e>+,即()3x x e f x e >+, 令()()3x x F x e f x e =--,可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-,因为()()1f x f x '+>且0x e >,可知()0F x '>,所以()F x 在R 上单调递增,又因为()()()00003040F e f e f =--=-=,所以()0F x >的解集为(0,)+∞. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用,以及导数的四则运算的逆用,其中解答中结合题意构造新函数,利用导数求得新函数的单调性是解答的关键,着重考查构造思想,以及推理与运算能力.题型四:构造对数函数型解不等式【例1】(2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习(文))定义在(0,+∞)的函数f(x )满足()10xf x '-<,()10f =,则不等式()e 0xf x -<的解集为( )A .(-∞,0)B .(-∞,1)C .(0,+∞)D .(1,+∞)【答案】C 【解析】 【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-,0x >,得到其单调递减,从而求解不等式. 【详解】设()()ln F x f x x =-,0x > 则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<', 所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减, 因为()10f =,所以()()11ln10F f =-=, 且()()ee xxF f x =-,所以由()e 0xf x -<得:()()e 1x F F <结合单调性可得:e 1x >,解得:0x >, 故选:C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ,图象关于原点对称,其导函数为()f x ',若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<,则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______.【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】 【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时,()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦, 故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减,易知()10g =, 故当()0,1x ∈时,()0g x >,()0f x <, 当()1,x ∈+∞时,()0g x <,()0f x <;而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦, 而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数,则当0x >时,当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<, 故当x ∈R 时,()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<,故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃.故答案为:()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,()'f x 是()f x 的导函数,(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为( ) A .(1,)+∞ B .(,1)(0,1)-∞-C .(),1-∞D .()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =,由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负,在(,0)-∞上恒正,再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =,0x >,则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<,()g x 在(0,)+∞上单调递减,而(1)0g =,因此,由()0>g x 得01x <<,而ln 0x <,则()0f x <,由()0g x <得1x >,而ln 0x >,则()0f x <,又(1)0f <,于是得在(0,)+∞上,()0f x <,而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数,则在(,0)-∞上,()0f x >,由(1)()0x f x -⋅<得:10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩,即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩,解得0x <或1x >,所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 故选:D 【题型专练】1.(2022·陕西汉中·高二期末(文))定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=,则不等式()e 0x f x +>的解集为___________. 【答案】(ln2,)+∞ 【解析】 【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>,根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增,把不等式()e 0xf x +>,可得()()e 2x g g >,结合函数()g x 的单调性,即可求解.【详解】由题意,函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=, 令()()ln (0)g x f x x x =+>,可得()()10g x f x x''=+> 所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增,且()()22ln 20g f =+=,又由不等式()e 0x f x +>,可得()()e 2xg g >,所以e 2x >,解得ln 2x >,即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln2,)+∞.故答案为:(ln2,)+∞.2.(2022·河北·石家庄二中高二期末)已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=,且当1x >时()0f x '≥,则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为( ) A .()2,+∞ B .()1,+∞C .()1,2D .()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称,进一步得出函数的单调性,然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩,或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩,从而可得出答案. 【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称. 令0x =,可得()12f =当1x >时()0f x '≥,则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =,故()f x 在R 上单调递增 由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦,则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩,或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩,或121x x <<⎧⎨<⎩,故2x >故选:A3.(多选)已知函数()f x 的定义域是()0,∞+,其导函数是()f x ' ,且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>,则下列说法正确的是( )A .10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B .10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C .()e 0f >D .