自动控制原理第五章频域分析
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精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
24
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
长安大学：自动控制原理第五章 线性系统的频域分析
A() 1
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()
A () 1 0 T
() 0
() 90
V() A() sin ()
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第五章
二、研究频率特性的意义 1、频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自 动控制系统的另一种工程方法。 2、根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特 性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响， 指出系统改进的方向。 3、频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系 统来说，很有用处。 三、频率特性的求取方法 1、已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输 出稳态分量和输入正弦的复数比； 2、根椐传递函数来求取； 3、通过实验测得。
设
x c (t) ae jt ae jt b1es1t b2es2t ... b1esn t
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
( t 0)
对于稳定的系统, -s1,s2,…,sn 其有负实部
x c (t) ae jt ae jt
a G(s)
a G (s)
CHANG’AN UNIVERSITY
A AG( j) ( s j ) | s j s 2 2 2j
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第五章
a
AG( j) 2j
AG( j) a 2j
G( j) | G( j) | e jG( j) | G( j) | e jG( j)
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
CHANG’AN UNIVERSITY
A() | G ( j) | U 2 () V 2 () 1 V() () G( j) tg U () U() A() cos()
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制原理第五章频域分析法
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
谐振峰值
Am(m) 2
1
12
振荡环节的对数频率特性
L ()2l0 oG g (j) 2l0 o(g 1 n 2 2)24 2 n 2 2
n L()0低频渐近线是零分贝线。
n L ( ) 4 0lo g (/ n) 4 0lo g (T ) n 1 /T
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
r n12 2 ( 1/ 20 .7) 0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
谐振频率
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
( )
0 0.1 1 10
0 o 0.1 1 10
45o
20
90o
对数坐标刻度图
注意：
➢纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 ➢ 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， ➢ 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 ➢在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 ➢ 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程 ➢ 的长度都是相等的。 ➢为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， ➢ 即横坐标每变化十倍频程〔即变化〕所对应的纵 坐
自动控制原理第5章-频域分析
（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件 地推广应用到非线性系统中。
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法
第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000
o
( )
10
0
1
10
100
1000
10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）
自动控制原理第五章频域分析
