函数的所有性质
常见的几种函数的性质
常见的几种函数的性质 一．一次函数形同)0()(≠+=k b kx x f 其中的函数，叫一次函数。
定义域：R 值域： R单调性：当k >0时，)(x f 在),(+∞-∞上是增函数；如图 当k <0时，)(x f 在),(+∞-∞上是减函数；如图 奇偶性：当0=b 时，)(x f 为奇函数。
二．反比例函数 形同)0()(≠=k xk x f 其中的函数，叫反比例函数。
定义域：{}o x x ≠=),0()0,(+∞-∞ 值域：{}o x x ≠=),0()0,(+∞-∞单调性：当k >0时，)(x f 在)0,(-∞及),0(+∞上是增函数；如图 当k <0时，)(x f 在)0,(-∞及),0(+∞上是减函数；如图 奇偶性：函数)(x f 为奇函数。
三．二次函数形同)0()(2≠++=a c bx ax x f 其中的函数，叫二次函数 定义域：R值域：当a >0时，)(x f 的值域为：),44(2+∞-ab ac当a <0时，)(x f 的值域为：)44,(2ab ac --∞单调性：当a >0时，)(x f 在)2,(a b --∞是减函数；在),2(+∞-a b 是增函数。
当a <0时，)(x f 在)2,(ab --∞是增函数；在),2(+∞-ab 是减函数。
奇偶性：当b =0时，即当对称轴为y 轴时，函数)(x f 为偶函数.练习一．求下列函数的定义域。
（1） 422--=x x y （2） 31()1x f x x -=+（3）11+-=x x y （4）0(1)x y x x-=-二．求下列函数的值域1)1(-=x y 32)2(2--=x x y[]上的值域。
在1,11)3(-∈-=x x y三。
求下列函数的值域[][][]上的值域。
在）（上的值域；在）（上的值域；在0,23234,23222,032)1(222-∈--=∈--=∈--=x x x y x x x y x x x y四．关于单调性的问题的单调区间；指出函数32)1(2-+-=x x y=++=b b x k y 则在实数集上是增函数，函数)12()2( 函数f(x)＝x 2＋(3a ＋1)x ＋2a 在(－∞，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是。
函数的性质(高考总复习)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------函数的性质(高考总复习)函数的性质一、函数的奇偶性 1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的性质⑴奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．⑵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反⑶若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. 3. 设f(x) ， g(x) 的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶+非零常数＝偶，奇+非零常数＝非奇非偶，奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇，练习 1．若函数 f(x) ＝x2－| x＋a| 为偶函数，则实数 a＝_______.2．若函数 f(x) ＝(x＋a) (bx＋2a) (常数 a、 bR) 是偶函数，且它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x) ＝_____ ___. 3．对于定义域为 R 的奇函数 f(x) ，下列结论成立的是( ) A． f(x) －f(－x) 0 C． f(x) f(－x) 0 4．如下图，给出了奇函数 y＝f(x) 的局部图象，则 f(－2) 的值为( ) B． f(x) －f(－x) 0 D． f(x) f(－x) 0 A.32 B．－32 C.12 D．－12 5．已知函数( )f x 是定义在 R 上的奇函数，若1 / 7当时，，则当时，( )f x 的表达式为（）A．．．．6．已知函数的图像关于坐标原点对称，则实数a=( ) A、 1 B、 -1 C、 0 D、．如果奇函数在区间[3， 7]上是增函数且最小值为 5，那么在区间上是 ( ) A．增函数且最小值为．增函数且最大值为．减函数且最小值为．减函数且最大值为．若偶函数)(xf在上是增函数，则下列关系式中成立的是（） A．．) 2 (f)23()．．2 (．设奇函数)(xf的定义域为，若当时， )(xf的图象如右图, 则不等式的解是 10．如果定义在区间[2－a, 4]上的函数 y＝f(x) 为偶函数，那么 a＝___ _____. 11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 为偶函数，其定义域为[a－1, 2a]，则 a的值为________． 12．若 f(x) ＝(m－1) x2＋6mx＋2 是偶函数，则f(0) 、f(1) 、f(－2) 从小到大的顺序是____ __． 13．已知奇函数 ( )f x 的定义域为上单调递减，且满足条件求a的取值范围。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
函数的基本性质有
函数是数学中一种重要的概念，它具有一些重要的性质。
常见的函数性质包括：
1.单调性：函数在定义域内单调递增或递减。
2.可导性：函数在定义域内可导。
3.可积性：函数在定义域内可积。
4.可逆性：函数在定义域内可逆。
5.可微性：函数在定义域内可微。
6.可解析性：函数在定义域内可解析。
7.持久性：函数在定义域内持久，即函数的值在定义域内不会突然变化。
8. 函数的值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
9. 函数的导函数：函数在定义域内可导，那么它就有导函数，并且导函数是唯一的。
10. 函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。
不同的函数具有不同的性质，因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。
函数的所有性质
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3xy =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且① 总有则称在区间M 上单调递增② 总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
