第3章 基本图形生成算法2
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第三章 图形生成图像的基本原理
(y,-x) (x,-y)
程序：
MidCircle18(int r) { int x,y; float f; x=0; y=r; f=1.25-r; //注意f为下一点（1，r-0.5）的判别式 point(x,y); while(x<=y) { if(f<0) f+=2*x+3; else { f+=2*(x-y)+5; y--;} x++; point(x,y); } }
第三章 图形生成图像的基本原理
3.1 图形图像的关系：
1）区别： 图形是用矢量表示的，是用几何学的点、线、面对客观世界建模的 结果。图形中不但包含几何信息，而且可以包含拓扑、颜色等非几何信 息。这些信息是设备无关的。 图像是用点阵表示的，其中只有各个点的颜色信息，不含拓扑关系， 也没有几何学的点、线、面。从数学上说，图像是定义域和值域都不连 续的一个函数（数字图像）。 图形和图像各有其优点，图形适合表达几何信息（建模），图像适 合表达视觉信息（照片）。 2）存储： 图形使用矢量文件，图像使用点阵文件。 3）转换关系： 图形通过光栅扫描可以转化为光栅图像；图像通过识别和处理可以 转化为矢量表示的图形形式，但通常它无法恢复图形信息。
实例：用DDA方法在点（0,0）和（5,2）之间画线
n=5 (x0,y0) = (0,0) (xn,yn) = (5,2) k=(2-0)/(5-0) = 0.4
xi 0 1 2 3 4 5
yi 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6
int(yi+0.5) 0 1 1 2 2
动画
2)Bresenham算法 （最常用）
对于内点表示和边界表示的8连通区域的填充，只要将上述相应代码 中递归填充相邻的4个象素增加到递归填充8个象素即可。
3基本图形生成算法
若d>=0, 取P2为下一象素，再下一象素的判别式为
d' F(xp 2, yp 1.5) (xp 2)2 (yp 1.5)2 R2 d 2(xp yp ) 5
初始象素是（0,R），判别式d的初值为
d0 F(1, R 0.5) 1.25 R
使用e=d-0.25代替d e0=1-R
y方向不走步
e
e’
P
P1
Bresenham画线算法（4/6）
为方便与0比较，设e=e-0.5
e0=-0.5 当e≥0时，最接近P2(xi+1,yi+1)
y方向走一步 当e<0时，最接近P1(xi+1,yi)
y方向不走步 有浮点数，不宜硬件实现
P2
e’
e P P1
P2
e
e’
P
P1
Bresenham画线算法（5/6）
=2 (i-xi)-1
若dDV’<0，则选D 若dDV’>0，则选V 若dDV’=0，则选D
情形④也 适用
Bresenham画圆算法（5/7）
当i=0时，D在圆上，⑤ 按d判别，有d>0，应选D 按d’判别，有d’<0，应选D
Bresenham画圆算法（6/7）
当i<0时,
若dHD≤0，选H 若dHD>0，选D
=(xi+1)2+yi2-R2 + (xi+1)2+(yi-1)2-R2
=2 (i+yi)-1
若dHD <0，则选H 若dHD >0，则选D 若dHD =0，则选H
情形②也 适用
Bresenham画圆算法（4/7）
当i>0时，D在圆外，③④
第3章 图形的基本算法
dy s t 2 ( x i 1 1) 2 y i 1 1 dx
dx(s t ) 2( xi 1 dy y i 1 dx) 2dy dx
因dx>0，所以我们可以以dx(s-t) 的正负作 为选择点的依据。若令其为di，则
d i 2( xi 1 dy y i 1 dx) 2dy dx
若s<t，则Si较靠近理论直线，应选Si，y 不变； 若s>t，则Ti较靠近理论直线，应选Ti，y 增1。 现在需要一个判别式，来判断每一步是选 Ti还是选Si。下面导出Bresenham 算法的 判别式。
判别式的导出
设一直线段由（x1,y1）至（x2,y2），（其中 y2>y1，x2>x1）则直线方程可表示为