1 1 L( ) 20 lg 20 lg1 20 lg 20 lg A ( ) ( ) ( ) 2 2
G(s) s, G( j) j
L( ) 20 lg A ( ) ( ) ( ) 2 2
对 数 坐 标 系
40 20
0 .1
1
10
100
横轴没有零点
45
45 90
优势： •由于对 取了对数，所以大范围的频率变化可 以以在横轴上体现出来，且可以以根据需要对 横轴进行移动。 •对幅频特性 的计算可以简化。（对数后乘法 化加法，便于工程绘图）
典型环节的频率特性（奈氏曲线）
i 1 n N N j 1
m
( jT
j
1)
KK A( ) ( j ) N
KK ( ) ( j ) N
0
N 0, A( ) K K N 0, A( )
N 0, ( ) 0 N 0, ( ) N 2
s
1 1 G( s) , G ( j ) Ts 1 1 jT
A( )
1 1 2T 2
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 T 2 2
( ) arctanT
3dB
-20dB/dec
L( ) 1 20lg 2 3dB
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
2 T ( ) arctan 1 T 2 2
系统开环频率特性的绘制（Bode图）
开环频率特性的通式：
GK ( j ) K k ( jTi 1) ( j )
G(s) s, G( j) j
L( ) 20 lg A ( ) ( ) ( ) 2 2
对 数 坐 标 系
40 20
0 .1
1
10
100
横轴没有零点
45
45 90
优势： •由于对 取了对数，所以大范围的频率变化可 以以在横轴上体现出来，且可以以根据需要对 横轴进行移动。 •对幅频特性 的计算可以简化。（对数后乘法 化加法，便于工程绘图）
典型环节的频率特性（奈氏曲线）
i 1 n N N j 1
m
( jT
j
1)
KK A( ) ( j ) N
KK ( ) ( j ) N
0
N 0, A( ) K K N 0, A( )
N 0, ( ) 0 N 0, ( ) N 2
s
1 1 G( s) , G ( j ) Ts 1 1 jT
A( )
1 1 2T 2
L( ) 20lg A( ) 20lg 1 T 2 2
( ) arctanT
3dB
-20dB/dec
L( ) 1 20lg 2 3dB
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
2 T ( ) arctan 1 T 2 2
系统开环频率特性的绘制（Bode图）
开环频率特性的通式：
GK ( j ) K k ( jTi 1) ( j )
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T
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
22
l 相频： tg1T
相频特性的几个函数值
(0) 0
( 1 ) 45
斜率：-20dB/dec
20dB / dec
22 3
38
③作出其余部分曲线（从第一转折频率向右，每经过
一个转折频率，对数幅频曲线的斜率变更一次）
从第一转折频率开始，作 出二阶振荡环节的幅频曲 线至第二转折频率
先用折线近似， 再进行修正。
2
20dB / dec 60dB / dec
从第二转折频率开始，作 出一阶惯性环节的幅频曲 线至第三转折频率
3 3
转折斜率
40dB / dec 20dB / dec 20dB / dec
37
（3）作图
顺序： 低频 二阶振荡环节 一阶惯性环节 一阶微分环节
①确定频率范围，标
出转折频率
转折频率小于10，选 17.5
A
横坐标频率范围为
0.1～10rad/s。
②作出低频段曲线至第 一转折频率
1 20 lg A1( ) 17.5dB
8
正弦输入下的稳态响应（稳定系统）
ys
t
L1
s
a
j
s
a
j
ae jt
ae
jt
其中待定常数a和a*分别为：
a
Gs
Um s2 2
s
j
s j
Um 2j
G
j
a
Gs
U m s2 2
s
j
s j
Um 2j
G j
容易证明，a与a*为一对共轭复数。
9
a和a*代入上式,则有：
ys t ae jt ae jt
2
2 n
2
2
n
2
1)当<<n时(低频)： 20lg A 20lg1 0(dB)
2)当>>n时(高频)：
20lg A 20
渐近线斜率-40dB/dec。
l
g
2
2 n
40lg
n
(dB)
3)转折频率
n
1 T
26
相频：
tg 1
1
2T 2T
2
,
tg 1
2T 2T 2 1
3) 便于简化计算和作图——可用渐近线处理。 4) 将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，便于确定频率特性的函数表达式。
14
幅频特性的纵坐标为何采用对数分度 20lgA()， 而不是lgA() 坐标？
lgA()的单位为贝尔, 20lgA()的单位为分贝。 以分贝（dB)为单位符合人的习惯。
Us
s2
2
Um
s
j s
j Um
7
输出信号：
Y s
GsUs
ps qs
U m s2 2
a
a
b1 bn
s j s j s s1
s sn
y t ae jt ae jt b1es1t bnesnt
如果G(s)含有mi 重极点s = - pi, 则 y(t) 中含有
t hiesit (hi 0,1,2,, m 1)
纵坐标: 幅值A(),用对数20lgA()分度,单位[dB]