()e 0f <【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意,构造()()ln g x f x x =⋅,由题意,得到()g x 单调递增,进而利用()g x 的单调性,得到1(1)()eg g >,再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅,可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>,()g x 单调递增,又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=,1111()()ln ()e e e e g f f =⋅=-,(1)(1)ln10g f =⋅=,且1e 1e>>,1(e)(1)()e g g g ∴>>,得(e)0f >,110()()e eg f >=-,整理得1()0e f >,AC 正确;故选:AC题型五:构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其导函数为()'f x ,当02x π<<时,有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立,则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为( )A .,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 由题意,设()()cos f x g x x =,利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,且为偶函数,再把不等式()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭,转化为()()4g x g π<,结合单调性,即可求解.【详解】 由题意,设()()cos f x g x x =,则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=, 当02x π<<时,因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<,则有()0g x '<,所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,又因为()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是偶函数,可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-, 所以()g x 是偶函数,由()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭,可得()()cos 4f x x π<,即()()4cos cos 4ππ<f f x x ,即()()4g x g π< 又由()g x 为偶函数,且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则有||4x π>,解得24x ππ-<<-或42x ππ<<,即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选:B. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用,其中解答中构造新函数,求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性,结合函数的单调性求解是解答的关键,着重考查构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.【例2】已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<,则关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为( )A .,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 令()()cos f x F x x=,根据题设条件,求得()F'0x <,得到函数()()cos f x F x x=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数,再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<,结合单调性和定义域,即可求解.【详解】由题意,函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<, 令()()cos f x F x x=,则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数,由于cos 0x >,关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<,即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以22x ππ-<<且6x π>,解得26x ππ>>,()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:B 【点睛】方法点睛:构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略:对于不给出具体函数的解析式,只给出函数()f x 和()f x '满足的条件,需要根据题设条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题,常见类型:(1)()()()()f x g x f x g x ''±型;(2)()()xf x nf x '+型;(3)()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()tan 0f x f x x '+>,则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为( )A .ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B .π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C .ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin xf x ,并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()()tan 0f x f x x '+>,则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数,且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减,由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩,可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则有ππ022x x >+>->,解之得π04x -<<故选:D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()'()tan 0f x f x x +>,则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为( )A .,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B .,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C .,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D .,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()sin g x f x x =,则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅,进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增,结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数,再去“f ”,即可求解 【详解】令()()sin g x f x x =,[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅, 当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()'()tan 0f x f x x +>,'()0g x ∴>,即函数()g x 单调递增.又(0)0g =,0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时,()()sin 0g x f x x =>,()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数,()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数. 不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭,即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭,||2x x π∴+>,4x π∴>-①,又222x πππ-<+<,故0x π-<<②,由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选:C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式,导数研究函数的增减性的应用,一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子,先构造函数()()()h x f x g x =⋅,再设法证明()h x 的奇偶性与增减性,进而去“f ”解不等式 3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-,其导函数是()f x ',当0πx <<时,有。