怎样选择直线的最佳光栅位置（象素点）， 是Bresenham 算法追求的目标。为此，算 法根据直线的斜率在计长方向（x或y）上， 每次都递增一个单位步长即一个象素单位， 另一个方向的增量为0或1。这种算法的巧 妙之处是只需检查判别式的符号即可，而 且计算量很小，只进行整型数计算，不必 做舍入操作。
直线的近似表示
第三章 图形的基本算法
本章内容
3.1 图形的表示 3.2 图形模式与坐标系 3.3 直线的扫描转换 3.4 圆的生成算法 3.5 多边形的填充
3.1 图形的表示
计算机图形学是一门复杂而又多样化的技 术。要想了解这项技术必须把它分成几个 易于操作的部分。图形是计算机图形学的 关键概念，处理图形我们应考虑以下问题： 1. 如何在计算机中表示图形？ 2. 如何准备图形的数据？ 3. 如何显示准备好的图形？ 4. 如何实现人与图形的交互？
这里，图形是一个广义的概念，凡是可 以在图形设备上输出的点、线、文本等 的集合都可以称为是图形。
计算机图形学第3章-基本光栅图形生成算法
• 用绘图软件包 • OpenGL就是一个典型的、已经被接受的国际工业标 准的图形软件包。 • Java3D
• 用操作系统的绘图功能 • 如Windows中Win32API中就提供了基本的绘图功能
• 在数学上，理想的直线是一条由无穷多个无限小的连续的 点组成。
• 在光栅显示平面上，我们只能用二维光栅格网上尽可能靠 近这条直线的象素点的集合来表示它。每个象素具有一定 的尺寸，是显示平面上可被访问的最小单位，它的坐标x 和y只能是整数，也就是说相邻象素的坐标值是阶跃的而不 是连续的。
������������ − ������������ = 20
第二步：在x轴方向上每次的变化量为∆������ 变化量为∆������ = ������������−������������ = 0.65
=
������������−������������ ������
=
−1，则y轴方向的
������
• DDA算法描述
• 设(xs,ys)和(xe,ye)分别为直线的起点坐标和终点坐标，则：
直线的斜率
=
∆������ ∆������
=
������������ ������������
− −
������������ ������������
• 可通过计算由x方向的增量 ∆������ 引起y的改变来生成直线。
由������������+1 = ������������ + ∆������，得到：
������������+1
=
������������
+
������ ������
×
∆������
=
������������
• 用操作系统的绘图功能 • 如Windows中Win32API中就提供了基本的绘图功能
• 在数学上，理想的直线是一条由无穷多个无限小的连续的 点组成。
• 在光栅显示平面上，我们只能用二维光栅格网上尽可能靠 近这条直线的象素点的集合来表示它。每个象素具有一定 的尺寸，是显示平面上可被访问的最小单位，它的坐标x 和y只能是整数，也就是说相邻象素的坐标值是阶跃的而不 是连续的。
������������ − ������������ = 20
第二步：在x轴方向上每次的变化量为∆������ 变化量为∆������ = ������������−������������ = 0.65
=
������������−������������ ������
=
−1，则y轴方向的
������
• DDA算法描述
• 设(xs,ys)和(xe,ye)分别为直线的起点坐标和终点坐标，则：
直线的斜率
=
∆������ ∆������
=
������������ ������������
− −
������������ ������������
• 可通过计算由x方向的增量 ∆������ 引起y的改变来生成直线。
由������������+1 = ������������ + ∆������，得到：
������������+1
=
������������
+
������ ������
×
∆������
=
������������
基本图形元素的生成算法
计 算 机 图 形 学
第三章 基本图形元素的生成算法
计 算 机 图 形 学