常见函数的图像及其性质
常见函数的图像及其性质数学中的函数就像我们日常生活中的“机器”，通过给出一个输入，便能得到一个输出。
而函数所表示的“规律”，可以通过数学的方法加以描述和解释。
在数学中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
本文将介绍这些函数的图像及其性质。
一、线性函数线性函数是最基本、最简单的函数之一。
线性函数的一般形式为：y = kx + b其中，k和b是常数，x是自变量，y是因变量。
这里k表示直线斜率，b表示直线截距。
线性函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
当直线斜率为正时，函数是增长函数；当直线斜率为负时，函数是减少函数；斜率为0时，函数是常量函数。
二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。
二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，因为其自变量是平方项的形式。
二次函数的性质包括：1. 当a > 0时，函数开口向上，有最小值；当a < 0时，函数开口向下，有最大值。
2. 当二次函数的判别式b²-4ac > 0时，函数图像与x轴有两个交点；当b²-4ac = 0时，函数图像与x轴有一个交点；当b²-4ac < 0时，函数图像与x轴没有交点。
三、指数函数指数函数是一种以常数e（自然对数常数）为底，自变量是指数的函数。
其一般形式为：y = a^x其中，a是一个大于0且不等于1的常数，x是自变量，y是因变量。
指数函数的图像有如下特点：1. 当a > 1时，函数在x轴右侧增长；当0 < a < 1时，函数在x 轴左侧增长。
2. 当a > 1时，函数的y值无上限，但x轴是渐近线；当0 < a < 1时，函数的y值趋于0，但x轴是渐近线。
四、对数函数对数函数是指既然函数，其一般形式为：y = logₐx其中，a是底数，a > 0且a ≠ 1，x是自变量，y是因变量。
函数的基本性质
数学校本课程----函数的基本性质函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.I ．函数的定义设A ，B 都是非空的数集，f 是从A 到B 的一个对应法则.那么，从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做从A 到B 的函数.记做y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合，A 叫做函数f (x )的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B.II ．函数的性质（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集.若对任意的x ∈D ，都有f (－x )=－f (x )，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f (－x )=f (x ),则称f(x)是偶函数.（2）函数的增减性 设函数f (x )在区间D ′上满足：对任意x 1, x 2∈D ′，并且x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) (f (x 1)>f (x 2)),则称f (x )在区间D ′上的增函数（减函数），区间D ′称为f (x )的一个单调增（减）区间.III ．函数的周期性对于函数 f(x ),如果存在一个不为零的正数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，f (x +T)=f (x )总成立，那么称f (x )是周期函数，T 称做这个周期函数的周期.如果函数f (x )的所有周期中存在最小值T 0，称T 0为周期函数f (x )的最小值正周期.例题讲解1．已知f (x )＝8＋2x －x 2，如果g (x )＝f(2－x 2)，那么g (x )( )A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2．设f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋3)＝－f (x )，当0≤x ≤23时，f (x )＝x ，则f (2003)＝( )A.－1B.0C.1D.20033．定义在实数集上的函数f (x )，对一切实数x 都有f (x ＋1)＝f (2－x )成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150B.2303C.152D.23054．实数x ，y 满足x 2＝2xsin (xy )－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5．已知x ＝9919+是方程x 4＋b x 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________.6．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，f (x )＝0有实数根，且f (x )＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b (－1≤x ≤1)，若|f (x )|的最大值为M ，求证：M≥21.8．⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1x 4x 2-=++++++9．设f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f (0)]的值.课后练习1. 已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝( )A.3B.－3C.5D.－52. 已知(3x ＋y)2001＋x 2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.3. 解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝04. 若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.5. 函数y ＝8x 4x 5x 4x 22+-+++的最小值是______________.6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a 1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.7. 设a ，b ，c ∈R ，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1，求证：|2ax ＋b|≤4.8. 已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2. ⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|；⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.。