第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲 正切函数图像及其性质知识梳理1、正切函数的图像:可选择的区间作出它的图像,通过单位圆和正切线,类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数tan ,y x x R =∈,且()2x k k Z ππ≠+∈的图像,称“正切曲线”.由正弦函数图像可知: (1)定义域:{|()}2x x k k Z ππ≠+∈,(2)值域:R 观察:当x 从小于,时,tan x →+∞当x 从大于,时,tan x →-∞.(3)周期性:T π=(4)奇偶性:tan()tan x x -=-,所以是奇函数⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ()z k k ∈+2ππ2π+π−→−k x ()z k k ∈+ππ2ππk x +−→−2x yyx(5)单调性:在开区间(,),22k k k Zππππ-++∈内,函数单调递增.(6)中心对称点:,0,2kk Zπ⎛⎫∈⎪⎝⎭2、余切函数的图象:⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-==2tan2tancotππxxxy即将xy tan=的图象,向左平移2π个单位,再以x轴为对称轴上下翻折,即得xy cot=的图象由余弦函数图像可知:(1)定义域:{|()}x x k k Zπ≠∈,(2)值域:R(3)周期性:Tπ=(4)奇偶性:tan()tanx x-=-,所以是奇函数(5)单调性:在开区间(,),k k k Zπππ+∈内,函数单调递增.(6)中心对称点:,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭例题解析一、正切函数的图像例1.(2020·全国高一课时练习)设函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数f (x )的最小正周期、对称中心; (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.【答案】(1)最小正周期3π,对称中心是3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈;(2)答案见解析. 【分析】(1)首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()f x 的周期,再根据正切函数的对称中心即可得到函数()f x 的对称中心.(2)根据函数的解析式得到()f x 的图象与x 轴的交点坐标为(),0π,图象上的7,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点,再找到两侧相邻的渐近线方程,画出函数的图象即可. 【详解】(1)()tan 33x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,313T ππ==,令332x k ππ-=,k Z ∈,解得32x k ππ=+,k Z ∈, 故对称中心为3,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. (2)令033x π-=,解得x π=,令334x ππ-=,解得74x π=,令334x ππ-=-,解得4x π=, 令332x ππ-=,解得52x π=,令332x ππ-=-,解得2x π=-,所以函数()tan 33x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象与x 轴的一个交点坐标为(),0π, 图象上的点有7,14π⎛⎫⎪⎝⎭、,14π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点, 在这个5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为2x π=-和52x π=, 从而得到函数()f x 在一个周期5,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的简图(如图).【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心,同时考查了正切函数的图象,关键点是找出图象上的点用描点法画图象,属于中档题.例2.(2020·全国高一课时练习)已知函数()sin cos xf x x=. (1)求函数()f x 的定义域;(2)用定义判断函数()f x 的奇偶性; (3)在[],ππ-上作出函数()f x 的图象.【答案】(1),2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭;(2)奇函数,见解析;(3)见解析 【分析】(1)根据cos 0x ≠,求解即可;(2)由(1)可知()f x 的定义域关于原点对称,判定()f x -和()f x 的关系,从而判定奇偶性;(3)将()f x 写为分段函数,画出图象即可【详解】(1)由cos 0x ≠,得2x k ππ≠+(k Z ∈),所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.(2)由(1)知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数. (3)()tan ,22tan ,22x x f x x x x ππππππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪--≤<-<≤⎪⎩或,所以()f x 在[],ππ-上的图象如图所示,【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象. 例3.作函数||y tan x =的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】||y tan x =等价于 0,2()0,2tanx x x k y k Z tanx x x k ππππ⎧≥≠+⎪⎪=∈⎨⎪-<≠+⎪⎩,图像如图所示.例4.求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间,并画草图. 【难度】★★★【答案】定义域:{|,}2x x k k Z ππ≠+∈ ,周期:T π=,单调增区间:[,)2k k πππ+(1)tan 0x > (2)tan 0x = (3)tan 0x < (4)tan x >【难度】★ 【答案】(1)Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,2,πππ, (2){}z k k x x ∈=,π (3)Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,,2πππ, (4)Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,ππππ2,3例6.根据正切函数图像,写出使下列不等式成立的x 值的集合: (1)0tan 1≥+x (2)3tan -x 0≥ 【难度】★★ 【答案】(1) [,),42k k k Z ππππ-+∈(2)[,),32k k k Z ππππ++∈例7.比较下列两数的大小(1)2tan7π与10tan 7π (2)6tan 5π与13tan()5π- (3)81cot 与191cot 【难度】★ 【答案】(1)2tan7π<10tan 7π (2)6tan 5π>13tan()5π- (3)81cot <191cot 例8.函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 ( ).A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个【难度】★★【答案】B【巩固训练】1.作出函数|tan |y x =的图象. 【难度】★★ 【答案】如图2.利用图像,不等式tan 21x <≤的解集为____________. 【难度】★★ 【答案】(,],2628k k k Z ππππ-+∈3.比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小 【难度】★【答案】tan413tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-π 4π,52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-,⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y内单调递增. ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 4.若()tan()4f x x π=+,试比较(1),(0),(1)f f f -,并按从小到大的顺序排列:_________. 【难度】★★【答案】(1)(1)(0)f f f <-<5.(2020·全国高一课时练习)设函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x . (1)求函数f (x )的最小正周期,对称中心; (2)作出函数()f x 在一个周期内的简图.【答案】(1)2T π=,2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈;(2)图象见解析【分析】(1)首先根据正切函数的周期公式即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的周期,再根据正切函数的对称中心即可得到函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的对称中心. (2)首先根据函数的解析式得到数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭,在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=,再画出函数的图象即可.【详解】(1)()tan 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ,212T ππ==.令232ππ-=x k ,k Z ∈,解得23ππ=+x k ,k Z ∈, 故对称中心为2,03ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ()k Z ∈.(2)令023x π-=,解得23x π=,令234x ππ-=,解得76x π=, 令234x ππ-=-,解得6x π=,令232x ππ-=,解得53x π=, 令232x ππ-=-,解得3x π=-, 所以函数()tan 23π⎛⎫=-⎪⎝⎭x f x 的图象与x 轴的一个交点坐标为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭, 在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为3x π=-和53x π=. 故函数在一个周期内的函数图象为:【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心,同时考查了正切函数的图象,属于中档题.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域例1.求下列函数的定义域(1)tan 2y x = (2)y = (3)cos tan y x x =⋅ (4)11tan y x=+ 【难度】★ 【答案】(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24ππ (2)Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,3,3ππππ (3),2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且 (4),,42x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭且例2.(2019·宝山区·上海交大附中高一期末)下列四个函数中,与函数()tan f x x =完全相同的是( )A .22tan21tan 2xy x =- B .1cot y x = C .sin 21cos 2x y x =+ D .1cos 2sin 2x y x -=【答案】C【分析】先判断函数的定义域是否相同,再通过化简判断对应关系是否相同,从而判断出与()f x 相同的函数.【详解】()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭, A. 22tan 21tan 2x y x =-,因为tan 12,22x x k k Z ππ⎧≠±⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩,所以,24,22x k k Z x k k Z ππππ⎧≠±+∈⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩, 定义域为{|22x x k ππ≠±或2,}x k k Z ππ≠+∈,与()tan f x x =定义域不相同; B. 1cot y x =,因为cos 0sin 0x x ≠⎧⎨≠⎩,所以,2,x k k Z x k k Zπππ⎧≠+∈⎪⎨⎪≠∈⎩, 所以定义域为,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭,与()tan f x x =定义域不相同; C. sin 21cos 2x y x =+,因为1cos20x +≠,所以定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭, 又因为2sin 22sin cos tan 1cos 22cos x x x y x x x ===+,所以与()tan f x x =相同; D. 1cos 2sin 2x y x-=,因为sin 20x ≠,所以2,x k k Z π≠∈,定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭, 与()tan f x x =定义域不相同.故选:C.【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断,难度一般.判断相同函数时,首先判断定义域是否相同,定义域相同时再去判断对应关系是否相同(函数化简),结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.例3.(2019·上海市大同中学高一期中)函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 【分析】解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---. 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ--- 故答案为[1,)(,)(,1]4444ππππ---【点睛】本题主要考查函数定义域的求法,考查反三角函数和正切函数的定义域,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.例4.(2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中)已知函数()()lg tan 1f x x =-()f x 的定义域是____.【答案】3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】由意义得出2tan 1090x x ->⎧⎨-≥⎩,解出该不等式组即可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】函数()()lg tan 1f x x =-+2tan 1090x x ->⎧∴⎨-≥⎩, ()4233k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪∴⎨⎪-≤≤⎩,3,,4242x ππππ⎛⎫⎛⎫∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此,函数()y f x =的定义域为3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:3,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查函数定义域的求解, 同时也涉及了正切不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题.例5.求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域. 【难度】★★【答案】(,),32k k k Z ππππ++∈【解析】tan 2cos 0,2x x x k k Z ππ⎧>⎪⎪≥⎨⎪⎪≠+∈⎩ 由此不等式组作图: ∴(,),32k k k Z ππππ++∈ 【巩固训练】1.函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________ 【难度】★【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2.与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 ( ).A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x【难度】★【答案】D3.求下列函数的定义域(1)1tan y x = ;(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- . 