相角(),用() 分度,单位是(º)
幅频特性：20lgA()~lg 相频特性：()~ lg
13
Bode图为什么要采用对数坐标？
1) 幅值的相乘转换为相加运算,可在图上直接相 加——便于系统综合; 2) 便于处理较宽的频带,且能突出最常用的低频带;
Um G j
1 e jt e jt 2j
Um A sint Ym sint
正弦稳态输出对正弦输入的幅值比
Ym A G j
Um
正弦稳态输出对正弦输入的相位移
G j
10
根据定义，频率特性(正弦传递函数)
G
j
Y U
j j
G( j ) A( )e j ( ) G( j ) e jG( j )
1 2 2 0
2 0.707 2
28
极坐标图
G( j )
1
jtg1 2T
e
1 2T 2
1 2T 2 2 4 2 2T 2
>1(过阻尼)，类似于一阶环 节(近似为一半圆)。曲线随的 不同而变化，越小，曲线与负 虚轴的交点离坐标原点越远。
29
7. 二阶共轭零点（微分环节）
Bode图
22
33
法一 各环节频率特性代数相加
7.5 j 1
G j
3
j
j 2
11
2 2
j
2
34
4. 幅频特性：
转折渐进作图法： 找出所有环节的转折频率，从小到大排列，
从低频渐近线开始，沿频率增加的方向，碰到一 个转折频率，就改变渐近线的斜率。
35
（1）确定低频部分
7.5( j 1)
十倍频程
在Bode图的横坐标上，频率每变化10倍的 距离，就称为十倍频程，用符号dec来表示。
倍频程
在Bode图的横坐标上，频率每变化２倍的 距离，就称为倍频程，用符号oct来表示。
15
注意
在Bode图中，坐标原点处的ω值不得为零， 而是一个非零的正值。至于取何值，应视所 要表示的实际的频率范围而定。
tg1RC
都是的函数
频率特性：
增益
—
—
滞后增大
T=RC: —系统结构参数
, R, C: : —输入正弦信号的频率
6
系统频率特性表达式的推导
设线性定常系统传函G(s)
Gs
ps qs
s
s1 s
ps s2 s
sn
（对于含有重极点的情况，下面得到的结论同样适用）
输入为正弦信号：
ut Um sint
低频部分是过点(1，17.5dB)、斜率 为-20dB/dec的直线的一部分。
36
（2）将低频部分以外的环节按转折频率从小到 大的顺序列出转折渐进表。
7.5( j 1)
G( j )
3
j (
j
2
1)1
2
2
j
2
渐进顺序 转折频率
(1 2 j )1 ( j 1)1
22
2
2
2
j 1
2
1. 将开环传递函数化为时间常数的表示形式
10 3( s 1)
G(s)
s 2(
s
3 1) 2( s2
s
1)
比例
2
22
环节
7.5( s 1)
与根轨迹对比
s(
s
3 1)( s2
s
1)
2 22
32
2. 频率特性：
7.5 j 1
G j
3
j
j
2
11
2
2
j
2
3. 系统由五个典型环节组成：
相频： 90
G( j ) 1 e j90
极坐标图
19
3. 微分环节 G j j
幅频： 20lg A 20lg j 20lg(dB)
相频： 90
G( j ) e j90
Bode图
极坐标图
20
4. 一阶惯性环节 G j 1
1 jT
l 幅频：20lg A 20lg 1 20lg 1 2T 2
2
20 lg
1
2
20lg
2
1 2 3
2, 20lg A 16.61(dB) 2, 20lg A 7.06(dB) 3, 20lg A 5.76(dB)
5．相频特性
由频率特性得：
7.5( j 1)
G( j )
3
j (
j
2
1)1
2
2
j
2
2 : 90 tg1 tg1 tg1
() 90
23
Bode图
dB
10 0
10 0.1
20
( )
0
45 0.1
90
1 10 TT
1 10
20dB / dec
1 10
极坐标图
G( j )
1
e jtg1T
2T 2 1
24
5. 一阶微分环节 G j 1 jT
l 幅频： 20lg A 20lg 1 2T 2
1 jT
a) <<1/T
20lg A 20lg1 0(dB)
b) >>1/T
20lg A 20lgT(dB)
c) =1/T —— 转折频率
21
误差（实际曲线与折线）
1) 最大误差在转折频率处( =1/T)
20lg A 1 20lg 2 3.01(dB) T
2）在 处0.1
T
入量之比（正弦传递函数）。
4
<引例>分析一阶RC网络的频率特性
输入 ui t Um sint
U o
U i
1/ jC R 1/ jC
1
U i
jRC
U i
1 (RC)2
tg1RC
U o U i
1
1
jRC
G( j )
A( )e j ( )
5
幅值比 相位差
U o U i
A( )
1
1 (RC )2
幅频特性误差修正曲线
20lg A 0.1 20lg 1 0.01 0.043(dB) 0(dB)
T
3）在 处10
T
20lg A 10 20lg 1 100 20.043(dB) 20(dB) T
22
l 相频： tg1T
相频特性的几个函数值
(0) 0
( 1 ) 45
斜率：-20dB/dec
20dB / dec
22 3
38
③作出其余部分曲线（从第一转折频率向右，每经过
一个转折频率，对数幅频曲线的斜率变更一次）
从第一转折频率开始，作 出二阶振荡环节的幅频曲 线至第二转折频率
先用折线近似， 再进行修正。
2
20dB / dec 60dB / dec
从第二转折频率开始，作 出一阶惯性环节的幅频曲 线至第三转折频率
3 3
转折斜率
40dB / dec 20dB / dec 20dB / dec
37
（3）作图