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函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x ）与f(x ）之间的关系：①f(－x)＝f(x)为偶函数；f （-x)=-f(ｘ)为奇函数； ②f(-x)-f （x ）=０为偶;ｆ(x ）+f(-x)=0为奇;③f(-x)÷ｆ(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)＝-1为奇函数. （１)若定义域关于原点对称(２）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质:1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ; 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶(2) 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 ６．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义:函数定义域为Ａ,区间，若对任意且① 总有则称在区间M 上单调递增② 总有则称在区间M 上单调递减应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤:(1）设值(２)作差(３)变形（４）定号（5)结论 (二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学） 注:常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1)一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数,Ｔ叫做周期,kT(T 的整数倍)也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫最小正周期。
注:常用结论(1)若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期（自己证明) (2）若定义在R 上的函数ｙ = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称 (a ≠b ），则y = ｆ (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
(自己证明）(推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称,则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期 （３)若)()(x f a x f -=+;)(1)(x f a x f =+;)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期4.对称性一、函数自身的对称性定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A （ａ ,ｂ）对称的充要条件是 f (ｘ） + f (2ａ-x) ＝ 2b证明：(必要性）设点P （x ，y)是y ＝ f (x ）图像上任一点,∵点Ｐ（ ｘ ,ｙ）关于点A (a ,ｂ)的对称点P （2ａ－x,２ｂ－y ）也在y = ｆ (ｘ)图像上， ∴ 2ｂ－y ＝ ｆ (２ａ－x ） 即y + f (2a-ｘ)＝2b 故ｆ (x ） ＋ ｆ (２a-x) = 2b ，必要性得证。
（充分性）设点P(ｘ0,y0)是y ＝ f （x ）图像上任一点，则y 0 = ｆ （x 0) ∵ f (x ） + f (2a －x) =2b∴f (ｘ0） ＋ ｆ (2a －x 0) =2ｂ，即2ｂ-y 0 = f (2ａ－x 0) 。
故点Ｐ(2a-x 0,2b-y 0）也在y = ｆ (ｘ) 图像上, 而点P 与点Ｐ关于点A (a ,ｂ）对称,充分性得证。
推论:函数 ｙ = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) ＋ f (－x) = 0 定理2． 函数 y = f （x)的图像关于直线ｘ = a 对称的充要条件是ｆ (ａ +x) = f (a －x) 即f (x) = f （2a-x ） （证明留给读者）推论:函数 y = ｆ （x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x ） ＝ f (－ｘ） 定理3函数 ｙ = f (x)的图像关于直线x ＝ a 对称的充要条件是f (a ＋ｘ) = f (a-x) 或 f (x ） = f (2a-x)定理4.若函数y = f (ｘ） 图像同时关于直线ｘ = a 和直线ｘ ＝ b 成轴对称 (ａ≠ｂ)，则ｙ= f （ｘ）是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
二.不同函数对称性定理５. 函数y = ｆ(a+ｘ）与y = f (b-x)的图像关于直线x = (ｂ－ａ）/2成轴对称定理6. 互为反函数的两个函数关于直线ｙ=ｘ对称【典型例题】[例１］判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）(３）(4）（5)解:(1)且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3),关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义 ; ∴非奇非偶（5)且，关于原点对称∴为偶函数[例2］（１),为何值时,为奇函数；(2）为何值时，为偶函数。
答案：(１)（恒等定理）∴ 时，奇函数(2）∴ （恒等定理）∴∴巩固：已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数。