【难度】★★★【答案】见解析解:等价转化为求一个不等式组的解 (1)sin 0tan 0,()2x x x k k Z ππ⎧⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈ (2) 2cos 10sin 0,()42x x x k k Z πππ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪+≠+∈⎩⇒(2,2)33(2,2)(2,2)224x k k x k k k k x k πππππππππππππ⎧∈-+⎪⎪⎪∈+++⎨⎪⎪≠=⎪⎩(2,2)(2,2),()443x k k k k k Z πππππππ⇒∈+++∈. 注:转化过程中要注意必须是等价转换,才能保证结果既不扩大也不缩小.在求条件组的解时,常会求角集得交集,可以画数轴,用单位圆或函数的图像,应熟练掌握这种技能.2、正切函数的值域与最值例1.(2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中)设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-,关于()f x 的性质,下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭;②值域是R ;③最小正周期是π; ④()f x 是奇函数;⑤()f x 在定义域上单调递增.【答案】③④【分析】先求定义域,再化简函数解析式,根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.【详解】()sin 2sin 1cos 2cos 01cos 2cos x x f x x x x x-=∴+-≠+- 22cos cos 0cos 0x x x ∴-≠∴≠且1cos 2x ≠, 定义域是,,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠±∈⎨⎬⎩⎭; ()sin 2sin sin (2cos 1)tan 1cos 2cos cos (2cos 1)x x x x f x x x x x x --===+--所以()f x ≠()f x 最小正周期是π;()f x 是奇函数;()f x 在定义域上不具有单调性故答案为:③④【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质,考查综合分析求解能力,属中档题.例2.(2020·上海高一课时练习)求下列函数的值域:(1)1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π; (2)2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ. 【答案】(1)(1,1)-;(2)13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】(1)由定义域可得()tan ,0x ∈-∞,令tan t x =则(),0t ∈-∞,所以1211t 1t y t +-==-+--,再根据幂函数的性质计算可得; (2)利用换元法将函数转化为二次函数,根据二次函数的性质计算可得;【详解】解:(1)因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π,所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞,所以()1,1t -∈-∞-,()11,01t ∈--,()2210,t -∈-, ()211,11t --+∈--,即()1,1y ∈- (2)因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =,m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减, 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,()13f =,(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用,换元法求函数的值域,属于中档题. 例3.(2020·上海高一课时练习)求下列函数的值域:(1)tan ,,626⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x πππ; (2)2tan 1,,1tan 46+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x ππ; (3)2sec 2tan 1,,33⎡⎤=++∈-⎢⎥⎣⎦y ππθθθ.【答案】(1)[;(2)12⎛- ⎝⎭;(3)[1,5+ 【分析】(1)首先令6t x π=+,得到tan y t =,再根据tan y t =的单调性即可得到函数的值域.(2)首先令tan t x =,得到213211t y t t+==-+--,再根据函数的单调性即可得到值域.(3)首先将函数化简为2tan 2tan 2y θθ=++,令tan t θ=,得到222y t t =++,再利用二次函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】(1)令6t x π=+,因为,26x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦,所以,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又tan y t =在,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数,所以所求函数值域为[. (2)令tan t x =,因为,46⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ππ,所以⎛∈- ⎝⎭t .212(1)332,1,1113⎛+-+===-+∈- ---⎝⎭t t y t t t t . 因为1y t =-为减函数,所以31y t =-在⎛∈- ⎝⎭t 为增函数, 即:321=-+-y t在⎛∈- ⎝⎭t 上为增函数, 所以min 31222y =-+=-,max 522y +=-=.所以函数的值域为12⎛- ⎝⎭. (3)222221sin cos 2tan 1=2tan 1tan 2tan 2cos cos y θθθθθθθθ+=++++=++. 令tan ,,33⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦t ππθθ,所以[∈t .2222(1)1,[=++=++∈y t t t t .当1t =-时,min 1y =,当t =时,max 5y =+所以函数的值域为[1,5+.【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题,利用换元法求值域为解决本题的关键,属于中档题.例4.函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为 【难度】★ 【答案】[]32,324- 例5.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ,求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值;. 【难度】★★ 【答案】4x π=-时,min 1y =; 4x π=时,max 5y =例6.已知2tan tan y x a x =-,当1[0,],[0,]34x a π∈∈时,函数max y =,求实数a 的值. 【难度】★ 【答案】323-=a 例7.求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域. 【难度】★★【答案】(0,5] 【巩固训练】1.求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域【难度】★★【答案】[1]-+2.求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值,并求当函数取得最大值时,自变量x 的集合. 【难度】★★【答案】2max =y ,此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x ,4ππ3.已知2tan 2tan 3y x x =-+,求它的最小值【难度】★★【答案】当tan 1x =时,min 2y =4.函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________ 【难度】★ 【答案】[)5,-+∞【解析】令tan t x =则转化为t 的二次函数求最值。

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第八讲 函数和过程一
一、自定义函数
【引例】 引例】
输入a, , ,输出a!+b!+c!的值。( 的值。( 输入 ,b,c,输出 的值。(a,b,c<=10) ) 如: 输入: 输入:3 4 5 输出: 输出:150 var s,sum:longint; a,b,c,i:integer; begin readln(a,b,c); s:=1; for i:=1 to a do s:=s*i; sum:=s; s:=1; for i:=1 to b do s:=s*i; sum:=sum+s; s:=1; for i:=1 to c do s:=s*i; sum:=sum+s; writeln(sum); end.