顺序： 低频 二阶振荡环节 一阶惯性环节 一阶微分环节
①确定频率范围，标
出转折频率
转折频率小于10，选 17.5
A
横坐标频率范围为
0.1～10rad/s。
②作出低频段曲线至第 一转折频率
1 20 lg A1( ) 17.5dB
8
正弦输入下的稳态响应（稳定系统）
ys
t
L1
s
a
j
s
a
j
ae jt
ae
jt
其中待定常数a和a*分别为：
a
Gs
Um s2 2
s
j
s j
Um 2j
G
j
a
Gs
U m s2 2
s
j
s j
Um 2j
G j
容易证明，a与a*为一对共轭复数。
9
a和a*代入上式,则有：
ys t ae jt ae jt
2
2 n
2
2
n
2
1)当<<n时(低频)： 20lg A 20lg1 0(dB)
2)当>>n时(高频)：
20lg A 20
渐近线斜率-40dB/dec。
l
g
2
2 n
40lg
n
(dB)
3)转折频率
n
1 T
26
相频：
tg 1
1
2T 2T
2
,
tg 1
2T 2T 2 1
3) 便于简化计算和作图——可用渐近线处理。 4) 将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，便于确定频率特性的函数表达式。
14
幅频特性的纵坐标为何采用对数分度 20lgA()， 而不是lgA() 坐标？
lgA()的单位为贝尔, 20lgA()的单位为分贝。 以分贝（dB)为单位符合人的习惯。
Us
s2
2
Um
s
j s
j Um
7
输出信号：
Y s
GsUs
ps qs
U m s2 2
a
a
b1 bn
s j s j s s1
s sn
y t ae jt ae jt b1es1t bnesnt
如果G(s)含有mi 重极点s = - pi, 则 y(t) 中含有
t hiesit (hi 0,1,2,, m 1)
纵坐标: 幅值A(),用对数20lgA()分度,单位[dB]
相角(),用() 分度,单位是(º)
幅频特性：20lgA()~lg 相频特性：()~ lg
13
Bode图为什么要采用对数坐标？
1) 幅值的相乘转换为相加运算,可在图上直接相 加——便于系统综合; 2) 便于处理较宽的频带,且能突出最常用的低频带;
Um G j
1 e jt e jt 2j
Um A sint Ym sint
正弦稳态输出对正弦输入的幅值比
Ym A G j
Um
正弦稳态输出对正弦输入的相位移
G j
10
根据定义，频率特性(正弦传递函数)
G
j
Y U
j j
G( j ) A( )e j ( ) G( j ) e jG( j )
1 2 2 0
2 0.707 2
28
极坐标图
G( j )
1
jtg1 2T
e
1 2T 2
1 2T 2 2 4 2 2T 2
>1(过阻尼)，类似于一阶环 节(近似为一半圆)。曲线随的 不同而变化，越小，曲线与负 虚轴的交点离坐标原点越远。
29
7. 二阶共轭零点（微分环节）
Bode图
22
33
法一 各环节频率特性代数相加
7.5 j 1
G j
3
j
j 2
11
2 2
j
2
34
4. 幅频特性：
转折渐进作图法： 找出所有环节的转折频率，从小到大排列，
从低频渐近线开始，沿频率增加的方向，碰到一 个转折频率，就改变渐近线的斜率。
35
（1）确定低频部分
7.5( j 1)
十倍频程
在Bode图的横坐标上，频率每变化10倍的 距离，就称为十倍频程，用符号dec来表示。
倍频程
在Bode图的横坐标上，频率每变化２倍的 距离，就称为倍频程，用符号oct来表示。
15
注意
在Bode图中，坐标原点处的ω值不得为零， 而是一个非零的正值。至于取何值，应视所 要表示的实际的频率范围而定。
tg1RC
都是的函数
频率特性：
增益
—
—
滞后增大
T=RC: —系统结构参数
, R, C: : —输入正弦信号的频率
6
系统频率特性表达式的推导
设线性定常系统传函G(s)
Gs
ps qs
s
s1 s
ps s2 s
sn
（对于含有重极点的情况，下面得到的结论同样适用）
输入为正弦信号：
ut Um sint
低频部分是过点(1，17.5dB)、斜率 为-20dB/dec的直线的一部分。
36
（2）将低频部分以外的环节按转折频率从小到 大的顺序列出转折渐进表。
7.5( j 1)
G( j )
3
j (
j
2
1)1
2
2
j
2
渐进顺序 转折频率
(1 2 j )1 ( j 1)1
22
2
2
2
j 1
2
1. 将开环传递函数化为时间常数的表示形式
10 3( s 1)
G(s)
s 2(
s
3 1) 2( s2
s
1)
比例
2
22
环节
7.5( s 1)
与根轨迹对比
s(
s
3 1)( s2
s
1)
2 22
32
2. 频率特性：
7.5 j 1
G j
3
j
j
2
11
2
2
j
2
3. 系统由五个典型环节组成：
相频： 90
G( j ) 1 e j90
极坐标图
19
3. 微分环节 G j j
幅频： 20lg A 20lg j 20lg(dB)
相频： 90
G( j ) e j90
Bode图
极坐标图
20
4. 一阶惯性环节 G j 1
1 jT
l 幅频：20lg A 20lg 1 20lg 1 2T 2
2
20 lg
1
2
20lg
2
1 2 3
2, 20lg A 16.61(dB) 2, 20lg A 7.06(dB) 3, 20lg A 5.76(dB)
5．相频特性
由频率特性得：
7.5( j 1)
G( j )
3
j (
j
2
1)1
2
2
j
2
2 : 90 tg1 tg1 tg1