(Ⅰ）求,a b 的值;（Ⅱ)若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围; (Ⅰ)简 解:取特殊值法因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0,即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f(1)= - f （-１)知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ)解法一：由(Ⅰ）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数又因()f x 是奇函数,从而不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-, 因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-.即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-［例3］ 求函数的解析式(１）为R 上奇函数，时,,解:时,∴∴ (2)为R 上偶函数,时，解:时,∴［例4］求下列函数的增区间(１）(2）答案:(1)，∴（2)作图∴[例5]若在区间，求取值范围。
答案：分类讨论(1）①当在区间，符合题意②当时，要在区间，则有∴[例6]，为偶函数，试比较的大小关系。
解：∵为偶函数∴则函数关于直线x=2对称∵在（０，2）∴（提示：看离对称轴的远近）［例７]为偶函数，，若,求取值范围。
解：∴[例8] 求下列函数是否为周期函数（１),满足（2)，满足(３)，满足（４)，满足答案:(1)令∴∴∴Ｔ=2周期函数（２）∴Ｔ=4周期函数（3)∴T＝４（４)∴T=８[例9] ，偶函数，周期函数，Ｔ=２，,,则，求当时，。
答案:[例10] ，偶函数,奇函数,则。
答案:奇偶∴∴∴奇∴巩固例1：定义在R上的非常数函数满足：ｆ(１0＋x）为偶函数，且f (5－ｘ) = ｆ(5+ｘ),则f(ｘ)一定是( ）ﻩ(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (Ｃ)是奇函数,也是周期函数ﻩﻩ(D ）是奇函数，但不是周期函数 解：∵f （10+x)为偶函数,∴f (10+ｘ) = f (10-x).∴f （x)有两条对称轴 x = ５与x =10 ，因此f （x)是以10为其一个周期的周期函数,∴ｘ ＝0即ｙ轴也是ｆ （ｘ)的对称轴，因此f (x ）还是一个偶函数。
故选(Ａ) ﻩ例2：设定义域为R 的函数ｙ = f (ｘ)、ｙ = g(ｘ)都有反函数,并且f(x －1)和g -1（x-2)函数的图像关于直线y = x 对称,若ｇ（５) = 1999，那么f （4)＝( ）。
19９9； （B ）２００0； (Ｃ）2001; (Ｄ）２0０2。
解：∵ｙ = ｆ(x-1）和y = g -1（ｘ-２）函数的图像关于直线y = x 对称,∴y ＝ g -1(x －2） 反函数是y = ｆ(ｘ－1),而y ＝ g -１(ｘ－2)的反函数是:ｙ = ２ + ｇ(x), ∴ｆ(x-1) = 2 + ｇ(x ）, ∴有f(5－1) = ２ + g （5)＝2００1 故f(4) = ２001，应选（Ｃ)例3.设f （x)是定义在R 上的偶函数，且f(１+x ）= f(１-x),当-１≤x ≤０时,f (ｘ) = -21x,则f (8.6 ) = ____＿__＿＿解：∵f(x ）是定义在R 上的偶函数∴x = 0是ｙ = f(x)对称轴； 又∵f(１+x ）= f(1－ｘ) ∴x = １也是ｙ = f (x) 对称轴。
故ｙ ＝ ｆ(x ）是以2为周期的周期函数,∴ｆ （8．6 ) = ｆ (8＋0．6 ） = f （0．６ ) = f (－0.６ ) = 0.３例4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= -f(ｘ),当0≤x ≤1时，ｆ （x) ＝ x ，则ｆ (７.５ ） = （ ） (A) 0.5 （B) -０.５ ﻩ(Ｃ） １.5ﻩﻩﻩ(Ｄ) -1.5解：∵y = f (x)是定义在Ｒ上的奇函数,∴点（0,0）是其对称中心；又∵f (x ＋２ )= －f (ｘ) = f (－x),即ｆ （1+ x) = f (1-x)， ∴直线ｘ = １是ｙ = ｆ (x) 对称轴，故y ＝ f (x)是周期为2的周期函数。
∴f （７．5 ) = f （８-０．５ ) = f (－０．5 ) = -f （0.5 ) =-0.5 故选（Ｂ）【作业】1. 两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点,请你构造一个分段函数,使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为１的等比数列”。
两位学生分别构造了一个函数():①②请你判断,正确的结论是（)A. ①②都对B．①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错2. 函数与的图像关于（)A．ｙ轴对称B．原点对称C. 直线ｘ=１对称D. 关于y轴对称且关于直线x＝1对称３. 若函数在(）上是减函数,则的取值范围是（）A． B. C. D.4. 函数在（）上存在，使,则的取值范围是()A. B. Ｃ. 或D．5. 若,则它们的大小关系为（)A. B. C. Ｄ.６. 如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是ＣD边的中点,则当点P沿着A—B—C—M运动时,以点P经过的路程为自变量，三角形APＭ的面积函数的图像形状大致是()7．函数()A．在（１，）内单调递增 B. 在（1，）内单调递减C. 在（)内单调递增D. 在（）内单调递减8. 函数的定义域为[]，值域为,其反函数为，则的()A.定义域为,值域为B. 定义域为，值域为C. 定义域为,值域为Ｄ．定义域为，值域为９. 已知函数的图象是由函数的图像平移而得到的，如图所示,则的值是(）A．Ｂ.C. D.10. 已知是偶函数，则图像的对称轴是(）A． B． C． D．1１. 对任意，有，时，,则(）A. B． C. D.12. 方程的两个根均大于１,则的取值范围为()Ａ. B. C．Ｄ．1３. 若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则(）A．B．Ｃ. Ｄ.14. 把长为1２cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）Ａ. B. C． D.15. 设函数的反函数为,且，则。