光栅显示器上显示的图形，称之为光栅图形。光 栅显示器可以看作是一个象素矩阵，在光栅显 示器上显示的任何一个图形，实际上都是一些 像素的集合。由于对一个具体的光栅显示器来 说，象素个数是有限的，象素的颜色和灰度等 级也是有限的，象素是有大小的，所以光栅图 形只是近似的实际图形。如何使光栅图形最完 美地逼近实际图形，便是光栅图形学要研究的 内容。确定最佳逼近图形的像素集合的过程称 为图形的扫描转换或光栅化。
计 算 机 图 形 学
第三章 基本图形元素的生成算法
a)
b)
图3.2 直线的生成
c)
计 算 机 图 形 学
直线的绘制首先要考虑的是绘制的质量。怎样才算高质量？ 当然，看上去要象直线。 ： 1. 画的直线应是直的 2. 线的端点位置应正确 3. 线的浓度应均匀 4. 直线生成的速度要快
第三章 基本图形元素的生成算法
（X1,Y1)的像素点，对应的显示缓冲器地址为： 字节地址= S + ( H / 8 ) * Y1 + ( X1 / 8 ) 的整数部分 字节内的位地址= X1 / 8 的余数 计 算 机 图 形 学
第三章 基本图形元素的生成算法
3.1.2 直线段的生成
数学上的直线是由无数个点构成的集合，显 然，光栅显示器只能近地似显示直线。对 于水平、垂直和45°斜线是可以达到较为 满意的效果的。当我们对直线进行光栅化 时，需要确定最佳逼近该直线的一组象素。 扫描转换直线段就是计算出落在直线段上 或充分靠近它的一串像素，并以此像素近 似代替原连续直线段在屏幕上显示的过程。
第三章 基本图形元素的生成算法
3.1直线的生成算法
计算机图形学-基本图形生成算法-图形反混淆
10
Ú3.区域采样技术
– 改变边或直线的外观，模糊淡化阶梯 – 相当于图像的前置滤波
直线有宽度
点
有限
区域
2020/6/11 星期四
计算机学院 苏小红
9
图形反走样技术（antialiasing）
根据相交的面积值决定像素显示的亮度级别
8级灰度
2020/6/11 星期四
0≤面积≤1/8
计算机学院 苏小红
7/8≤面积≤1
计算机学院 苏小红
混淆现象（1/3）
Ú不光滑(阶梯状）的图形边界
计算机学院 苏小红
混淆现象（2/3）
Ú图形细节失真
计算机学院 苏小红
混淆现象（3/3）
Ú狭小图形的遗失与动态图形的闪烁
计算机学院 苏小红
图形反走样技术（ antialiasing）
Ú 1.从硬件角度提高分辨率
– 高分辨率显示器
Ú 显示器点距减少一倍 Ú 帧缓存容量增加到原来的4倍 Ú 输带宽提高4倍 Ú 扫描转换花4倍时间 Ú 代价高
第三章 基本图形生成算法 图形反混淆
二维光栅图形的混淆与反混淆
Ú混淆现象 Ú反混淆方法
计算机学院 苏小红
混淆(antialiasing)
图形的锯齿状：图形信号连续，光栅显示系统中，离散 表示。
用离散量(像素)表示连续的量(图形)而引起的失真，叫 混淆或叫走样(aliasing)
光栅图形混淆： Ú 阶梯状边界； Ú 图形细节失真； Ú 狭小图形遗失：动画序列中时隐时现，产生闪烁。
计算机学院 苏小红
图形反走样技术（ antialiasing）
Ú 2.从软件角度替高分辨率
– 高分辨率计算，低分辨率显示 – 像素细分技术，相当于后置滤波
Ú3.区域采样技术
– 改变边或直线的外观，模糊淡化阶梯 – 相当于图像的前置滤波
直线有宽度
点
有限
区域
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图形反走样技术（antialiasing）
根据相交的面积值决定像素显示的亮度级别
8级灰度
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0≤面积≤1/8
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7/8≤面积≤1
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混淆现象（1/3）
Ú不光滑(阶梯状）的图形边界
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混淆现象（2/3）
Ú图形细节失真
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混淆现象（3/3）