一)、函数的定义: 、函数的定义:
Function <函数名 (<形式参数列表 ): 函数类型 ;(函数首部 函数名>( 形式参数列表 ):<函数类型 形式参数列表>): 函数类型>; 函数首部 函数首部) 函数名 <说明部分 ; 说明部分>; 说明部分 Begin 语句组; 语句组 End; 说明: 说明: 1)自定义函数是一个子程序 自定义函数是一个子程序. 自定义函数是一个子程序 2)函数首部以关键字 函数首部以关键字function开头。函数名是用户自定义的标识符。 开头。 开头 函数名是用户自定义的标识符。 3)形式参数简称形参,形参即函数的自变量。自变量的初值来源于函数调用。在函数 形式参数简称形参,形参即函数的自变量。自变量的初值来源于函数调用。
例题: 例题 1、已知三边a,b,c,求三角形的面积(一定构成三角形). 、已知三边 ,求三角形的面积(一定构成三角形) 如: 输入: 输入:3 4 5 输出: 输出:6.00
var s,a,b,c:real; function squre(x,y,z:real):real; var m:real; begin m:=(x+y+z)/2; squre:=sqrt(m*(m-x)*(m-b)*(m-c)); end; begin read(a,b,c); s:=squre(a,b,c); writeln(s:0:2); end.
const maxn=10000; var a:array[1..maxn] of integer; n,i,j:integer; procedure init; begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); end; procedure sort; var t:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then begin t:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=t; end; end;
函数的调用( 二)函数的调用(和标准函数一样): 函数的调用 和标准函数一样)
函数调用的一般格式: 函数调用的一般格式: <函数名>(实在参数表) 函数名>(实在参数表) >(实在参数表 说明: 说明: ①实在参数简称实参。实参的个数必须与函数说明中形参的个数 实在参数简称实参。 一致,实参的类型与形参的类型应当一一对应。 一致,实参的类型与形参的类型应当一一对应。 调用函数时,一般的,实参必须有确定的值。 ②调用函数时,一般的,实参必须有确定的值。 函数调用的步骤为:计算实参的值, 赋给”对应的形参; ③函数调用的步骤为:计算实参的值,“赋给”对应的形参;
过程体
④形参表的一般格式形式如下: 形参表的一般格式形式如下: [var] 变量名表:类型;…;[var] 变量名表:类型。其中带 的称为 变量名表:类型; ; 变量名表:类型。其中带var的称为 变量形参,不带var的称为值形参 例如,下列形参表中: 的称为值形参。 变量形参,不带 的称为值形参。例如,下列形参表中: (x,y:real;n:integer;var w:real;var k:integer;b:real) x、y、n、b为值形参 而w、k为变量形参。 为值形参,而 、 为变量形参 为变量形参。 、 、 、 为值形参 ⑤与函数体不同的是:函数体的执行部分至少有一个语句给函数名赋 与函数体不同的是: 而过程体的执行部分不能给过程名赋值, 值,而过程体的执行部分不能给过程名赋值,因为过程名不能代表任 何数据。 何数据。
var a,b,c:integer; y:longing; function sum(n:integer):longint; var i:integer;s:longint; begin s:=1; for i:=1 to n do s:=s*i; sum:=s; end; begin readln(a,b,c); y:=sum(a)+sum(b)+sum(c); writeln(y); end.