Ú狭小图形的遗失与动态图形的闪烁
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图形反走样技术（ antialiasing）
Ú 1.从硬件角度提高分辨率
– 高分辨率显示器
Ú 显示器点距减少一倍 Ú 帧缓存容量增加到原来的4倍 Ú 输带宽提高4倍 Ú 扫描转换花4倍时间 Ú 代价高
第三章 基本图形生成算法 图形反混淆
二维光栅图形的混淆与反混淆
Ú混淆现象 Ú反混淆方法
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混淆(antialiasing)
图形的锯齿状：图形信号连续，光栅显示系统中，离散 表示。
用离散量(像素)表示连续的量(图形)而引起的失真，叫 混淆或叫走样(aliasing)
光栅图形混淆： Ú 阶梯状边界； Ú 图形细节失真； Ú 狭小图形遗失：动画序列中时隐时现，产生闪烁。
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图形反走样技术（ antialiasing）
Ú 2.从软件角度替高分辨率
– 高分辨率计算，低分辨率显示 – 像素细分技术，相当于后置滤波
第3章基本图形的生成与计算
1.数值微分法（DDA法）
2.中点画线算法
３.直线的Bresenham算法
2021年3月4日星期四
14
3.2 直线段的生成算法
第3章 基本图形的生成与计算
画一条从（x1,y1）到（x2,y2）的直线，实质上是确定 最佳逼近直线的像素序列，并填入色彩数据的过程。
当我们对直线进行光栅化时，只能在显示器所给定的 有限个象素组成的矩阵中，确定最佳逼近于该直线的一 组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作， 这就是通常所说的用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
2021年3月4日星期四
10
3.1 基本绘图元素
第3章 基本图形的生成与计算
✓ 1.在几何学中，一个点即没有大小，也没有维数，点只是 表示坐标系统中的一个位置。
✓ 2.在计算机图形学中，点是用数值坐标来表示的。在直角 坐标系中点由(x,y)两个数值组成的坐标表示，在三维坐 标系中点由(x,y,z)三个数值组成的坐标表示，如下图：
此时 |K|<1
本算法的基本思想：从直线的起点开始，选定 x2 x1 和
y2 y1 中较大者为步进方向，不妨假设 x2 x1 较大，即让 x从起点到终点变化，每步递增1（即一个像素单位），然
后利用递推式 yi1 yi kx 计算相应的y值，取像素
点 ( xi 1, round ( yi1) )作为当前点坐标输出到显示器上， 则得到光栅化的直线。
第3章 基本图形的生成与计算
Loading …………
欢迎进入
第 3章
第3章 基本图形的生成与计算
本章概述：主要介绍了基本图形的生成与计
算,包括:基本绘图元素，直线段、圆与椭圆的 生成算法，区域填充算法，字符的生成，图
2.中点画线算法
３.直线的Bresenham算法
2021年3月4日星期四
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3.2 直线段的生成算法
第3章 基本图形的生成与计算
画一条从（x1,y1）到（x2,y2）的直线，实质上是确定 最佳逼近直线的像素序列，并填入色彩数据的过程。
当我们对直线进行光栅化时，只能在显示器所给定的 有限个象素组成的矩阵中，确定最佳逼近于该直线的一 组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作， 这就是通常所说的用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
2021年3月4日星期四
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3.1 基本绘图元素
第3章 基本图形的生成与计算
✓ 1.在几何学中，一个点即没有大小，也没有维数，点只是 表示坐标系统中的一个位置。
✓ 2.在计算机图形学中，点是用数值坐标来表示的。在直角 坐标系中点由(x,y)两个数值组成的坐标表示，在三维坐 标系中点由(x,y,z)三个数值组成的坐标表示，如下图：
此时 |K|<1
本算法的基本思想：从直线的起点开始，选定 x2 x1 和
y2 y1 中较大者为步进方向，不妨假设 x2 x1 较大，即让 x从起点到终点变化，每步递增1（即一个像素单位），然
后利用递推式 yi1 yi kx 计算相应的y值，取像素
点 ( xi 1, round ( yi1) )作为当前点坐标输出到显示器上， 则得到光栅化的直线。
第3章 基本图形的生成与计算
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第 3章
第3章 基本图形的生成与计算
本章概述：主要介绍了基本图形的生成与计
算,包括:基本绘图元素，直线段、圆与椭圆的 生成算法，区域填充算法，字符的生成，图
第三讲基本图形生成
`
两种定义方法： 1）像素理想化为点
2）像素有一定面积
`
2013年8月13日11时54分
倘若已知直线段两端点的坐标（x0,y0）（x1,y1）， 如何求得屏幕上显示的各点的坐标？
2013年8月13日11时54分
根据直线方程表达式： y=m×x+b 其中：m是直线的斜率， b是y方向的截距。
2013年8月13日11时54分
(x,y)坐标
…
地址线性表 1D表示 显示屏幕 2D表示
像素由其左下角坐标表示
y ymax ymin x
xmin
xmax
地址 = (xmax-xmin) * (y-ymin) + (x-xmin) + 基地址
每行像素点数
行数
行中位置
Address(x,y) = (xmax-xmin) * (y-ymin) + (x-xmin) + 基地址 = k1 + k2y + x 对像素连续寻址时，如何减少计算量？ Address(x±1,y) = k1 + k2y + (x±1) = Address(x,y) ± 1 Address(x,y±1) = k1 + k2(y ±1) + x = Address(x,y) ± k2 Address(x±1,y±1) = k1 + k2(y ±1) + (x±1)
直线Bresenham算法描述
由图中可以知道：在x=xi+1处，直线上点的y值是y=m(xi+1)+b，该 点离象素点(xi+1，yi)和象素点(xi+1，yi+1)的距离分别是d1和d2： d1=y-yi=m(xi+1)+b-yi d2=(yi+1)-y=(yi+1)-m(xi+1)-b 两个距离差是 d1-d2=2m(xi+1)-2yi＋2b-1
两种定义方法： 1）像素理想化为点
2）像素有一定面积
`
2013年8月13日11时54分
倘若已知直线段两端点的坐标（x0,y0）（x1,y1）， 如何求得屏幕上显示的各点的坐标？
2013年8月13日11时54分
根据直线方程表达式： y=m×x+b 其中：m是直线的斜率， b是y方向的截距。
2013年8月13日11时54分
(x,y)坐标
…
地址线性表 1D表示 显示屏幕 2D表示
像素由其左下角坐标表示
y ymax ymin x
xmin
xmax
地址 = (xmax-xmin) * (y-ymin) + (x-xmin) + 基地址
每行像素点数
行数
行中位置
Address(x,y) = (xmax-xmin) * (y-ymin) + (x-xmin) + 基地址 = k1 + k2y + x 对像素连续寻址时，如何减少计算量？ Address(x±1,y) = k1 + k2y + (x±1) = Address(x,y) ± 1 Address(x,y±1) = k1 + k2(y ±1) + x = Address(x,y) ± k2 Address(x±1,y±1) = k1 + k2(y ±1) + (x±1)
直线Bresenham算法描述
由图中可以知道：在x=xi+1处，直线上点的y值是y=m(xi+1)+b，该 点离象素点(xi+1，yi)和象素点(xi+1，yi+1)的距离分别是d1和d2： d1=y-yi=m(xi+1)+b-yi d2=(yi+1)-y=(yi+1)-m(xi+1)-b 两个距离差是 d1-d2=2m(xi+1)-2yi＋2b-1