2、已知凸5边形的 个顶点的坐标,求他的的面积。 、已知凸 边形的 个顶点的坐标,求他的的面积。 边形的5个顶点的坐标 输入:依次输入 的坐标。 输入:依次输入p1,p2,p3,p4,p5的坐标。 的坐标 输出:面积(保留两位小数)。 输出:面积(保留两位小数)。 样例输入: 样例输入: 0 1 1 2 2 2 3 0 0 0 样例输出: 样例输出: 3.50
(三)过程的应用举例
1、输入 个数,按照从小到大的顺序输出。 、输入n个数 按照从小到大的顺序输出。 个数,
如: 输入: 输入 5 3 1 2 7 5 输出: 输出: 1 2 3 5 7
写法一: 写法一:
const maxn=10000; var a:array[1..maxn] of integer; n,i,j,t:integer; begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then begin t:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=t; end; for i:=1 to n-1 do write(a[i],' '); writeln(a[n]); end.
procedure print; begin for i:=1 to n-1 do write(a[i],' '); writeln(a[n]); end; //主程序 主程序 BEGIN init; sort; print; END.
写法二: 写法二:
过程与函数有下列主要区别: 过程与函数有下列主要区别: 过程的首部与函数的首部不同; ①过程的首部与函数的首部不同; 函数通常是为了求一个函数值, ②函数通常是为了求一个函数值,而过程 可以得到若干个运算结果, 可以得到若干个运算结果,也可用来完成一系 列的数据处理, 列的数据处理,或用来完成与计算无关的各种 操作; 操作; 调用方式不同。 ③调用方式不同。函数的调用出现在表达 式中,而过程调用是一个独立的语句。 式中,而过程调用是一个独立的语句。
(二)过程的调用 过程调用是通过一条独立的过程调用语句来实现的, 独立的过程调用语句来实现的 过程调用是通过一条独立的过程调用语句来实现的,它与函数调用完全 不同。过程调用与调与标准过程( 不同。过程调用与调与标准过程(如write,read等)的方式相同。调用的一 等 的方式相同。 般格式为: 般格式为: 过程名> <过程名> 或 过程名>(实在参数表) >(实在参数表 <过程名>(实在参数表) 说明: 说明 实参的个数、类型必须与形参一一对应。 ①实参的个数、类型必须与形参一一对应。 对应于值形参的实参可以是表达式,对应于变量形参的实参只能是变量。 ②对应于值形参的实参可以是表达式,对应于变量形参的实参只能是变量。 过程调用的步骤为:计算实参的值;将值或变量的“地址”传送给对应的形参; ③过程调用的步骤为:计算实参的值;将值或变量的“地址”传送给对应的形参; 执行过程体;返回调用处。 执行过程体;返回调用处。
算法一 var x,y:array[1..5]of integer; i:integer; s1,s2,s3:real; function area(x1,y1,x2,y2,x3,y3:integer):real; var a,b,c,d:real; begin a:=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)); b:=sqrt((x1-x3)*(x1-x3)+(y1-y3)*(y1-y3)); c:=sqrt((x3-x2)*(x3-x2)+(y3-y2)*(y3-y2)); d:=(a+b+c)/2; area:=sqrt(d*(d-a)*(d-b)*(d-c)); end; begin for i:=1 to 5 do readln(x[i],y[i]); s1:=area(x[1],y[1],x[2],y[2],x[5],y[5]); s2:=area(x[2],y[2],x[3],y[3],x[5],y[5]); s3:=area(x[3],y[3],x[4],y[4],x[5],y[5]); writeln(s1+s2+s3:0:2); end.
中,形参一般格式如下: 形参一般格式如下: 变量名表1:类型标识符1;变量名表2:类型标识符2; 变量名表 变量名表n:类型标识符n; 变量名表 :类型标识符 ;变量名表 :类型标识符 ;…;变量名表 :类型标识符 函数体
4)函数体中至少有一条赋值语句: 函数名:=表达式; 函数体中至少有一条赋值语句: 函数名: 表达式 表达式; 函数体中至少有一st maxn=10000; var a:array[1..maxn] of integer; n,i,j:integer; procedure sort; var t:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then begin t:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=t; end; end; begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); sort; for i:=1 to n-1 do write(a[i],' '); writeln(a[n]); end.
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